材料力學(xué)第五章 彎曲強(qiáng)度1

1、材料力學(xué)材料力學(xué)9 何斌 2021年6月23日星期三 Page 2 何斌何斌 材料力學(xué) Page 3 何斌何斌 材料力學(xué) Page 4 何斌何斌 材料力學(xué) 實(shí)際構(gòu)件的承載能力與變形形式有關(guān)，不同變形形式下的承載能實(shí)際構(gòu)件的承載能力與變形形式有關(guān)，不同變形形式下的承載能 力，不僅與截面的大小有關(guān)，而且與截面的幾何形狀有關(guān)。力，不僅與截面的大小有關(guān)，而且與截面的幾何形狀有關(guān)。 拉壓拉壓：, FFl l AEA 扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)： m ax , PPP TTTl IWGI 彎曲：彎曲：max , zz MyM IW A, IP, WP, Iz, Wz表征截表征截 面幾何性質(zhì)的面幾何性質(zhì)的 量量 Page

2、5 何斌何斌 材料力學(xué) Page 6 何斌何斌 材料力學(xué) 一、一、 靜矩靜矩 z A y A SydA SzdA z y o y z dA 積分積分 分別稱(chēng)為對(duì)坐標(biāo)軸分別稱(chēng)為對(duì)坐標(biāo)軸z和和y的靜矩的靜矩 或一次矩?；蛞淮尉?。 靜矩的量綱：靜矩的量綱： 3 L Page 7 何斌何斌 材料力學(xué) 二二. . 形心形心 回顧理論力學(xué)的回顧理論力學(xué)的 質(zhì)心計(jì)算公式：質(zhì)心計(jì)算公式： V c ydm y M AA c hydAydA y hAA zcyc Sy A Sz A z y o y z dA C zc yc 均質(zhì)等厚薄板質(zhì)均質(zhì)等厚薄板質(zhì) 心位于中面形心心位于中面形心 , zy AA SydASzd

3、A 靜矩靜矩： , y z cc SS yz AA 或或 如果截面對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸為形心軸。如果截面對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸為形心軸。 形心軸：通過(guò)截面形心的坐標(biāo)軸。形心軸：通過(guò)截面形心的坐標(biāo)軸。 Page 8 何斌何斌 材料力學(xué) 三、三、 組合截面的靜矩與形心組合截面的靜矩與形心 z A AAA ccc SydA ydAydAydA yAyAyA 23 1 123 123 123 z y o A1 A2 A3 11 i nn ici zii c SyA S y AAA z y o A1 A2 ()() zzz SSS 整整孔孔 ()() ()() zz c SS y AA 整整孔孔

4、整整孔孔 負(fù)面積法負(fù)面積法 Page 9 何斌何斌 材料力學(xué) 例例: 試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的x軸的靜矩。軸的靜矩。 解：解：取平行于取平行于x軸的狹長(zhǎng)條，軸的狹長(zhǎng)條， )()(yh h b yb易求 yyh h b Ad)(d 因此 所以對(duì)所以對(duì)x軸的靜矩為軸的靜矩為 6 d)(d 2 0 bh yyyh h b Ay S h A x Ox y b(y ) ydy h b Page 10 何斌何斌 材料力學(xué) 例：例： 確定下圖所示截面的形心位置確定下圖所示截面的形心位置 60 10 50 10 y zA1 A2 1122 12 cc c y

5、AyA y AA 解：解：將截面分為兩部分，將截面分為兩部分， 利用組合截面的公式：利用組合截面的公式： Page 11 何斌何斌 材料力學(xué) Page 12 何斌何斌 材料力學(xué) z y o y z dA 22 , zy AA Iy dAIz dA 2 p A IdA 一、一、 截面對(duì)截面對(duì)o點(diǎn)的極慣性矩或二次極矩點(diǎn)的極慣性矩或二次極矩 二、二、 截面對(duì)截面對(duì)z軸或軸或y軸的慣性矩軸的慣性矩 或二次軸矩或二次軸矩 三、三、 一個(gè)恒等式一個(gè)恒等式 222 () pzy IIIzy Page 13 何斌何斌 材料力學(xué) z y o y z dA 五、五、 截面對(duì)截面對(duì)z軸或軸或y軸的慣性半徑軸的慣性半

6、徑 , y z yz II ii AA 四、四、 截面對(duì)截面對(duì)z軸與軸與y軸的慣性積軸的慣性積 yz A IyzdA 六、六、 慣性矩與慣性積的組合截面公式慣性矩與慣性積的組合截面公式 z y o A1 A2 A3 y 111 , nnn zziyiyzyzi iii IIIIII Page 14 何斌何斌 材料力學(xué) 0 0 或或 0 0 0 z y O dA y z Page 15 何斌何斌 材料力學(xué) 例例: 試計(jì)算圖試計(jì)算圖a所示矩形截面對(duì)于其對(duì)稱(chēng)軸（即形心軸）所示矩形截面對(duì)于其對(duì)稱(chēng)軸（即形心軸）x 和和y的慣性矩。的慣性矩。 解：解：取平行于 取平行于x軸的狹長(zhǎng)條，軸的狹長(zhǎng)條， 則則 d

7、A=b dy 12 dd 3 2 2 22 bh ybyAy I h h A x 同理同理 12 3 hb Iy y h C x dy y b (a) Page 16 何斌何斌 材料力學(xué) 已知：已知：圓截面直徑圓截面直徑d 求：求：Iy， Iz， IP d r dr dA C y z 解：解：取圓環(huán)微元面積取圓環(huán)微元面積 Page 17 何斌何斌 材料力學(xué) Page 18 何斌何斌 材料力學(xué) 設(shè)有面積為設(shè)有面積為A的任意形狀的截面。的任意形狀的截面。 C為其形心，為其形心，Cxcyc為形心坐標(biāo)為形心坐標(biāo) 系。與該形心坐標(biāo)軸分別平行系。與該形心坐標(biāo)軸分別平行 的任意坐標(biāo)系為的任意坐標(biāo)系為Oxy

8、,形心形心C在在 在在Oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a , b) 任意微面元任意微面元dA在兩坐標(biāo)系在兩坐標(biāo)系 下的坐標(biāo)關(guān)系為：下的坐標(biāo)關(guān)系為： ayybxx CC a yc y xc x C O b dAxc yc y x Page 19 何斌何斌 材料力學(xué) Aa I AayAa I AaAyaAy AayAy I c c x c x AA c A c A c A x 2 2 2 2 22 2 dd2d dd 同理，有：同理，有： AaII c xx 2 AbII c yy 2 abAII ccy xxy （此為此為平行移軸公式平行移軸公式 ） 注意：注意： 式中的式中的a、b代表

9、坐標(biāo)值，有時(shí)可能取負(fù)值。代表坐標(biāo)值，有時(shí)可能取負(fù)值。 等號(hào)右邊各首項(xiàng)為相對(duì)于形心軸的量。等號(hào)右邊各首項(xiàng)為相對(duì)于形心軸的量。 Page 20 何斌何斌 材料力學(xué) Page 21 何斌何斌 材料力學(xué) 任意面元任意面元dA 在舊坐標(biāo)系在舊坐標(biāo)系oxy和和 新坐標(biāo)系新坐標(biāo)系ox1y1的關(guān)系為：的關(guān)系為： sincos sincos 1 1 xyy yxx 代入代入慣性矩慣性矩的定義式：的定義式： AyI A x d 2 1 1 x y O x y x y 1 1 A B C D E dA x y1 1 Page 22 何斌何斌 材料力學(xué) cossin2sincos dcossin2 dsindcos

10、22 2222 1 xyyx AAA x III AxyAxAyI 利用二倍角函數(shù)代入上式，得利用二倍角函數(shù)代入上式，得轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 ： 2cos2sin 2 2sin2cos 22 2sin2cos 22 11 1 1 xy yx yx xy yxyx y xy yxyx x I II I I IIII I I IIII I Page 23 何斌何斌 材料力學(xué) 注：注： 上式中的上式中的 的符號(hào)為：從舊軸的符號(hào)為：從舊軸x至新軸至新軸x1逆時(shí)針為正，逆時(shí)針為正， 順時(shí)針為負(fù)。順時(shí)針為負(fù)。 yxyx IIII 11 （上式表明，截面對(duì)于通過(guò)同一點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直（上式表明，截面對(duì)于通過(guò)同

11、一點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直 的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對(duì)該坐的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對(duì)該坐 標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩 ） 將前兩式相加得將前兩式相加得 Page 24 何斌何斌 材料力學(xué) Page 25 何斌何斌 材料力學(xué) 由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可知，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，慣性由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可知，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，慣性 積將隨著積將隨著 角作周期性變化，且有正有負(fù)。因此，必有一角作周期性變化，且有正有負(fù)。因此，必有一 特定的角度特定的角度 0，使截面對(duì)于新坐標(biāo)軸，使截面對(duì)于新坐標(biāo)軸x0、y0的慣性積等于的慣性積等于 零。零。 (1) 主慣性軸主慣性軸: :截面對(duì)其

12、慣性積等于截面對(duì)其慣性積等于0的一對(duì)坐標(biāo)軸。的一對(duì)坐標(biāo)軸。 (2) 主慣性矩主慣性矩: :截面對(duì)于主慣性軸的慣性矩。截面對(duì)于主慣性軸的慣性矩。 (3) 形心主慣性軸：當(dāng)一對(duì)主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心主慣性軸：當(dāng)一對(duì)主慣性軸的交點(diǎn)與截面的 形心重合時(shí)。形心重合時(shí)。 (4) 形心主慣性矩形心主慣性矩: :截面對(duì)于形心主慣性軸的慣性矩。截面對(duì)于形心主慣性軸的慣性矩。 Page 26 何斌何斌 材料力學(xué) 確定確定主慣性軸主慣性軸的位置的位置 設(shè)設(shè) 0 0是舊軸是舊軸x 逆時(shí)針轉(zhuǎn)向逆時(shí)針轉(zhuǎn)向主慣性主慣性軸軸x0的角度，則由的角度，則由慣性慣性 積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義，得積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義

13、，得 02cos2sin 2 00 xy yx I II 可改寫(xiě)為可改寫(xiě)為 yx xy II I 2 2tan 0 （注：將負(fù)號(hào)置于分子上有利于確定（注：將負(fù)號(hào)置于分子上有利于確定2 0 0角的象限）角的象限） Page 27 何斌何斌 材料力學(xué) 由上面由上面tan2 0的表達(dá)式求出的表達(dá)式求出cos2 0、 、sin2 0后，再代入 后，再代入 慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式 ，化簡(jiǎn)后可得，化簡(jiǎn)后可得主慣性矩的計(jì)算公式：主慣性矩的計(jì)算公式： I II II I xy yx yx x 2 2 4 2 1 2 0 I II II I xy yx yx y 2 2 4 2 1 2 0 極大值Im

14、ax 極小值Imin Page 28 何斌何斌 材料力學(xué) 幾個(gè)結(jié)論幾個(gè)結(jié)論 若截面有一根對(duì)稱(chēng)軸，則此軸即為形心若截面有一根對(duì)稱(chēng)軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，主慣性軸之一， 另一另一形心形心主慣性軸為通過(guò)形心并與對(duì)稱(chēng)軸垂直的軸。主慣性軸為通過(guò)形心并與對(duì)稱(chēng)軸垂直的軸。 若若截面有二根對(duì)稱(chēng)軸，則此二軸即為形心截面有二根對(duì)稱(chēng)軸，則此二軸即為形心主慣性軸。主慣性軸。 若若截面有三根對(duì)稱(chēng)軸，則通過(guò)形心的任一軸均為形心截面有三根對(duì)稱(chēng)軸，則通過(guò)形心的任一軸均為形心 主慣性軸，且主慣性矩相等。主慣性軸，且主慣性矩相等。 Page 29 何斌何斌 材料力學(xué) Page 30 何斌何斌 材料力學(xué) Page 31 何

15、斌何斌 材料力學(xué) 將組合圖形分解為若干簡(jiǎn)單圖形，并確定組合圖形的形心位將組合圖形分解為若干簡(jiǎn)單圖形，并確定組合圖形的形心位 置。置。 以形心為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)以形心為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)Oyz坐標(biāo)系，坐標(biāo)系，y、z 軸軸 一般與簡(jiǎn)單圖一般與簡(jiǎn)單圖 形的形心主軸平行。確定簡(jiǎn)形的形心主軸平行。確定簡(jiǎn) 單圖形對(duì)自身形心軸的慣性矩，利單圖形對(duì)自身形心軸的慣性矩，利 用移軸用移軸 定理（必要時(shí)用轉(zhuǎn)軸定理）確定各個(gè)簡(jiǎn)單定理（必要時(shí)用轉(zhuǎn)軸定理）確定各個(gè)簡(jiǎn)單 圖形對(duì)圖形對(duì)y、z軸軸 的慣性矩和慣性積，相加（空洞時(shí)則減）后便得到整個(gè)圖形的的慣性矩和慣性積，相加（空洞時(shí)則減）后便得到整個(gè)圖形的 Iy、Iz 和和Iyz。 計(jì)算

16、形心主慣性矩計(jì)算形心主慣性矩Iy0和和Iz0。 確定形心主軸的位置，即形心主軸與確定形心主軸的位置，即形心主軸與 z 軸的夾角。軸的夾角。 Page 32 何斌何斌 材料力學(xué) 例題例題 已知：已知：圖形尺圖形尺 寸如圖所示。寸如圖所示。 求：求：圖形的形圖形的形 心主矩心主矩 50 27030 300 解解 ：1 1將所給圖形分解為簡(jiǎn)單圖形的組合將所給圖形分解為簡(jiǎn)單圖形的組合 C1 C2 2.2.建立初始坐標(biāo)，確定形心位置建立初始坐標(biāo)，確定形心位置 Page 33 何斌何斌 材料力學(xué) 例題例題 Iy0=Iy0()+Iy0(II) 90 C1 C2 C y z 150 60 3. 3. 確定形心

17、主慣性矩確定形心主慣性矩 y0 z0 Page 34 何斌何斌 材料力學(xué) 例題例題 Iz0=Iz0()+Iz0() 3. 3. 確定形心主慣性矩確定形心主慣性矩 90 C1 C2 C y z 150 60 y0 z0 Page 35 何斌何斌 材料力學(xué) 思考思考：O為直角三角形為直角三角形ABD斜邊上的中點(diǎn)，斜邊上的中點(diǎn)，x、y軸為過(guò)點(diǎn)軸為過(guò)點(diǎn) 且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關(guān)于慣性積和慣性矩且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關(guān)于慣性積和慣性矩 有四種答案有四種答案(已知已知ba)： （A）Ixy （B） Ixy (C) Ixy= （D） Ix=Iy 正確答案是正確答案是(C) x A B D y O a b Page 36 何斌何斌 材料力學(xué) 思考：等腰直角三角形如圖所示，思考：等腰直角三角形如圖所示，x、y軸是過(guò)斜邊中點(diǎn)軸是過(guò)斜邊中點(diǎn) 的任意一對(duì)坐標(biāo)軸（即圖中的任意一對(duì)坐標(biāo)軸（即圖中 為任意值），該圖形的為任意值），該圖形的: : (1)(1)慣性積慣性積Ixy (2)(2)慣性矩慣性矩I Ix 、 I Iy。 y x a a 答案：答案：0；a4/24; a4/24 Page 37 何斌何斌 材料力學(xué) 1. 靜矩、慣性矩依賴(lài)坐標(biāo)系數(shù)值不同，但是不同坐標(biāo)系中的