工程力學第11章(彎曲應力)

1、 中南大學土木建筑學院力學系中南大學土木建筑學院力學系 Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University 第十一章第十一章 彎曲應力彎曲應力 11-1 11-1 引言引言 橫力彎曲橫力彎曲 純彎曲純彎曲 梁橫截面上既有正應力又有切應力。梁橫截面上既有正應力又有切應力。 梁橫截面上只有正應力無切應力。梁橫截面上只有正應力無切應力。 0,( ) s FMM x 0, s FM 常數(shù)常數(shù) 11-2 11-2 截面（平面圖形）的幾何性質(zhì)截面（平面圖形）的

2、幾何性質(zhì) 一、截面的靜矩與形心一、截面的靜矩與形心 截面對截面對z軸的靜矩軸的靜矩 C d z A Sy Ay A C d y A Sz Az A 注意：注意：截面對某軸的靜矩為零，則該軸過截面形心；反之截面對某軸的靜矩為零，則該軸過截面形心；反之 ，軸過截面形心軸過截面形心，則則截面對該軸的靜矩為零。所以截面對形截面對該軸的靜矩為零。所以截面對形 心軸的靜矩恒等于零。心軸的靜矩恒等于零。 截面對截面對y軸的靜矩軸的靜矩 C d A z A z A C d A y A y A 二、慣性積二、慣性積 截面對截面對y、z軸的慣性積軸的慣性積 A d yz Iyz A 若若y、z軸中有一軸為截面的軸

3、中有一軸為截面的 對稱軸，則對稱軸，則 Iyz = 0 主慣性軸主慣性軸：Iyz0的一對的一對y、z軸。軸。 形心主（慣性）軸形心主（慣性）軸：Iyz0且都過形心且都過形心 的一對的一對y、z軸軸 三、慣性矩三、慣性矩 1.1.截面對軸的慣性矩截面對軸的慣性矩 截面對截面對z軸的慣性矩軸的慣性矩 2 A d z IyA 2 A d y IzA 慣性矩與極慣性矩的關(guān)系慣性矩與極慣性矩的關(guān)系 2 A dA 截面對截面對y軸的慣性矩軸的慣性矩 P I 22 A ()dzyA yz II 2.2.慣性半徑慣性半徑 22 , yyzz IAiIAi , y z yz I I ii AA , yz i i

4、分別稱為圖形對分別稱為圖形對y、z軸的慣性半徑。軸的慣性半徑。 3.3.常見截面對形心主軸慣性矩的計算常見截面對形心主軸慣性矩的計算 矩形截面矩形截面 （矩形截面高（矩形截面高h ，寬，寬b ，z軸過截面形心平行矩形底邊）軸過截面形心平行矩形底邊） z I 2 A dyA 2 2 2 ( d ) h h yb y 3 12 bh 3 12 z bh I 3 12 y hb I 類似地：類似地： 圓形截面圓形截面 （直徑為（直徑為d ，y y、z軸過圓心）軸過圓心） 4 64 yz d II dy y 222 yzR 22 22dddAz yRyy 44 2222 2 464 dd R z AR

5、 Rd IyAyRyy 類似地：類似地： 圓環(huán)截面圓環(huán)截面 （內(nèi)徑為（內(nèi)徑為d ，外徑為，外徑為D ，y y、z z軸過圓心）軸過圓心） 444 4 () (1) 6464 zy DdD II () d D 組合截面組合截面 2 A d z IyA 2 A1+A2+An dyA 12nzzz III n 1 yyi i II n 1 zzi i II 222 A1A2An dddyAyAyA 截面對軸的慣性矩等于該截面各部分對同一截面對軸的慣性矩等于該截面各部分對同一 軸的慣性矩之和。軸的慣性矩之和。 型鋼截面型鋼截面 可以查閱有關(guān)工程手冊（型鋼表）得到?？梢圆殚営嘘P(guān)工程手冊（型鋼表）得到。

6、四、平行移軸定理四、平行移軸定理 2 A d y IzA 2 C A () dzaA 22 CC AAA d2ddzAazAaA C 2 y Ia A 截面對任一坐標軸的慣性矩，等于對與其平行的形心截面對任一坐標軸的慣性矩，等于對與其平行的形心 軸的慣性矩加上截面面積與兩軸間距離平方之乘積。軸的慣性矩加上截面面積與兩軸間距離平方之乘積。 C 2 yy IIa A 類似地：類似地： C 2 zz IIb A c c yzy z IIab A C A d0zA （yC軸過形心）軸過形心） 例：例：計算圖示計算圖示T 形截面對其形心軸形截面對其形心軸yC 的慣性矩。的慣性矩。 解：解：確定形心軸的位

7、置，坐標系如圖確定形心軸的位置，坐標系如圖 截面對形心軸截面對形心軸yC的慣性矩的慣性矩 C (0.14 0.02) 0.08(0.1 0.02) 0 (0.14 0.02)(0.1 0.02) ii i A z z A CCC 12yyy III 32 1 0.02 0.14(0.080.0467)0.02 0.14 12 32 1 0.1 0.020.04670.02 0.1 12 64 12.12 10 m 0.0467m 11-3 11-3 對稱彎曲正應力對稱彎曲正應力 在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)作用一對等值反向的力偶，在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)作用一對等值反向的力偶， 梁處于純彎曲狀態(tài)。梁處于純彎曲

8、狀態(tài)。 一、純彎曲時的正應力一、純彎曲時的正應力 1.1.變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系 實驗現(xiàn)象實驗現(xiàn)象 (1)縱向線由直線變成曲線，且縱向線由直線變成曲線，且ab伸長、伸長、cd縮短?？s短。 (2)橫向線仍為直線，且仍垂直于變形后的軸線，但相對橫向線仍為直線，且仍垂直于變形后的軸線，但相對 其原方位有一微小的偏轉(zhuǎn)。其原方位有一微小的偏轉(zhuǎn)。 平面假設(shè)平面假設(shè) 變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變 形后的軸線，但繞截面的某一軸旋轉(zhuǎn)一個小角度。形后的軸線，但繞截面的某一軸旋轉(zhuǎn)一個小角度。 中性層中性層：在彎曲變形時梁中既：在彎曲變形時梁中既

9、不伸長也不縮短的一層不伸長也不縮短的一層 纖維纖維 中性軸中性軸：中性層與橫截面的交線。：中性層與橫截面的交線。 由于載荷作用于縱向?qū)ΨQ面由于載荷作用于縱向?qū)ΨQ面 內(nèi)，故中性軸內(nèi)，故中性軸z與橫截面對稱軸與橫截面對稱軸y 垂直。垂直。 距離中性層為距離中性層為y處的纖維處的纖維ab變形前長度變形前長度 12 ddabxO O ()da by 纖維縱向線應變?yōu)槔w維縱向線應變?yōu)?()dd d a babyy ab 距離中性層為距離中性層為y處的纖維處的纖維ab變形后長度變形后長度 變形規(guī)律變形規(guī)律 y 設(shè)中性層的曲率半徑為設(shè)中性層的曲率半徑為 變形規(guī)律：變形規(guī)律： 2.2.物理關(guān)系物理關(guān)系 E y

10、 y E 公式中中性層的曲率半徑公式中中性層的曲率半徑 未知，其與內(nèi)力、材料、截未知，其與內(nèi)力、材料、截 面的尺寸、形狀有關(guān)。面的尺寸、形狀有關(guān)。 P 時時 橫截面上正應力分布規(guī)律圖橫截面上正應力分布規(guī)律圖 x F0: A d0A A d E y A 0 z S 中性軸中性軸z必過截面形心，同時中性軸必過截面形心，同時中性軸z與截面縱向?qū)εc截面縱向?qū)?稱軸稱軸y垂直，故中性軸位置可確定。垂直，故中性軸位置可確定。y、z軸之交點為形軸之交點為形 心，心，x軸即為軸線，且軸線在中性層內(nèi)。軸即為軸線，且軸線在中性層內(nèi)。 3.3.靜力關(guān)系靜力關(guān)系 A d E y A z E S 0 (1) y MF(

11、)0: A d0A z A d E y A z 0 yz I y、z軸為截面的形心主慣性軸軸為截面的形心主慣性軸. . A d E yz A yz E I 0 (2) 2 A d E yA 1 z M EI A dA yM z MF()0: 抗彎剛度：截面抵抗抗彎剛度：截面抵抗 彎曲變形的能力彎曲變形的能力 A d E y A y z E I M (3) 純彎曲時正應力計算公式純彎曲時正應力計算公式 z M y I y E 1 z M EI 橫截面上的彎矩橫截面上的彎矩 橫截面對于中性軸的慣性矩橫截面對于中性軸的慣性矩 所求應力的所求應力的 點距中性軸的垂點距中性軸的垂 直距離直距離 上述公式

12、適用于任何截面形式的梁發(fā)生平面彎曲的情形。上述公式適用于任何截面形式的梁發(fā)生平面彎曲的情形。 z M y I 0:0,0 0,0 My y 0:0,0 0,0 My y 梁彎曲變形凸出一側(cè)為拉應力梁彎曲變形凸出一側(cè)為拉應力 凹入一側(cè)為壓應力凹入一側(cè)為壓應力 二、橫力彎曲時的正應力二、橫力彎曲時的正應力 1( ) ( ), ( ) M x MM x xEI 彎曲平面假設(shè)不成立彎曲平面假設(shè)不成立0 s F z M y I 應用時肯定有誤差，但誤差在允許范圍內(nèi)。應用時肯定有誤差，但誤差在允許范圍內(nèi)。 特別是對于細長梁，誤差更小。特別是對于細長梁，誤差更小。 橫力彎曲時正應力計算公式：橫力彎曲時正應力

13、計算公式： z M y I 三、最大彎曲正應力三、最大彎曲正應力 同一橫截面上距離中性軸最遠處正應力最大。同一橫截面上距離中性軸最遠處正應力最大。 max z z I W y maxmax z M y I max z M W 矩形截面矩形截面 實心圓截實心圓截 面面 空心圓截空心圓截 面面 2 6 z bh W 3 32 z d W 3 4 (1) 32 z D W 抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù) 例：例：圖所示懸臂梁，承受的集中力偶圖所示懸臂梁，承受的集中力偶M = 20kNm作用。梁作用。梁 采用采用No.18工字鋼，鋼的彈性模量工字鋼，鋼的彈性模量E = 200GPa。計算梁內(nèi)的最。計算梁內(nèi)的

14、最 大彎曲正應力與梁軸的曲率半徑。大彎曲正應力與梁軸的曲率半徑。 解：解：截面的彎矩截面的彎矩 20kN mM 查型鋼表查型鋼表 54 1.660 10 m z I 43 1.85 10 m z W 梁內(nèi)的最大彎曲正應力梁內(nèi)的最大彎曲正應力 3 max4 20 10 108.1MPa 1.85 10 z M W 梁軸的曲率半徑梁軸的曲率半徑 95 3 200 101.660 10 166m 20 10 z EI M 例：例：寬度寬度b = 6mm、厚度、厚度= 2mm的鋼帶環(huán)繞在直徑的鋼帶環(huán)繞在直徑D = 1400mm的帶輪上，已知鋼帶的彈性模量為的帶輪上，已知鋼帶的彈性模量為E = 200G

15、Pa。試求鋼帶。試求鋼帶 內(nèi)的最大彎曲正應力與鋼帶承受的彎矩。內(nèi)的最大彎曲正應力與鋼帶承受的彎矩。 解：解：鋼帶的變形狀態(tài)同彎曲，其軸線的曲率半徑鋼帶的變形狀態(tài)同彎曲，其軸線的曲率半徑 3 1.42 10 0.701m 2222 D 橫截面離中性軸最遠距離橫截面離中性軸最遠距離 3 3 max 2 10 1.0 10 m 22 y 3 9max max 1 10 200 10285MPa 0.701 y E 1 z M EI 9312 200 106 210 1.414N m 12 0.701 z EI M 11-4 11-4 對稱彎曲切應力對稱彎曲切應力 一、矩形截面梁的彎曲切應力一、矩形截

16、面梁的彎曲切應力 假設(shè)假設(shè) (1)(1)橫截面上各點切應力方向平行于剪力橫截面上各點切應力方向平行于剪力. . (2) (2)切應力沿截面寬度均勻分布。切應力沿截面寬度均勻分布。 ( )y * * N111 AAA ddd z zzz MSMM FAyAyA III 左左 *N211 AAA * dd ddd (d) zz z z MMMM FAyAyA II MM S I 右右 左右兩個左右兩個 面上由正應力面上由正應力 引起的軸力：引起的軸力： 頂面有切向力頂面有切向力 * SN2N1 d dd z z SM FFFb x I * S d d zz zz SF SM x bIbI 由切應力

17、互等定理由切應力互等定理 * Sz z F S bI S ddb x F N2N1S 0,d0 x FFFF 矩形截面矩形截面 22 * 2 4 (1) 8 z bhy S h 切應力沿截面高度拋物線分布切應力沿截面高度拋物線分布 SS max 33 22 FF bhA 最外緣處切應力等于零最外緣處切應力等于零 中性軸處切應力最大中性軸處切應力最大 2 S 2 2 2 3 () 24 4 (1) 2 S z Fy bh h h F y I * Sz z F S bI 二、工字形截面梁的彎曲切應力二、工字形截面梁的彎曲切應力 1.1.腹板的切應力腹板的切應力 * Sz z F S I 2222S

18、 0 ()(4) 8 z F b hhhy I 最大切應力在中性軸上最大切應力在中性軸上 腹板內(nèi)切應力沿高度拋腹板內(nèi)切應力沿高度拋 物線分布物線分布 最小切應力在腹板與翼緣最小切應力在腹板與翼緣 的交界處的交界處 2.2.翼緣的切應力翼緣的切應力 翼緣部分切應力分布復雜且數(shù)值很小，一般不作翼緣部分切應力分布復雜且數(shù)值很小，一般不作 計算，認為翼緣主要承受截面的彎矩。計算，認為翼緣主要承受截面的彎矩。 * 22SmaxS max0 () 8 z zz F SF bhbh II 22S min0 8 z F bhbh I S F A 腹板的面積腹板的面積 腹板厚度腹板厚度 遠小于翼緣寬度遠小于翼緣

19、寬度 b 時，時， ， ，可認為腹板上的切應力均勻分布，可認為腹板上的切應力均勻分布 b-b- b b maxminmaxmin 三、圓形、環(huán)形截面梁的彎曲切應力三、圓形、環(huán)形截面梁的彎曲切應力 max 4 3 S F A max 2 S F A 圓形截面：圓形截面： 環(huán)形截面：環(huán)形截面： 例：例：圖所示矩形截面懸臂梁承受均布載荷圖所示矩形截面懸臂梁承受均布載荷q作用，比作用，比 較梁的最大正應力與最大切應力。較梁的最大正應力與最大切應力。 解：解：梁的最大剪力、最大彎矩為梁的最大剪力、最大彎矩為 Smax Fql 2 max 2 ql M 22 max max22 /23 /6 z Mqlq

20、l Wbhbh Smax max 33 22 Fql Abh max max 2( ) l h 11-5 11-5 梁的彎曲強度條件梁的彎曲強度條件 一、彎曲正應力強度條件一、彎曲正應力強度條件 maxmax () z M W max 對于塑性材料的等直梁：對于塑性材料的等直梁： max max z M W 對于塑性材料的變截面梁：對于塑性材料的變截面梁： 對于脆性材料的梁：對于脆性材料的梁： maxmax , tc tc 確定危險截面：充分考慮彎矩、截面尺寸確定危險截面：充分考慮彎矩、截面尺寸 、材料。、材料。 當材料抗拉、抗壓強度不同（如當材料抗拉、抗壓強度不同（如脆性材料脆性材料）時，應

21、分別進）時，應分別進 行抗拉、抗壓的強度計算。行抗拉、抗壓的強度計算。 對于等直梁，當中性軸為截面對稱軸時，危險截面在對于等直梁，當中性軸為截面對稱軸時，危險截面在 max M 當中性軸不為截面對稱軸時，當中性軸不為截面對稱軸時， 危險截面在危險截面在 maxmax /MM 處；處； 處（兩個截面）。處（兩個截面）。 根據(jù)梁的正應力強度條件可討論三類強度問題根據(jù)梁的正應力強度條件可討論三類強度問題 （強度校核、截面尺寸設(shè)計、許可載荷確定強度校核、截面尺寸設(shè)計、許可載荷確定）。具體）。具體 計算時應注意以下幾點：計算時應注意以下幾點： 例：例：圖示圓截面軸圖示圓截面軸AD，中段，中段BC承受均布

22、載荷承受均布載荷q = 10kN/m 作用，材料許用應力作用，材料許用應力=140MPa。試確定軸徑。試確定軸徑。 解：解： 確定支座約束力，作彎矩圖確定支座約束力，作彎矩圖 yy FF AD 7kN 確定軸徑確定軸徑 AB、CD段最大彎矩段最大彎矩 M12.1kN m 確定確定AB、CD段軸徑段軸徑 11 1max3 11 32 z MM dW M d 3 1 3 3 1 6 3232 2.1 10 0.012m 140 10 Ay FDy F 確定確定BC段軸徑段軸徑 22 2max3 22 32 z MM dW M d 3 2 3 3 2 6 3232 4.55 10 0.018m 14

23、0 10 BC段最大彎矩段最大彎矩 M24.55kN m 例：例：T 形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖示。鑄鐵的抗形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖示。鑄鐵的抗 拉許用應力為拉許用應力為 t = 30MPa，抗壓許用應力為，抗壓許用應力為 c = 160MPa， 試校核梁的強度。試校核梁的強度。 解：解： 求支座約束力，作彎矩圖求支座約束力，作彎矩圖 A( )0:MF B 9 124 30 y F 0: y F AB 940 yy FF 解得：解得： A 2.5kN y F B 10.5kN y F 截面幾何性質(zhì)截面幾何性質(zhì) 形心位置形心位置 C 80 20 1020 120 80 52mm 8

24、0 2020 120 ii i A y y A 1 52mmy 2 88mmy 截面對中性軸的慣性矩截面對中性軸的慣性矩 33 22 80 2020 120 4280 202820 120 1212 c z I 4 7630000mm z C () C y C 強度校核強度校核 最大拉應力校核，最大拉應力校核，B截面上邊緣和截面上邊緣和C截面下邊緣可能是最大拉應截面下邊緣可能是最大拉應 力發(fā)生位置力發(fā)生位置 C截面截面 B截面截面 33 B1 tmaxt12 4 1052 10 27.2MPa 7630000 10 c z M y I 33 C2 tmaxt12 2.5 1088 10 28.

25、8MPa 7630000 10 c z M y I C截面應截面應 力分布圖力分布圖 B截面應截面應 力分布圖力分布圖 最大壓應力校核，最大壓應力發(fā)生在最大壓應力校核，最大壓應力發(fā)生在B截面下邊緣各點截面下邊緣各點 33 B2 cmaxc12 4 1088 10 46.2MPa 7630000 10 c z M y I B截面截面 所以此梁的強度滿足要求。所以此梁的強度滿足要求。 B截面應截面應 力分布圖力分布圖 例：例：單梁吊車跨度單梁吊車跨度l = 10.5m，由，由No.45a工字鋼制成，材料的工字鋼制成，材料的 =140MPa 。 試計算能否起吊試計算能否起吊F = 85kN的重物；的

26、重物； 若不能，若不能， 則在上下翼緣各焊接一塊則在上下翼緣各焊接一塊10010的鋼板，鋼板長的鋼板，鋼板長a = 7m，再校核，再校核 其強度；其強度； 求加固鋼板的經(jīng)濟安全長度。求加固鋼板的經(jīng)濟安全長度。 解：解： 校核未加固梁的強度校核未加固梁的強度 當小車位于梁的中點時，在當小車位于梁的中點時，在 梁的中點位置處彎矩最大梁的中點位置處彎矩最大 查型鋼表查型鋼表 63 1430 10 m z W 3 max max6 223 10 155.9MPa 1430 10 z M W 所以此梁不能起吊所以此梁不能起吊F = 85kN的重物。的重物。 max 85 10.5 223kN m 44

27、Fl M 校核加固梁的強度校核加固梁的強度 加固處截面強度校核加固處截面強度校核 3 4284 100 10 32240 102 (100 10 230 )4.282 10 mm 12 z I 8 63 max 4.282 10 1.822 10 mm 22510 z z I W y 當小車位于梁的中點時，在梁的中點位置處彎矩最大當小車位于梁的中點時，在梁的中點位置處彎矩最大 max 85 10.5 223kN m 44 Fl M 3 max max 6 223 10 122.5MPa 1822 10 z M W 未加固處截面強度校核未加固處截面強度校核 設(shè)加固鋼板長度為設(shè)加固鋼板長度為a，當

28、小車作用在梁中點位置處，當小車作用在梁中點位置處，未加固未加固 截面截面的最大彎矩的最大彎矩 F la Mmax () 4 當小車作用在加固鋼板邊緣處，當小車作用在加固鋼板邊緣處，未加固截面未加固截面的最大彎矩的最大彎矩 22 max ()()() 44 F la laF la M ll 所以未加固截面的最大彎矩所以未加固截面的最大彎矩 2222 max ()85 (10.57 ) 124kN m 44 10.5 F la M l MM maxmax M max 124kN m 未加固截面未加固截面 63 1430 10 m z W z M W 3 max max 6 124 10 86.7M

29、Pa 1430 10 所以加固以后該梁是安全的。所以加固以后該梁是安全的。 計算加固鋼板的經(jīng)濟安全長度，設(shè)加固鋼板為計算加固鋼板的經(jīng)濟安全長度，設(shè)加固鋼板為x zz MF lx WlW 22 max max () 4 2 4 z lW xl F 66 2 3 4 10.5 140 101430 10 10.53.36m 85 10 二、彎曲切應力強度條件二、彎曲切應力強度條件 max 不同截面形式的不同截面形式的等直梁等直梁，其最大切應力計算公式：，其最大切應力計算公式： 矩形截面：矩形截面： 工字型截面：工字型截面： 圓形截面：圓形截面： 環(huán)形截面：環(huán)形截面： max max 3 2 s F

30、 A max max 4 3 s F A max max 2 s F A * SmaxS maxmax max * max z z z z FSF I I S 注意：注意：若為變截面梁，若為變截面梁， 則還要考慮截面尺寸對最大則還要考慮截面尺寸對最大 切應力的影響切應力的影響 一般情況下，梁的強度主要由正應力控制，切應一般情況下，梁的強度主要由正應力控制，切應 力一般會滿足要求，但以下情況必須復核切應力強度：力一般會滿足要求，但以下情況必須復核切應力強度： 1. 1.梁的最大彎矩較小，而最大剪力卻很大時（粗短梁、梁的最大彎矩較小，而最大剪力卻很大時（粗短梁、 支座附近有很大集中力作用）。支座附

31、近有很大集中力作用）。 3. 3.各向異性材料（木梁順紋、組合截面梁膠粘層抗剪各向異性材料（木梁順紋、組合截面梁膠粘層抗剪 強度計算）。強度計算）。 2. 2.在焊接或鉚接的組合截面鋼梁中，橫截面腹板部分在焊接或鉚接的組合截面鋼梁中，橫截面腹板部分 的寬度與梁高之比小于型鋼截面的相應比值。的寬度與梁高之比小于型鋼截面的相應比值。 例：例：圖示起重機梁用工字鋼制成，已知荷載圖示起重機梁用工字鋼制成，已知荷載F = 20kN，并可沿，并可沿 梁軸移動，梁的跨度梁軸移動，梁的跨度l = 6m，許用正應力，許用正應力 = 100MPa，許用切應力，許用切應力 = 60MPa。試選擇工字鋼型號。試選擇工

32、字鋼型號。 解：解： 按梁彎曲正應力強度條件初步選擇工字鋼型號按梁彎曲正應力強度條件初步選擇工字鋼型號 當小車位于梁的中點時，在梁的中點位置處彎矩最大當小車位于梁的中點時，在梁的中點位置處彎矩最大 max 20 6 30kN m 44 Fl M max max z M W z M W 3 43 max 6 30 10 3.0 10 m 100 10 查型鋼表選擇查型鋼表選擇No.22a工字鋼工字鋼 查型鋼表選擇查型鋼表選擇No.22a工字鋼工字鋼 * max 0.189m z z I S 7.5mm 按梁彎曲切應力強度條件復核初步選擇的工字鋼型號按梁彎曲切應力強度條件復核初步選擇的工字鋼型號

33、當小車位于支座位置時，在此位置剪力最大當小車位于支座位置時，在此位置剪力最大 Smax 20kNFF *3 Smaxmax max3 20 10 14.11MPa 7.5 100.189 z z FS I 所以選擇工字鋼滿足彎曲正應力和彎曲切應力強度條件。所以選擇工字鋼滿足彎曲正應力和彎曲切應力強度條件。 例：例：圖示左端嵌固，右端用螺栓聯(lián)結(jié)的懸臂梁，在自由端作圖示左端嵌固，右端用螺栓聯(lián)結(jié)的懸臂梁，在自由端作 用一集中力用一集中力F。不考慮上下層梁的摩擦，試分析螺栓的受力。不考慮上下層梁的摩擦，試分析螺栓的受力。 解：解：螺栓聯(lián)結(jié)后，兩根梁看成一個整體（高螺栓聯(lián)結(jié)后，兩根梁看成一個整體（高2a

34、，寬，寬b）在）在F 作用下整體彎曲，兩根梁的接觸面相當于整個梁的中性層作用下整體彎曲，兩根梁的接觸面相當于整個梁的中性層 各橫截面中性軸處切應力各橫截面中性軸處切應力 S 333 22 24 FFF Aabab 中性層面上切應力中性層面上切應力 3 4 F ab 中性層面上的剪力中性層面上的剪力 S 33 44 FblFl Fbl aba 實際中性層間的剪力完全由螺栓承受，所以螺栓受剪力實際中性層間的剪力完全由螺栓承受，所以螺栓受剪力 S 3 4 Fl F a 中性層面上切應力中性層面上切應力 3 4 F ab 11-6 11-6 梁的合理強度設(shè)計梁的合理強度設(shè)計 一、梁的合理截面形狀一、梁

35、的合理截面形狀 1. 1. 合理的截面形狀應該是截面面積較小，抗彎截合理的截面形狀應該是截面面積較小，抗彎截 面系數(shù)較大。面系數(shù)較大。 定量分析定量分析 矩形矩形 2 1 6 z bh W 3 2 6 z a W 3 3 32 z d W 1 2 1 z z Wh Wa 矩形比方形合理矩形比方形合理 2 3 1 z z W W 方形比圓形合理方形比圓形合理 方形方形圓形圓形 假設(shè)矩形、方形和圓形的面積相同，即：假設(shè)矩形、方形和圓形的面積相同，即： 2 2 4 d bha max max z M w 定性分定性分 析析 Wz 與截面面積對于中性軸的分布有關(guān)。材料分與截面面積對于中性軸的分布有關(guān)。

36、材料分 布越遠離中性軸，截面的布越遠離中性軸，截面的Wz 越大。越大。 梁橫截面上正應力沿高度線性分布，中性軸附梁橫截面上正應力沿高度線性分布，中性軸附 近正應力值很小，該處的材料未發(fā)揮作用，可以將近正應力值很小，該處的材料未發(fā)揮作用，可以將 材料移置距中性軸較遠處，使之充分利用。材料移置距中性軸較遠處，使之充分利用。 2.2.考慮材料的特性來選擇截面的合理形狀考慮材料的特性來選擇截面的合理形狀 抗拉和抗壓強度相等的材料，宜采用中性軸為抗拉和抗壓強度相等的材料，宜采用中性軸為 對稱軸的截面（如矩形、工字形、圓形等）。對稱軸的截面（如矩形、工字形、圓形等）。 抗拉和抗壓強度不相等的材料，宜采用中

37、性軸抗拉和抗壓強度不相等的材料，宜采用中性軸 偏向一側(cè)（許用應力較小的一側(cè)）的截面，使偏向一側(cè)（許用應力較小的一側(cè)）的截面，使 y1 和和 y2 之比接近于下列關(guān)系之比接近于下列關(guān)系 t tmaxmax1max21 cmax2c ()/() zz MyMyy IIy 例：例：圖示梯形截面承受正彎矩作用。已知材料的許用拉應圖示梯形截面承受正彎矩作用。已知材料的許用拉應 力力 t=45MPa，許用壓應力許用壓應力 c=80MPa ，為使梁重量最輕，為使梁重量最輕， 試確定截面的頂邊寬度試確定截面的頂邊寬度a 與底邊寬度與底邊寬度b 的最佳比值。的最佳比值。 解：解：截面形心距底邊距離是截面形心距底

38、邊距離是 C (2) 3() hab y ab 為使截面合理，滿足下列條件為使截面合理，滿足下列條件 6 c C 6 Ct 80 10 45 10 hy y 解得：解得： C 9 25 h y 2 23 a b 二、變截面梁和等強度梁二、變截面梁和等強度梁 1.1.變截面梁變截面梁 2.2.等強度梁等強度梁 ( ) ( ) z M x Wx 改變截面尺寸，使抗彎截面系數(shù)隨彎矩而變化。改變截面尺寸，使抗彎截面系數(shù)隨彎矩而變化。 變截面梁各橫截面的最大正應力都等于許用應力。變截面梁各橫截面的最大正應力都等于許用應力。 例：例：圖示集中力圖示集中力F 作用下的簡支梁，截面為矩形，設(shè)寬作用下的簡支梁，

39、截面為矩形，設(shè)寬 度度b 不變，設(shè)計等強度梁。不變，設(shè)計等強度梁。 解：解： 2 ( )( ) ( ) 62 z bhxM xFx Wx 3 ( ) Fx h x b 在支座附近，按切應力強度條件確定截面最小高度在支座附近，按切應力強度條件確定截面最小高度 S max 33 24 FF Abh 3 4 F h b 三、梁的合理受力三、梁的合理受力 1.1.合理布置梁的支座合理布置梁的支座 2.2.盡量將載荷分散作用盡量將載荷分散作用 11-7 11-7 平面彎曲組合平面彎曲組合 斜彎曲斜彎曲 彎矩作用平面與慣性主軸平面不重合的彎曲。彎矩作用平面與慣性主軸平面不重合的彎曲。 外力都作用在通過梁軸

40、外力都作用在通過梁軸 線的兩個不同的主軸平面內(nèi)線的兩個不同的主軸平面內(nèi) 外力作用在通過軸線外力作用在通過軸線 的非慣性主軸平面內(nèi)的非慣性主軸平面內(nèi) 斜彎曲為若干平面彎曲的組合變形斜彎曲為若干平面彎曲的組合變形 一、內(nèi)力與應力的計算一、內(nèi)力與應力的計算 cos y FF sin z FF xy平面內(nèi)的彎曲，中性軸為平面內(nèi)的彎曲，中性軸為z xz平面內(nèi)的彎曲，中性軸為平面內(nèi)的彎曲，中性軸為y zy MFx yz MFx 任意截面任意截面x上的內(nèi)力上的內(nèi)力 ( xy平面內(nèi)的彎曲平面內(nèi)的彎曲 ) ( xz平面內(nèi)的彎曲）平面內(nèi)的彎曲） zy MFx yz MFx 任取截面任取截面x上任意點，坐標為上任意

41、點，坐標為 (z , ,y) y z yz M zM y II y y M z I z z M y I y z yz M zM y II 中性軸方程中性軸方程 0 y z yz M zM y II 二、最大正應力與強度條件二、最大正應力與強度條件 設(shè)危險截面上危險點（正應力最大點）的坐標為設(shè)危險截面上危險點（正應力最大點）的坐標為(z0 , ,y0) 0 0 maxmax () y z yz M zM y II 1.1.矩形截面矩形截面 0 0 maxmax () y z yz M zM y II max () y z yz MM WW maxmax () y z yz MM WW 2.2.圓

42、截面圓截面 22 maxmaxmax ()() yz MM M WW 22 maxmaxmax ()() yz MM M WW 正應力分布規(guī)律同前，離中性軸最遠的點應力最正應力分布規(guī)律同前，離中性軸最遠的點應力最 大。對于圓形截面兩個最大正應力值的位置不重合在大。對于圓形截面兩個最大正應力值的位置不重合在 一點，但圓截面對于任意直徑軸的抗彎截面系數(shù)是一一點，但圓截面對于任意直徑軸的抗彎截面系數(shù)是一 樣的，同時有一根直徑軸必為截面中性軸，所以截面樣的，同時有一根直徑軸必為截面中性軸，所以截面 的最大正應力可求出截面的合彎矩后采用上述公式計的最大正應力可求出截面的合彎矩后采用上述公式計 算。算。

43、例：例：圖所示一矩形截面懸臂梁，截面寬度圖所示一矩形截面懸臂梁，截面寬度b = 90mm ，高，高 度度h = 180mm ，在兩個不同的截面處分別承受水平力，在兩個不同的截面處分別承受水平力F1和鉛和鉛 垂力垂力F2。已知。已知F1 = 800N ，F(xiàn)2 = 1650N ，l = 1m ，求梁內(nèi)的最，求梁內(nèi)的最 大正應力并指出其作用位置。大正應力并指出其作用位置。 max max tmax y z yz MM WW 9.98MPa max max cmax ()9.98MPa y z yz MM WW 解：解：經(jīng)分析固定端處經(jīng)分析固定端處A 點拉點拉 應力最大，應力最大，B 點壓應力最大點壓

44、應力最大 12 22 2 /6/6 F lF l hbbh 2929 2 800 11650 1 180 9010/690 18010/6 例：例：圖示吊車梁，跨度圖示吊車梁，跨度l = 4m ，用，用No.20a 工字鋼制成。當起工字鋼制成。當起 吊時，由于被吊物體位置偏斜，致使載荷偏離梁截面的鉛垂對稱吊時，由于被吊物體位置偏斜，致使載荷偏離梁截面的鉛垂對稱 軸。若載荷軸。若載荷F = 20kN ，偏斜角，偏斜角=5o，試計算梁內(nèi)的最大彎曲正應，試計算梁內(nèi)的最大彎曲正應 力。力。 解：解：當載荷位于梁中點時，梁截面的彎矩當載荷位于梁中點時，梁截面的彎矩My 、Mz 在中點位在中點位 置同時有

45、最大值置同時有最大值 3o max 20 10sin54 1743N m 44 z y F l M 3o max 20 10cos54 1992N m 44 y z F l M 查型鋼表查型鋼表 43 3.15 10 mm y W 53 2.37 10 mm z W max max max y z yz MM WW 4959 17431992 3.15 10102.37 1010 139.4MPa 11-8 11-8 彎拉（壓）組合彎拉（壓）組合 軸向力與橫向力同時作用軸向力與橫向力同時作用 拉（壓）與彎曲的組合拉（壓）與彎曲的組合 不通過截面形心的縱向不通過截面形心的縱向 力，即偏心拉伸與壓

46、縮力，即偏心拉伸與壓縮 一、軸向力與橫向力同時作用引起的彎拉（壓）組合一、軸向力與橫向力同時作用引起的彎拉（壓）組合 1.1.內(nèi)力與應力的計算內(nèi)力與應力的計算 軸向力軸向力 N F 橫向力橫向力 S F M （對實心截面引起切應力很小，忽略）（對實心截面引起切應力很小，忽略） N N F A M z M y I N NM z FM y AI 2.2.最大正應力與強度條件最大正應力與強度條件 軸力為拉力軸力為拉力 Nmax tmax z FM AW Nmax cmax z FM AW 軸力為壓力軸力為壓力 Nmax cmax z FM AW Nmax tmax z FM AW 危險點為單向應力狀

47、態(tài)（忽略彎曲切應力），強度危險點為單向應力狀態(tài)（忽略彎曲切應力），強度 條件：條件： tmaxt cmaxc 二、偏心載荷引起的彎拉（壓）組合二、偏心載荷引起的彎拉（壓）組合 1.1.內(nèi)力與應力的計算內(nèi)力與應力的計算 偏心力偏心力F 向截面形心平移向截面形心平移 N FF yz MF e zy MF e F z F e y F e N y z zy MzMy F AII 軸力為壓力軸力為壓力 N cmax 66 yy zz yz MFeMFe FF AWWAAhAb 66 (1) y z ee F Abh 66 (1) y z ee F Abh N tmax 66 yy zz yz MFeMFe FF AWWAAhAb 2.2.最大正應力與強度條件最大正應力與強度條件 矩形截面矩形截面 軸力為拉力軸力為拉力 N tmax 66 yy zz yz MFeMFe FF AWWAAhAb cmax