第二章平面問題的基本理論2-2

1、 已知任一點(diǎn)P處坐標(biāo)面上應(yīng)力 ， 求經(jīng)過該點(diǎn)的任何斜面上的應(yīng)力。 問題的提出： 2 25 5平面問題中一點(diǎn)的平面問題中一點(diǎn)的 應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài) 問題問題 xyyx , , 空間問題有6個獨(dú)立的應(yīng)力分量，平面問題有3個 不為0的應(yīng)力分量，可決定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。即， 可求出過該點(diǎn)任意斜截面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力。 求解：取出一個三角形微分體（包含 面， 面， 面）， 邊長 ).,(),( nnyx pppp n .,mdsPAldsPBdsAB 問題問題 x y 斜面應(yīng)力表示：斜面應(yīng)力表示： y x x x y y xy xy yx yx P y xy yx x A P B p px py NN n

2、平平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 幾何參數(shù)：幾何參數(shù)： cos( , ),cos( , ),n xln ym 設(shè)設(shè)AB面面積面面積=ds， PB面積面積=lds， PA面積面積=mds。 斜面上應(yīng)力分解為：斜面上應(yīng)力分解為： xy ppp 02/ldsmdsfmdsldsdspX xxyxx 由由Y=0得：得： mlp xyxx lmp xyyy 由平衡條件，并略去高階分量體力項(xiàng)，得 (1)求求（ , , ） x p y p , , xyyy yxxx lmp mlp 斜面應(yīng)力斜面應(yīng)力 其中：其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。 平平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)面問題

3、中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) y x x x y y xy xy yx yx P y xy yx x A P B p px py 斜面上應(yīng)力分解為：斜面上應(yīng)力分解為： NN p NN yxN mplp xyyxN lmml2 22 )32( xyN mplp xyxyN mllm)()( 22 )32( （2-4） （2-5） 已知已知P點(diǎn)應(yīng)力點(diǎn)應(yīng)力xyxy 可求出過可求出過P點(diǎn)任意斜面上的點(diǎn)任意斜面上的 正應(yīng)力和剪應(yīng)力（正應(yīng)力和剪應(yīng)力（NN） 利用（利用（2-4）（）（2-5） 應(yīng)力在應(yīng)力在x，y軸上的投影（軸上的投影（px，py） 利用（利用（2-3） n 22 2 Nxyxy lmlm 22 ()(

4、) Nyxxy lmlm 說明：說明：（ （1）運(yùn)用了剪應(yīng)力互等定理：）運(yùn)用了剪應(yīng)力互等定理： yxxy （2） 的正負(fù)號規(guī)定：的正負(fù)號規(guī)定： 將將 N 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動90而到達(dá)而到達(dá) 的方向是順時針的，的方向是順時針的， 則該則該 為正；反之為負(fù)。為正；反之為負(fù)。 （3）若）若AB面為物體的邊界面為物體的邊界S，則，則 y pY x pX ()() ()() xsxys ysxys lmX mlY （2-18） 平面問題的應(yīng)力邊界條件平面問題的應(yīng)力邊界條件 y x x x y y xy xy yx yx P y xy yx x A P B p px py NN n , , xyyy yxxx lm

5、p mlp N N N 主平面主應(yīng)力：剪應(yīng)力等于零的平面叫主平面主平面主應(yīng)力：剪應(yīng)力等于零的平面叫主平面 主平面上的應(yīng)力叫主應(yīng)力。主平面上的應(yīng)力叫主應(yīng)力。 px py y x y xy yx x A P B n lpxmpy xxxy plm yyxy pml mll xyx lmm xyy mll xyx lmm xyy xy x l m y xy l m xy x y xy 2(x+y)+(xy2xy)=0 2 2 22 1 2 xy yxyx px py y x y xy yx x A P B n 2 2 22 1 2 xy yxyx 注意注意:平面應(yīng)力狀態(tài)下平面應(yīng)力狀態(tài)下,任一點(diǎn)一般都

6、存在任一點(diǎn)一般都存在 兩個主應(yīng)力。二者方向互相垂直。兩個主應(yīng)力。二者方向互相垂直。 1+2=x+y 任一點(diǎn)主應(yīng)力值是過該點(diǎn)各截面上正應(yīng)力中的極值。任一點(diǎn)主應(yīng)力值是過該點(diǎn)各截面上正應(yīng)力中的極值。 最大剪應(yīng)力所在平面與主最大剪應(yīng)力所在平面與主 平面相交平面相交45，其值為，其值為 主平面上剪應(yīng)力等于零，但主平面上剪應(yīng)力等于零，但max 作用面上正應(yīng)力一般不為零。而是： 作用面上正應(yīng)力一般不為零。而是： 2 2 21 max 22 xy yx 2 yx 將x，y放在 方向，列出任一斜面上 應(yīng)力公式，可以得出（設(shè) ） 21 , 21 . 45 , 2 , 21 2 1 的斜面上應(yīng)力成 發(fā)生在與主 n

7、max min n max min 求最大，最小應(yīng)力求最大，最小應(yīng)力 最大，最小應(yīng)力最大，最小應(yīng)力 說明：以上均應(yīng)用彈力符號規(guī)定導(dǎo)出。 (d) 最大、最小剪應(yīng)力最大、最小剪應(yīng)力 由由 )( 12 lm N )1 ( 2 lm1 22 ml )( 2 1 4 1 12 2 2 l N )(1 12 2 ll N )( 12 42 ll N 顯然，當(dāng)顯然，當(dāng) ) 2 1 (0 2 1 2 ll時，時，N為最大、最小值：為最大、最小值： max 12 min 2 由由 2 1 l得，得， max、 min 的方向與的方向與1 （ 2 ）成成45。 x y O dx dy ds PA B N 1 2

8、s N N 小結(jié)：小結(jié)： yyxy pml xxyx plm （2-3） （2-4） 22 2 Nxyxy lmlm 22 ()() Nyxxy lmlm （2-5） （2-6） ()() ()() xsxys ysxys lmX mlY （2-18） 平面問題的應(yīng)力邊界條件平面問題的應(yīng)力邊界條件 22 12N lm 21 () N lm 2 122 ()l （1）斜面上的應(yīng)力）斜面上的應(yīng)力 1 1 2 2 tan tan x xy xy y （2-8） 表明：表明：1 與與 2 互相垂直。互相垂直。 （2）一點(diǎn)的主應(yīng)力、應(yīng)力主向、最）一點(diǎn)的主應(yīng)力、應(yīng)力主向、最 大最小應(yīng)力大最小應(yīng)力 2 12

9、 2 22 xyxy xy （2-7） max 12 min 2 max、 min 的方向與的方向與1 （ 2 ）成成45。 1 2 10,2, xy MPaMPa 注意：與的符號規(guī)定（主應(yīng)力方向逆時針轉(zhuǎn)到注意：與的符號規(guī)定（主應(yīng)力方向逆時針轉(zhuǎn)到x軸為正）軸為正） 例：已知平面一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為例：已知平面一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為 。求該點(diǎn)的主應(yīng)力和主平面方向。求該點(diǎn)的主應(yīng)力和主平面方向。 解：解： 12222 2 102102 ()()3 2222 1 11 xyxy xy MPa 1 1 1 10 tg3 3 x xy 2 2 31 tg 11 23 xy y 1 71.57 2 18.43 3 x

10、y MPa 試證明：在發(fā)生最大和最小剪應(yīng)力的面上,正應(yīng)力的 數(shù)值都等于兩個主應(yīng)力的平均值。 例題 已知已知 X=q， y=0， xy = -2q， 求：求： 1 ， 2 ，1 1=2.562q 2=-1.562q tg1=-0.781 1=-37.99o=-37o59 問題：問題： 平面問題中，平面問題中， (a)(a)已知一點(diǎn)的應(yīng)力為已知一點(diǎn)的應(yīng)力為 ，那么任一，那么任一 方向的正應(yīng)力方向的正應(yīng)力 n為為 n 為為 ; ; （b b）已知已知 那么那么 21 ba yx , ? 21 2-6 2-6 邊界條件邊界條件 1. 彈性力學(xué)平面問題的基本方程彈性力學(xué)平面問題的基本方程 （1）平衡方程

11、：）平衡方程： 0 0 yx x xyy X xy Y xy （2-2） （2）幾何方程：）幾何方程： x y xy u x v y vu xy （2-9） （3）物理方程：）物理方程： 1 () yyx E 1 () xxy E 2(1) xyxy E （2-15） 未知量數(shù)：未知量數(shù)：vu xyyxxyyx , 8個個 方程數(shù)：方程數(shù)：8個個 結(jié)論：結(jié)論：在適當(dāng)?shù)脑谶m當(dāng)?shù)倪吔鐥l件邊界條件下，上述下，上述8個方程可解。個方程可解。 位移邊界條件位移邊界條件 設(shè)在 部分邊界 上給定位移分量 和 ,則有 ),()( ),()(svvsuu ss （在 上)。（a）u s u s )(su)( s

12、v 邊界條件邊界條件 表示在邊界上位移與約 束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系。 若為簡單的固定邊， 則有 位移邊界條件的說明： sus , 0 vu , 0)( , 0)( ss vu u s （在 上）。（b） 它是在邊界上物體保持連續(xù)性的條 件，或位移保持連續(xù)性的條件。 它是函數(shù)方程，要求在 上每一點(diǎn) ， 位移與對應(yīng)的約束位移相等。 通過三角形微分體的平衡條件，導(dǎo)出坐標(biāo)面應(yīng)力 與斜面應(yīng)力的關(guān)系式， 應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件設(shè)在 上給定了面力分 量 , , xyyyyxxx lmpmlp ).( ),(sfsf yx s （在A中）。（c） 將此三角形移到邊界上，并使斜面與邊界面 重合，則得應(yīng)力邊

13、界條件: ()( ), . (d) ()( ), xyxsx yxysy lmfs s mlfs （在 上） 它是邊界上微分體的靜力平衡條件； 說明 應(yīng)力邊界條件的說明： 式（c）在A中每一點(diǎn)均成立，而 式（d）只能在邊界 s上成立； 它是函數(shù)方程，要求在邊界上每一點(diǎn)s 上均滿足，這是精確的條件； 所有邊界均應(yīng)滿足，無面力的邊界 （自由邊） 也必須滿足。 式（d）中， 按應(yīng)力符號規(guī)定， ， 按面力符號規(guī)定； y f x f 位移,應(yīng)力邊界條件均為每個邊界兩 個，分別表示 ， 向的條件； , 0 yx ff xy 說明 xyyx , , 若x=a為正x 面，l = 1, m = 0, 則式(d)

14、成為 ( ), (). (e) x a x x axxyy ff 當(dāng)邊界面為坐標(biāo)面時當(dāng)邊界面為坐標(biāo)面時， 坐標(biāo)面 y xba xf yf x xf yf xy x xy 若x=-b為負(fù)x 面，l = -1, m = 0 , 則式(d)成為 ( ), (). (f) xb x xbxxyy ff y xba xf yf x xf yf xy x xy 應(yīng)力邊界條件的兩種表達(dá)式：應(yīng)力邊界條件的兩種表達(dá)式： 兩種表達(dá)式 在同一邊界面上，應(yīng)力分量應(yīng)等于對 應(yīng)的面力分量（數(shù)值相等，方向一 致）。即在同一邊界面上,應(yīng)力數(shù)值應(yīng) 等于面力數(shù)值(給定),應(yīng)力方向應(yīng)同面 力方向(給定)。 在邊界點(diǎn)取出微分體，考慮

15、其平衡條 件，得式（d）或（e），（f ）； 在斜面上， 在坐標(biāo)面上，由于應(yīng)力與面力的 符號規(guī)定不同，故式（e），（f ）有區(qū) 別。 例如： .)( ,)( yyxsx fpfp s 兩種表達(dá)式 l h/2 h/2 q y xo y yx xy y yx x 例列出邊界條件： 1 q 如圖所示，試寫出其邊界條件。如圖所示，試寫出其邊界條件。 x y a h h q (1), 0 x 0 0 s s v u 0, 0 x v y u (2) , ax 0, 1ml Ylm Xml sxysy sxysx )()( )()( 0,0 xxy s s (3), hy 1, 0ml q s xy s

16、y s xysx 0) 1( 0) 1(0 0,0 yxy ss (4), hy 1, 0ml 00) 1( 0) 1(0 s xy s y s xysx ,0 yxy ss q 0, 0YX qYX , 0 0, 0YX 例例2 如圖所示，試寫出其邊界條件。如圖所示，試寫出其邊界條件。 (1) A B C x y h p(x) p0 l AB段（段（y = 0）：）：1, 0ml 0 )(, 0p l x xpYX 代入邊界條件公式，有代入邊界條件公式，有 0)sin(cos 0cos)sin( yxy xyx 0 0 )(p l x xp y y 0 0 y xy (2) BC段（段（x

17、= l）：）：0, 1ml 0|, 0| lxlx vu 0, 0 lx lx x v y u (3)AC段（段（y =x tan ）: sin)90cos(),cos( xNl cos),cos(yNm )(0) 1( 0) 1(0 xp yxy xyx N 例例3 圖示水壩，試寫出其邊界條件。圖示水壩，試寫出其邊界條件。 左側(cè)面：左側(cè)面：sin,cosml sinyY cosyX 由應(yīng)力邊界條件公式，有由應(yīng)力邊界條件公式，有 Ylm Xml sxysy sxysx )()( )()( sin)cos()sin(y xyy cos)sin()cos(y xyx 右側(cè)面：右側(cè)面：sin,cos

18、ml tanyx tanyx 0YX 0cossin xyyx 0sincos xyx 例例4圖示薄板，在圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，方向受均勻拉力作用， 證明在板中間突出部分的尖點(diǎn)證明在板中間突出部分的尖點(diǎn)A處無應(yīng)處無應(yīng) 力存在。力存在。 解：解： 平面應(yīng)力問題，在 平面應(yīng)力問題，在 AC、AB 邊界上邊界上 無面力作用。即無面力作用。即 0YX AB 邊界：邊界： 111 sin,cosml 由應(yīng)力邊界條件公式，有由應(yīng)力邊界條件公式，有 Ylm Xml sxysy sxysx )()( )()( 11 11 cossin0 sincos0 xxy yxy （1） AC 邊界：邊界：

19、12 122 sin coscos m l 代入應(yīng)力邊界條件公式，有代入應(yīng)力邊界條件公式，有 11 11 cossin0 sincos0 xxy yxy （2） A 點(diǎn)同處于點(diǎn)同處于 AB 和和 AC 的邊界，的邊界， 滿足式（滿足式（1）和（）和（2），解得），解得 0 xyxy A 點(diǎn)處無應(yīng)力作用點(diǎn)處無應(yīng)力作用 例例5圖示楔形體，試寫出其邊界條件。圖示楔形體，試寫出其邊界條件。 圖示構(gòu)件，試寫出其邊界條件。圖示構(gòu)件，試寫出其邊界條件。 例例6 例例5圖示楔形體，試寫出其邊界條件。圖示楔形體，試寫出其邊界條件。 0YX sin)90cos( l Ylm Xml sxysy sxysx )()

20、( )()( cos)180cos( m 上側(cè)：上側(cè)： 0cos)(sin)( 0cos)(sin)( sysxy sxysx 下側(cè)：下側(cè)： , 0X 0l1m qY q sysxy sxysx ) 1()(0)( 0) 1()(0)( 0)( sxy q sy )( 圖示構(gòu)件，試寫出其應(yīng)力邊界條件。圖示構(gòu)件，試寫出其應(yīng)力邊界條件。例例6 上側(cè)：上側(cè)： , qX 0l1m 0Y 0) 1()(0)( ) 1()(0)( sysxy sxysx q q sxy )( 0)( sy Ylm Xml sxysy sxysx )()( )()( , 0X ,sin)90cos( lcosm 下側(cè)：下側(cè)

21、： N pY p sysxy sxysx cos)(sin()( 0cos)()sin()( （3）混合邊界條件）混合邊界條件 (1) 物體上的一部分邊界為位移邊界，另一部為應(yīng)力邊界。物體上的一部分邊界為位移邊界，另一部為應(yīng)力邊界。 (2) 物體的同一部分邊界上，其中一個為位移邊界條件，另物體的同一部分邊界上，其中一個為位移邊界條件，另 一為應(yīng)力邊界條件。如：一為應(yīng)力邊界條件。如： 圖圖(a)： 0Y s xy 位移邊界條件位移邊界條件 應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件 圖圖(b)： 0 sx 0 uus 0 vvs 位移邊界條件位移邊界條件 應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件 部分邊界上為位移邊界條件，另一

22、部分邊界上為應(yīng)力邊界條件； 混合邊界條件 混合邊界條件：混合邊界條件： 同一邊界上，一個為位移邊界條件， 另一個為應(yīng)力邊界條件。 例3列出 的邊界條件：ax .0)( ,0)( , axxy ax u ax y x o a 彈性力學(xué)問題是微分方程的邊值問題。 應(yīng)力，形變，位移等未知函數(shù)必須滿足A內(nèi) 的方程和S上的邊界條件。主要的困難在于 難以滿足邊界條件。 圣維南原理及其應(yīng)用圣維南原理及其應(yīng)用 圣維南原理圣維南原理可用于簡化小邊界上的應(yīng) 力邊界條件。 如果把物體的一小部分邊界上的面力， 變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量 相同，對同一點(diǎn)的主矩也相同）， 那么，近處的應(yīng)力分量將有顯著的改變，

23、 但 遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。 圣維南原理 圣維南原理：圣維南原理： 圣維南原理 1.圣維南原理只能應(yīng)用于一小部分邊界 （小邊界，次要邊界或局部邊界）； 圣維南原理的說明：圣維南原理的說明： 4.遠(yuǎn)處 指“近處”之外。 3.近處 指面力變換范圍的一，二倍 的局部區(qū)域； 2.靜力等效 指兩者主矢量相同，對 同一點(diǎn)主矩也相同； 圣維南原理 圣維南原理表明，在小邊界小邊界上進(jìn)行面 力的靜力等效變換后，只影響近處（局部近處（局部 區(qū)域）區(qū)域）的應(yīng)力，對絕大部分彈性體區(qū)域的 應(yīng)力沒有明顯影響。 圣維南原理推廣：如果物體一小部分 邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及 主矩都等于零），那么，這個面力就只會

24、使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可 以不計(jì)。 例1比較下列問題的應(yīng)力解答： h F F/2 F/2 F/2F/2F F/b 34654 21321 )( bh 654 321 43 21 b 舉例：如何在局部邊界上應(yīng)用圣維南原理 局部邊界，小邊界或次要邊界。 舉例：圣維南原理的應(yīng)用舉例：圣維南原理的應(yīng)用 P P P P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/AP/A P 例2比較下列問題的應(yīng)力解答： 推廣 0 0 0 0 34 12 0 0 2 0 1 圣維南原理的應(yīng)用：圣維南原理的應(yīng)用： 1.推廣解答的應(yīng)用； 2.簡化小邊界上的邊界條件。 應(yīng)用 圣維南原理在小邊界上的應(yīng)用：圣維南

25、原理在小邊界上的應(yīng)用： lx 精確的應(yīng)力邊界條件 如圖，考慮 小邊界， 上式是函數(shù)方程，要求在邊界上 任一點(diǎn)，應(yīng)力與面力數(shù)值相等，方向一致， 往往難以滿足。 。)(),( ),(),( yfyx yfyx y lx xy x lx x (a) 在邊界 上，lx 在小邊界x=l上，用下列條件代替式(a) 的條件： 在同一邊界在同一邊界 x=l 上，上， 應(yīng)力的主矢量 = = 面力的主矢量（給定); 應(yīng)力的主矩(M) = = 面力的主矩（給定）. ),( yx FF 數(shù)值相等, 方向一致. (b) 圣維南原理圣維南原理的應(yīng)用的應(yīng)用積分的應(yīng)力邊界條件積分的應(yīng)力邊界條件 右端面力的主矢量，主矩的數(shù)值及

26、方 向，均已給定； 左端應(yīng)力的主矢量，主矩的數(shù)值及方 向，應(yīng)與面力相同，并按應(yīng)力的方向規(guī)定 確定正負(fù)號。 具體列出具體列出3 3個積分的條件：個積分的條件： )( 1)(1)( )(1)(1)( )( 1)(1)( 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ S h h y lx h h xy h h x lx h h x N h h x lx h h x Fdyyfdy Mydyyfydy Fdyyfdy 即： 應(yīng)力的主矢量、主矩的數(shù)值=面力的主 矢量、主矩的數(shù)值； 應(yīng)力的主矢量、主矩的方向=面力的主 矢量、主矩的方向。 式中應(yīng)力主矢量，主矩的正方向應(yīng)力主矢量，主

27、矩的正方向,正負(fù)號正負(fù)號的確 定： 應(yīng)力的主矢量的正方向，即應(yīng)力的正方向， 應(yīng)力的主矩的正方向，即（正應(yīng)力） （正 的矩臂）的方向。 討論：討論： 1.如果只給出面力的主矢量，主矩如圖， 則式(c)右邊直接代入面力的主矢量，主矩； 2.在負(fù) x 面， ，由于應(yīng)力，面力的 符號規(guī)定不同，應(yīng)在式(c)中右端取負(fù)號； 3.積分的應(yīng)力邊界條件(b)或(c)雖是近似的， 但只用于小邊界，不影響整體解答的精度。 lx 精確的應(yīng)力邊界條件精確的應(yīng)力邊界條件 積分的應(yīng)力邊界條件積分的應(yīng)力邊界條件 方程個數(shù)方程個數(shù) 2 3 方程性質(zhì)方程性質(zhì) 函數(shù)方程（難滿足）函數(shù)方程（難滿足） 代數(shù)方程（易滿足）代數(shù)方程（易滿

28、足） 精確性精確性 精確精確 近似近似 適用邊界適用邊界 大，小邊界大，小邊界 小邊界小邊界 比較：比較： 例例7 圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部 受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。 左側(cè)面：左側(cè)面： 0, 1ml0YX Ylm Xml sxysy sxysx )()( )()( 代入應(yīng)力邊界條件公式代入應(yīng)力邊界條件公式 0 x xh xy xh y 右側(cè)面：右側(cè)面： 0, 1ml 0,YyX 代入應(yīng)力邊界條件公式，有代入應(yīng)力邊界條件公式，有 0 0 x x h xy x h 上端面：上端面：為為次

29、要次要邊界，可由圣維南原理求解。邊界，可由圣維南原理求解。 y方向力等效：方向力等效： 0 () h y hy dx sinP 對對O點(diǎn)的力矩等效：點(diǎn)的力矩等效： 0 () h y hy xdx sin 2 h P x方向力等效：方向力等效： 0 () h yx hy dx cosP y yx 注意：注意： , yxy 必須按正向假設(shè)！必須按正向假設(shè)！ y yx 上端面：上端面： （方法（方法2） 取圖示微元體，取圖示微元體， 0 y F dx y h h y 0 0 sin h y yh dxP 0sinP 0 O M xdx y h h y 0 0sin 2 h P 0 () h y hy

30、 xdx sin 2 h P 0 x F dx y h h yx 0 0cosP 0 () h yx hy dx cosP 可見，與前面結(jié)果相同?？梢?，與前面結(jié)果相同。 注意：注意： , yxy 必須按正向假設(shè)！必須按正向假設(shè)！ 由微元體的平衡求得，由微元體的平衡求得， y M P 0 y 0 b/2 b/2 b q(1-x/b) xx P=qb/2 M=qb/12 h h 2 AA 例：試問圖所示的兩個問題中OA邊的面力是否 是靜力等效的（厚度設(shè)為1）并寫出積分邊界條 件？ 例題例題 試列出圖試列出圖( (a)(b)a)(b)的邊界條件的邊界條件。 解解: : (a)(a)對于圖對于圖(a)

31、 (a) 的問題的問題, ,在在 主要邊界主要邊界 y= h/2 應(yīng)精確滿足應(yīng)精確滿足 下列下列邊界條件：邊界條件： 1 2 , 0 , 2 0 , , 2 q h y l x q h y yxy yxy Mdyy Fdy Fdy h h xx s h h xxy h h xx 2/ 2/ 0 2/ 2/ 0 2/ 2/ 0 )( )( )( 次次要邊界要邊界 (b)(b)在主要邊界在主要邊界 x=0,b, x=0,b, 應(yīng)應(yīng) 精確滿足下列邊界條件精確滿足下列邊界條件: : qbx gyx yxx yxx , 0 , 0 , , 0 在小邊界在小邊界 y=0=0 2 )( 4 3 )( 2 3

32、 )( 0 0 0 0 0 0 F dx Fbxdx F dx b yyx b yy b yy 應(yīng)用： P P A 0 2 2 2 2 2 2 h h xy h h x h h x dy Mydy Pdy A截面應(yīng)力 邊界條件： 近似滿足 注意：靜力等效 思考題思考題 1、為什么在大邊界（主要邊界）上，不 能 應(yīng)用圣維南原理？ 2、試列出負(fù) 面上積分的應(yīng)力邊界條件， 設(shè)有各種面力作用，或面力的主矢量和 主矩作用。 x (1) 對對復(fù)雜的力邊界復(fù)雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。，用靜力等效的分布面力代替。 (2) 有些有些位移邊界位移邊界不易滿足時，也可用靜力等效的分布面力代替。不易滿足時

33、，也可用靜力等效的分布面力代替。 注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)： (1) 必須滿足必須滿足靜力等效靜力等效條件；條件； (2) 只能在只能在次要邊界上次要邊界上用圣維南原理，在用圣維南原理，在主要邊界主要邊界上不能使用。上不能使用。 如：如： AB 主要邊界主要邊界 P P A 次要邊界次要邊界 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題，除 物理方程的彈性系數(shù)須變換外，其余完全相 同。因此，兩者的解答相似,只須將 進(jìn) 行變換。以下討論平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題。 1.1.平面問題的基本方程及邊界條件平面問題的基本方程及邊界條件 ,E 平面問題 2 27 7按位移求解平面問題按位移求解平面問題 平面應(yīng)力問題 0, 0.

34、yx x x yxy y f xy f yx 平面域平面域A內(nèi)的基本方程內(nèi)的基本方程: : 平衡微分方程 （在（在A內(nèi)）內(nèi)） , , . xyxy uvvu xyxy 11 (),(), 2(1) . xxyyyx xyxy EE E 幾何方程 物理方程 （在（在A內(nèi)）內(nèi)） （在（在A內(nèi)）內(nèi)） 應(yīng)力邊界條件 位移邊界條件 （在 上） （在 上） (), (). xyxsx yxysy lmf mlf s ),(vu xyyxxyyx u s (), (). s s uu vv S上邊界條件上邊界條件: 8個未知函數(shù) 必須滿足上述方程和邊界條件。 按位移求解按位移求解（位移法）取 ， 為基 本未

35、知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去形變 和應(yīng)力，導(dǎo)出只含 ， 的方程和邊界條件， 從而求出 ， ；再求形變和應(yīng)力。 2.2.解法解法消元法消元法 uv uv uv 解法 按應(yīng)力求解按應(yīng)力求解（應(yīng)力法）取 為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去 位移和形變，導(dǎo)出只含應(yīng)力的方程和邊界條 件，從而求出應(yīng)力；再求形變和位移。 xyyx , 這是彈力問題的兩種基本解法這是彈力問題的兩種基本解法。 3. 按位移求解按位移求解 uv u v u v u v 將其他未知函數(shù)用 ，表示： 形變用 ，表示幾何方程; 應(yīng)力先用形變來表示（物理方程）， 再代入幾何方程，用 ，表示: 取 ， 為基本未知函數(shù)； 按位移求解 22 22 ()(), 11 ()(),(a) 11 (). 2(1)2(1) xxy yyx xyxy EEuv xy EEvu yx EEvu xy 在A中導(dǎo)出求 ，的基本方程將式(a) 代入平衡微分方程， 222 222 222 22