高等流體力學(xué)—伯努力積分和動(dòng)量定理

1、1 第六章 伯努力積分和動(dòng)量定理 2 第一節(jié) 伯努力積分和拉格朗日積分 理想正壓流體在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下，其運(yùn)動(dòng)方程在定常及 無(wú)旋兩種特殊情形下可以積分出來(lái)，得到伯努力拉格朗日 積分方程。 理想流體蘭勃葛羅米柯形式的運(yùn)動(dòng)方程為： divPF dt dv vrotv V grad t v dt dv 2 2 3 將本構(gòu)方程代入運(yùn)動(dòng)方程 z w y v x u x u ppxx 3 2 2 z w y v x u y v ppyy 3 2 2 z w y v x u z w ppzz 3 2 2 y u x v pxy z u x w pxz z v y w pyz divPF dt dv 4 )

2、( 3 vgradvgradpF dt dv 對(duì)理想流體：0 gradpF dt dv 1 vrotv V grad t v dt dv 2 2 gradpFvrotv V grad t v 1 2 2 5 正壓流體：內(nèi)部任一點(diǎn)的壓力只是密度的函數(shù)的流體。若流 體壓力不僅是密度的函數(shù)，而且還和其他熱力學(xué)參量（例如 溫度等）有關(guān)，則稱為斜壓流體。 質(zhì)量力有勢(shì)：即質(zhì)量力是一單值函數(shù)的勢(shì)函數(shù)，滿足 下式： VgradF gradgradp 1 dp 定義： V 則運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)椋?gradVgradvrotv V grad t v 2 2 6 0 2 2 vrotvV V grad t v 對(duì)于定常流

3、動(dòng)：0 t v 0 2 2 vrotvV V grad s 流線 對(duì)流線上任一點(diǎn)的切線 求單位向量得： V v s a) 伯努力積分 7 將此式兩邊點(diǎn)乘單位矢量s得： 0 2 2 vrotv V v V V grads 0 0 2 2 V V grads 0 2 2 vrotvV V grad 在切線方向的方向?qū)?shù) 0 2 2 V V s 8 沿流線積分，得： C是積分常數(shù)，在不同的流線上取不同值，是流線的號(hào)碼 CV V 2 2 對(duì)不可壓縮均質(zhì)流體：為常數(shù) pdp 流體所受質(zhì)量力只有重力時(shí)： VgradzgF 9 g z V 積分得： gzV CV V 2 2 pdp C p gz V 2 2

4、 1 2 2 C p z g V 10 伯努力方程的物理意義：沿流線總能量守恒 速度頭 壓力頭 位勢(shì)頭 11 伯努力方程的適用條件： 理想，正壓，質(zhì)量力有勢(shì) 不可壓縮均質(zhì)流體 定常流動(dòng) C p gz V 2 2 12 b) 拉格朗日積分 0 2 2 vrotvV V grad t v 理想，正壓，質(zhì)量力有勢(shì)無(wú)旋流動(dòng) 0rotv 速度場(chǎng)有勢(shì)，存在勢(shì)函數(shù) gradv 0 2 2 V V grad t grad 13 梯度是對(duì)空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，是對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，空間與 時(shí)間是相互獨(dú)立的變數(shù)，因此微分號(hào)可以對(duì)調(diào)，得： t grad t grad 0 2 2 V V grad t grad 0 2 2 V

5、V t grad t 14 )( 2 2 tfV V t 對(duì)于某一固定時(shí)刻，f(t)在整個(gè)流場(chǎng)中采取同一常數(shù)值。 對(duì)于不可壓縮流體，只受重力時(shí)： )( 2 2 tf p gz V t c) 對(duì)于理想、正壓的、質(zhì)量力有勢(shì)，不可壓縮流體，定常流動(dòng) 且無(wú)旋，只受重力時(shí)，得到伯努力拉格朗日積分方程： C p gz V 2 2 對(duì)流場(chǎng)中各點(diǎn)和各個(gè)時(shí)刻取同一常數(shù)值 15 d) 實(shí)際流體的伯努力方程 w h p gz Vp gz V 2 2 2 21 1 2 1 22 hw代表由位置1到位置2單位質(zhì)量的流體沿流線的能量損失 16 d) 實(shí)際流體的總流的伯努力方程 近似認(rèn)為在各流動(dòng)截面上流速分布均勻，可以用平

6、均流速 代替不同流線上的流速，條件是流動(dòng)處于緩變流狀態(tài) w h p gz Vp gz V 2 2 2 21 1 2 1 22 平均流速 平均流速 17 緩變流：在流道中各流線之間的夾角很小，流線趨于平行， 且流線的曲率很小，流線都近似于直線。 1可忽略慣性力，在流動(dòng)過程中只受重力 2在垂直流動(dòng)方向的截面上無(wú)速度分布，壓力分布規(guī)律 與靜水壓力分布一致。 3在流場(chǎng)中只有法向應(yīng)力，而無(wú)剪切應(yīng)力。 18 實(shí)際流體總流的伯努力方程適用條件： 不可壓縮均質(zhì)流體 定常流動(dòng)緩變流 19 第三節(jié)伯努力方程的實(shí)際應(yīng)用 a) 小孔出流 連續(xù)性方程： BBAA VSVS 1 A B B A S S V V 0 A V

7、近近似似認(rèn)認(rèn)為為 20 a) 小孔出流 伯努力方程： 0 ppp BA wAB B hgzgz V 2 2 wBA B hzzg V )( 2 2 ghhghV wB 222ghSQ B 2 流流量量系系數(shù)數(shù): 21 b) 駐點(diǎn)壓力 忽略重力影響，沿O點(diǎn)的流 線建立伯努力方程： o ppV 2 2 動(dòng)壓靜壓總壓 22 風(fēng)速管Pitot tube(1732) 最簡(jiǎn)單的估算公式： )(2 pp V o h h gh h V 4 205. 1 8 . 92 2 2 水水 OmmHh 2 23 c) 文丘里管(Venturi tube) QVSVS 2211 hw pVpV 2 2 21 2 1 22

8、 忽略能量損失得： 2 1 2 2 2 2 1 2 212 1 22S S VVVppp 2 1 2 2 2 2 1 2S S S Q 24 喉部的靜壓： 2 1 2 2 2112 1 2S S Vpppp 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 11 2 1 2SS Qp S S S Q p 122 ppS可可大大大大低低于于足足夠夠小小，則則足足夠夠大大，Q 25 文丘里管的工業(yè)應(yīng)用 文丘里式除塵器 26 作業(yè)：P299第4題 27 第四節(jié)動(dòng)量定理及其應(yīng)用 SpFSvv t v nSS n )( 積分形式的動(dòng)量方程 對(duì)于流體邊界上屬于整體性的特征量，例如運(yùn)動(dòng)的流體 對(duì)于邊界的作

9、用力等，可以利用積分形式的動(dòng)量方程根 據(jù)邊界條件直接求解，而不需要求助于解微分方程。 動(dòng)量方程 SpFv dt d nS 28 第四節(jié)動(dòng)量定理及其應(yīng)用 SpFSvv t v nSS n )( 積分形式的動(dòng)量方程 面積分體積分面積分 定常運(yùn)動(dòng)時(shí)： SpFSvv nSS n 29 面積分體積分面積分 不可壓縮均質(zhì)流體：常數(shù) SpFSvv nSS n 質(zhì)量力有勢(shì)：即質(zhì)量力是一單值函數(shù)的勢(shì)函數(shù)，滿足 下式： VgradF V dSnVdVF s 體積分 面積分 奧高定理 30 控制面S可自由選取，對(duì)于特定的控制面形狀，很 容易利用上式及邊界條件直接積分 SpSnVSvv nSsS n a) 小孔出流的

10、反推力及收縮比計(jì)算 (1) 質(zhì)量力只有重力； (2) 只有水平方向的速度； xn SxS n SpSvv 31 認(rèn)為在出口截面上速度均勻分布 為小孔出流的收縮系數(shù)：實(shí)際形 成的出流面積與孔口截面積之比 j xS n SVSvv 2 ghV2 B j S S B xS n ghSSvv2 32 為小孔出流的收縮系數(shù)：實(shí)際形 成的出流面積與孔口截面積之比 x BC B xn S RghSdSppSp )( 0 B xS n ghSSvv2 5 . 0 33 a) 小孔出流的應(yīng)用 34 b) 火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)力計(jì)算 (1) 設(shè)氣體是理想的、定常運(yùn)動(dòng)且重力可忽略 (2) 只有運(yùn)動(dòng)方向上有支反力作用； 動(dòng)

11、量定理的表達(dá)：?jiǎn)挝粫r(shí)間動(dòng)量的變化等于合外力 35 b) 圓管突然擴(kuò)大的能量損失 (1) 不可壓縮流體、定常運(yùn)動(dòng)且重力可忽略 (2) 忽略粘性的作用； 36 b) 圓管突然擴(kuò)大的能量損失 實(shí)際流體的伯努力方程為： w hp V p V 2 2 2 1 2 1 22 w hpp VV 21 2 2 2 1 22 37 b) 圓管突然擴(kuò)大的能量損失 對(duì)控制面ABCDEFGH應(yīng)用動(dòng)量定理 2211 SVSV SpSvv nSS n 1 2 12 2 2 SVSVSvv S n 連續(xù)性方程： )( 1222 VVSVSvv S n 38 b) 圓管突然擴(kuò)大的能量損失 對(duì)控制面ABCDEFGH應(yīng)用動(dòng)量定理SpSvv nSS n 221111 SpSpSpSpSp GHCD nS 21 SSSS GHCD 221 )(SppSp nS 39 b) 圓管突然擴(kuò)大的能量損失 221 )(SppSp nS SpSvv nSS n )( 1222 VVSVSvv S n )( 12221 VVVpp 40 b) 圓管突然擴(kuò)大的能量損失 )( 12221 VVVpp w hpp VV 21 2 2