第四章 傅立葉分析

1、 第四章 傅立葉分析 第四章 傅立葉分析 期望、 均方值 幅值域 方差、 標準差 (聯(lián)合)概率密度函數(shù) (聯(lián)合)概率分布函數(shù) 時差域 頻域： 應(yīng)用傅立葉分析手段 自相關(guān)函數(shù) 互相關(guān)函數(shù) n4.1 傅立葉級數(shù) n4.2 傅立葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式 n4.3 傅立葉變換及其性質(zhì) n4.4 函數(shù)及其性質(zhì) n4.5 幾個常用函數(shù)的傅立葉變換 (1) 0 00 1 ( )(cossin) 2 nn n a x tantbnt 4.1 4.1 傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù) 一個周期為T 的周期信號x(t) ,只要在其周期內(nèi) 滿足狄利克雷條件，都可展成傅立葉級數(shù)的形式 狄氏條件： （1）函數(shù)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點

2、（2）函數(shù)只有有限個極值點 /2 0 /2 2 ( )cos T n T ax tntdt T /2 0 /2 2 ( )sin T n T bx tntdt T 2 2 0 )( 2 T T dttx T a (2) 式中0=2/T 稱為基頻 (1) 0 00 1 ( )(cossin) 2 nn n a x tantbnt 信號x(t)的另一種形式的傅里葉級數(shù)表達式為 式中 0 0 1 ( )cos() 2 nn n a x tAnt 22 () nnn n n n Aab b arctg a T 2 0 )cos( 101 tA 基頻 基波 )cos( 0nn tnA諧波 (3) 以 n

3、0為橫坐標，分別畫出代表an 和 bn 或 An 和n的豎向線的變化，所得圖形稱為信號x(t)的 頻譜圖。 例1: 求圖示周期方波信號x(t) 的傅里葉級數(shù)展開。 解：信號x(t)在它的一個周 期中的表達式為： 1,0 2 ( ) 1,0 2 T t x t T t 根據(jù)式(2)有： /2 0 /2 0/2 00 /20 0/2 0/200 00 2 ( )sin 2 ( 1)sinsin 211 cos( cos) 2 1 cos 4 ,1,3,5, 0,2,4,6 T n T T T T T bx tntdt T ntdtntdt T ntnt Tnn n n n n n 0 n a 0=

4、2/T 000 411 ( )(sinsin3sin5) 35 x tttt 所以根據(jù)式(1)，便可得圖示周期方波信號的傅里 葉級數(shù)表達式為： 其幅值譜如下圖所示: T 2 0 基頻 0 000 11 ( )(cossin)sin 2 nnn nn a x tantbntbnt 項數(shù)增加時逼近x (t) 的情況 4.2 傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式 根據(jù)歐拉公式： 把它們代入式(1) 11 cos(), sin(), 22 j tj tj tj t teetee j (1) 0 00 1 ( )(cossin) 2 nn n a x tantbnt cos()sin() j t etjt cos()

5、sin() j t etjt 令 0000 0 1 11 ( )()() 222 jntjntjntjnt nn n a x ta eeb ee j 0 0 11 (),(), 222 nnnnnn a CajbCajbC 11 cos(), sin(), 22 j tj tj tj t teetee j 0 00 1 ( )(cossin) 2 nn n a x tantbnt 得： 00 0 1 11 ( )()() 222 jntjnt nnnn n a x tajb eajb e 公式可以重寫為公式可以重寫為 或或 00 0 11 ( )1,2,3 jntjnt nn nn x tCC

6、 eC en 0 ( )0, 1, 2, jnt n n x tC en 0 0 11 (),(), 222 nnnnnn a CajbCajbC 00 0 1 11 ( )()() 222 jntjnt nnnn n a x tajb eajb e 復(fù)振幅的確定： 22 00 22 22 2( )cos( )sin TT nnn TT Cajbx tntdtjx tntdt TT 0 2 00 2 2 2 2 ( )(cossin) 2 ( ) T T T jnt T x tntjnt dt T x t edt T 0 2 2 1 ( ) T jnt n T Cx t edt T 故： 1

7、() 2 nnn Cajb 0 2 2 1 ( ) T jnt n T Cx t edt T dttx T C T T 2 2 0 )( 1 已得： 同理由： 0 2 2 1 ( ) T jnt n T Cx t edt T 將以上三式歸納到一起： 0 2 2 1 ( ) T jnt n T Cx t edt T 2, 1, 0n 1 () 2 nnn Cajb 0 0 2 a C 0 ( )0, 1, 2, jnt n n x tC en 傅立葉級數(shù)兩種形式之間的關(guān)系（閱讀） （1）傅立葉級數(shù)的兩種表現(xiàn)形式，在本質(zhì)上是一樣 的，有時采用復(fù)數(shù)形式比較方便。n階諧波在實數(shù) 形式中的表達式和在復(fù)數(shù)

8、形式中的表達式等價 （2）n階諧波的幅值在實數(shù)形式中為 在復(fù)數(shù)形式中的復(fù)振幅為 tjn n tjn nnn eCeCtnbtna sincos 22 nnn baA )( 2 1 nnn jbaC )( 2 1 nnn jbaC )( 4 1 22 2 nnn baC 22 2 1 nnn baC 22 nnn baA ) 2 1 22 nnn baC 復(fù)振幅的模正好為 實振幅模的一半 3、在實數(shù)形式中，n階諧波的幅值、相角的圖形： 其中幅值為 ，相角為 22 nnn baA n n n a b 1 tan n階諧波的幅值相角圖 n階諧波的實數(shù)表示 可以看成一 個以角頻率 旋轉(zhuǎn)的向量在橫坐標上

9、的投影。 當(dāng)t0時，其大小為： )cos( nn tnA n nn n nn n n nnn a ba a ba a b AA 22 22 1 )cos(tan)cos( )cos( nn tnA tnbtna nn sincos )cos( nn tnA n階諧波的復(fù)數(shù)表示為： tjn n tjn n eCeC n階諧波的復(fù)數(shù)表示為： tjn n tjn n eCeC 它是以n（逆時針）和n（順時針）以相反 方向旋轉(zhuǎn)的兩個向量Cn和C-n的向量和。 t0時，其向量和也是an n階諧波的 復(fù)數(shù)表示 共軛復(fù)數(shù)的實部都是 ，虛部分別為 2 n a 2 n a 2 n b 2 n b n j nn

10、eCC n j nn eCC 2 n nn A CC 此外，復(fù)數(shù)形式還可以表示為： )( 2 1 nnn jbaC )( 2 1 nnn jbaC 兩個向量Cn和C-n模相等，相角差一負號 4.3 傅立葉變換及其性質(zhì) 傅立葉級數(shù)是針對周期函數(shù)進行的分析，隨機信號 均為非周期函數(shù)。對于非周期函數(shù)，一般可以看成 是由周期為T的函數(shù)，當(dāng)T趨于無窮時轉(zhuǎn)化而來。 其中其中 (a) (b) 4.3.1 非周期信號的頻域描述 設(shè)x(t)為(-T/2,T/2)區(qū)間上的一個周期函數(shù)，則它可表 示為傅里葉級數(shù)的形式： 0 ( ) jnt n n x tC e 0 /2 /2 1 ( ) T jnt n T Cx

11、t edt T 將式(b)代入式(a)可得 (c) 00 /2 /2 1 ( )( ) T jntjnt T n x tx t edt e T 顯然，當(dāng)T時，區(qū)間(-T/2,T/2)變成(-, )，且 頻率間隔=0=2/T為無窮小量，離散頻率n0變 成連續(xù)頻率 d/2=1/T (a) (b) 0 ( ) jnt n n x tC e 0 /2 /2 1 ( ) T jnt n T Cx t edt T 將式(d)中括號內(nèi)的積分記為 則有則有 由式(c)得到 ( )( ) 2 1 ( ) 2 j tj t j tj t d x tx t edt e x t edt ed (e) ( )( ) j

12、 t Xx t edt (f) 1 ( )( ) 2 j t x tXed (d) (c) 00 /2 /2 1 ( )( ) T jntjnt T n x tx t edt e T x(t) 和X()之間的這種關(guān)系經(jīng)常表示如下： ( )( )x tX 將X()稱為x(t)的傅里葉變換， 將x(t)稱為X()的傅里葉逆變換。 若將上述變換公式中的角頻率用頻率f來替代，則 由于=2f，式(e)和(f)分別為 (g) 2 ( )( ) jft X fx t edt (h) 2 ( )( ) jft x tX f edf (e) ( )( ) j t Xx t edt (f) 1 ( )( ) 2

13、j t x tXed =2f 1). 從公式(e)和(f)易知,與周期函數(shù)的情況不同,非周 期函數(shù)的頻譜是連續(xù)的而不是離散的。 2) X(f)一般為實變量f的復(fù)函數(shù)，故可寫為如下形式 () ( )( ) jf X fX fe |X(f)|或|X()|稱為非周期信號x(t)的幅值譜，(f)或 ()稱為x(t)的相位譜。 圖示矩形脈沖函數(shù)（又稱窗函數(shù)）的解析表達式為 1, ( )2 0, T T t gt 其它 求其頻譜 ) 2 sin( 2)( 1 )()( 2/2/ 2 2 T ee j dtedtetgG TjTj T T tjtj TT ) 2 sin( 2)( T GT T n n TT

14、 2 2 0) 2 sin( 注意：不是所有的非周期函數(shù)都能進行傅氏變換， 只有滿足絕對可積的函數(shù)才能進行傅氏變換，傅 氏變換的條件： dttf)( 4.3.2 傅里葉變換的性質(zhì) 1.線性 2.對稱性 5.尺度變換性 3.奇偶性 4. 時域平移定理 6. 時域微分定理 8. 帕塞瓦爾定理 （能量積分） 7. 時域積分定理 1. 線性 如果 11 ( )( )x tX 則 1212 ( )( )( )( )ax tbx taXbX 22 ( )( )x tX 2.對稱性(閱讀） ( )( )x tX 則 ( )2()X tx 如已知x(t)的傅氏變緩X() ，則信號X(t) 的傅 氏變換可以立即

15、得到，而不需要重新計算。 如果有 對稱性證明：)(2)(xtXF )()()(2 )()(2 )()(2 )( 2 1 )( tXFdtetXx deXtx deXtx deXtx tj tj tj tj 交換積分變量 )()(fxtXF ( )( )F x tX f 3、奇偶性（掌握） 若 f(t) 是實函數(shù)，其傅立葉變換一般是復(fù)數(shù)，其實 部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù) dtttfjdtttf dttjttfdtetfF tj sin)(cos)( )sin)(cos()()( dtttfjdtttf dttjttfdtetfF tj sin)(cos)( )sin)(cos()()( )()(

16、ee RR )()( mm II * ()( )FF 若f(t)為實、偶函數(shù)，F(xiàn)()為的實、偶函數(shù)； dtttf dtttfjdtttf dtetfF tj cos)( sin)(cos)( )()( dtttf dtttfjdtttf dtetfF tj cos)( sin)(cos)( )()( 偶函數(shù)乘以奇函數(shù)為奇 函數(shù)，在整個積分區(qū)域 內(nèi)的積分為零 )()( FF故F()為的實、偶函數(shù) 同理可證： 若f(t)為實、奇函數(shù)，F(xiàn)()為的虛、奇函數(shù)。 若f(t)為實、偶函數(shù)，F(xiàn)()為的實、偶函數(shù)； 4. 時域平移性（掌握） 如果有 0 0 ()( ) j t x ttXe ( )( )x t

17、X 則 所以：函數(shù)在時間上延遲一段時間，其傅立葉變換的 模并未改變，只是相角發(fā)生了變化，其變化的大小隨 頻率不同，是頻率的線性函數(shù)。 時域平移定理的證明： 如：則： 時域平移定理示意圖 掌握：掌握： 四個車輪：路面不平度函數(shù)，此時自變量由時間 變?yōu)殚L度，頻率將由時間頻率f 變?yōu)榭臻g頻率n； 相同側(cè)的前后輪的路面不平度只相差一個輪距。 1( ) ( )q lx l 2( ) ()q lx lL 3( ) ( )q ly l 4( ) ()q ly lL 1 ( ) ( )( )F q lF x lX n 2 2 ( ) ()( ) jnL F q lF x lLX n e 3 ( ) ( )(

18、)F q lF y lY n 2 4 ( ) ()( ) jnL F q lF y lLY n e 時間頻率f：單位時間（1秒內(nèi)）振動的次數(shù) 空間頻率n：單位長度（1米內(nèi)）波長的個數(shù) 0 0 0 2 0 ()( ) ()( ) j t jft F x ttXe F x ttX f e 5 尺度變換性(閱讀) 如果有如果有 ( )( )x tX 1 ()x atX aa 則則 其中其中a為實常數(shù)。為實常數(shù)。 時域越寬，頻域越窄。時域越窄，頻域越寬 dteatxatxF tj )()( t d a dtatttat 1 )( 1 )( 1 )( 1 )()( )( a F a t detx a txF t d a etxatxF t a j a t j 證明： 6 時域微分定理（掌握） 若：則： 比較可知： 7 時域積分定理（方法同6） 若： 則： 掌握： ( ) ( ) ( ) x t x t x t 位移 速度 加速度 如已知： ( )( )F x tX 則： 2 ( )( ) ( )()( ) F x tj X F x tjX ( )( )F x tX f 2 ( )2( ) ( )( 2)( ) F x