第11章_動(dòng)量矩定理

1、 理論力學(xué)理論力學(xué) Lvliang University PAG 2 第十一章第十一章 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 質(zhì)點(diǎn) 質(zhì)點(diǎn)系 動(dòng)量定理： 動(dòng)量的改變外力(外力系主矢) 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)外力(外力系主矢) 動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某固定 點(diǎn)(或固定軸)的動(dòng)量矩的改變與外力對(duì)同一固定點(diǎn) (或固定軸)之矩兩者之間的關(guān)系。 Lvliang University PAG 3 4 1 2 3 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 動(dòng)量矩定理 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 第十一章第十一章 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程 Lvliang Un

2、iversity PAG 4 11-111-1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 一、一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩 對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩：質(zhì)點(diǎn) 的動(dòng)量對(duì)固定點(diǎn)O之矩。 A B 單位: kgm2/s 垂直于矢徑與動(dòng)量形成的平面； 大小: 方向: )( vmM O 矢量 r 符合右手法則；指向: y x z O vm )( vmMO vmr | )(|vmMO OBArmvsin OAB S 2 Lvliang University PAG 5 y x z O A B A B xy vm )( 對(duì)z軸的動(dòng)量矩：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量在 Oxy平面內(nèi)的投影對(duì)z軸之矩。 單位:kgm2/s 正負(fù):迎著z軸看，逆時(shí)

3、針為 正，順時(shí)針為負(fù)。 代數(shù)量 )( vmM O vm r 質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩與對(duì)軸z的動(dòng)量矩之間的關(guān)系: 11-111-1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 )( vmM z )( vmM z )()(vmMvmM zzO Lvliang University PAG 6 11-111-1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 二二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩 對(duì)軸的動(dòng)量矩 1、剛體平移 平移剛體對(duì)固定點(diǎn)(或固定軸)的動(dòng)量矩等于剛 體質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該固定點(diǎn)(或固定軸)的動(dòng)量矩。 )( iiOO vmML )( iizz vmML zzO LL kLjLiLL zyx

4、O );( COO vmML )( Czz vmML Lvliang University PAG 7 A B z 2、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 iiv m i r i m 11-111-1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 () zzii LMmv iii rvm)( iii rrm)( 2 iir m 2 iiz rmJ zz JL Lvliang University PAG 8 11-211-2 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 一、一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理定理 設(shè)O為定點(diǎn)， r )(FM O )( vmM O 質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)O 的動(dòng)量矩為)( vmMO 作用力F 對(duì)定點(diǎn)O 的矩為)(

5、FMO )( )( vmr dt d vmM dt d O )( vm dt d rvm dt rd Frvmv )()( FMvmM dt d OO z y x O F vm m Lvliang University PAG 9 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理： 質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等 于作用力對(duì)同一點(diǎn)之矩。 質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定軸的動(dòng)量矩 對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等 于作用力對(duì)同一軸之矩 11-211-2 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 )()( FMvmM dt d OO () ( ) () ( ) () ( ) x x y y z z d Mmv MF dt d Mmv MF dt d Mmv MF dt

6、投投影影式式 Lvliang University PAG 10 11-211-2 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 二二、質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系系的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩定理定理 = 0 由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理得： 作用于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力有內(nèi)力Fii和外力Fie )()()( i iO e iOiiO FMFMvmM dt d )()()( i iO e iOiiO FMFMvmM dt d )()( e iOiiO FMvmM dt d )( e iO O FM dt Ld Lvliang University PAG 11 內(nèi)力不改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定軸的動(dòng)量矩 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用 于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)同一軸 之矩

7、的代數(shù)和。 11-211-2 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 )( e iO O FM dt Ld 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理： 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)O 的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)， 等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)O點(diǎn)之矩的矢量和。 )( )( )( e iz z e iy y e ix x FM dt Ld FM dt Ld FM dt Ld 投投影影式式 Lvliang University PAG 12 gm )(lm 例例11-1 一單擺在平面內(nèi)小幅度擺動(dòng)一單擺在平面內(nèi)小幅度擺動(dòng), ,擺繩長(zhǎng)擺繩長(zhǎng)l, ,擺捶擺捶質(zhì)量為質(zhì)量為m, ,求求 擺捶微小擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。擺捶微小擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。 解：解： 取擺捶為研究對(duì)象取擺捶

8、為研究對(duì)象, ,畫(huà)受力圖畫(huà)受力圖 運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析 lmvvmM O )( 擺捶對(duì)擺捶對(duì)O軸的動(dòng)量矩軸的動(dòng)量矩 llv O F lml)( 2 ml sin)(lmgFMO 擺捶外力對(duì)擺捶外力對(duì)O軸的力矩軸的力矩 )()(FMvmM dt d OO 由擺捶對(duì)由擺捶對(duì)O軸的動(dòng)量矩定理得軸的動(dòng)量矩定理得 sin 2 lmgml 11-211-2 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 Lvliang University PAG 13 gm )(lm O F sin 2 lmgml 0sin l g , 0sin 0 l g )sin(tlgA )cos()sin(tlgBtlgA 或或 11-211-2 動(dòng)量矩定

9、理動(dòng)量矩定理 Lvliang University PAG 14 O 解：解： 取小車(chē)與鼓輪為取小車(chē)與鼓輪為 研究對(duì)象研究對(duì)象, ,畫(huà)受力圖畫(huà)受力圖 運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析 vRmJLO 2 RgmMFM e iO )sin()( 2 系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩軸的動(dòng)量矩 系統(tǒng)外力對(duì)系統(tǒng)外力對(duì)O軸的力矩軸的力矩 例例11-2 高爐運(yùn)送礦石用的卷?yè)P(yáng)機(jī)。已知鼓輪半徑高爐運(yùn)送礦石用的卷?yè)P(yáng)機(jī)。已知鼓輪半徑R, ,質(zhì)量質(zhì)量m1, , 輪繞輪繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng); ;小車(chē)和礦石總質(zhì)量為小車(chē)和礦石總質(zhì)量為m2。作用在鼓輪上的力偶。作用在鼓輪上的力偶 矩為矩為M, ,鼓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為鼓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J, ,軌

10、道傾角軌道傾角。不計(jì)繩質(zhì)量。不計(jì)繩質(zhì)量 和各處摩擦和各處摩擦, ,求小車(chē)的加速度求小車(chē)的加速度a。 gm 1 v gm 2 N F Rv RvRmJ)( 2 2 M Oy F Ox F 11-211-2 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 Lvliang University PAG 15 )( e iO O FM dt dL 由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O軸的動(dòng)軸的動(dòng) 量矩定理得量矩定理得 O gm 1 v gm 2 N F M Oy F Ox F RgmM R vRmJ dt d )sin( )( 2 2 2 即即 RgmM R aRmJ )sin( )( 2 2 2 2 2 2 )sin( RmJ RgRmM

11、 a 11-211-2 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 Lvliang University PAG 16 11-211-2 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 三三、動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩守恒定律 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律： 如果作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)某定點(diǎn)O之矩恒等于零, 則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩保持不變。 如果作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)某定軸之矩恒等于零， 則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的動(dòng)量矩保持不變。 0)()(FMvmM dt d OO 常矢量常矢量)( vmM O 0)()(FMvmM dt d zz 常數(shù)常數(shù))( vmM z Lvliang University PAG 17 11-211-2 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律： 如果作

12、用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)某定點(diǎn)O的主矩恒 等于零，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩保持不變。 如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)某定軸之矩的代數(shù) 和恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩保持不變。 0)( e iOO FML dt d 常常矢矢量量 O L 0)( e izz FML dt d 常數(shù)常數(shù) z L 三三、動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩守恒定律 Lvliang University PAG 18 F 人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng) )( vmM O S vm 恒矢量 h r O 質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩的大小不變 11-211-2 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 vmrvmM O )( SvmMO)( r 和mv始終在同一平面內(nèi)， 方向始終不變 )(

13、 vmM O mvhvmMO | )(| 人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí),離地心近時(shí)速度大,離 地心遠(yuǎn)時(shí)速度小。 Lvliang University PAG 19 例例11-3 滑輪半徑為滑輪半徑為R, ,質(zhì)量不計(jì)質(zhì)量不計(jì), ,猴子猴子, ,重物質(zhì)量均為重物質(zhì)量均為m, ,初始靜初始靜 止。當(dāng)猴子以速度止。當(dāng)猴子以速度u相對(duì)繩向上爬時(shí)，重物如何運(yùn)動(dòng)（速度）相對(duì)繩向上爬時(shí)，重物如何運(yùn)動(dòng)（速度） 解：解： 取系統(tǒng)為研究對(duì)象取系統(tǒng)為研究對(duì)象, ,畫(huà)受力圖畫(huà)受力圖 運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析 0)( e iO FM 外力對(duì)外力對(duì)O軸的力矩軸的力矩 )(vu mvRRvum)(0 由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律得由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守

14、恒定律得 uv5 . 0 u Oy F Ox F mgmg v 設(shè)重物速度為設(shè)重物速度為v 猴子速度猴子速度 O 11-211-2 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 Lvliang University PAG 20 主動(dòng)力: 約束力: 剛體對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jz 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩 z , n F 2 F 1 F i F By F Bx F Bz F Ay F Ax F 11-311-3 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 ni FFF , 1 BzByBxAyAx FFFFF ,;, zz JL 由動(dòng)量矩定理 得)( e iz z FM dt dL )( izz FM dt d

15、 J )( izz FMJ )( 2 2 izz FM dt d J Lvliang University PAG 21 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程 11-311-3 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 )( )( )( 2 2 izz izz izz FMJ FM dt d J FM dt d J 剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等 于作用于剛體的主動(dòng)力對(duì)該軸之矩的代數(shù)和。 2 iiz rmJ Fam Lvliang University PAG 22 例例11-4 復(fù)擺質(zhì)量為復(fù)擺質(zhì)量為m , ,C為其質(zhì)心為其質(zhì)心, , O

16、C=a , , 擺對(duì)懸掛點(diǎn)擺對(duì)懸掛點(diǎn)O的轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量為動(dòng)慣量為JO, ,求微小擺動(dòng)的周期。求微小擺動(dòng)的周期。 解：解： 取復(fù)擺為研究對(duì)象取復(fù)擺為研究對(duì)象, ,畫(huà)受力圖畫(huà)受力圖 由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得 sin 0 sin() O mga Jt mg Oy F Ox F O C sin O Jmga sin 0 O mga J 小擾動(dòng)時(shí)，小擾動(dòng)時(shí)， 0 O mga J 通解通解 線性方程線性方程 標(biāo)準(zhǔn)非線性方程標(biāo)準(zhǔn)非線性方程 11-311-3 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 Lvliang University PAG 23 )sin( 0 tJmgl O O

17、n Jmgl固有圓頻率：固有圓頻率：（22時(shí)間內(nèi)擺動(dòng)次數(shù)）時(shí)間內(nèi)擺動(dòng)次數(shù)） 2 n f 固有頻率：固有頻率：（單位時(shí)間內(nèi)擺動(dòng)次數(shù)）（單位時(shí)間內(nèi)擺動(dòng)次數(shù)） 0 初相位：初相位：由初始條件確定由初始條件確定 n f T 21 周期：周期： mglJ O 2 11-311-3 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 Lvliang University PAG 24 例例11-5 飛輪對(duì)飛輪對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO, ,以角速度以角速度0繞繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 制動(dòng)時(shí)制動(dòng)時(shí), ,閘塊給輪以正壓力閘塊給輪以正壓力FN 。已知閘塊與輪間滑動(dòng)摩擦系數(shù)。已知閘塊與輪間滑動(dòng)摩擦系數(shù) 為為

18、f , ,輪的半徑輪的半徑, ,忽略軸摩擦。求制動(dòng)所需的時(shí)間。忽略軸摩擦。求制動(dòng)所需的時(shí)間。 解：解： 取飛輪為研究對(duì)象取飛輪為研究對(duì)象, ,畫(huà)受力圖畫(huà)受力圖 由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得 0 0 0 t ON J dfF Rdt RfF J t N O0 RF dt d J O 積分，由題知確定積分上下限積分，由題知確定積分上下限 0 F N F O Oy F Ox F mg RFf N )( 11-311-3 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 Lvliang University PAG 25 2 R 1 R 解解: : 分別以軸分別以軸、（帶輪）為（帶輪）為

19、研究對(duì)象研究對(duì)象, ,畫(huà)受力圖畫(huà)受力圖 例例11-6 圖示傳動(dòng)軸圖示傳動(dòng)軸系系, ,軸軸, ,的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J , ,J, ,傳動(dòng)比為 傳動(dòng)比為 i12= =R2/ /R1。軸軸上作用主動(dòng)力矩上作用主動(dòng)力矩M1, ,軸軸上有阻力矩上有阻力矩M2。不計(jì)。不計(jì) 摩摩擦擦, ,求求軸軸的角加速度。的角加速度。 2 M 1 M 1 M 1 N F t F 2 M 2 N F t F 運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析 12 12 21 R i R 11-311-3 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 Lvliang University PAG 26 2 R 1 R 2 M 1 M 1 M 1

20、N F F 2 M 2 N F F 12 12 21 R i R 由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得 1 111 RFMJ 2222 MFRJ 2 12 2 1 12 2 1 1 i J J i M M 11-311-3 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 Lvliang University PAG 27 ( kgm2 ) 1、均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 11-411-4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2 iiz rmJ 一、一、簡(jiǎn)單勻質(zhì)幾何形體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量簡(jiǎn)單勻質(zhì)幾何形體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ;dx l m mi xr i dxx l m J l z 0

21、 22 3 1 ml dxx l x z O Lvliang University PAG 28 2、均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 3、均質(zhì)圓板對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 11-411-4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2 iiz rmJ 2 Rmi i mR 2 2 mR R z O mi R z O dri ri 2 R m A Aiii drrm2 4 2 4 R A 2 2 1 mR )2( 0 2 R iiAiO rdrrJ Lvliang University PAG 29 細(xì)直桿: 均質(zhì)圓環(huán): 均質(zhì)圓板:R z 2 2 11-411-4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 二、

22、二、回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑） mJ zz 2 zz mJ 2 3 1 mlJ z 2 mRJ z 2 2 1 mRJ z l z 3 3 R z Lvliang University PAG 30 zc 軸 過(guò)質(zhì)心且與z 軸平行的軸； d z軸與zc 軸之間的距離。 剛體對(duì)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心、 并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與 兩軸間距離平方的乘積。 11-411-4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 三三、平行軸定理平行軸定理 2 mdJJ C zz Lvliang University PAG 31 證明: 11-411-4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

23、量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 x z y,y x z O d i r i r ii xx i y O, C i y mi 2 iiz rmJ C )( 22 iii yxm 2 iiz rmJ)( 2 2 iii yxm )( 22 dyxm iii iiiiii mdymdyxm 222 2)( 0 m ym y ii C 0 ii ym 2 mdJJ C zz Lvliang University PAG 32 A z C z 例例11-7 質(zhì)量為質(zhì)量為m , ,長(zhǎng)為長(zhǎng)為l的均質(zhì)細(xì)直桿的均質(zhì)細(xì)直桿, ,已知已知JzA =ml2/3, ,求此桿求此桿 對(duì)于垂直于桿軸且過(guò)對(duì)于垂直于桿軸且過(guò)B和質(zhì)心和質(zhì)

24、心C的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解：解： 由平行軸定理由平行軸定理 B z BA C 2 3 1 mlJ zA 2 mdJJ zCzB 2 mdJJ zAzC zA Jml 2 3 1 22 ) 2 1 ( 3 1 lmml 2 12 1 ml 2 mdJJ zCzA 11-411-4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Lvliang University PAG 33 解：解： 例例11-8 鐘擺由質(zhì)量為鐘擺由質(zhì)量為m1的均質(zhì)細(xì)桿和質(zhì)量為的均質(zhì)細(xì)桿和質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓盤(pán)組的均質(zhì)圓盤(pán)組 成成, ,桿長(zhǎng)為桿長(zhǎng)為l , ,圓盤(pán)直徑為圓盤(pán)直徑為d。求擺對(duì)。求擺對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

25、。 O C 盤(pán)桿OOO JJJ 2 1 3 1 lmJ O 桿 2 2 ) 2 ( d lmJJ CO 盤(pán) ) 2 () 2 1 ( 2 1 3 1 2 2 2 2 2 1 d lmdmlmJ O ) 8 3 ( 3 1 22 2 2 1 ldldmlm 11-411-4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Lvliang University PAG 34 例例11-9 質(zhì)量為質(zhì)量為m的均質(zhì)空心圓柱體外徑為的均質(zhì)空心圓柱體外徑為R1 , , 內(nèi)徑為內(nèi)徑為R2 , ,求對(duì)求對(duì) 于中心軸于中心軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解：解： 21 JJJ z 2 22 2 11 2 1 2 1 RmRm

26、 2 2 2 2 2 1 2 1 )( 2 1 )( 2 1 RlRRlR )( 2 1 )( 4 2 4 1 2 2 2 1 RR RR m )( 2 1 2 2 2 1 RRm 11-411-4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Lvliang University PAG 35 y x z C Oy x z i m ir v i r C r i r 11-511-5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 一一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 )( iriCC vmML irii vmr iii vmr CCCO LvmrL CCO LvmM )( 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn)O的

27、動(dòng)量矩，等于質(zhì)點(diǎn)系隨質(zhì)心平移 時(shí)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩加上質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩。 Lvliang University PAG 36 11-511-5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 二二、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 )( e iC C FM dt Ld y x z C Oy x z i m ir v i r C r i r 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等 于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩。 Lvliang University PAG 37 y x C O y x 剛體平 面運(yùn)動(dòng) :隨質(zhì)心的平移 + 繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng) :隨基點(diǎn)的平移

28、+ 繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué) 運(yùn)力學(xué) 隨質(zhì)心的平移: 繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng): 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 剛體相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩 11-611-6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程 e iC Fam CC JL )( e iC C FM dt dL Lvliang University PAG 38 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程 11-611-6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程 e iC Fam 2 2 dt rd m C )( e iCC FML dt d )( C J dt d C J 2 2 dt d JC )()( 2 2 2 2 2 2 e iCCCC e iyCy

29、C e ixCx C FMJJ dt d dt d J Fma dt yd m Fma dt xd m 投影式投影式 Lvliang University PAG 39 例例11-10 半徑為半徑為r, ,質(zhì)量為質(zhì)量為m 的圓輪沿水平直線滾動(dòng)的圓輪沿水平直線滾動(dòng), ,與地面的與地面的 靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)為靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)為fs 。輪慣性半徑為。輪慣性半徑為c , ,作用于輪的力偶矩為作用于輪的力偶矩為 M , ,求圓輪純滾動(dòng)的輪心加速度求圓輪純滾動(dòng)的輪心加速度和保證和保證圓輪純滾動(dòng)的圓輪純滾動(dòng)的M。 mg N F C C a x y F M 解：解： 取圓輪為研究對(duì)象取圓輪為研究對(duì)象, ,畫(huà)受力圖畫(huà)

30、受力圖 列剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程列剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析 C a r 滾而不滑滾而不滑 FmaCx mgFma NCy rFMJC 2 C m C maF r aC mgFN rmaM C )( 22 rm rM a C C r rF M C )( 22 11-611-6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程 Lvliang University PAG 40 mg N F C C a x y F M r rF M rm rM a C C C )( ; )( 22 22 NsF fF 圓輪不滑動(dòng)圓輪不滑動(dòng) mgf r rM s C )( 22 r r mgfM C s )( 22 11-611-6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程 Lvliang University PAG 41 例例11-11 半徑為半徑為r, ,質(zhì)量為質(zhì)量為m 的圓輪的圓輪, ,受到輕微擾動(dòng)后受到輕微擾動(dòng)后, , 在半徑在半徑 為為R的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)的圓弧上往復(fù)滾動(dòng), ,圓弧表面足夠粗糙圓弧表面足夠粗糙, ,以保證以保證圓輪滾動(dòng)時(shí)圓輪滾動(dòng)時(shí) 無(wú)滑動(dòng)無(wú)滑動(dòng), , 求圓輪質(zhì)心求圓輪質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 解：解： 取圓輪為研究對(duì)象取圓輪為研究對(duì)象,