端部受階躍脈沖載荷的懸臂梁的剛塑性動力響應(yīng)分析

1、2012 2013 學(xué)年 第 2 學(xué)期課 程 作 業(yè)結(jié)構(gòu)沖擊端部受階躍脈沖載荷的懸臂梁的剛塑性動力響應(yīng)分析一、 懸臂梁受階躍載荷作用1. 端部受階躍荷載的懸臂梁的剛塑性動力響應(yīng)圖1如圖1所示，以一個具有均勻橫截面的直懸臂梁AB為例，分析其動態(tài)響應(yīng)。其中梁的長度為L，單位長度的密度為，橫截面的塑性極限彎矩為MP。在自由端A點(diǎn)突然受到橫向力F（t）的作用，此處F（t）為不隨時間變化的階躍荷載。由準(zhǔn)靜態(tài)下的分析容易得到，懸臂梁受端部集中力時的靜態(tài)塑性失效為FC=MP/L。當(dāng)靜態(tài)集中力達(dá)到FC時，固定端B點(diǎn)將形成塑性鉸，也就是該點(diǎn)的彎矩達(dá)到塑性極限彎矩，MB=MP。1)當(dāng)FFC時，懸臂梁的變形機(jī)構(gòu)仍然

2、是在固定端B點(diǎn)產(chǎn)生塑性鉸，整個梁繞該塑性鉸轉(zhuǎn)動。設(shè)為自由端A點(diǎn)的速度，則對懸臂梁利用豎直方向上的動量定理，有： （1） 為固定端的支反力，以向下為正。對固定端B點(diǎn)的動量矩方程有： （2）則自由端A點(diǎn)的加速度為 （3）將（3）代入（1）得固定端剪力 （4）由梁上各截面的橫向加速度沿著梁的長度方向呈線性分布，既有 （5）得分布荷載與剪力之間的關(guān)系 （6）對（6）式進(jìn)行積分，可得梁上剪力分布： （7）彎矩分布： （8）分布圖如右圖所示： 圖2顯然，從彎矩和剪力之間的關(guān)系可知，彎矩M應(yīng)該在剪力為零的位置到達(dá)極值。由圖可知，若F3Fc時，由（7）式知3Fc時，由（7）式可知0。這表明在AB之間存在某個位

3、置,在該處剪力為零，同時彎矩取極值，即M（）=MmaxMB，最大彎矩等于塑性極限彎矩時產(chǎn)生塑性鉸，即M（）= Mp。由此可知，固定端具有一個塑性鉸的變形機(jī)構(gòu)只在FcF3Fc的情況，塑性鉸會出現(xiàn)在AB之間的某個位置。因此，考慮變形機(jī)構(gòu)在梁中間的H點(diǎn)，對應(yīng)坐標(biāo)x=處出現(xiàn)塑性鉸。此時梁的AH段繞H點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)的角加速度為，而梁的HB段還保持靜止。由于塑性鉸H處有M（）=Mmax=Mp，且；類似（1）式和（2）式，對梁的AH段列豎直方向的動量方程，以及對H點(diǎn)的動量矩方程有 （9） （10）由（9）式可知，懸臂梁的加速度為 （11）于是，懸臂梁上各截面的橫向加速度的分布如下： （12）剪力分布： （13

4、）對上式積分得彎矩分布為 （14）在F3Fc時，梁上的剪力和彎矩分布規(guī)律如圖所示：圖3可以看出，從自由端到中間的塑性鉸，剪力從F逐漸降低為零，而彎矩是從零逐漸增加到塑性極限彎矩Mp。在塑性極限彎矩所在的位置H點(diǎn)，有=0和。此外，在梁的HB段，彎矩處處等于塑性極限彎矩，M（x）= Mp；但HB段并沒有加速度，也沒有變形，這是由于剪力在這一段恒為零。將（11）式代入（10）式，可得 =3Mp/F (15) 上式表明，塑性鉸的位置與荷載強(qiáng)度F有關(guān)，F(xiàn)越大，塑性鉸越靠近加載的自由端A；F越小，塑性鉸越靠近固定端B。由（15）式和（11）式可得梁自由端A點(diǎn)的加速度與荷載的關(guān)系有 （） 顯然，自由端加速度

5、與載荷強(qiáng)度F的平方成正比。2. 懸臂梁受階躍載荷作用的結(jié)論1) 變形機(jī)構(gòu)隨著階躍載荷的幅值F的變化而變化；若F比準(zhǔn)靜態(tài)失效載荷FC高三倍以上，則變形機(jī)構(gòu)與準(zhǔn)靜態(tài)失效機(jī)構(gòu)不再相同；2) 階躍載荷的幅值越大，變形區(qū)域越接近加載端；3) 加載自由端的加速度可以表示為（）懸臂梁自由端的加速度隨載荷的變化曲線如下圖：圖4二、 懸臂梁受脈沖載荷作用矩形脈沖載荷， （）若上式給出的矩形脈沖施加在懸臂梁的自由端，且脈沖值，則在響應(yīng)的第一階段（對應(yīng)的時間區(qū)間），根據(jù)上節(jié)分析可知，懸臂梁中將出現(xiàn)位于處的駐定鉸。 圖5在，載荷幅值突然由降低為零，則塑性鉸將離開其初始位置；隨時間的變化，塑性鉸的位置也在變化，即（），

6、亦即形成移行鉸。仍以段為研究對象，利用對自由端點(diǎn)的動量矩定理積分可得 （）而梁上點(diǎn)的速度分布為 （）由以上兩式可得 （）在懸臂梁動態(tài)響應(yīng)的第階段，對應(yīng)時間，與上節(jié)階躍載荷分析有相同的結(jié)果，也就是=3Mp/F ， （） 因此，在開始卸載的時刻，對于（）式積分可得自由端的速度以及撓度，分別為 （） （）此外，可以計算在此瞬時，駐定鉸處的旋轉(zhuǎn)角度為 （），動量定理給出 （）將式和式相對照，可知移形鉸的位置為 （210）由此可知，初始時刻位于0處的塑性鉸，隨時間增加將向固定端移動，移形鉸的移動速度為 （211） 顯然，移形鉸的移動速度是一個常數(shù)。由此也容易計算移形鉸移動到固定端B點(diǎn)的時間為 （212）

7、因此，將時間區(qū)間內(nèi)的變形稱為懸臂梁動態(tài)響應(yīng)的第階段。在此階段中，自由端的速度及位移分別為 （213） （214）可見，隨著時間的增加，自由端的速度將逐漸降低。將第階段的結(jié)束時間t2代入（213）式和（213）式，可以得到第階段結(jié)束時對應(yīng)的自由端速度及位移，分別為 （215） （216）第階段結(jié)束后，移行鉸已經(jīng)移動到固定端B點(diǎn)，但整個結(jié)構(gòu)的運(yùn)動并沒有停止，因?yàn)樽杂啥诉€具有速度，會帶動梁繼續(xù)發(fā)生繞固定端的剛體轉(zhuǎn)動。這就進(jìn)入了懸臂梁動態(tài)響應(yīng)的第階段，對應(yīng)的時間區(qū)間?？紤]進(jìn)入第階段后對固定端的動量矩的變化，有 （217）（216）式給出此階段速度隨時間變化的關(guān)系式為 （218）顯然，當(dāng)速度減小到零時，

8、對應(yīng)整個懸臂梁動態(tài)響應(yīng)結(jié)束，即系統(tǒng)的總響應(yīng)時間為 （219）在響應(yīng)結(jié)束時刻，自由端的總位移為 （220）即 （221）同時，還可以得到在第階段中懸臂梁繞根部的轉(zhuǎn)角： （222）圖6 懸臂梁受矩形脈沖作用，其塑性鉸位置和自由端速度的變化曲線上圖給出了懸臂梁受到矩形脈沖載荷F=12Fc作用時，其塑性鉸位置以及自由端速度隨時間的變化曲線。在第階段，梁的中部0處出現(xiàn)一個駐定鉸，變形為繞駐定鉸的轉(zhuǎn)動，自由端的速度線性增加；在第階段，塑性鉸開始向懸臂梁的固定端移動，其移動速度恒定，同時自由端的速度按時間的倒數(shù)下降；在第階段塑性鉸停留在懸臂梁的固定端，自由端的速度線性下降；最后自由端速度降低為零，整個動態(tài)響

9、應(yīng)過程結(jié)束。為了確定梁的最終變形，首先考慮第階段的曲率， （223）（222）式給出了梁上某截面的轉(zhuǎn)角對時間的變化率，也就是該截面的角速度。這里與的運(yùn)動學(xué)關(guān)系參照了梁的原構(gòu)型，還要用到曲率。（222）式把曲率和塑性鉸位置聯(lián)系起來了。由曲率在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式， （224） 對x積分兩次，可以得到第階段的變形， （225）在疊加上第，兩個階段的變形，可以得到梁的最終變形曲線，即 （226）右圖給出了=6,12兩種情況下，梁的最終變形曲線，其中為無量綱的載荷強(qiáng)度。當(dāng)=6時，初始塑性鉸的位置;而當(dāng)=12時，初始塑性鉸的位置，顯然是與載荷強(qiáng)度相關(guān)的。兩種情況下，梁的變形曲線在靠近固定端的一段是完全重

10、合的，而在靠近自由端的一端，載荷強(qiáng)度大的矩形脈沖產(chǎn)生的最終變形顯然大于載荷強(qiáng)度小的情況。進(jìn)一步分析動態(tài)響應(yīng)過程中的能量消耗分配。由上面的討論，已知各階段的變形。在矩形脈沖輸入能量的 圖7無量綱的梁的最終變形曲線 第階段，由自由端在td時刻的變形，容易計算矩形脈沖的總輸入能量為 （227） 其中第階段和第階段變形為繞駐定塑性鉸的剛體轉(zhuǎn)動，因此由（）式和（222）式給出的第階段和第階段的轉(zhuǎn)角1和3，可計算這兩個階段中由于塑性變形而耗散的能量，分別為 （227） （228）三個變形階段的能量耗散之和等于矩形脈沖的總輸入能量，由此可以得到三個階段塑性耗散能的比值如下： （229）從上式可知，懸臂梁在對

11、自由端矩形脈沖的動態(tài)響應(yīng)過程中，其變形的第一階段必定耗散輸入能量的；第三個階段的能量耗散水平取決于矩形脈沖的幅值，幅值越大，第三階段的能量耗散越小，相應(yīng)的第二階段的能量耗散則增大。若矩形脈沖的強(qiáng)度幅值非常高，即對應(yīng)于的情況，則第二階段在移形鉸上耗散的能量會顯著高于第三階段在根部駐定塑性鉸耗散的能量。圖8 能量耗散外載的功，總能，塑性耗散 情形，梁根部固定鉸兩相：I相（加速運(yùn)動，）；II相（減速運(yùn)動，）同理，I相的能量耗散為總能的1/3.圖9 不同載荷下的相及能量耗散分布圖10 梁端撓度與載荷關(guān)系 2.結(jié)論1. 若，梁的響應(yīng)包含3個相，當(dāng)f很大時，第2相最重要，其特征是由于外載突然卸除而觸發(fā)的塑

12、性鉸移行；2. 與3相相聯(lián)系的是，梁變形也由三部分構(gòu)成：繞固定鉸H0的轉(zhuǎn)動；由移行鉸引起的H0B段的曲率連續(xù)變化；繞梁根部B的轉(zhuǎn)動。在梁的最終形狀中，僅H0B段具有塑性曲率；3. 移行鉸到達(dá)根部的時間t2與F0無關(guān)，但第2相所耗散的能量卻與F0有關(guān)。外載越強(qiáng)，移行鉸耗散的能量所占比例越大。4. 任意形狀的脈沖：，圖11當(dāng)隨時間變化，塑性鉸位置也會隨時間變化。即，任意形狀的脈沖作用下，一般會出現(xiàn)移行鉸。塑性鉸位置倚賴于，也相關(guān)于梁的速度場。圖2.8運(yùn)動機(jī)構(gòu)場，AH段的運(yùn)動方程， ，其中移行鉸的移行速度，因此其移行方向取決于，（假設(shè)連續(xù)）1 若單調(diào)遞增，移行鉸向梁的端部移動；2 若單調(diào)遞減，移行鉸向梁的根部移動；3 若常數(shù)，固定鉸；4 若忽增忽減，轉(zhuǎn)向點(diǎn)條件要求圖125 任意脈沖停止后，因?yàn)楹?，必有，移行鉸必然向梁的根部移動，且在到達(dá)根部，端部速度。移行鉸