工力第9章——扭轉(zhuǎn)

1、單輝祖:工程力學(材 料力學) 1 第 9 章 扭 轉(zhuǎn) 剪切基本定理 圓截面軸的扭轉(zhuǎn)應力與變形 圓截面軸的扭轉(zhuǎn)強度與剛度 簡單靜不定軸 非圓截面軸扭轉(zhuǎn)簡介 本章主要研究： 單輝祖:工程力學(材 料力學) 2 1 引言 2 動力傳遞與扭矩 3 切應力互等定理與剪切胡克定律 4 圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應力 5 圓軸扭轉(zhuǎn)強度與合理設(shè)計 6 圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件 7 非圓截面軸扭轉(zhuǎn)簡介 單輝祖:工程力學(材 料力學) 3 1 引 言 扭轉(zhuǎn)實例扭轉(zhuǎn)實例 扭轉(zhuǎn)及其特點扭轉(zhuǎn)及其特點 單輝祖:工程力學(材 料力學) 4 扭轉(zhuǎn)實例扭轉(zhuǎn)實例 F F 單輝祖:工程力學(材 料力學) 5 M 單輝祖:工程力學(材 料力

2、學) 6 扭轉(zhuǎn)及其特點扭轉(zhuǎn)及其特點 變形特征：變形特征：各橫截面間繞軸線作相對旋轉(zhuǎn)，軸線仍為各橫截面間繞軸線作相對旋轉(zhuǎn)，軸線仍為 直線直線扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形 外力特征：外力特征：作用面垂直于桿軸的力偶作用面垂直于桿軸的力偶 扭轉(zhuǎn)與軸：扭轉(zhuǎn)與軸：以扭轉(zhuǎn)變形為主要特征的變形形式以扭轉(zhuǎn)變形為主要特征的變形形式扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn) 以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件軸軸 扭力偶矩：扭力偶矩：扭力偶之矩扭力偶之矩扭力偶矩扭力偶矩或或扭力矩扭力矩 扭扭 力力 偶偶：作用面垂直于桿軸的力偶作用面垂直于桿軸的力偶扭力偶扭力偶 單輝祖:工程力學(材 料力學) 7 2 動力傳遞與扭矩 功率、轉(zhuǎn)速與扭力偶矩的關(guān)系功率、

3、轉(zhuǎn)速與扭力偶矩的關(guān)系 扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖 例題例題 單輝祖:工程力學(材 料力學) 8 功率、轉(zhuǎn)速與扭力偶矩的關(guān)系功率、轉(zhuǎn)速與扭力偶矩的關(guān)系 已知：動力裝置的輸出功率動力裝置的輸出功率 P（kW）, ,轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速 n（r/min） 試求：傳遞給軸的扭力偶矩傳遞給軸的扭力偶矩 M（N.m） MP 60 2 103 n MP min/r kW mN 9549 n P M 設(shè)角速度為設(shè)角速度為 (rad/s) 例例: P5 kW, n=1450 r/min, 則則 mN 9 .32m)(N r/min 1450 kW 5 9549 M 單輝祖:工程力學(材 料力學) 9 扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖

4、 扭矩定義扭矩定義矢量方向垂直于橫截面的內(nèi)力偶矩，矢量方向垂直于橫截面的內(nèi)力偶矩， 并用并用 T 表示表示 符號規(guī)定符號規(guī)定按右手螺旋法則將扭矩用矢量表示，按右手螺旋法則將扭矩用矢量表示， 矢量方向與橫截面外法線方向一致矢量方向與橫截面外法線方向一致 的扭矩為正，反之為負的扭矩為正，反之為負 扭矩 單輝祖:工程力學(材 料力學) 10 mxMT A mlM A 扭矩圖 （m軸單位長度內(nèi)的扭力偶矩軸單位長度內(nèi)的扭力偶矩）試分析軸的扭矩試分析軸的扭矩 )(xlmT 表示扭矩沿桿件軸線變化的圖線（表示扭矩沿桿件軸線變化的圖線（T-x曲線）曲線）扭矩圖扭矩圖 mlT max 單輝祖:工程力學(材 料力

5、學) 11 例例 題題 例 2-1 MA=76 N m, MB=191 N m, MC=115 N m, 畫扭矩圖畫扭矩圖 解：mN 76 1 A MT 0 2 C MTmN 115 2 C MT mN 115 max T 單輝祖:工程力學(材 料力學) 12 3 切應力互等定理與剪切胡克定律 薄圓管的扭轉(zhuǎn)切應力薄圓管的扭轉(zhuǎn)切應力 切應力互等定理切應力互等定理 剪切胡克定律剪切胡克定律 例題例題 單輝祖:工程力學(材 料力學) 13 當變形很小時，當變形很小時，各圓周線的各圓周線的大小與間距均不改變大小與間距均不改變 試驗現(xiàn)象 各圓周線的形狀不變各圓周線的形狀不變, ,僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動僅繞軸

6、線作相對轉(zhuǎn)動 由于管壁薄，可近似認由于管壁薄，可近似認 為管內(nèi)變形與管表面相為管內(nèi)變形與管表面相 同，均僅存在切應變同，均僅存在切應變g g 。 薄壁圓管扭轉(zhuǎn)切應力薄壁圓管扭轉(zhuǎn)切應力 單輝祖:工程力學(材 料力學) 14 R T 2 0 2 d 2 0 00 RRT 假設(shè)：切應力沿壁厚均勻分布假設(shè)：切應力沿壁厚均勻分布 2 0 2 R 應力公式 適用范圍：適用范圍：適用于所有勻質(zhì)薄適用于所有勻質(zhì)薄 壁桿，包括彈性、非彈性、線壁桿，包括彈性、非彈性、線 性與非線性等情況性與非線性等情況 精度精度：線彈性情況下線彈性情況下, ,當當 R0/10 時時, ,誤差誤差 4.53% 單輝祖:工程力學(材

7、 料力學) 15 0dddddd , 0 xzyyzxM z 在微體互垂截面上，垂直于截面交線的切應力數(shù)值相在微體互垂截面上，垂直于截面交線的切應力數(shù)值相 等，方向則均指向或離開該交線等，方向則均指向或離開該交線切應力互等定理切應力互等定理 截面上存在正應力時，互等定理仍成立（請自證）截面上存在正應力時，互等定理仍成立（請自證） 切應力互等定理與切應力互等定理與純剪切純剪切 微體互垂截面上僅存在切應力的應力狀態(tài)微體互垂截面上僅存在切應力的應力狀態(tài)純剪切純剪切 剪切剪切胡克定律胡克定律 引入比例常數(shù)引入比例常數(shù)G g g g g G 在剪切比例極限內(nèi)，切應力與在剪切比例極限內(nèi)，切應力與 切應變成

8、正比切應變成正比剪切胡克定律 G切變模量切變模量，其量綱與應力相同，常用單位為，其量綱與應力相同，常用單位為GPa GPa 8075 E鋼與合金鋼：鋼與合金鋼：GPa 3026 E鋁合金：鋁合金： 實驗表明：當切應力實驗表明：當切應力 不超過一定限度不超過一定限度 p 時時 p剪切比例極限剪切比例極限 單輝祖:工程力學(材 料力學) 17 例例 題題 例 3-1 圖示板件圖示板件, 邊寬為邊寬為a, 已知已知 D Ds = a/1000, G = 80 GPa, , 試求板邊切應力試求板邊切應力 = ? 解： g g G )rad100 . 1)(Pa1080( 39 注意注意：g g 雖很小

9、，但雖很小，但 G 很大，很大，切應力切應力 不小不小 MPa 80 1000 1 tan a s g g g g 為一很小的量，所以為一很小的量，所以 rad100 . 1tan 3 g gg g 單輝祖:工程力學(材 料力學) 18 例 3-2 一薄壁圓管，平均半徑為一薄壁圓管，平均半徑為R0，壁厚為，壁厚為 ，長度為，長度為l， 橫截面上的扭矩為橫截面上的扭矩為T，切變模量為，切變模量為G，試求扭轉(zhuǎn)角試求扭轉(zhuǎn)角j j。 解： 2 0 2 R T G g g 2 0 2 GR T x R dd 0 g g j j x GR T d 2 3 0 xRdd 0 g gj j x GR T l

10、d 2 0 3 0 j j j j 3 0 2 GR Tl 單輝祖:工程力學(材 料力學) 19 4 圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應力 扭轉(zhuǎn)試驗與假設(shè)扭轉(zhuǎn)試驗與假設(shè) 扭轉(zhuǎn)應力分析扭轉(zhuǎn)應力分析 極慣性矩與抗扭截面系數(shù)極慣性矩與抗扭截面系數(shù) 例題例題 單輝祖:工程力學(材 料力學) 20 扭轉(zhuǎn)試驗與假設(shè)扭轉(zhuǎn)試驗與假設(shè) 各橫截面如同剛性平面，僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動各橫截面如同剛性平面，僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動 當變形很小時，當變形很小時，各圓周線的各圓周線的大小與間距均不改變大小與間距均不改變 扭轉(zhuǎn)平面假設(shè) 試驗現(xiàn)象 各圓周線的形狀不變各圓周線的形狀不變, ,僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動 從試驗、假設(shè)入手從試驗

11、、假設(shè)入手, ,綜合考慮幾何、物理與靜力學三方面綜合考慮幾何、物理與靜力學三方面 單輝祖:工程力學(材 料力學) 21 扭轉(zhuǎn)應力分析扭轉(zhuǎn)應力分析 ad dd g gg gtan 物理方面物理方面 xd dj j g g 幾何方面幾何方面 x G d d j j dj j / / dx扭轉(zhuǎn)角變化率扭轉(zhuǎn)角變化率 j j d dd 單輝祖:工程力學(材 料力學) 22 靜力學方面靜力學方面 TA A d p d d GI T x j j d 2 p A AI x G d d j j p I T TA x G A d d d 2 j j 應力與變形公式應力與變形公式 極慣性矩極慣性矩 max p ma

12、x W T R I W p p 抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù) R I T I TR p p 公式的適用范圍：公式的適用范圍：圓截面軸；圓截面軸； max p 單輝祖:工程力學(材 料力學) 23 極慣性矩與抗扭截面系數(shù)極慣性矩與抗扭截面系數(shù) d2d A A AId 2 p 空心圓截面空心圓截面 4 4 p 1 32 D I 實心圓截面實心圓截面 32 4 p d I 4 3 p p 1 16 2 D D I W 16 3 p d W D d 2/ 2/ 2 d2 D d 0 單輝祖:工程力學(材 料力學) 24 例例 題題 例例 4-1 已知已知MC= 2MA= 2MB=200Nm；AB段，段，d

13、=20mm； BC段，段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭轉(zhuǎn)切應力。求各段最大扭轉(zhuǎn)切應力。 A MT 1 4 3 o p 1 16 d W aMP7 .63 o i d d 解： p 1 max1, W T C MT 2 aMP9 .74 p 2 max2, W T 16 3 p d W 3 max1, 16 d M A )1( 16 43 0 max2, d MC 單輝祖:工程力學(材 料力學) 25 5 圓軸扭轉(zhuǎn)強度與合理設(shè)計 扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應力扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應力 圓軸扭轉(zhuǎn)強度條件圓軸扭轉(zhuǎn)強度條件 圓軸合理強度設(shè)計圓軸合理強度設(shè)計 例題例題 單輝祖:工程力學(材 料力學

14、) 26 扭轉(zhuǎn)失效與極限應力扭轉(zhuǎn)失效與極限應力 塑性材料塑性材料屈服屈服 斷裂斷裂 脆性材料脆性材料 斷裂斷裂 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)屈服應力屈服應力 s ，扭轉(zhuǎn)強度極限扭轉(zhuǎn)強度極限 b 扭轉(zhuǎn)極限應力扭轉(zhuǎn)極限應力 u 圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)屈服時橫截面上的最大切應力屈服時橫截面上的最大切應力扭轉(zhuǎn)屈服應力扭轉(zhuǎn)屈服應力 圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)斷裂時橫截面上的最大切應力斷裂時橫截面上的最大切應力扭轉(zhuǎn)強度極限扭轉(zhuǎn)強度極限 扭轉(zhuǎn)極限應力 扭轉(zhuǎn)失效形式 單輝祖:工程力學(材 料力學) 27 圓軸扭轉(zhuǎn)強度條件圓軸扭轉(zhuǎn)強度條件 max n u max p max W T p max max W T 等截面圓軸等截面圓軸: : 變截面或

15、變扭矩圓軸變截面或變扭矩圓軸: : u材料的扭轉(zhuǎn)極限應力材料的扭轉(zhuǎn)極限應力 n - 安全因數(shù)安全因數(shù) 塑性材料塑性材料： =（0.50.577） s s 脆性材料脆性材料： = （0.81.0） s st 為保證軸不因強度不夠而破壞，要求軸內(nèi)的 最大扭轉(zhuǎn)切應力不得超過扭轉(zhuǎn)許用切應力 危險點處于純剪切狀態(tài)，又有危險點處于純剪切狀態(tài)，又有 單輝祖:工程力學(材 料力學) 28 圓軸合理強度設(shè)計圓軸合理強度設(shè)計 1. 合理截面形狀合理截面形狀 若若 Ro/ 過大過大 將產(chǎn)生皺褶將產(chǎn)生皺褶 空心截面比空心截面比 實心截面好實心截面好 2. 采用變截面軸與階梯形軸采用變截面軸與階梯形軸 注意減緩注意減緩

16、 應力集中應力集中 單輝祖:工程力學(材 料力學) 29 例例 題題 例 5-1 已知已知 T=1.5 kN . m， = 50 MPa，試試根據(jù)強度條根據(jù)強度條 件設(shè)計實心圓軸與件設(shè)計實心圓軸與 = = 0.9 的空心圓軸，并進行比較。的空心圓軸，并進行比較。 解：1. 確定確定實心圓軸直徑實心圓軸直徑 3 16 d T 3 16 T d mm 54 d取?。?m 5350.0 Pa)10(50 )mN101.5(16 3 6 3 max 16 3 p max d T W T 單輝祖:工程力學(材 料力學) 30 2. 確定空心圓軸內(nèi)、外徑確定空心圓軸內(nèi)、外徑 )1( 16 16 43 o

17、d T mm 3 .76 )1 ( 16 3 4 o T d mm7 .68 oi dd mm 68 mm 76 io dd，?。喝。?3. 重量比較重量比較 %5 .39 4 )( 4 2 2 i 2 o d dd 空心軸遠比空心軸遠比 實心軸輕實心軸輕 4 3 o p 1 16 d W 單輝祖:工程力學(材 料力學) 31 解：1. 扭矩分析扭矩分析 例 5-2 R050 mm的的薄壁圓管，左、右薄壁圓管，左、右段的壁厚段的壁厚分別分別 為為 1 1 5 5 mm， 2 2 4 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， 50 MPa，試校核圓管強度試校核圓管強度。 單輝

18、祖:工程力學(材 料力學) 32 2. 強度校核強度校核危險截面危險截面： 1 2 0 2 R TA A 2 2 0 2 R TB B 截面截面 A與與 B MPa 6 .44 2 1 2 0 R ml MPa 9 .27 2 2 2 2 0 R ml 單輝祖:工程力學(材 料力學) 33 6 圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度計算 圓軸扭轉(zhuǎn)變形圓軸扭轉(zhuǎn)變形 圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件 例題例題 單輝祖:工程力學(材 料力學) 34 圓軸扭轉(zhuǎn)變形圓軸扭轉(zhuǎn)變形 p d d GI T x j j x xGI xT d )( )( d p j j x xGI xT l d )( )( p j j p GI T

19、l j j 扭轉(zhuǎn)變形一般公式 GIp圓軸圓軸截面扭轉(zhuǎn)剛度截面扭轉(zhuǎn)剛度，簡稱簡稱扭轉(zhuǎn)剛度扭轉(zhuǎn)剛度 常扭矩等截面圓軸 單輝祖:工程力學(材 料力學) 35 圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件 p d d GI T x j j max p GI T 圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件 單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角 注意單位換算注意單位換算: )/m( 180 m/rad 1 一般傳動軸，一般傳動軸， = 0.5 1 ( )/m 單輝祖:工程力學(材 料力學) 36 例例 題題 例 6-1 已知：已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3

20、105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa， = 0.5 ( )/m 。j jAC=? 校核軸的剛度校核軸的剛度 解：1. 變形分析變形分析 mN 180 1 A MTmN 140 2 C MT rad 101.50 2- p 1 GI lT AB j jrad 101.17 2- p 2 GI lT BC j j 單輝祖:工程力學(材 料力學) 37 BCABAC j jj jj j rad 1033010171101.50 2-2-2- . 2. 剛度校核剛度校核 p 1 1 d d GI T x j j p 2 2 d d GI T x j j 21 TT 因因 p 1 1ma

21、x d d d d GI T xx j jj j 故故 m/ )( 43. 0 180 )m1010Pa)(3.010(80 mN 180 d d 412-59 max j j x 注意單位換算！注意單位換算！ 單輝祖:工程力學(材 料力學) 38 例 6-2 試計算圖示圓錐形軸的扭轉(zhuǎn)角試計算圖示圓錐形軸的扭轉(zhuǎn)角 解： 32 )( )( 4 p xd xI MT l x x dd d G M 0 4 12 1 d 2 1 32 j j 3 2 3 1 12 11 )-(3 32 dd ddG Ml x l dd dxd 12 1 )( l x xGI T d )( p j j 單輝祖:工程力學

22、(材 料力學) 39 例 6-3 試求圖示軸兩端的支反力偶矩試求圖示軸兩端的支反力偶矩 解：1. 問題分析 (a) 0 , 0 MMMM BAx 未知力偶矩未知力偶矩2個，平衡方程個，平衡方程1個，一度靜不定個，一度靜不定 需要建立補充方程，才能求解需要建立補充方程，才能求解 單輝祖:工程力學(材 料力學) 40 2. 建立補充方程 0 CBACAB j jj jj j (b) 0 bMaM BA 3. 計算支反力偶矩 (a) 0 , 0 MMMM BAx 聯(lián)立求解方程聯(lián)立求解方程 (a) 與與 (b) ba Ma M ba Mb M BA ， p 1 GI aT AC j j p )( GI

23、 aM A p 2 GI bT CB j j p GI bMB 單輝祖:工程力學(材 料力學) 41 7 非圓截面軸扭轉(zhuǎn)簡介 矩形截面軸扭轉(zhuǎn)矩形截面軸扭轉(zhuǎn) 橢圓等截面軸扭轉(zhuǎn)橢圓等截面軸扭轉(zhuǎn) 例題例題 單輝祖:工程力學(材 料力學) 42 矩形截面軸扭轉(zhuǎn)矩形截面軸扭轉(zhuǎn) 圓軸平面假設(shè)不適用于非圓截面軸圓軸平面假設(shè)不適用于非圓截面軸 試驗現(xiàn)象 橫橫截面翹曲截面翹曲, 角點處角點處 g g 為零為零, 側(cè)面中點處側(cè)面中點處 g g 最大最大 單輝祖:工程力學(材 料力學) 43 應力分布特點 橫截面上角點處，切應力為零橫截面上角點處，切應力為零 橫截面邊緣各點處，切應力橫截面邊緣各點處，切應力 / 截

24、面周邊截面周邊 橫截面周邊長邊中點處，切應力最大橫截面周邊長邊中點處，切應力最大 0 21 0 21 故故 0 n 0 n 故故 單輝祖:工程力學(材 料力學) 44 彈性力學解 2 t max hb T W T max1 gg 3 t hbG Tl GI Tl j j 系數(shù)系數(shù) , , , , g g 表表 長邊中點長邊中點 最大最大 0.208 0.219 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333 0.141 0.166 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333 g g 1.000 0.930 0.859 0.