第六章.彈性體的一維振動(dòng)

1、第六章第六章 彈性體的一維振動(dòng)彈性體的一維振動(dòng) l6.1 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程 l6.2 桿的縱向固有振動(dòng)桿的縱向固有振動(dòng) l6.3 桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng) l6.4 端點(diǎn)帶有集中質(zhì)量或彈簧的桿端點(diǎn)帶有集中質(zhì)量或彈簧的桿 l6.5 梁的橫向固有振動(dòng)梁的橫向固有振動(dòng) l6.6 梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng) l6.7 固有頻率的變分式固有頻率的變分式 第六章第六章 彈性體的一維振動(dòng)彈性體的一維振動(dòng) l6.8 復(fù)雜邊界的梁的固有振動(dòng)復(fù)雜邊界的梁的固有振動(dòng) l6.9 軸向力軸向力,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及剪切變形的影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及剪切變形的影響 l6.10 梁橫向振動(dòng)的近似解法梁橫向振動(dòng)的近似解法

2、第六章第六章 彈性體的一維振動(dòng)彈性體的一維振動(dòng) 實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)都是彈性體，他們具有 實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)都是彈性體，他們具有 連續(xù)分布的質(zhì)量和彈性，叫連續(xù)系統(tǒng)或分布連續(xù)分布的質(zhì)量和彈性，叫連續(xù)系統(tǒng)或分布 參數(shù)系統(tǒng)。實(shí)際的復(fù)雜彈性體需要通過(guò)離散參數(shù)系統(tǒng)。實(shí)際的復(fù)雜彈性體需要通過(guò)離散 花邊為有限多自自由度系統(tǒng)以求得振動(dòng)的近花邊為有限多自自由度系統(tǒng)以求得振動(dòng)的近 似解較為通用的離散化方法是有限元素法似解較為通用的離散化方法是有限元素法。 。 1.1一維波動(dòng)方程 1.弦的橫向振動(dòng)方程弦的橫向振動(dòng)方程 . ., 1 :, 2 2 2 2 2 0 00 2 2 播速度表示彈性橫波的縱向傳 程為弦的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方

3、 得令 a txp x y a t y x yT a pdxTdx x T t y dx 張拉著的鋼絲的橫向振動(dòng)張拉著的鋼絲的橫向振動(dòng)如圖：如圖： 為橫向波的速度為單位長(zhǎng)度鋼絲的質(zhì)量其中： 運(yùn)動(dòng)微分方程為： 此振動(dòng)平衡條件為 , 1 0: 2 2 22 2 2 2 2 2 mScm t y cx y t y mdx x y Sdx x y x y S 3 3. .2 2 斜斜 拉拉 索索 大大 橋橋 索索 力力 測(cè)測(cè) 試試 分分 析析 系系 統(tǒng)統(tǒng) 框框 圖圖 與與 原原 理理 一一 斜斜 拉拉 大大 橋橋 索索 力力 測(cè)測(cè) 試試 分分 析析 系系 統(tǒng)統(tǒng) 框框 圖圖 測(cè) 試 分 析 系 統(tǒng) 一

4、般 由 傳 感 器 、 二 次 儀 表 、 接 口 箱 、 A/D板 、 微 機(jī) 、 打 印 機(jī) 和DASJ 動(dòng) 態(tài) 信 號(hào) 分 析 軟 件 包 組 成 ， 其 連 接 框 圖 如 圖3-2。 通過(guò)傳感器拾取振動(dòng)的加速度，由二次儀表（電荷放大器）放大，進(jìn)行低通 抗混濾波，再作 A/D 變換后運(yùn)用 DASJ 信號(hào)分析系統(tǒng)分析，最后由打印機(jī)輸出結(jié) 果。 一一 索索力力測(cè)測(cè)試試的的理理論論依依據(jù)據(jù) 7 斜拉索就如同一根拉緊的弦，它的自振頻率與拉索索力間有著確定的函數(shù)關(guān) 系，可用動(dòng)力平衡微分方程表示。當(dāng)忽略彎曲剛度時(shí)，可表示為 0 2 2 2 2 x y t y g W 式中 y-垂直于索長(zhǎng)度方向的橫

5、向坐標(biāo)； x-縱向坐標(biāo)； W-索單位長(zhǎng)度的重量； g-重力加速度； T-索的拉力； t-時(shí)間。 索的邊界條件為兩端固定時(shí)，上述微分方程的解為 2 2 2 4 n f gn WL 由上式可知，只要測(cè)知 1 f或 2 f，便可計(jì)算出索力。 在本文中，索力的計(jì)算采用公式 gn fWL K n 2 2 2 4 把重量mgW 代入上式，得 2 2 2 4 n f n mL K 式中 T-索的拉力 單位：N； m-線(xiàn)密度（索單位長(zhǎng)度的質(zhì)量） 單位：Kg/m； L-纜索的長(zhǎng)度 單位：m； n-頻率階數(shù)； n f-第 n階自振頻率 單位：Hz； K-修正系數(shù)。 .C1索索力分析 C1索的加速度波形及頻譜圖見(jiàn)圖

6、4-2-3 7.153Hz，代入公式 2 2 2 4 n f n mL K，計(jì)算得 T=1731.6KN。 2C5 索索力從圖中可以看出，相鄰諧次頻率差為 2.383Hz，第 3 諧頻率為 7.148Hz，其細(xì)化精確頻率為 C5 索的加速度波形及其幅頻譜圖如圖 4-2-4 第 7 諧 細(xì) 化 精 確 頻 率 為 9.711Hz， 代 入 公 式 2 2 2 4 n f n mL K， 解 得 索 力 T=2038.4KN。 2.圓截面等直桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程圓截面等直桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程 ., , 1 , , u 2 2 2 2 2 2 2 是桿的縱向傳播速度其中 有對(duì)等直桿 由達(dá)朗原理得 橫截面上的

7、內(nèi)力為 微段的應(yīng)變?yōu)?E a txp Ax u a t u txp x u EA xt u Adx x u EAEAN x u dx udx x u 為單位體積桿的質(zhì)量，為單位體積桿的質(zhì)量， 是桿的橫截面積，是桿的橫截面積， 是材料的彈性模量，是材料的彈性模量， 是截面的內(nèi)力。是截面的內(nèi)力。 A EN .,: , 1 :, ,: : u : ., 2 2 2 2 2 2 2 是桿的縱向傳播速度其中 有對(duì)等直桿 由達(dá)朗原理得 橫截面上的內(nèi)力為 微段的應(yīng)變?yōu)?是截面的內(nèi)力是材料的彈性模量是桿的橫截面積為單位體積桿的質(zhì)量 E a txp Ax u a t u txp x u EA xt u Adx

8、x u EAEAN x u dx udx x u NEA 6.2 桿的縱向固有振動(dòng) 0)(, 0)0(: 0)0(, 0)0(: 0)(, 00: : 0 x u EA :, 0tx,u :, 0 0 : :, d T ., ,: : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lUU UU lUU tTlEAU tTlU tTtT xU a xU xU xU a tT tT dt T xxUtT tTxUtxu x u a t u lx lx 兩端自由 一段固定 兩端固定 等直桿的簡(jiǎn)單邊界條件 有右端自由 有右端固定 得 得記 出截面的縱向振動(dòng)幅值是桿上距原點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù) 設(shè) 桿的縱向自由振

9、動(dòng)方程 1.固有頻率和主振型固有頻率和主振型 )sin()(),u(x: )()()(),( : )( )(:00 ,)( )sin()cossin(Bt)u(x, : )sin()( cossin)(: 0)()( 0)()(, 21 21 2 2 2 2 tbxUt batctTxUtxu battT cxU xU tbx a Bx a tbtT x a Bx a BxU tTtT xU a xU 桿的一般形式為 主振動(dòng)為 時(shí)即 為固有頻率為主振型 得到主振動(dòng) 兩式解得 設(shè) 確定簡(jiǎn)單邊界條件下桿的固有頻率和主振型確定簡(jiǎn)單邊界條件下桿的固有頻率和主振型 2 , 1sin)(: , 2 , 1

10、 : , 0sin : 0sin, 0:, )( i 12 ix l i BxU i l ai l a l a BB a ii 主振型為 解得 為頻率方程即 得到將邊界條件代入 兩端固定 2 , 1 2 ) 12( sin)(: , 2 , 1 2 ) 12( : , 0cos : 0cos, 0:, )( i 12 ix l i BxU i l ai l a l a B a B b ii 主振型為 解得 為頻率方程即 得到將邊界條件代入 一端固定一端自由 )sin(),( )( 2 , 1 , 0cos)(: , 2 , 1 , 0 : , 0sin a : 0sin, 0:, )( 1 i

11、 21 iii i i ii ii tbUtxu xU ix l i BxU i l ai l a l a B a B c 即： 后，得到各階主振動(dòng)。和相應(yīng)的主振型求出各界固有頻率 主振型為 解得 為頻率方程即 得到將邊界條件代入 兩端自由 l jiji j l iji l ijji l j j l i l iji j l oiij jjj iii jidxUAUji dxUAU dxUAUdxUEAU dxUAUdxUEAU dxUdxEAUxU AUEAU AUEAU lxxxEAUb lxxxUa AUEAU x u EA xt u A 0 0 22 0 2 0 00 2 i 2 l 0

12、j 2 2 2 2 2 ,0:, 0: :, : AU)(U:,)( )( ) ,0,0)( ,0,0)( )( )( .2 有有時(shí) 即 而式得同理 整理變換得 得積分一式乘 一式有：（ 自由端 固定端 為：桿的簡(jiǎn)單邊界條件可寫(xiě) 將主振動(dòng)代入，得： 主振型的正交性 .量的正交性這是桿的主振型關(guān)于質(zhì) 0 0 l 2 i 0 2 00 2 2 0 0 () 0 . :AU ()() : :1,1, 2, . l ij l ji pj ll jjjpj pj j pj l jpj EAUUdx UEAUdx dxM EA UdxUEAUdxK K M AUdxMj 這 是 桿 的 主 振 型 關(guān) 于

13、 質(zhì) 量 的 正 交 性 令 其 中 如 果 得 到 的 振 型 叫 正 則 振 型 6 .5 梁的橫向固有振動(dòng)梁的橫向固有振動(dòng) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 : 0 : : : 0 : : 0 .1 t y Ap x m x M x M MmdxQdxM t y Ap x m x M m x M Q x M MxmdxQdxM t y Ap x Q pdxQ x Q Q t y Adx 得 有 得 或?qū)憺?有 或?qū)憺?橫向振動(dòng)微分方程 txm x txp t y A x y EJ x y EJM , x : ,: 2 2 2 2 2 2 2 2 得 因?yàn)?txm x txp

14、 t y A x y EJ,: 2 2 4 4 對(duì)于等截面梁 2 固有頻率和主振型 )sin()sincos(),( : )( :, 0)-(EJY: .)(: )sin()(),(: 0 : 4321 4321 2 2 2 2 2 2 2 tbxshCxchCxCxCtxy eDeDeDeDxY AY xY tbxYtxy t y A x y EJ x xxxixi 梁的主振動(dòng)為 通解為對(duì)于等截面梁 有 為主振型其中 梁的主振動(dòng)可設(shè)為 梁的橫向自由振動(dòng)方程 梁的兩端共有四個(gè)邊界條件梁的兩端共有四個(gè)邊界條件,如下如下: lxxxEJYxEJY c lxxEJYxY b lxxxYxY ya 或

15、 彎矩與剪力為自由端 或 撓度與彎矩為簡(jiǎn)支端 或 與轉(zhuǎn)角為撓度固定端 0, 0)( , 0)( 0:)( 0, 0, 0)( 0:)( 0, 0)( , 0)( 0:)( 例例:求固有頻率和主振型求固有頻率和主振型 ,2, 1sinsin)(Y: ,2, 1: ,2, 1:0,lsin: 0sin 0sin : 0: 0 0 : 0)(,0)( 0)0(,0)0( : i 4 2 i 42 42 21 31 31 i l xi CxCx i Al EJ ia i l i shClC lshClC CC CC CC lYlY YY iii ii 主振型為 固有頻率為 解得有 得 有 求得 邊界條

16、件為解 例例6.4確定左端固定右端自由的等截面梁的固有頻率和主振型確定左端固定右端自由的等截面梁的固有頻率和主振型 13 24 3142 112 1 (0)0,(0)0 : ( )0,(0)0 CC0 : CC0 :, :(cosch)C(sin)(cos)0 cossin :0 sin(cos) :cos1 : YY YlY CCCC lllsh l Ckch l C lch llsh l lsh llch l lch l l 解邊界條件為 得 有 有 必有 簡(jiǎn)化后 方程的前四個(gè)根為 2 34 1.875,4.694, 7.855,10.996 l ll , 2 , 1)(sincos)(

17、: 515. 3: , 2 , 1: , 4 , 3) 5 . 0(:,3 4 1 4 2 2 1 ixshxrxchxCxY Al EJ i Al EJ la iili iiiiiii iii 主振型為 其中基頻是 固有頻率為 可以取時(shí) 6.6 梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng) 1.主振型的正交性主振型的正交性 , 2 , 11 : 0 0 .0 , 2 0 2 2 0 0 0 2 0 0 0 iMdxYA CxY M K KdxYEJdxEJYY MdxAY jidxEJYY jidxYEJY jidxYAY ji pjj l jj pj pj j pj l jj l j pj l j l

18、 ij j l i j l i ji 定按下列歸一化條件來(lái)確中的常數(shù)如果主振型 又因?yàn)?令 的正交性為梁的主振型關(guān)于鋼度 當(dāng) 當(dāng) 的正交性是梁的主振型關(guān)于質(zhì)量當(dāng) 有如果 l ijjij l ijjji ijj jpj dxEJYY dxYEJY dxY K 0 2 0 2 l 0 i 2 : AY: , 則得到 可合寫(xiě)為 則振型則得到的主振型稱(chēng)為正 2 梁的橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫振動(dòng)方程梁的橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫振動(dòng)方程 個(gè)正則坐標(biāo)方程第由正交性條件得 代入得 有 jtq txm x txpYAEJY txYtxy txm x txp t y A x y EJ x jjjj i iii i i i ii )(: ),(),()(: )()(),(: , 2 11 1 2 2 2 2 2 2 1 2 0 1 1 2 0 1 0 )0()()( )0