大學物理 波動

1、1 喀納斯湖的神秘波紋喀納斯湖的神秘波紋 出自一位物理工作者的攝像出自一位物理工作者的攝像 怪獸怪獸 2 第二章第二章 波動波動 Waves 本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容： 簡諧波的描述簡諧波的描述 簡諧波動力學簡諧波動力學 波的干涉波的干涉 駐波駐波 多普勒效應多普勒效應 3 按振動的物理量劃分按振動的物理量劃分 2.1 波的分類波的分類 Classification of Waves 機械波、電磁波、機械波、電磁波、 按振動性質(zhì)劃分按振動性質(zhì)劃分 簡諧波、非簡諧波簡諧波、非簡諧波 按振動方向劃分按振動方向劃分 橫波、縱波、準橫波、準縱波橫波、縱波、準橫波、準縱波 按傳播性質(zhì)劃分按傳播性質(zhì)劃分

2、 行波、駐波行波、駐波 4 簡諧波簡諧波波動方程的導出波動方程的導出 一一 、機械波產(chǎn)生與傳播的條件、機械波產(chǎn)生與傳播的條件 1. 振源振源波源波源 2. 彈性媒質(zhì)彈性媒質(zhì)以彈性力相互聯(lián)系的連續(xù)分以彈性力相互聯(lián)系的連續(xù)分 布的質(zhì)元布的質(zhì)元 ( (如水、空氣、固體等如水、空氣、固體等) ) 3. 簡諧波簡諧波波源作簡諧振動波源作簡諧振動, 在波傳到的區(qū)在波傳到的區(qū) 域域, 媒質(zhì)中的質(zhì)元均作簡諧振動媒質(zhì)中的質(zhì)元均作簡諧振動 5 簡諧波簡諧波波動方程的導出波動方程的導出 橫波：橫波：質(zhì)元振動方向與波的傳播方向相質(zhì)元振動方向與波的傳播方向相 垂直垂直的波的波 （僅在固體中傳播（僅在固體中傳播 ） 特征

3、：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷 6 簡諧波簡諧波波動方程的導出波動方程的導出 縱波：縱波：質(zhì)點振動方向與波的傳播方向互相質(zhì)點振動方向與波的傳播方向互相 平行平行的波的波（在固、液和氣體中傳播） （在固、液和氣體中傳播） 特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部 7 u O Y X 簡諧波簡諧波波動方程的導出波動方程的導出 點點O 的振動狀態(tài)的振動狀態(tài) 0 cos() o Aty 點點 P = x t u t 時刻點時刻點 P 的運動的運動 t x/u 時刻點時刻點O 的運動的運動 以速度以速度 u 沿沿 x 軸正向傳軸正向傳 播的平面簡諧波。原點播

4、的平面簡諧波。原點 O 的振動方程的振動方程 0 cos() o Aty 時間推遲方法時間推遲方法 0 cos ()+y P x A t u 點點 P 振動方程振動方程 x P t = x u/ 8 簡諧波簡諧波波動方程的導出波動方程的導出 相位落后法相位落后法 P點點: A、 均與均與O點點相同，但相位落后相同，但相位落后 2 x ,2 P x x tAty 0 ()cos P x u O X Y 9 簡諧波簡諧波波動方程的導出波動方程的導出 , 0 ()cos2 ()y x x tAt 又可得：又可得： , 0 ()cos ()y x x tAt u 若平面波沿若平面波沿 X 軸負方向傳播

5、，則有軸負方向傳播，則有 T 2 2 u 利用利用 0 2 cos()Autx 0 cos2 () tx A T 10 2.2 簡諧波的描述簡諧波的描述 Description of Harmonic Waves 簡諧波表達式簡諧波表達式(波函數(shù)波函數(shù)) (舊稱：波動方程舊稱：波動方程) 0 2 cosAtx y 沿沿+x方向傳播的簡諧波方向傳播的簡諧波 波函數(shù)本質(zhì)：波函數(shù)本質(zhì)：任意位置任意位置x處質(zhì)點的振動方程處質(zhì)點的振動方程 特點：同一時刻，沿傳播方向，波相依次特點：同一時刻，沿傳播方向，波相依次 滯后滯后 11 波參量：波參量： A：振幅：振幅 ：角頻率角頻率(圓頻率圓頻率) 0：x=0

6、 處質(zhì)點振動的初相處質(zhì)點振動的初相 依賴于波源依賴于波源 ：波長：波長 波形圖：波形圖： t1 x y A u O t2 12 波相波相 0 2 tx 對應于對應于 x 處質(zhì)點處質(zhì)點 t 時刻的振動狀態(tài)時刻的振動狀態(tài) 若若 2 1=2k (k=0, 1, 2, )，則兩則兩 質(zhì)點的振動狀態(tài)相同。質(zhì)點的振動狀態(tài)相同。 =uT u：波速波速(依賴于介質(zhì)的性質(zhì)依賴于介質(zhì)的性質(zhì)) 13 Notes:波函數(shù)的其它形式：波函數(shù)的其它形式： 0 cos () x At u y 0 cos2 () tx A T 沿沿 x 方向傳播的波方向傳播的波: 0 2 cos()Atxy 0 cos () x At u

7、14 波速是波相傳播的速度波速是波相傳播的速度(相速度相速度) 令令 0 2 .txconst d d2 / x u tT 兩個術(shù)語：兩個術(shù)語： i) 波陣面波陣面(波面波面)(wavefront) 波動中相位相同的點所組成波動中相位相同的點所組成 的曲面的曲面 Notes: 15 ii)波射線波射線(波線波線) (wave ray) 代表波的傳播方向的有向直線代表波的傳播方向的有向直線 e.g. 波陣面波陣面 波射線波射線 Notes: 16 例例2-1 簡諧波波速為簡諧波波速為6.0 m/s, 振動周期為振動周期為 0.10 s, 則波長為則波長為；在波的傳播；在波的傳播 方向上兩點的波相

8、差為方向上兩點的波相差為 5 /6，則這兩，則這兩 點相距點相距 。 解：解： uT 2 x )(60. 010. 00 . 6m 2 x 思考思考 波相在這兩點間傳播，需時？波相在這兩點間傳播，需時？ )(25. 060. 0 2 6/5 m 17 例例2-2平面簡諧波沿平面簡諧波沿X軸負方向傳播，波速軸負方向傳播，波速 為為u，已知，已知 x=x0 處質(zhì)點的振動方程為處質(zhì)點的振動方程為 y =Acos( t+ 0)，則該波的波函數(shù)為，則該波的波函數(shù)為 。 解：解： x 處相位比處相位比 x0 處超前處超前 xx 0 2 = Atxx y 00 2 cos+()+ 故故 x 處質(zhì)點的振動方程

9、為處質(zhì)點的振動方程為 X x0 x u O 18 0 0 cos xx At u y 將將 u uT 2 代入，得代入，得 思考思考 x=0 處質(zhì)點的振動方程？處質(zhì)點的振動方程？ 若波沿若波沿 x 軸正方向傳播，結(jié)果？軸正方向傳播，結(jié)果？ 波函數(shù)波函數(shù) 19 2.3 簡諧波的動力學簡諧波的動力學 Dynamics of Harmonic Waves 能量的傳播能量的傳播 質(zhì)元的動能：質(zhì)元的動能： 22 11 =() 22 k t, x Emm t y v m Atx 222 0 12 =sin (-+) 2 20 質(zhì)元的機械能：質(zhì)元的機械能： 222 0 2 sin () kp EEmAtx

10、),( xtf 質(zhì)元的能量不斷變化質(zhì)元的能量不斷變化 有能量的傳播有能量的傳播 質(zhì)元的勢能：質(zhì)元的勢能： kp EE 21 22 質(zhì)元的平均能量密度：質(zhì)元的平均能量密度： 能量密度：能量密度： V EE w pk 222 0 2 sinAtx 平均能量密度：平均能量密度： 22 2 1 Aw 23 波的強度波的強度 (平均能流密度平均能流密度) I 單位時間內(nèi)通過垂直于波的傳播方向單位時間內(nèi)通過垂直于波的傳播方向 單位面積的平均能量單位面積的平均能量 u S S uSw I uw 22 2 1 Au 24 例例2-3 一列橫波在一列橫波在t時刻的波形曲線如圖，則時刻的波形曲線如圖，則 該時刻能

11、量為最大值的媒質(zhì)質(zhì)元的位該時刻能量為最大值的媒質(zhì)質(zhì)元的位 置是置是。 O x y O a b c d e f g 解：解：在平衡位置處的質(zhì)元，能量最大。在平衡位置處的質(zhì)元，能量最大。 a, c, e, g 思考思考 能量為最小值的質(zhì)元位置能量為最小值的質(zhì)元位置? ? 25 2.4 惠更斯原理惠更斯原理 Huygens Principle C. Huygens (1629-1695)于于1690年提出：年提出： 波陣面上各點可作為子波的波源，其后任一波陣面上各點可作為子波的波源，其后任一 時刻，這些子波的包跡就是新的波陣面時刻，這些子波的包跡就是新的波陣面 惠更斯原理惠更斯原理 應用：解決波的傳

12、播方向問題應用：解決波的傳播方向問題 26 Note 機械波從波疏介質(zhì)機械波從波疏介質(zhì)(波阻抗波阻抗 u較小較小)垂垂 直入射到波密介質(zhì)直入射到波密介質(zhì)( u較大較大)的界面上，的界面上， 反射波的波相突變反射波的波相突變 。 半波損失半波損失 27 相位躍變（半波損失）相位躍變（半波損失） 當波從波疏介質(zhì)垂直入射到波密介質(zhì)，入射波與反射當波從波疏介質(zhì)垂直入射到波密介質(zhì)，入射波與反射 波在此處的相位時時相反波在此處的相位時時相反, 即反射波在分界處產(chǎn)生即反射波在分界處產(chǎn)生 的相位躍變，相當于出現(xiàn)了半個波長的波程差，稱半的相位躍變，相當于出現(xiàn)了半個波長的波程差，稱半 波損失波損失 波密介質(zhì)波密介

13、質(zhì) u 較大較大 波疏介質(zhì)波疏介質(zhì)較小較小 u 28 當波從波密介質(zhì)垂直入射到波疏介質(zhì)，入射波與反射當波從波密介質(zhì)垂直入射到波疏介質(zhì)，入射波與反射 波在此處的相位時時相同，即反射波在分界處不產(chǎn)生波在此處的相位時時相同，即反射波在分界處不產(chǎn)生 相位躍變相位躍變 29 疊加原理疊加原理 兩個以上波函數(shù)的合波函數(shù)，是各兩個以上波函數(shù)的合波函數(shù)，是各 波函數(shù)之和波函數(shù)之和 Note:該原理僅對強度較小的波成立該原理僅對強度較小的波成立 相干條件相干條件 Coherent conditions 頻率相同頻率相同 振動方向相同振動方向相同 相位差恒定相位差恒定 2.5 簡諧波的干涉簡諧波的干涉 Inter

14、ference of Harmonic Waves 30 波的疊加原理波的疊加原理 2幾列波相遇之后，仍然保持它們各自原有的特征幾列波相遇之后，仍然保持它們各自原有的特征 （頻（頻、波長、振幅、振動方向等）不變，并按照原來、波長、振幅、振動方向等）不變，并按照原來 的方向繼續(xù)前進，好象沒有遇到過其他波一樣的方向繼續(xù)前進，好象沒有遇到過其他波一樣 2在相遇區(qū)域內(nèi)任一點的振動，為各列波單獨存在時在相遇區(qū)域內(nèi)任一點的振動，為各列波單獨存在時 在該點所引起的振動位移的矢量和在該點所引起的振動位移的矢量和 31 頻率相同、振動頻率相同、振動 方向平行、相位方向平行、相位 相同或相位差恒相同或相位差恒 定

15、的兩列波相遇定的兩列波相遇 時，使某些地方時，使某些地方 振動始終加強，振動始終加強， 而使另一些地方而使另一些地方 振動始終減弱的振動始終減弱的 現(xiàn)象，稱為波的現(xiàn)象，稱為波的 干涉現(xiàn)象干涉現(xiàn)象. 波的干涉波的干涉 32 相干波相干波 相干波源相干波源 相長干涉與相消干涉相長干涉與相消干涉 S1：y1=A1cos( t+ 10) S2：y2=A2cos( t+ 20) p點處：點處： 11110 2 cosAtr y 22220 2 cosAtr y p S1 S2 r1 r2 33 合振幅：合振幅： 22 1212 2cosAAAA A A依賴于依賴于 ： 若若 =2k (k=0, 1, 2

16、, ) 則則 A=A1 +A2 相長干涉相長干涉 若若 =(2k+1) (k=0, 1, 2, ) 則則 A= A1 A2 相消干涉相消干涉 其中其中 201021 2 ()()rr 34 例例2-4 如圖如圖, S1、S2為相干波源為相干波源, 相距相距3 /2, S1初相為初相為 /2, 要使要使S2C上各點發(fā)生相上各點發(fā)生相 消干涉消干涉, 則則S2的初相應為的初相應為. C S1S2 解：解： 設設S2C上任意一點距上任意一點距S1、S2分別為分別為r1、r2, 則在該點處有則在該點處有 11 2 / 2tr 2202 2 tr 35 212012 2 / 2()rr 20 (21)5

17、/ 2k 20 5/ 2 ) 12(k 思考思考在在S1S2連線的中垂線上，各點干涉情況連線的中垂線上，各點干涉情況? 平面上相長、相消干涉的各點如何分布平面上相長、相消干涉的各點如何分布? )(2/2為整數(shù)為整數(shù)kk 36 2.6 駐波駐波 Standing Waves 1 2 cos()atx y 2 2 cos()atx y 設兩列振幅相同的相干波相向傳播：設兩列振幅相同的相干波相向傳播： X 1 2 37 駐波的產(chǎn)生駐波的產(chǎn)生 振幅、頻率、傳播速度都相同的兩列相干振幅、頻率、傳播速度都相同的兩列相干 波，在同一直線上沿相反方向傳播時疊加波，在同一直線上沿相反方向傳播時疊加 而形成的一種

18、特殊的干涉現(xiàn)象而形成的一種特殊的干涉現(xiàn)象. 38 12 2 2 coscosaxt yy 不具有不具有 的形式，不存在的形式，不存在 相位的傳播，稱之為駐波相位的傳播，稱之為駐波 )( u x tf 波形圖波形圖： o t1 x y t2 39 駐駐 波波 的的 形形 成成 40 振幅振幅xaA 2 cos2 駐波特點駐波特點 2 ) 12( 2 kx (21) 4 xk 波節(jié)波節(jié) wave nodes 令令0 2 cosx (k為整數(shù)為整數(shù)) 41 kx 2 2 xk 波腹波腹 wave loops 相鄰波腹和相鄰波節(jié)的距離都相鄰波腹和相鄰波節(jié)的距離都 /2 令令1 2 cosx 規(guī)律：規(guī)律

19、： (k為整數(shù)為整數(shù)) 42 能量能量 沒有能量的單向傳播沒有能量的單向傳播 弦中的駐波弦中的駐波 L 兩端固定：兩端固定： 相位相位 相鄰波節(jié)之間各點振動同相，同一相鄰波節(jié)之間各點振動同相，同一 波節(jié)兩側(cè)各點振動反相波節(jié)兩側(cè)各點振動反相 43 ), 3 , 2 , 1( 2 n L u n u f n n f1：基頻基頻 f2 、f3 ：二次、三次諧頻二次、三次諧頻 ), 3 , 2 , 1( 2 nnL n n L n 2 Note:弦弦(繩繩)中的行波在固定端反射時有半中的行波在固定端反射時有半 波損失波損失, 在自由端反射時沒有在自由端反射時沒有 44 例例2-5 在繩上傳播的入射波的

20、波函數(shù)為在繩上傳播的入射波的波函數(shù)為 y1=Acos( t+2 x/ )，入射波在繩端，入射波在繩端 (x=0)反射，反射端為自由端，設反射反射，反射端為自由端，設反射 波不衰減，求駐波方程。波不衰減，求駐波方程。 解：解： 在在x=0處處, 入射波的振動方程入射波的振動方程: 1 cosAty 反射端自由，無半波損失反射端自由，無半波損失 X Ox 2 cosAty 反射波的振動方程反射波的振動方程: 45 思考思考 波腹、波節(jié)位置？波腹、波節(jié)位置？ 駐波方程駐波方程: 12 2 cos(2/ )cosAxtyyy 反射波波函數(shù)反射波波函數(shù): 2 cos(2/ )Atxy 若反射端為固定端，

21、結(jié)果？若反射端為固定端，結(jié)果？ 46 Chap.2 SUMMARY 簡諧波表達式簡諧波表達式 (波函數(shù)波函數(shù)) 沿沿+x方向傳播方向傳播 0 2 cos()yAtx )(uT 沿沿x方向傳播方向傳播 0 2 cos()yAtx 0 cos () x At u 47 簡諧波的動力學簡諧波的動力學 質(zhì)元的能量質(zhì)元的能量 kp EE ),( xtfEE kp 波的強度波的強度(平均能流密度平均能流密度) 22 2 1 AuuwI 波動方程波動方程 48 22 222 1 xut yy 惠更斯原理惠更斯原理 半波損失半波損失 疊加原理：疊加原理： i i yy 簡諧波的干涉簡諧波的干涉 從波疏到波密，

22、垂直入射，反射時相位突從波疏到波密，垂直入射，反射時相位突 變變 . 49 相干條件：相干條件： 頻率相同頻率相同 振動方向相同振動方向相同 相位差恒定相位差恒定 合振幅：合振幅： 22 1212 2cosAAAA A 若若=2k (k=0, 1, 2, ) 則則A=A1 +A2 相長干涉相長干涉 若若=(2k+1) (k=0, 1, 2, ) 則則A= A1 A2 相消干涉相消干涉 50 駐波駐波 形成條件形成條件 特點：特點： 各點振幅不同各點振幅不同 波節(jié)：波節(jié)：A=0, x= /2 波腹：波腹：A=2a, x= /2 相鄰波節(jié)之間同相，波節(jié)兩側(cè)反相相鄰波節(jié)之間同相，波節(jié)兩側(cè)反相 無能量

23、的單向傳播無能量的單向傳播 51 多普勒效應多普勒效應 RS S v R v R RS S u ff u v v 52 EXERCISES 平面簡諧波沿平面簡諧波沿OX軸的負方向傳播，波長為軸的負方向傳播，波長為 ，P處質(zhì)點的振動規(guī)律如圖所示。處質(zhì)點的振動規(guī)律如圖所示。求求P處處 質(zhì)點的振動方程；質(zhì)點的振動方程；求此波的波函數(shù)；求此波的波函數(shù)；若若 圖中圖中d= /2，求坐標原點，求坐標原點O處質(zhì)點的振動方程處質(zhì)點的振動方程. d X OP O t (s) yP(m) -A 1 53 旋矢圖：旋矢圖： O X A 0 = P處質(zhì)點的振動方程為處質(zhì)點的振動方程為 cos() 2 SI P At

24、y T 2 1 2 (s ) 42 解：解：由圖：由圖：振幅為振幅為A 54 將將d = /2, x=0代入上式，得代入上式，得O處質(zhì)點振動處質(zhì)點振動 方程：方程： cos(SI) 2 O At y 思考思考若若P點在點在O點的左側(cè)，結(jié)果？點的左側(cè)，結(jié)果？ 波函數(shù)為波函數(shù)為 2 cos()() 2 SI Atxd y 55 解：解： 圖示一平面簡諧波在圖示一平面簡諧波在t=0時刻的波形圖，求時刻的波形圖，求 該波的波函數(shù)；該波的波函數(shù)；P處質(zhì)點的振動方程。處質(zhì)點的振動方程。 由波形圖：由波形圖：A=0.04 m, =0.40 m O P X(m) Y(m) -0.04 0.20 u=0.08m

25、/s x=0處旋矢圖處旋矢圖： O X A 0= /2 =2 f=2 u/ =0.4 (s 1) 56 x=0處的振動方程：處的振動方程： 0.04cos(0.40.5 ) ()SIty 波函數(shù)：波函數(shù)： 2 0.04cos(0.40.5 )tx y 0.04cos(0.450.5 ) ()SItx 將將x=0.20 m代入，得代入，得P點振動方程：點振動方程： 0.04cos(0.41.5 ) ()SIty 思考思考 若該波反向傳播，結(jié)果？若該波反向傳播，結(jié)果？ 57 一平面簡諧波振幅為一平面簡諧波振幅為A，頻率為，頻率為 ，波沿，波沿X 軸正方向傳播軸正方向傳播. 設設t=t0時刻波形如圖

26、所示，則時刻波形如圖所示，則 x=0處質(zhì)點振動方程為處質(zhì)點振動方程為 1 02 ( )cos2()AAtty 1 02 ( )cos2()BAtty 1 02 ( )cos2()CAtty 0 ()cos2()DAtty O X Y u 58 解：解： 由波形圖：由波形圖：t=t0時，時，x=0處振動的相位為處振動的相位為 = /2 . 思考思考該波的波函數(shù)？該波的波函數(shù)？ 將將t=t0代入各式代入各式 (B) 59 解：解：與波函數(shù)的一般形式對比：與波函數(shù)的一般形式對比： 若一平面簡諧波的波函數(shù)為若一平面簡諧波的波函數(shù)為y=Acos(Bt-Cx), 式中式中A、B、C為正值恒量，則為正值恒量

27、，則 (A)波速為波速為C (B)周期為周期為1/B (C)波長為波長為2 /C (D)圓頻率為圓頻率為2 /B C=2 / (C) 0 2 cos Atx y = 2 /C 60 一平面簡諧波在彈性媒質(zhì)中傳播，在媒質(zhì)一平面簡諧波在彈性媒質(zhì)中傳播，在媒質(zhì) 質(zhì)元從最大位移處回到平衡位置的過程中質(zhì)元從最大位移處回到平衡位置的過程中 (A)它的勢能轉(zhuǎn)換成動能它的勢能轉(zhuǎn)換成動能 (B)它的動能轉(zhuǎn)換成勢能它的動能轉(zhuǎn)換成勢能 (C)它從相鄰的一段媒質(zhì)質(zhì)元獲得能量，其它從相鄰的一段媒質(zhì)質(zhì)元獲得能量，其 能量逐漸增加能量逐漸增加 (D)它把自己的能量傳給相鄰的一段媒質(zhì)質(zhì)它把自己的能量傳給相鄰的一段媒質(zhì)質(zhì) 元，

28、其能量逐漸減小元，其能量逐漸減小 答案：答案：(C) 思考思考在相反過程中，結(jié)果在相反過程中，結(jié)果? 61 如圖，兩列波長為如圖，兩列波長為 的相干波在的相干波在P點相遇，點相遇， S1點的初相是點的初相是 1，S2點的初相是點的初相是 2，以，以k 代表代表 整數(shù)，則整數(shù)，則P點是干涉極大的條件為點是干涉極大的條件為 (A) r2r1=k (B) 2 1=2k (C) 2 1+2 (r2 r1)/ =2k (D) 2 1+2 (r1 r2)/ =2k 解：解： 在在P點處，兩個振動的相：點處，兩個振動的相： 1 = t+ 12 r1/ 2 = t+ 22 r2/ p S1 S2 r1 r2 62 2 1 = 2 12 (r2r1)/ (D) 思考思考 (A)(B)(C)錯在哪里錯在哪里? 應應 = 2k 63 設入射波的波函數(shù)為設入射波的波函數(shù)為 1 cos2 xt A T y 在在x=0處發(fā)生反射，反射點為一固定端，設反處發(fā)生反射，反射點為一固定端，設反 射時無能量損失，求：射時無能量損失，求： 反射波的波函數(shù)；反射波的波函數(shù)； 合成的駐波的表達式；合成的駐波的表達式； 波腹和波節(jié)的位置。波腹和波節(jié)的位置。 解：解：在在x=0處，入射波引起的振動為處，入射波引起的振動為 10 cos2 t A T y 64 20 cos 2 t