大學(xué)物理競賽輔導(dǎo)0061(熱學(xué)部分)

1、大學(xué)物理競賽輔導(dǎo)（熱學(xué)部分） 一、氣體動理論一、氣體動理論 (一）、新增要求：一）、新增要求： v分子熱運動的平均自由程分子熱運動的平均自由程： pd kT 2 2 nkTp v分子熱運動的平均碰撞頻率分子熱運動的平均碰撞頻率： nvdz 2 2 M RT v60. 1 例：例： 1、一定量的理想氣體盛于容器中，則該氣體分子熱運、一定量的理想氣體盛于容器中，則該氣體分子熱運 動的平均自由程僅決定于動的平均自由程僅決定于 A壓強壓強 B體積體積 C溫度溫度D分子的平均碰撞頻率分子的平均碰撞頻率 pd kT 2 2 nkTp V nd 2 2 1 12、在下列四種情況中，何種將一定能使理想氣體分子

2、、在下列四種情況中，何種將一定能使理想氣體分子 的平均碰撞頻率增大？（的平均碰撞頻率增大？（ ） A增大壓強增大壓強,提高溫度；提高溫度； B增大壓強增大壓強,降低溫度；降低溫度；C降低壓降低壓 強強,提高溫度；提高溫度；D降低壓強，保持溫度不變降低壓強，保持溫度不變 nvdz 2 2 nkTp M RT v,60. 1 kT p M RT d60. 12 2 nvdz 2 2 T p pd kT 2 2 1/2 2 3、如果理想氣體的溫度保持不變，當(dāng)壓強降為原來、如果理想氣體的溫度保持不變，當(dāng)壓強降為原來 的一半時，分子的碰撞頻率為原值的（的一半時，分子的碰撞頻率為原值的（ ），分子的平），

3、分子的平 均自由程程為原值的（均自由程程為原值的（ ）。）。 8、有一個邊長為、有一個邊長為10cm的立方容器，內(nèi)盛有標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的立方容器，內(nèi)盛有標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下 的的He氣，則單位時間內(nèi)原子碰撞一個器壁面的次數(shù)的氣，則單位時間內(nèi)原子碰撞一個器壁面的次數(shù)的 數(shù)量級為（數(shù)量級為（ ） （a)1020s-1 （b)1026s-1 （c)1032s-1 a a v 6 1 析：單位時間內(nèi)一個分析：單位時間內(nèi)一個分 子與一個器壁碰撞的次子與一個器壁碰撞的次 數(shù)：數(shù)： 單位時間內(nèi)所有分子與單位時間內(nèi)所有分子與 一個器壁碰撞的次數(shù)：一個器壁碰撞的次數(shù)： 3 6 1 na a v N m s/1049. 7 25

4、 （二）、麥克斯韋氣體分子速率分布律（二）、麥克斯韋氣體分子速率分布律 vv+dv 面積面積= dNV N f(v) v O 1) 速率分布函數(shù)速率分布函數(shù) ： Ndv dN vf)( 表示速率分布在速率表示速率分布在速率 v v 附近單位速率間隔內(nèi)的附近單位速率間隔內(nèi)的 分子數(shù)占總分子數(shù)的比率分子數(shù)占總分子數(shù)的比率 （相對分子數(shù)）。（相對分子數(shù)）。 2) 麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律 此數(shù)學(xué)表達式適用于平衡態(tài)的任何氣體此數(shù)學(xué)表達式適用于平衡態(tài)的任何氣體 dvve kT m dvvf N dN kT mv 2 22 3 2 ) 2 (4)( 7 理想氣體處于平衡態(tài)時，根據(jù)麥克斯韋速率分

5、布函數(shù)理想氣體處于平衡態(tài)時，根據(jù)麥克斯韋速率分布函數(shù) dvve kT m dvvf N dN kT mv 2 22 3 2 ) 2 (4)( ，可導(dǎo)得分子平，可導(dǎo)得分子平 動動能在動動能在 到到 + d 區(qū)間的概率為區(qū)間的概率為f( )d = 其中其中 2 2 1 mv。 在根據(jù)這一分布式，可導(dǎo)得分子平動在根據(jù)這一分布式，可導(dǎo)得分子平動 動能的最可幾值動能的最可幾值 p =kT/2 de kT m m dvve kT m dvvf N dN kT kT mv 23 3 2 22 3 2 2 4 ) 2 (4)( 2 mvdvdmv 2 2 1 kT d df 2 1 0 3) 三種統(tǒng)計速率三種

6、統(tǒng)計速率 （1）最概然速率：反映速率分布的基本特征）最概然速率：反映速率分布的基本特征 。 M RT m kT v p 41. 1 2 f(vp) vp f(v) v O 0 00 )( )( dvvvf N dvvvNf N vdN v （2）平均速率：大量氣體分子速率的算術(shù)平均值。）平均速率：大量氣體分子速率的算術(shù)平均值。 反映分子遷移、碰撞的基本特征。反映分子遷移、碰撞的基本特征。 M RT m kT v60. 1 8 m kT dvvfv N dvvNfv N dNv v 3 )( )( 0 2 0 2 0 2 2 （3）方均根速率：與分子的能量有關(guān)，用于）方均根速率：與分子的能量有關(guān)

7、，用于 討論氣體的壓強和溫度。討論氣體的壓強和溫度。 M RT m kT v73. 1 3 2 T f(v) v O vp v 2 v p vvv 2 f(vp3) vp3 T1 T3 T2 溫度越高，速率大的分子數(shù)越多溫度越高，速率大的分子數(shù)越多 2.討論討論： 2 ,vvv p T 與與呈正比，呈正比， m 與與 成反比。成反比。 f(v) v O f(vp1) vp1 f(vp2) vp2 例：例： 5、處于平衡態(tài)的氣體系統(tǒng)中、處于平衡態(tài)的氣體系統(tǒng)中,分子運動的速率分布律分子運動的速率分布律 可圖示為可圖示為( );速度分布律可圖示為速度分布律可圖示為( ).已知已知0C溫度下溫度下 氮

8、氣分子的方均根速率大約為氮氣分子的方均根速率大約為493m/s，則該溫度下，則該溫度下 氧氣分子的方均根速率為（氧氣分子的方均根速率為（ ）；）；25C下氧分子的方下氧分子的方 均根速率為（均根速率為（ ），），1摩爾氧氣的定體熱容量為（摩爾氧氣的定體熱容量為（ ） v O f(v) f(vi) vi O smv M RT v o N N/461 3 2 2 2 22 250C下氧分子的方均根速率為：下氧分子的方均根速率為：482m/s 1摩爾氧氣的定體熱容量為摩爾氧氣的定體熱容量為: 5R/2 6、設(shè)氣體分子服從麥克斯韋速率分布律，、設(shè)氣體分子服從麥克斯韋速率分布律，v 隨著溫度的增加將（隨

9、著溫度的增加將（ ），速率在），速率在 代表代表 平均速率平均速率, p v代表最可幾速率，代表最可幾速率， v為一固定的速率為一固定的速率 間隔，間隔， 則速率在則速率在 vv 范圍內(nèi)的分子的百分率范圍內(nèi)的分子的百分率 vv p 的分子的百分率隨著溫度的增加將的分子的百分率隨著溫度的增加將(不變不變 ） 之間之間 T1 T3 T2 f(v) v O M RT m kT v60. 1 8 vp v 減小減小 Ndv dN ve kT m vf kT mv 2 22 3 2 ) 2 (4)( %8 .10 4 2 2 p p v p v v p v v e v v vvf N N 代入 M RT

10、 m kT v p 41. 1 2 M RT m kT v60. 1 8 pp vvvv13. 0 17、已知氮氣分子的麥克斯韋速率分布曲線如圖，、已知氮氣分子的麥克斯韋速率分布曲線如圖， 試在圖上定性畫出相同溫度下氫氣分子的速率分布試在圖上定性畫出相同溫度下氫氣分子的速率分布 曲線曲線 H2 N2 f(v) v O 2 22 3 2 ) 2 (4)(ve kT m vf kT mv 2 1 2 4 )( kT m e vf p （三）熱傳導(dǎo)率（三）熱傳導(dǎo)率 設(shè)設(shè)x軸是氣體溫度變化最大的方向，該方向上氣體溫軸是氣體溫度變化最大的方向，該方向上氣體溫 度的空間變化率度的空間變化率-溫度梯度：溫度

11、梯度： dx dT 設(shè)設(shè)S為垂直為垂直x軸的某指定平面的面積，則單位時間內(nèi)軸的某指定平面的面積，則單位時間內(nèi) 從溫度較高的一側(cè)，通過這一平面，向溫度較低一側(cè)從溫度較高的一側(cè)，通過這一平面，向溫度較低一側(cè) 所傳遞的熱量，與這平面所在處的溫度梯度成正比，所傳遞的熱量，與這平面所在處的溫度梯度成正比， 與面積成正比與面積成正比 S dx dT k t Q k為熱傳導(dǎo)率或?qū)嵯禂?shù)為熱傳導(dǎo)率或?qū)嵯禂?shù) 25-16 在兩端絕熱封頂，半徑在兩端絕熱封頂，半徑R2=7.5cm的長容器筒內(nèi)，同的長容器筒內(nèi)，同 軸的固定著半徑軸的固定著半徑R1=5cm的長鈾棒，兩者之間夾著一的長鈾棒，兩者之間夾著一 層空氣。鈾因

12、裂變在單位時間、單位體積內(nèi)產(chǎn)生的熱層空氣。鈾因裂變在單位時間、單位體積內(nèi)產(chǎn)生的熱 量為量為 Q=5.5 103W/(m3s)，熱傳導(dǎo)率，熱傳導(dǎo)率Ku=46W/(m K)， 空氣的傳導(dǎo)率空氣的傳導(dǎo)率KA=46W/(m K)。設(shè)整個裝置與周圍環(huán)。設(shè)整個裝置與周圍環(huán) 境間已處于熱平衡狀態(tài)，筒壁與環(huán)境溫度同為境間已處于熱平衡狀態(tài)，筒壁與環(huán)境溫度同為 T2=300K。 （1）計算單位時間、單位長度鈾棒因裂變產(chǎn)生的熱）計算單位時間、單位長度鈾棒因裂變產(chǎn)生的熱 量量Q；（；（2）計算鈾棒外表面溫度）計算鈾棒外表面溫度T1；（；（3）計算鈾棒）計算鈾棒 中央軸處溫度中央軸處溫度T0；（；（4）計算筒內(nèi)）計算筒

13、內(nèi)R1處空氣密度處空氣密度 1與與 R2處空氣密度處空氣密度 2間的比值間的比值 （1）計算單位時間、單位長度鈾棒因裂變產(chǎn)生的熱）計算單位時間、單位長度鈾棒因裂變產(chǎn)生的熱 量量Q： JRQ Q 2 .4305. 0105 . 5 2 32 1 （2）計算鈾棒外表面溫度）計算鈾棒外表面溫度T1 熱平衡時，單位時間通過該空氣柱面熱平衡時，單位時間通過該空氣柱面(r)向外向外所傳所傳 遞的熱量：遞的熱量： K R R k Q TT r dr k Q dT Qr dr dT k QS dr dT k t Q A R RA T T A A 624ln 2 2 2 1 2 21 2 1 2 1 R1,T1

14、 R2,T2 r R1,T1 R2,T2 r (3)在鈾棒內(nèi)部取一單位在鈾棒內(nèi)部取一單位 長度同軸柱面，熱平衡長度同軸柱面，熱平衡 時，單位時間鈾棒通過時，單位時間鈾棒通過 該面向外該面向外所傳遞的熱量：所傳遞的熱量： K k R TT rdr k dT rr dr dT k QS dr dT k t Q u Q R u Q T T Q u 07.624 4 2 2 2 1 10 0 2 11 0 （4）計算筒內(nèi)）計算筒內(nèi)R1處空氣密度處空氣密度 1與與R2處空氣密度處空氣密度 2間間 的比值的比值 熱平衡時壓強同，熱平衡時壓強同，P=nkT=常量常量 所以所以 481. 0 1 2 2 1

15、2211 T T TT （四）能量按自由度均分定理（四）能量按自由度均分定理 氣體處于溫度為氣體處于溫度為T的平衡態(tài)時，分子任何一個自由的平衡態(tài)時，分子任何一個自由 度的平均動能都相等，均為度的平均動能都相等，均為kT 2 1 理想氣體的內(nèi)能：理想氣體的內(nèi)能： 所有分子動能與分子內(nèi)原子間勢能的總和所有分子動能與分子內(nèi)原子間勢能的總和 氣體的內(nèi)能：氣體的內(nèi)能： 所有分子相對質(zhì)心參照系的動能與分子間相互作用所有分子相對質(zhì)心參照系的動能與分子間相互作用 勢能的總和勢能的總和 kTEk 2 3 kTEk 2 3 kTEk 2 3 kTEk 2 3 kTEk 2 3 RT M m E 2 3 kTEk

16、2 5 kTEk 2 5 RT M m E 2 5 kTEk 2 6 kTEk 2 7 RT M m E 2 7 分子平分子平 均能量均能量 分子的平均分子的平均 平動動能平動動能 分子的平分子的平 均動能均動能 理想氣體理想氣體 的內(nèi)能的內(nèi)能 單原子單原子 分子分子 雙原子分雙原子分 子（剛性）子（剛性） 雙原子分雙原子分 子（彈性）子（彈性） 例：例： 11、一個大氣壓下、一個大氣壓下270C時空氣分子的平均動能是時空氣分子的平均動能是 ： 10、在常溫下，氦氣的定壓摩爾熱容是、在常溫下，氦氣的定壓摩爾熱容是 A B R C D 2R E 2 R 2 3R 2 5R JkT 20 1004

17、. 1 2 5 二、熱力學(xué)理論二、熱力學(xué)理論 （一）可逆過程：無摩擦的準(zhǔn)靜態(tài)過程（一）可逆過程：無摩擦的準(zhǔn)靜態(tài)過程 如果一個系統(tǒng)如果一個系統(tǒng)p進行后，存在另一個過程進行后，存在另一個過程q，可以使，可以使 原過程反方向進行，使系統(tǒng)和外界都恢復(fù)到原來的狀態(tài)原過程反方向進行，使系統(tǒng)和外界都恢復(fù)到原來的狀態(tài) 而不留下任何影響，那么原來的過程稱為可逆過程。反而不留下任何影響，那么原來的過程稱為可逆過程。反 之稱為不可逆過程。之稱為不可逆過程。 例：例： 一個系統(tǒng)經(jīng)歷的過程是不可逆的，就是說，該系統(tǒng)不可能一個系統(tǒng)經(jīng)歷的過程是不可逆的，就是說，該系統(tǒng)不可能 再回到原來的狀態(tài)。再回到原來的狀態(tài)。 （二）準(zhǔn)靜

18、態(tài)過程（二）準(zhǔn)靜態(tài)過程 無限緩慢進行的過程，有一系列依次接替的平衡態(tài)組成無限緩慢進行的過程，有一系列依次接替的平衡態(tài)組成 的過程，可以系統(tǒng)狀態(tài)圖上一條曲線表示的過程，可以系統(tǒng)狀態(tài)圖上一條曲線表示-過程曲線過程曲線 四個等值過程：四個等值過程： CTPCTVCPV CPVCT C T V CP C T p CV 11 , ; ; ; 絕熱； （三（三)熱力學(xué)第一定律熱力學(xué)第一定律 WEQ 適用于兩平衡態(tài)間任意系統(tǒng)的任意過程適用于兩平衡態(tài)間任意系統(tǒng)的任意過程 例：例： 12、一定的理想氣體從體積、一定的理想氣體從體積V的初狀態(tài)，變到體積為的初狀態(tài)，變到體積為 2V的末狀態(tài)，則不論經(jīng)歷什么過程，系統(tǒng)

19、必然對外做的末狀態(tài)，則不論經(jīng)歷什么過程，系統(tǒng)必然對外做 正功。正功。 W=0 X 理想氣體理想氣體 自由膨脹自由膨脹 13、隔板、隔板C把絕熱材料包裹的容器分為把絕熱材料包裹的容器分為A、B兩部分。如兩部分。如 圖所示，圖所示，A室充以真實氣體，室充以真實氣體，B室為真空?，F(xiàn)將室為真空?，F(xiàn)將C打開，打開， A室氣體充滿整個容器，在此過程中，內(nèi)能應(yīng)（室氣體充滿整個容器，在此過程中，內(nèi)能應(yīng)（ ） ACB 不變不變絕熱自由膨脹絕熱自由膨脹 00, 0EWQ 14、用一、用一不導(dǎo)熱不導(dǎo)熱的活塞，把氣室分成的活塞，把氣室分成A、B兩部分，內(nèi)兩部分，內(nèi) 有理想氣體。活塞和氣室間無摩擦。開始時有理想氣體?；?/p>

20、塞和氣室間無摩擦。開始時tA=270C， tB=370C，活塞最終達平衡狀態(tài)?，F(xiàn)將活塞固定，同時使，活塞最終達平衡狀態(tài)。現(xiàn)將活塞固定，同時使 A、B的溫度各升高的溫度各升高100C，然后撤去對活塞的固定，活塞，然后撤去對活塞的固定，活塞 將向（將向（ B）側(cè)運動。（）側(cè)運動。（9） AB AB 初始條件初始條件: BABA ppKTKT;310;300 末態(tài)末態(tài):KTKT BA 320;310 保持不變保持不變； BA vv BB B B B B AA A A A A pp T p T p pp T p T p 310 320 300 310 960 961 B A p p 活塞將向（活塞將向

21、（ B）側(cè)運動。）側(cè)運動。 15、摩爾質(zhì)量為、摩爾質(zhì)量為 、摩爾數(shù)為、摩爾數(shù)為 的單原子理想氣體進的單原子理想氣體進 行了一次行了一次x過程，在過程，在p-V圖上過程曲線向下平移圖上過程曲線向下平移P0后，后， 恰好與溫度為恰好與溫度為T0的等溫曲線重合，則的等溫曲線重合，則x過程的過程方過程的過程方 程（程（V-T關(guān)系式）為（關(guān)系式）為（ ），），x 過程的比熱過程的比熱c與壓強的與壓強的 關(guān)系為關(guān)系為c（ ） P V P0 T0 P0 2 3 0 0 0 p pR c TT p R V x P V P0 T0 P0 x A B 解解(1)設(shè)設(shè)A態(tài)氣體的狀態(tài)態(tài)氣體的狀態(tài) 方程是方程是: 0

22、0 00 TT p R V RTVpp RTpV (2)比熱比熱 dTdm dQ c 設(shè)在設(shè)在x過程中有一微小變化過程中有一微小變化 微小過程的過程方程：微小過程的過程方程：dT p R dV 0 P V P0 T0 P0 x A B 利用熱力學(xué)第一定律利用熱力學(xué)第一定律 RdTpdV dEdWdQ 2 3 (2)比熱比熱 2 31 1 0 p pR dT dQ dT dQ M c 17、圖中、圖中MN為某理想氣體的絕熱過程曲線，為某理想氣體的絕熱過程曲線， ABC是是 任意過程，箭頭表示過程進行的方向。任意過程，箭頭表示過程進行的方向。ABC過程結(jié)束過程結(jié)束 后氣體的溫度（增加、減小或不變）

23、（后氣體的溫度（增加、減小或不變）（ ）；氣體所吸）；氣體所吸 收的熱量為（正、負或零）（收的熱量為（正、負或零）（ ）。 P V A B M N C 減小減小 負負 解解:(1)MN絕熱過程絕熱過程Q=0 A經(jīng)經(jīng)MN到達到達C,W0 內(nèi)能降低內(nèi)能降低,TCTA (2)設(shè)一循環(huán)過程設(shè)一循環(huán)過程 ABCNM:W0,QNM=0 QABC0 28、一絕熱容器被一活塞分隔成兩部分，其中分別充有一、一絕熱容器被一活塞分隔成兩部分，其中分別充有一 摩爾的氦氣和氮氣，設(shè)初始時摩爾的氦氣和氮氣，設(shè)初始時He的壓強為的壓強為2atm，溫度為，溫度為 400K，N2的壓強為的壓強為1atm，溫度為，溫度為300K

24、。由于兩則壓力不。由于兩則壓力不 等，活塞將在容器內(nèi)滑動。假定活塞是導(dǎo)熱的，摩擦可以等，活塞將在容器內(nèi)滑動。假定活塞是導(dǎo)熱的，摩擦可以 互略不計，互略不計，He和和N2均可視為剛性分子理想氣體，求最終均可視為剛性分子理想氣體，求最終 達到平衡時達到平衡時He的壓強和溫度（的壓強和溫度（2） T=337.5k;P=1.35atm He N2 He N2 解解:系統(tǒng)系統(tǒng)總內(nèi)能總內(nèi)能不變不變;總體積總體積不變不變 初態(tài)初態(tài): 末態(tài)末態(tài):p,T相同相同 molnKTatmpN molnKTatmpHe 1,300,1: 1,400,2: 2222 111 內(nèi)能不變內(nèi)能不變0 2211 TTCTTC V

25、V T=337.5k 體積不變體積不變 p RTnn p RTn p RTn 21 2 22 1 11 P=1.35atm 29、一氣缸的初始體積為、一氣缸的初始體積為30.5l，內(nèi)盛空氣和少量水，內(nèi)盛空氣和少量水 （水的體積可略），總壓強為（水的體積可略），總壓強為3atm.作等溫膨脹時體作等溫膨脹時體 積加倍，水恰好全部消失，此時壓強為積加倍，水恰好全部消失，此時壓強為2atm。繼續(xù)。繼續(xù) 等溫膨脹，使體積再次加倍。空氣和水汽均可看作理等溫膨脹，使體積再次加倍?？諝夂退煽醋骼?想氣體。試求（想氣體。試求（1）氣體的溫度；（）氣體的溫度；（2）最后的壓強；）最后的壓強； （3）水和空氣

26、的摩爾數(shù)。）水和空氣的摩爾數(shù)。 T0=100k, p3=1atm, n1=n2=2mol 解解: 初態(tài)初態(tài) 中間態(tài)中間態(tài) 末態(tài)末態(tài) atmpppTlV3,5 .30 1101 飽和空氣總 atmpppTVV2,2 22012 飽和空氣總 3013 ,4pTVV (1)初態(tài)到中間態(tài)初態(tài)到中間態(tài): 對空氣應(yīng)用等溫過程方程對空氣應(yīng)用等溫過程方程 飽和總 飽和總 ppp VpVp ppp 22 2211 11 )373(1 0 KTatmp 飽和 (2)從中間態(tài)到末態(tài)從中間態(tài)到末態(tài) 對混合氣體應(yīng)用等溫過程方程對混合氣體應(yīng)用等溫過程方程3322 VpVp 總 atmp1 3 （3）將狀態(tài)方程用于初態(tài)的空

27、氣：）將狀態(tài)方程用于初態(tài)的空氣： 飽和總空氣空氣 pppRTnVp 110111 moln2 1 02133 RTnnVp moln2 2 水的摩爾數(shù)：水的摩爾數(shù)： 30、有、有n摩爾的理想氣體，經(jīng)歷如圖所示的準(zhǔn)靜態(tài)過程，摩爾的理想氣體，經(jīng)歷如圖所示的準(zhǔn)靜態(tài)過程， 圖中是圖中是P0,V0是已知量，是已知量，ab是直線，求：是直線，求： （1）氣體在該過程中對外界所作的功和所吸收的熱量。）氣體在該過程中對外界所作的功和所吸收的熱量。 （2）在該過程中溫度最高值是什么？最低值是什么？）在該過程中溫度最高值是什么？最低值是什么？ 并在并在P-V圖上指出其位置。圖上指出其位置。 P V a(3P0,V

28、0) b(P0,3V0) W=Q=4 P0V0 (2P0,2V0)溫度最高溫度最高 a或或b溫度最低溫度最低 nR VP 00 4 nR VP 00 3 P V a(3P0,V0) b(P0,3V0) 解：解：n摩爾，摩爾，P0,V0 （1）由圖知）由圖知 babbaa TTVpVp 由圖線下面積知由圖線下面積知 00 4VpSW 由熱一律，氣體在該過程中吸收的熱量：由熱一律，氣體在該過程中吸收的熱量： 00 4VpWUQ P V a(3P0,V0) b(P0,3V0) （2）由圖知，）由圖知，ab過程過程 方程：方程： 0 0 0 4pV V p p nR Vp V nRV p T nRTp

29、V 0 2 0 0 4 0 dV dT 00 22ppVV 過程方程 0 2 0 0 2 2 nRV p dV Td 為溫度極大值點 00 2 ,2Vp P V a(3P0,V0) b(P0,3V0) a或或b溫度最低溫度最低 nR VP nR pV T 00 min 3 31、2摩爾單原子理想氣體從初態(tài)經(jīng)歷一熱容量摩爾單原子理想氣體從初態(tài)經(jīng)歷一熱容量c2R（1 0.01T）的準(zhǔn)靜態(tài)過程，到達溫度為初態(tài)溫度的）的準(zhǔn)靜態(tài)過程，到達溫度為初態(tài)溫度的2倍、體倍、體 積為初態(tài)體積的積為初態(tài)體積的 倍的終態(tài)。試求內(nèi)能增量倍的終態(tài)。試求內(nèi)能增量 E及系統(tǒng)對及系統(tǒng)對 外所作的功外所作的功A 2 JW JE

30、kT 621 1728 3 .69 0 解：熱容量解：熱容量 dTTRdQ TR dT dQ C 01. 012 01. 012 （1） 由熱一律由熱一律 V nRT p RC pdVdTnCdWdEdQ V V 2 3 （2） V dV T dT dT 2 01. 0 （1）從初態(tài)到末態(tài)積分）從初態(tài)到末態(tài)積分 0 0 0 0 0 0 222 2 01. 0 V V T T T T V dV T dT dT KT2 .69 0 （2）從初態(tài)到末態(tài)內(nèi)能增量）從初態(tài)到末態(tài)內(nèi)能增量 JTTnCE V 17282 00 （3）從初態(tài)到末態(tài)吸收的熱量）從初態(tài)到末態(tài)吸收的熱量 2 00 22 03. 02

31、01. 012 0 0 0 0 RTRTdTTRCdTQ T T T T 系統(tǒng)對外做功：系統(tǒng)對外做功： JEQW621 33、某、某單原子單原子理想氣體經(jīng)歷的一準(zhǔn)靜態(tài)過程中，壓強理想氣體經(jīng)歷的一準(zhǔn)靜態(tài)過程中，壓強 p和溫度和溫度T成反比例關(guān)系。（成反比例關(guān)系。（1）試求此過程中該氣體）試求此過程中該氣體 的摩爾熱容量的摩爾熱容量C；（；（2）設(shè)此過程中某一狀態(tài)的壓強為）設(shè)此過程中某一狀態(tài)的壓強為 p0，體積為，體積為V0，試求在體積從，試求在體積從V0增到增到2V0的一般過程的一般過程 中氣體對外做功量中氣體對外做功量W 。 00 122; 2 7 VPWRC 解解（1）依題意，過程方程可表述

32、為：）依題意，過程方程可表述為： T p （2）狀態(tài)方程）狀態(tài)方程 nRTpV （3）由熱一律）由熱一律pdVdTnCdWdEdQ V 2 )2)(1 (RT n V RTdT n dV 2 nRdT RdTnpRTdT n dQ 2 7 2 3 2 RCV 2 7 (4)系統(tǒng)對外做的功系統(tǒng)對外做的功 nRdTpdVdW2 2 RT n V 由過程方程由過程方程 0 2 0 2 0 0 2 2 TT T V T V 00 0 2 122 1222 0 0 Vp nRTnRdTdWW T T 5-3-11（p140） 水平放置的水平放置的絕熱氣缸絕熱氣缸內(nèi)有一內(nèi)有一不導(dǎo)熱不導(dǎo)熱的隔板，把氣缸分的

33、隔板，把氣缸分 成成A，B兩室，隔板可在氣缸內(nèi)無摩擦的平移，如圖兩室，隔板可在氣缸內(nèi)無摩擦的平移，如圖 所示，每室中容有質(zhì)量相同的同種單原子理想氣體，所示，每室中容有質(zhì)量相同的同種單原子理想氣體， 它們的壓強都是它們的壓強都是P0,體積都是體積都是V0,溫度都是溫度都是T0。今通過。今通過A 室中的電熱絲室中的電熱絲T對氣體加熱，傳給氣體的熱量為對氣體加熱，傳給氣體的熱量為Q， 達到平衡時達到平衡時A室的體積恰為室的體積恰為B室的兩倍，試求室的兩倍，試求A、B兩兩 室種氣體的溫度。室種氣體的溫度。 A BT 隔板隔板 00 00 0 00 00 0 3 9 4 3 9 2 VPQ VP T T

34、 VPQ VP T T B A A BT 隔板隔板 ; 2 3 ; 21 RCnn V 解：解： 初態(tài)：初態(tài)：QTVp, 000 末態(tài)：末態(tài)： BABA VVpp2, （1）由狀態(tài)方程）由狀態(tài)方程 000 000 3 2 ; 3 4 2 2 2 VVVVVVV VV pp TTnRTVp nRTVp nRTVp BABA BA BA BABBB AAA A BT 隔板隔板 （2）對）對A，B組成的組成的 系統(tǒng)應(yīng)用熱一律系統(tǒng)應(yīng)用熱一律 0 0 00 00 23 2 3 TT T Vp TTnCTTnCEQ B BVAV 00 00 0 00 00 0 3 9 4 3 9 2 VPQ VP T T

35、 VPQ VP T T B A 三、熱一律與循環(huán)效率的計算三、熱一律與循環(huán)效率的計算 36、某氣體系統(tǒng)在、某氣體系統(tǒng)在p V圖上的一條循環(huán)曲線如圖所示，試圖上的一條循環(huán)曲線如圖所示，試 求證該系統(tǒng)在對應(yīng)的循環(huán)過程中其摩爾熱容量不能為恒量求證該系統(tǒng)在對應(yīng)的循環(huán)過程中其摩爾熱容量不能為恒量 (12) 例例 P V P V 反證法：反證法： 設(shè)循環(huán)過程中摩爾熱容設(shè)循環(huán)過程中摩爾熱容 量是常量量是常量C，則循環(huán)過，則循環(huán)過 程中吸收的熱量：程中吸收的熱量： 0 dTCdQQ V 循環(huán)后系統(tǒng)恢復(fù)原態(tài)，其內(nèi)能增量：循環(huán)后系統(tǒng)恢復(fù)原態(tài)，其內(nèi)能增量： 0U 但系統(tǒng)對外做功不為零，與熱一律矛盾但系統(tǒng)對外做功不為

36、零，與熱一律矛盾 25-6 四個恒溫?zé)嵩吹臏囟戎g關(guān)系為四個恒溫?zé)嵩吹臏囟戎g關(guān)系為T1= 8 一個平均輸出功率為一個平均輸出功率為50MW的發(fā)電廠，熱機循環(huán)的的發(fā)電廠，熱機循環(huán)的 高溫?zé)嵩礈囟葹楦邷責(zé)嵩礈囟葹門1=1000K,地溫?zé)嵩礈囟鹊販責(zé)嵩礈囟萒2=300K，理，理 論上熱機的最高效率為論上熱機的最高效率為。如果該廠只能達到。如果該廠只能達到 這個效率的這個效率的70%，為了產(chǎn)生，為了產(chǎn)生50MW的電功率，美妙需的電功率，美妙需 要消耗要消耗 J的熱量。的熱量。 MW 0.49 50 %49 W Q %70 %;701 1 2 ； 吸熱 Q W T T 0 V P 0 T 0 3T (

37、等溫線）等溫線） (等溫線）等溫線） 0 V 0 3V 14-22設(shè)想某種雙原子分子理想氣體，在溫度低于設(shè)想某種雙原子分子理想氣體，在溫度低于2T時時 等體摩爾熱容量為等體摩爾熱容量為 ，在溫度高于時，等體摩爾熱，在溫度高于時，等體摩爾熱 容量增至容量增至 。該氣體所經(jīng)歷熱循環(huán)過程如圖所示，。該氣體所經(jīng)歷熱循環(huán)過程如圖所示， 試求循環(huán)效率試求循環(huán)效率. R 2 5 R 2 7 A B C D 0 V P 0 T 0 3T (等溫線）等溫線） (等溫線）等溫線） 0 V 0 3V A B C D 解解:首先判斷吸熱和放熱過首先判斷吸熱和放熱過 程程: 吸熱吸熱:AB,BC 放熱放熱:CD,AD

38、08 2 5 3 2 7 0 00 12 RT TRTR TCTCQ AVBVAB 吸熱吸熱 03ln3ln3 00 RT V V TRWQ B C BCBC 吸熱吸熱 0 V P 0 T 0 3T (等溫線）等溫線） (等溫線）等溫線） 0 V 0 3V A B C D 08 3 2 7 2 5 0 00 21 RT TRTR TCTCQ CVDVAB 放熱放熱 03ln3 ln3 0 0 RT V V TRWQ D A DADA 放熱放熱 3ln8 01 RTQQQ BCAB 總吸熱總吸熱 總放熱總放熱3ln38 02 RTQQQ DACD 0 V P 0 T 0 3T (等溫線）等溫線）

39、 (等溫線）等溫線） 0 V 0 3V A B C D 循環(huán)效率循環(huán)效率: %5 .191 1 2 Q Q 5-3-20 P-V坐標(biāo)面上，坐標(biāo)面上，單原子分子單原子分子理想氣體的兩條等壓線和兩條等體線理想氣體的兩條等壓線和兩條等體線 圍成的矩形圍成的矩形ABCD如圖所示。狀態(tài)如圖所示。狀態(tài)B的溫度是狀態(tài)的溫度是狀態(tài)D的溫度的的溫度的4倍，倍， 狀態(tài)狀態(tài)A與狀態(tài)與狀態(tài)C的溫度相同，過的溫度相同，過A、C的等溫線已在圖中畫出。將的等溫線已在圖中畫出。將 循環(huán)過程循環(huán)過程ABCA、ACDA的效率分別記為的效率分別記為 1和和 2 ，試求：，試求： 1和和 2 的比值的比值 0 V P A B C D

40、 V1 V2 917. 0 2 1 T3 T1 T2 T2 0 V P A B C D V1 V2 T3 T1 T2 T2 解：解： 13 4, 2 3 , 2 5 TTRCRC Vp 由狀態(tài)方程：由狀態(tài)方程： 111 221 322 212 : : : : RTVpD RTVpC RTVpB RTVpA )4( 13 2 3 1 2 1 2 TT T T T T V V 0 V P A B C D V1 V2 T3 T1 T2 T2 2,2 1 2 12 V V TT 循環(huán)循環(huán)ABCA: 05 123 RTTTCQ pAB 03 132 RTTTCQ VBC 02ln2ln 1 2 1 2

41、RT V V RTWQCA 效率：效率： 2ln1 5 2 1 1 AB CABC Q QQ 0 V P A B C D V1 V2 T3 T1 T2 T2 2,2 1 2 12 V V TT 循環(huán)循環(huán)ACDA: 0 2 3 112 RTTTCQ VDA 02ln2ln 1 1 2 2 RT V V RTQAC 效率：效率： 32ln4 12ln22 1 2 DAAC CD QQ Q 0 2 5 121 RTTTCQ pCD 0 V P A B C D V1 V2 T3 T1 T2 T2 917. 0 2 1 37、1mol單原子理想氣體從初態(tài)單原子理想氣體從初態(tài)p032Pa壓強，體積壓強，體

42、積 V08m3經(jīng)經(jīng)pV圖上的直線過程到達終態(tài)壓強圖上的直線過程到達終態(tài)壓強p1 1Pa，體積，體積V164m3；再經(jīng)絕熱過程回到初態(tài)，如此；再經(jīng)絕熱過程回到初態(tài)，如此 構(gòu)成一循環(huán)。求此循構(gòu)成一循環(huán)。求此循 環(huán)的效率（環(huán)的效率（7） P V a c b 52% P V a c b 解：解： paVpapmVPap64,1,8,32 11 3 00 （1）求吸熱放熱的轉(zhuǎn)折點）求吸熱放熱的轉(zhuǎn)折點C pdVdT R dQ 2 3 0 設(shè)直線的過程方程：設(shè)直線的過程方程： Vp 直線上任一點：直線上任一點： RTpV 2 1 VV R T P V a c b 對某一微小過程：對某一微小過程： VdVdV

43、 R dT 2 1 代入熱一律：代入熱一律： dVVdQ 4 2 5 若該過程在若該過程在C點附近：點附近： 0dQ 8 5 C V 8 3 C Vp p P V a c b 由由a，b兩點坐標(biāo)兩點坐標(biāo) papa 56 31 ; 7 255 3 1 .41,7 .13mVpap CC （2）效率）效率 0WEQAC 0WEQCB %521 AC CB Q Q 38、等容熱容量等容熱容量為常量的某理想氣體的兩個循環(huán)過程為常量的某理想氣體的兩個循環(huán)過程 曲線如圖所示曲線如圖所示,圖中的兩條斜直線均過圖中的兩條斜直線均過p V坐標(biāo)面的原坐標(biāo)面的原 點點O,其余各直線或與其余各直線或與p軸平行或與軸平

44、行或與V軸平行。試證：這軸平行。試證：這 兩個循環(huán)過程的效率相等兩個循環(huán)過程的效率相等.(11) P V o A B C E F G P V o A B C E F G 解解（1） 計算計算ABCA循環(huán)效率循環(huán)效率 判斷吸熱、放熱判斷吸熱、放熱 AB:吸熱；吸熱；BC:放熱；放熱； CA：放熱：放熱 吸熱：吸熱： Vkp RTpV WEQQ AB AB 1 22 1 2 1 AB V ABAB VV R C kQQ P V o A B C E F G 循環(huán)過程系統(tǒng)對外做功：循環(huán)過程系統(tǒng)對外做功： 2 2 2 1 AB ABAB VV k VVppW ABCA效率：效率： AB V AB VV

45、R C VV Q W 1 2 1 P V o A B C E F G , , 與斜率無關(guān) 有關(guān)、只與 V AB AB C VV VV ABCA和和GEFG循環(huán)循環(huán)CV 相同相同, GE GE AB AB VV VV VV VV 所以這兩個循環(huán)過程的效率相等所以這兩個循環(huán)過程的效率相等 32、某理想氣體經(jīng)歷的正循環(huán)過程、某理想氣體經(jīng)歷的正循環(huán)過程 ABCDA和正循環(huán)和正循環(huán) 過程過程AEFGA如圖所示，有關(guān)特征態(tài)的狀態(tài)參量在圖如圖所示，有關(guān)特征態(tài)的狀態(tài)參量在圖 中已經(jīng)給出，各自效率分別記為中已經(jīng)給出，各自效率分別記為 1和和 2， 試試 證：證： 2 ： 1 =4：3（15） A P V o B

46、C D E F G V02V07/3V0 P0 2P0 3P0 A P V o BC D E F G V02V07/3V0 P0 2P0 3P0 解：設(shè)理想氣體的摩爾解：設(shè)理想氣體的摩爾 數(shù)為數(shù)為n,態(tài)態(tài)A溫度溫度T0, （1）根據(jù)狀態(tài)方程：）根據(jù)狀態(tài)方程： nRTpV 000 00 7;3;2 ;4;2 TTTTTT TTTT FED CB （2）ABCDA循環(huán)效率循環(huán)效率 0001 01 2 nRTVpW TCCnQQQ pVBCAB A P V o BC D E F G V02V07/3V0 P0 2P0 3P0 ABCDA循環(huán)效率：循環(huán)效率： pV CC R Q W 2 1 1 1 （

47、3）AEFGA循環(huán)效率循環(huán)效率 0001 01 3 8 3 4 2 22 nRTVpW TCCnQQQ pVEFAE AEFGA循環(huán)效率循環(huán)效率 pV CC R Q W 23 4 1 1 2 A P V o BC D E F G V02V07/3V0 P0 2P0 3P0 所以所以 3 4 1 2 四熱力學(xué)第二定律四熱力學(xué)第二定律 A. 克勞修斯表述：克勞修斯表述： B. 開耳文表述：開耳文表述： 不可能把熱量從低溫物體傳到高溫物體，而不產(chǎn)生不可能把熱量從低溫物體傳到高溫物體，而不產(chǎn)生 任何影響任何影響 不可能制成一種循環(huán)工作的熱機，只從單一熱源不可能制成一種循環(huán)工作的熱機，只從單一熱源 吸熱

48、全部變?yōu)橛杏霉Χ划a(chǎn)生任何影響吸熱全部變?yōu)橛杏霉Χ划a(chǎn)生任何影響 25、熱力學(xué)第二定律的開爾文表述為、熱力學(xué)第二定律的開爾文表述為 ；熱力學(xué)；熱力學(xué) 第二定律的克勞修斯表述為第二定律的克勞修斯表述為 。(19,25) 例例 22、從單一熱源吸收熱量并將其完全用來對外做功，、從單一熱源吸收熱量并將其完全用來對外做功， 是不違反熱力學(xué)第二定律的，例如是不違反熱力學(xué)第二定律的，例如 過程就是這種過程就是這種 情況（情況（2） 等溫等溫 24、假設(shè)循環(huán)由等溫過程、假設(shè)循環(huán)由等溫過程 和 絕 熱 過 程 組 成 （ 如和 絕 熱 過 程 組 成 （ 如 圖），圖）， 可以認為（可以認為（ ）(4) （a

49、）此循環(huán)過程違反）此循環(huán)過程違反 熱力學(xué)第一定律熱力學(xué)第一定律 （b）此循環(huán)過程違反）此循環(huán)過程違反 熱力學(xué)第二定律熱力學(xué)第二定律 （c）此循環(huán)過程既違）此循環(huán)過程既違 反熱力學(xué)第一定律，又反熱力學(xué)第一定律，又 違反熱力學(xué)第二定律違反熱力學(xué)第二定律 1 2 a b V 0 P 24-圖圖 C熵增原理熵增原理 在孤立系中進行的自然過程總是沿著熵增大的方向在孤立系中進行的自然過程總是沿著熵增大的方向 進行，它是不可逆的。平衡態(tài)相當(dāng)于熵的最大狀態(tài)進行，它是不可逆的。平衡態(tài)相當(dāng)于熵的最大狀態(tài) （2）孤立系可逆過程熵不變）孤立系可逆過程熵不變 0s （1）孤立系不可逆過程熵增加）孤立系不可逆過程熵增加 0s (3)熵熵S是系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)是系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù) WKSln 玻耳茲曼關(guān)系式玻耳茲曼關(guān)系式 26、熱力學(xué)系統(tǒng)處于某一宏觀態(tài)時，將它的熵記為、熱力學(xué)系統(tǒng)處于某一宏觀態(tài)時，將它的熵記為S， 該宏觀態(tài)包含的微觀態(tài)個數(shù)記為該宏觀態(tài)包含的微觀態(tài)個數(shù)記為 W，玻耳茲曼假設(shè)二，玻耳茲曼假設(shè)二 者間的關(guān)系為者間的關(guān)系為 。一個系統(tǒng)從平衡態(tài)。一個系統(tǒng)從平衡態(tài) A經(jīng)平衡過經(jīng)平衡過 程到達平衡態(tài)程到達平衡態(tài)B，狀態(tài)，狀態(tài)A的熵的熵SA與狀態(tài)與狀態(tài)B的熵的熵SB之間的之間的 關(guān)系為關(guān)系為 。(19) WKSln0S （4）熵的計算：）熵的計算： 任意系統(tǒng)