高等流體力學—伯努力積分和動量定理

1、1 第六章 伯努力積分和動量定理 2 第一節(jié) 伯努力積分和拉格朗日積分 理想正壓流體在有勢質(zhì)量力的作用下，其運動方程在定常及 無旋兩種特殊情形下可以積分出來，得到伯努力拉格朗日 積分方程。 理想流體蘭勃葛羅米柯形式的運動方程為： divPF dt dv vrotv V grad t v dt dv 2 2 3 將本構(gòu)方程代入運動方程 z w y v x u x u ppxx 3 2 2 z w y v x u y v ppyy 3 2 2 z w y v x u z w ppzz 3 2 2 y u x v pxy z u x w pxz z v y w pyz divPF dt dv 4 )

2、( 3 vgradvgradpF dt dv 對理想流體：0 gradpF dt dv 1 vrotv V grad t v dt dv 2 2 gradpFvrotv V grad t v 1 2 2 5 正壓流體：內(nèi)部任一點的壓力只是密度的函數(shù)的流體。若流 體壓力不僅是密度的函數(shù)，而且還和其他熱力學參量（例如 溫度等）有關(guān)，則稱為斜壓流體。 質(zhì)量力有勢：即質(zhì)量力是一單值函數(shù)的勢函數(shù)，滿足 下式： VgradF gradgradp 1 dp 定義： V 則運動方程變?yōu)椋?gradVgradvrotv V grad t v 2 2 6 0 2 2 vrotvV V grad t v 對于定常流

3、動：0 t v 0 2 2 vrotvV V grad s 流線 對流線上任一點的切線 求單位向量得： V v s a) 伯努力積分 7 將此式兩邊點乘單位矢量s得： 0 2 2 vrotv V v V V grads 0 0 2 2 V V grads 0 2 2 vrotvV V grad 在切線方向的方向?qū)?shù) 0 2 2 V V s 8 沿流線積分，得： C是積分常數(shù)，在不同的流線上取不同值，是流線的號碼 CV V 2 2 對不可壓縮均質(zhì)流體：為常數(shù) pdp 流體所受質(zhì)量力只有重力時： VgradzgF 9 g z V 積分得： gzV CV V 2 2 pdp C p gz V 2 2

4、 1 2 2 C p z g V 10 伯努力方程的物理意義：沿流線總能量守恒 速度頭 壓力頭 位勢頭 11 伯努力方程的適用條件： 理想，正壓，質(zhì)量力有勢 不可壓縮均質(zhì)流體 定常流動 C p gz V 2 2 12 b) 拉格朗日積分 0 2 2 vrotvV V grad t v 理想，正壓，質(zhì)量力有勢無旋流動 0rotv 速度場有勢，存在勢函數(shù) gradv 0 2 2 V V grad t grad 13 梯度是對空間坐標的導(dǎo)數(shù)，是對時間的導(dǎo)數(shù)，空間與 時間是相互獨立的變數(shù)，因此微分號可以對調(diào)，得： t grad t grad 0 2 2 V V grad t grad 0 2 2 V

5、V t grad t 14 )( 2 2 tfV V t 對于某一固定時刻，f(t)在整個流場中采取同一常數(shù)值。 對于不可壓縮流體，只受重力時： )( 2 2 tf p gz V t c) 對于理想、正壓的、質(zhì)量力有勢，不可壓縮流體，定常流動 且無旋，只受重力時，得到伯努力拉格朗日積分方程： C p gz V 2 2 對流場中各點和各個時刻取同一常數(shù)值 15 d) 實際流體的伯努力方程 w h p gz Vp gz V 2 2 2 21 1 2 1 22 hw代表由位置1到位置2單位質(zhì)量的流體沿流線的能量損失 16 d) 實際流體的總流的伯努力方程 近似認為在各流動截面上流速分布均勻，可以用平

6、均流速 代替不同流線上的流速，條件是流動處于緩變流狀態(tài) w h p gz Vp gz V 2 2 2 21 1 2 1 22 平均流速 平均流速 17 緩變流：在流道中各流線之間的夾角很小，流線趨于平行， 且流線的曲率很小，流線都近似于直線。 1可忽略慣性力，在流動過程中只受重力 2在垂直流動方向的截面上無速度分布，壓力分布規(guī)律 與靜水壓力分布一致。 3在流場中只有法向應(yīng)力，而無剪切應(yīng)力。 18 實際流體總流的伯努力方程適用條件： 不可壓縮均質(zhì)流體 定常流動緩變流 19 第三節(jié)伯努力方程的實際應(yīng)用 a) 小孔出流 連續(xù)性方程： BBAA VSVS 1 A B B A S S V V 0 A V

7、近近似似認認為為 20 a) 小孔出流 伯努力方程： 0 ppp BA wAB B hgzgz V 2 2 wBA B hzzg V )( 2 2 ghhghV wB 222ghSQ B 2 流流量量系系數(shù)數(shù): 21 b) 駐點壓力 忽略重力影響，沿O點的流 線建立伯努力方程： o ppV 2 2 動壓靜壓總壓 22 風速管Pitot tube(1732) 最簡單的估算公式： )(2 pp V o h h gh h V 4 205. 1 8 . 92 2 2 水水 OmmHh 2 23 c) 文丘里管(Venturi tube) QVSVS 2211 hw pVpV 2 2 21 2 1 22

8、 忽略能量損失得： 2 1 2 2 2 2 1 2 212 1 22S S VVVppp 2 1 2 2 2 2 1 2S S S Q 24 喉部的靜壓： 2 1 2 2 2112 1 2S S Vpppp 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 11 2 1 2SS Qp S S S Q p 122 ppS可可大大大大低低于于足足夠夠小小，則則足足夠夠大大，Q 25 文丘里管的工業(yè)應(yīng)用 文丘里式除塵器 26 作業(yè)：P299第4題 27 第四節(jié)動量定理及其應(yīng)用 SpFSvv t v nSS n )( 積分形式的動量方程 對于流體邊界上屬于整體性的特征量，例如運動的流體 對于邊界的作

9、用力等，可以利用積分形式的動量方程根 據(jù)邊界條件直接求解，而不需要求助于解微分方程。 動量方程 SpFv dt d nS 28 第四節(jié)動量定理及其應(yīng)用 SpFSvv t v nSS n )( 積分形式的動量方程 面積分體積分面積分 定常運動時： SpFSvv nSS n 29 面積分體積分面積分 不可壓縮均質(zhì)流體：常數(shù) SpFSvv nSS n 質(zhì)量力有勢：即質(zhì)量力是一單值函數(shù)的勢函數(shù)，滿足 下式： VgradF V dSnVdVF s 體積分 面積分 奧高定理 30 控制面S可自由選取，對于特定的控制面形狀，很 容易利用上式及邊界條件直接積分 SpSnVSvv nSsS n a) 小孔出流的

10、反推力及收縮比計算 (1) 質(zhì)量力只有重力； (2) 只有水平方向的速度； xn SxS n SpSvv 31 認為在出口截面上速度均勻分布 為小孔出流的收縮系數(shù)：實際形 成的出流面積與孔口截面積之比 j xS n SVSvv 2 ghV2 B j S S B xS n ghSSvv2 32 為小孔出流的收縮系數(shù)：實際形 成的出流面積與孔口截面積之比 x BC B xn S RghSdSppSp )( 0 B xS n ghSSvv2 5 . 0 33 a) 小孔出流的應(yīng)用 34 b) 火箭發(fā)動機推動力計算 (1) 設(shè)氣體是理想的、定常運動且重力可忽略 (2) 只有運動方向上有支反力作用； 動

11、量定理的表達：單位時間動量的變化等于合外力 35 b) 圓管突然擴大的能量損失 (1) 不可壓縮流體、定常運動且重力可忽略 (2) 忽略粘性的作用； 36 b) 圓管突然擴大的能量損失 實際流體的伯努力方程為： w hp V p V 2 2 2 1 2 1 22 w hpp VV 21 2 2 2 1 22 37 b) 圓管突然擴大的能量損失 對控制面ABCDEFGH應(yīng)用動量定理 2211 SVSV SpSvv nSS n 1 2 12 2 2 SVSVSvv S n 連續(xù)性方程： )( 1222 VVSVSvv S n 38 b) 圓管突然擴大的能量損失 對控制面ABCDEFGH應(yīng)用動量定理SpSvv nSS n 221111 SpSpSpSpSp GHCD nS 21 SSSS GHCD 221 )(SppSp nS 39 b) 圓管突然擴大的能量損失 221 )(SppSp nS SpSvv nSS n )( 1222 VVSVSvv S n )( 12221 VVVpp 40 b) 圓管突然擴大的能量損失 )( 12221 VVVpp w hpp VV 21 2 2