材力第15章 壓桿穩(wěn)定

1、20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院1 1 第15章 壓桿穩(wěn)定 （課本第11章內(nèi)容） 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院2 2 15-1.1 構(gòu)件穩(wěn)定的概念構(gòu)件穩(wěn)定的概念 演示實驗演示實驗1 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院3 3 構(gòu)件除了強度、剛度失效外，還可能發(fā)生穩(wěn)定失效構(gòu)件除了強度、剛度失效外，還可能發(fā)生穩(wěn)定失效。 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電

2、大學自動化學院4 4 失穩(wěn)的工程實例失穩(wěn)的工程實例 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院5 5 龍門吊梁失穩(wěn)龍門吊梁失穩(wěn) 失穩(wěn)的工程實例失穩(wěn)的工程實例 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院6 6 工程中有些構(gòu)工程中有些構(gòu) 件具有足夠的強度、件具有足夠的強度、 剛度，卻不一定能剛度，卻不一定能 安全可靠地工作。安全可靠地工作。 失穩(wěn)的工程實例失穩(wěn)的工程實例 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院7 7 15-1.2

3、 臨界力臨界力 使中心受壓直桿的直線平衡形式，由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變使中心受壓直桿的直線平衡形式，由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變 為不穩(wěn)定平衡時所受的軸向壓力，稱為為不穩(wěn)定平衡時所受的軸向壓力，稱為臨界載荷臨界載荷，或簡，或簡 稱為稱為臨界力臨界力。 演示實驗演示實驗2、3 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院8 8 平衡路徑、平衡路徑（構(gòu)形）分叉平衡路徑、平衡路徑（構(gòu)形）分叉 失穩(wěn)（屈曲）失穩(wěn)（屈曲） 臨界點、臨界載荷（分叉載荷）臨界點、臨界載荷（分叉載荷） 幾個概念幾個概念 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北

4、京郵電大學自動化學院9 9 15-2 細長壓桿的臨界力細長壓桿的臨界力 根據(jù)壓桿失穩(wěn)是由直線平衡形式轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢礁鶕?jù)壓桿失穩(wěn)是由直線平衡形式轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢?衡形式的這一重要概念，可以預料，凡是影響彎曲衡形式的這一重要概念，可以預料，凡是影響彎曲 變形的因素，如截面的抗彎剛度變形的因素，如截面的抗彎剛度 ，桿件長度和兩，桿件長度和兩 端的約束情況，都會影響壓桿的臨界力。端的約束情況，都會影響壓桿的臨界力。 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院1010 PyxM)( 假定壓力已達到臨界值，桿已經(jīng)處于微彎狀 態(tài)，如圖， 從撓曲線入手，求臨界

5、力。 y EI P EI M y 0 2 ykyy EI P y EI P k 2 :其中 PP x P x y P M 15-2.1兩端鉸支壓桿的臨界力兩端鉸支壓桿的臨界力歐拉公式歐拉公式 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院1111 sincosyAkxBkx 0)()0(Lyy 0cossin 00 : kLBkLA BA 即 0sin kL A、B不能全為零！不能全為零！ 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院1212 sin0kL nP k LEI 臨界力臨界力

6、Pcr 是微彎下的最小壓力是微彎下的最小壓力，故，只能取，故，只能取n=1 ；且；且 桿將繞慣性矩最小的軸彎曲。桿將繞慣性矩最小的軸彎曲。 2 min 2 cr EI P L sin nx yA L 屈曲模態(tài)：屈曲模態(tài)： A為不定常數(shù)，屈曲模態(tài)幅值為不定常數(shù)，屈曲模態(tài)幅值 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院1313 15-2.2 其他約束情況壓桿的臨界力其他約束情況壓桿的臨界力 2 2 () cr EI P l l為不同壓桿屈曲后撓曲線上正弦半波的長度，稱為為不同壓桿屈曲后撓曲線上正弦半波的長度，稱為有效有效 （相當）長度（相當）

7、長度。 稱為稱為長度系數(shù)長度系數(shù)，它反映了約束情況對臨界力的，它反映了約束情況對臨界力的 影響：影響： 兩端鉸支兩端鉸支 =1.0 一端固定一端自由一端固定一端自由 =2.0 兩端固定兩端固定 =0.5 一端固定一端鉸支一端固定一端鉸支 =0.7 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院1414 匯總表匯總表 支承情況支承情況 失穩(wěn)時撓曲線形狀失穩(wěn)時撓曲線形狀 臨界力臨界力Pcr 歐拉公式歐拉公式 長度系數(shù)長度系數(shù) 兩端鉸支兩端鉸支 Pcr A B l 2 2 l EI P cr =1 2 2 )7 . 0(l EI P cr l 一端

8、固定一端固定 另端鉸支另端鉸支 0.7 Pcr A B 0.7l C C 撓曲撓曲 線拐點線拐點 Pcr l 一端固定一端固定 另端自由另端自由 2 2 )2( l EI P cr =2 2l l 兩端固定但可沿兩端固定但可沿 橫向相對移動橫向相對移動 2 2 l EI P cr =1 0.5l Pcr C 撓曲線拐點撓曲線拐點 l C、D 撓撓 曲線拐點曲線拐點 0.5l 兩端固定兩端固定 2 2 )5 . 0(l EI P cr =0.5 A B C D cr P 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院1515 15-3 壓桿的臨

9、界應力壓桿的臨界應力 歐拉公式只有在彈性范圍內(nèi)才是適用的。為了判歐拉公式只有在彈性范圍內(nèi)才是適用的。為了判 斷壓桿失穩(wěn)時是否處于彈性范圍，以及超出彈性范圍斷壓桿失穩(wěn)時是否處于彈性范圍，以及超出彈性范圍 后臨界力的計算問題，必須引入臨界應力及柔度（長后臨界力的計算問題，必須引入臨界應力及柔度（長 細比）的概念。細比）的概念。 2222 222 ()() cr cr PEIEiE AlAl A I i l i 截面的慣性半徑截面的慣性半徑 柔度柔度 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院1616 1. 細長桿細長桿 p p pcr E E

10、 2 2 2 這類壓桿又稱為這類壓桿又稱為大柔度桿大柔度桿。對于不同的材料，因彈性。對于不同的材料，因彈性 模量和比例極限模量和比例極限p各不相同，各不相同，p的數(shù)值亦不相同。例如的數(shù)值亦不相同。例如 A3鋼，鋼，E=210GPa，p=200MPa，可算得，可算得p=102。 歐拉公式只適用于大柔度桿的穩(wěn)定性計算！歐拉公式只適用于大柔度桿的穩(wěn)定性計算！ )( p 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院1717 2. 中長桿中長桿 這類壓桿失穩(wěn)時，橫截面上的應力已超過比例極這類壓桿失穩(wěn)時，橫截面上的應力已超過比例極 限，故屬于彈塑性穩(wěn)定

11、問題。對于中長桿，一般采用限，故屬于彈塑性穩(wěn)定問題。對于中長桿，一般采用 經(jīng)驗公式計算其臨界應力。經(jīng)驗公式計算其臨界應力。 ba ba cr cr 2 拋物線公式：拋物線公式： 直線公式：直線公式： )( sp crs s s ab a b 例如例如3鋼鋼 ：61.6 s 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院1818 常用材料的常用材料的a、b值值 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院1919 3. 粗短桿粗短桿)( s 這類桿又稱為小柔度桿。這類壓桿將發(fā)生這類桿又稱為小

12、柔度桿。這類壓桿將發(fā)生 強度失效，而不是失穩(wěn)。強度失效，而不是失穩(wěn)。 故：故： crs 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院2020 臨界應力總圖臨界應力總圖 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院2121 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院2222 【例【例15-1】 A3鋼制成的矩形截鋼制成的矩形截 面桿的受力及兩端面桿的受力及兩端 約束情形如圖所示，約束情形如圖所示， 其中其中a為正視圖為正視圖,b為為

13、俯視圖。在俯視圖。在A、B 兩處用螺栓夾緊。兩處用螺栓夾緊。 已知已知 l=2.0m, b=40mm, h=60mm, 材料的彈性模量材料的彈性模量 E=210GPa,求此桿求此桿 的臨界載荷。的臨界載荷。 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院2323 【例【例15-1：解：解】 354 1 5 1 1 1 1 1 1 7.2 10 12 7.2 10 17.32 40 60 1 1 2000 115 17.32 Ibhmm I imm A l i 在在x-z平面內(nèi)平面內(nèi): 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京

14、郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院2424 354 2 5 2 2 2 2 2 1 3.2 10 12 3.2 10 11.55 40 60 0.5 0.5 2000 86.6 11.55 Ihbmm I imm A l i 在在x-y平面內(nèi)平面內(nèi): 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院2525 )102( 1 p 所以所以 2295 1 22 1 2.1 107.2 10 373 ()(1 2000) cr EI PkN l 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院2

15、626 15-4 壓桿的穩(wěn)定計算之一壓桿的穩(wěn)定計算之一 安全系數(shù)法安全系數(shù)法 為了保證壓桿不失穩(wěn)，并具有一定的安全裕度，為了保證壓桿不失穩(wěn)，并具有一定的安全裕度， 因此壓桿的穩(wěn)定條件可表示為因此壓桿的穩(wěn)定條件可表示為: : nst是穩(wěn)定安全系數(shù)。由于壓桿存在初曲率和是穩(wěn)定安全系數(shù)。由于壓桿存在初曲率和 載荷偏心等不利因素的影響。載荷偏心等不利因素的影響。nst值一般比強度安值一般比強度安 全系數(shù)要大些，并且全系數(shù)要大些，并且越大，越大，nst值也越大。值也越大。 st cr n P P n 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院272

16、7 【例【例15-2】 千斤頂如圖所示千斤頂如圖所示, 絲杠長度絲杠長度l=375mm, 內(nèi)徑內(nèi)徑d=40mm,材料材料 是是A3鋼鋼,最大起重最大起重 量量P=80KN,規(guī)定穩(wěn)規(guī)定穩(wěn) 定安全系數(shù)定安全系數(shù)nst=3。 試校核絲杠的穩(wěn)定試校核絲杠的穩(wěn)定 性。性。 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院2828 【例【例15-2：解：解】 （1 1）絲杠可簡化為下端固定上端自由的壓桿）絲杠可簡化為下端固定上端自由的壓桿,故長故長 度系數(shù)度系數(shù)u=2。計算絲杠的柔度。計算絲杠的柔度: 4 Id i A 2 375 75 40 44 ll

17、d i (2)計算臨界力并較核穩(wěn)定性計算臨界力并較核穩(wěn)定性 A3鋼的鋼的 而而 ,可知絲杠是中柔度壓桿可知絲杠是中柔度壓桿,采用直線經(jīng)驗公采用直線經(jīng)驗公 式計算其臨界載荷。式計算其臨界載荷。 由表查得由表查得a=304MPa，b=1.12MPa 102 P 61.6 s 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院2929 【例【例15-2：解：解】 故絲杠的臨界載荷為故絲杠的臨界載荷為 2 2 () 4 (3041.1275)40 4 277 crcr PAabd KN 校核絲杠的穩(wěn)定性校核絲杠的穩(wěn)定性 277 3.46 80 cr st

18、 P nn P 所以此千斤頂絲杠是穩(wěn)定的。所以此千斤頂絲杠是穩(wěn)定的。 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院3030 *15-4 壓桿的穩(wěn)定計算之二壓桿的穩(wěn)定計算之二 A P 折減系數(shù)法折減系數(shù)法(穩(wěn)定系數(shù)法穩(wěn)定系數(shù)法) / 1 / stcrst u n n 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院3131 壓桿的穩(wěn)定系數(shù)壓桿的穩(wěn)定系數(shù) 壓桿的穩(wěn)定系數(shù)壓桿的穩(wěn)定系數(shù) 3 號鋼號鋼 16Mn 鋼鋼 鑄鑄 鐵鐵 木木 材材 0 10 20 1.000 0.995 0.981 1.0

19、00 0.993 0.973 1.00 0.97 0.91 1.00 0.99 0.97 30 40 0.958 0.927 0.940 0.895 0.81 0.69 0.93 0.87 50 60 0.888 0.842 0.840 0.776 0.57 0.44 0.80 0.71 70 0.789 0.705 0.34 0.60 80 0.731 0.627 0.26 0.48 90 100 0.669 0.604 0.546 0.462 0.20 0.16 0.38 0.31 110 120 0.536 0.466 0.384 0.325 0.26 0.22 130 140 0.40

20、1 0.349 0.279 0.242 0.18 0.16 150 160 0.306 0.272 0.213 0.188 0.14 0.12 170 180 0.243 0.218 0.168 0.151 0.11 0.10 190 200 0.197 0.180 0.136 0.124 0.09 0.08 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院3232 【例【例15-3】 T1 A B W T2 x y z O 起重機的起重機的 AB 桿為圓桿為圓 松木，長松木，長 L= 6m， =11MPa, 直徑直徑d = 0.3m，試此桿的

21、容許，試此桿的容許 壓力。壓力。 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院3333 【例【例15-3：解：解】 T1 A B W T2 x y z O 80 3 . 0 461 i L xy 最大柔度最大柔度 x-y面 內(nèi) ，面 內(nèi) ， =1.0 z-y面內(nèi)，面內(nèi)， =2.0 160 30 462 .i L zy 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院3434 【例【例15-3：解：解】 T1 A B W T2 x y z O 查折減系數(shù)查折減系數(shù) 12. 0160 W kN9

22、1101112. 0 4 3 . 0 6 2 WBCBC AP 求容許壓力求容許壓力 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院3535 【例【例15-4】柱由兩個】柱由兩個No.20a的槽鋼組成。柱長的槽鋼組成。柱長l=6m,下端固定上下端固定上 端鉸支端鉸支(圖圖15-10a)。材料是。材料是A3鋼，鋼，=160MPa。（。（1）兩個槽）兩個槽 鋼緊靠在一起（連結(jié)為一整體）（圖鋼緊靠在一起（連結(jié)為一整體）（圖15-10b）；）；(2)兩槽鋼拉開兩槽鋼拉開 距離距離a ,使使Iy=Iz。分別求兩種情況下柱的許用載荷。分別求兩種情況下柱的

23、許用載荷P。 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院3636 【解】（【解】（1）兩槽鋼緊靠的情況）兩槽鋼緊靠的情況 由型鋼表查得：由型鋼表查得： 232 228.83 105.766 10Amm 464 min 2244 104.88 10 y IImm 6 min 3 4.88 10 29.1 5.766 10 y y I iimm A 3 0.7 6 10 144 29.1 y y l i 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院3737 由表15-2查得 用直線內(nèi)插法求

24、得 144 140 0.349(0.3490.306)0.332 150 140 3 1 0.332 160 5.766 10306PAKN 于是壓桿的許用載荷為于是壓桿的許用載荷為 140,0.349;150,0.306 144 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院3838 (2) Iy=Iz的情況 474 2 1780 103.56 10 yz IImm 7 3 3.56 10 78.6 5.766 10 y imm 3 0.7 6 10 53.4 78.6 y y l i 由表15-2查得 50,0.888;60,0.842

25、53.4 53.450 0.888(0.8880.842)0.872 6050 壓桿的許用載荷為 3 2 0.872 160 5.766 10804PAKN 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院3939 其次，為保證每個槽鋼不發(fā)生局部失穩(wěn)，其次，為保證每個槽鋼不發(fā)生局部失穩(wěn)， 沿柱長每隔沿柱長每隔 l1的長度內(nèi)應有連接板的長度內(nèi)應有連接板(綴條綴條)(圖圖15- 10d)。因兩連接板間的每個槽鋼通?？醋鲀啥?。因兩連接板間的每個槽鋼通常看作兩端 鉸支，而單個槽鋼的鉸支，而單個槽鋼的 imin=21.1mm 故由故由 1min 21.1

26、 53.41127 y limm 1 min y l i 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院4040 15-5 提高壓桿承載能力的措施提高壓桿承載能力的措施 壓桿的穩(wěn)定性取決于臨界載荷的大壓桿的穩(wěn)定性取決于臨界載荷的大 小。由臨界應力圖可知，當柔度減小。由臨界應力圖可知，當柔度減 小時，則臨界應力提高，所以提高小時，則臨界應力提高，所以提高 壓桿承載能力的措施主要是盡量減壓桿承載能力的措施主要是盡量減 小壓桿的長度，選用合理的截面形小壓桿的長度，選用合理的截面形 狀，增加支承的剛性以及合理選用狀，增加支承的剛性以及合理選用 材料。

27、材料。 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院4141 1. 減小壓桿的長度減小壓桿的長度 減小壓桿的長度，可提高了壓桿的臨界載減小壓桿的長度，可提高了壓桿的臨界載 荷。工程中，為了減小柱子的長度，通常荷。工程中，為了減小柱子的長度，通常 在柱子的中間設置一定形式的撐桿，它們在柱子的中間設置一定形式的撐桿，它們 與其他構(gòu)件連接在一起后，對柱子形成支與其他構(gòu)件連接在一起后，對柱子形成支 點，限制了柱子的彎曲變形，起到減小柱點，限制了柱子的彎曲變形，起到減小柱 長的作用。對于細長桿，若在柱子中設置長的作用。對于細長桿，若在柱子中設置 一個支點，則長度減小一半，而承載能力一個支點，則長度減小一半，而承載能力 可增加到原來的可增加到原來的4 4倍。倍。 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三北京郵電大學自動化學院北京郵電大學自動化學院4242 2. 選擇合理的截面形狀選擇合理的截面形狀 壓桿的承載能力取決壓