第五章 頻率分析法

1、 開環(huán)頻率特性繪制 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 本章小結(jié) 引 言 n頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對(duì)正弦正弦輸入的穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) n頻率響應(yīng)法是以頻率特性為基礎(chǔ)研究系統(tǒng)的性能 n頻率分析法特點(diǎn)： 1. 應(yīng)用奈奎斯特判據(jù)，根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來分析 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性； 2. 根據(jù)頻率特性和性能指標(biāo)的關(guān)系分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能 和穩(wěn)定性指標(biāo)； 3. 頻率特性可以通過實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得； 4. 可以推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)； 5. 圖解方法，直觀性強(qiáng)，在工程上得到廣泛應(yīng)用。 5.1 頻率特性的基本概念及作圖 n頻率特性定義 n頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系 n頻率特性作圖 ( ) ( )( ) o oi du t Tu tu t dt

2、 ( )1 ( ) ( )1 o i Us G s U sTs ( )sin ii u tUt 若 則 22 ( ) i i U U s s 2222 11 ( )( ) 111 i oi UABsc UsU s TsTssTss 1 22 22 ( )sin(tan) 1 1 t ii T o U TU u tetT T T 當(dāng) t 時(shí)，有： 1 22 lim( )sin(tan) 1 sin() o i o t ou U u ttT T Ut 比較輸入信號(hào) ( )sin ii u tUt 1、輸出電壓穩(wěn)態(tài)值是與輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)； 2、幅值和相角與輸入不同，與頻率和系統(tǒng)參數(shù)T有關(guān)；

3、令： 22 1 ( ) 1 o i U A U T 11 ( )tan0tanTT A()和()反映了RC網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)的振幅和相位隨頻率變換的規(guī)律。 :0 A()和()聯(lián)合起來稱為系統(tǒng)的頻 率特性。 結(jié)論： () ( )( )|() j sj AeG sG j 為討論方便，不考慮重極點(diǎn) 12 22 ( )( )( ) ( ) ( )( )()()() ( )sin ( ) ()() n Y sN sN s G s X sD sspspsp x tXt XX X s ssjsj 22 1 1 ( ) ( )( )( ) ()() n n icc i i N sX Y sG s X s spsps

4、 KKK spsjsj 1 ( ) i n p tj tj t icc i y tK eK eK e 當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)： ( )| j tj t tcc y tK eK e 寫出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表達(dá)式： () ( )()| ()()2 csj XGjX KG ssj sjsjj () ( )()| ()()2 csj XG jX KG ssj sjsjj () |()| j G jG je () |()|()| jj GjGjeG je ()()G jGj、共軛 ( )|()| 2 |()| sin() sin() jtjt y ee y tX G j j X G jt Yt 幅頻特性： 相頻特性： (

5、)|()| Y AG j X ( )() yx G j 得到頻率特性和傳函的關(guān)系為： () ( )( )|() j sj AeG sG j 頻率特性是頻域頻率特性是頻域 中的數(shù)學(xué)模型。中的數(shù)學(xué)模型。 代數(shù)式： ()( )( )G jPjQ 極坐標(biāo)式： () | ()|()( )( )G jG jG jA 指數(shù)式：()() () |()|( ) j G jj G jG jeAe ( )Q( )P實(shí)部；虛部； A( ) |()|G j ()G j ( )= 相頻特性； 幅頻特性； 關(guān)系： 22 1 ( )( ) cos ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) sin ( )( )tan (

6、 ) PAAPQ Q QA P 頻率特性曲線： 1、極坐標(biāo)頻率特性曲線奈奎斯特(Nyquist)曲線； 2、對(duì)數(shù)頻率特性曲線伯德(Bode)曲線； 3、對(duì)數(shù)幅相特性曲線尼柯爾斯(Nichols)曲線。 ：0向量G(j)在復(fù)平面上的運(yùn)動(dòng)軌跡。 G(-j)、 G(j)共軛，頻率特性曲線對(duì)稱于實(shí)軸。 ()( )( )G jPjQ () | ()|()( )( )G jG jG jA 212121 10lglglg/lg10 1 212121 2lglglg/lg2 0.301 ( ) 20lg ( )LA 均勻分度，單位分貝(db) 5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 n比例環(huán)節(jié) n積分環(huán)節(jié) n慣性環(huán)節(jié) n

7、振蕩環(huán)節(jié) n微分環(huán)節(jié) n延遲環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)： 頻率特性： ( )G sK 0 () j G jK e 1、極坐標(biāo)頻率特性曲線： ( ) |()|AG jK( )()0G j 2、對(duì)數(shù)頻率特性曲線： ( )20lg( )20lgLAK ( )0 ( ) K G s s 2 () j KK G je j 1、極坐標(biāo)頻率特性曲線： ( ) |()| K AG j ( )()90G j 2、對(duì)數(shù)頻率特性曲線： ( )20lg( ) 20lg20lg LA K ( )90 ( ) 1 K G s Ts () 1 K G j jT 1、極坐標(biāo)頻率特性曲線： 22 ( ) |()| 1 K AG j T 1

8、 ( )tanT 當(dāng)由0變化到時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)特性曲線是一個(gè)半圓。證明： 22 ( ) 1 K P T 22 ( ) 1 KT Q T 2 22 22 1 K PQKP T 222 ()() 22 KK PQ 圓心(K/2,0)，半徑K/2，實(shí)軸下方半圓。 2、對(duì)數(shù)頻率特性曲線： 22 ( )20lg( )20lg20lg 1LAKT 1 ( )tanT 低頻段時(shí)，很小，T1，高頻漸近線： ( )20lg20lgLKT 1 T ( )20lgLK ( )45 交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率 誤差：=真實(shí)值-近似值 22 1 ,20lg 1 T T 22 1 ,20lg 120lgTT T 1 T 處存

9、在最大誤差： 20lg 1 1=-3.01dB 2 2222 ( ) 221 n nn KK G s ssT sTs 2 2222 () ()2()(1)2 n nn KK G j jjTjT 不妨取K=1 22 2222 1 ( ) (1)(2) T P TT 2222 2 ( ) (1)(2) T Q TT 1、極坐標(biāo)頻率特性曲線： 2222 1 ( ) (1)(2) A TT 1 22 2 ( )tan 1 T T 以為參變量，繪制振蕩環(huán)節(jié)極坐標(biāo)曲線 0, ( )1, ( )0A 11 , ( ), ( ) 22 A T 曲線與負(fù)虛軸相交 , ( )0, ( )A 曲線沿負(fù)實(shí)軸方向趨向原

10、點(diǎn)，且與負(fù)實(shí)軸相切。 p 時(shí)，A()具有最大值， () pp MA 2222 1 ( ) (1)(2) A TT ( ) 0 dA d 2222 ( )(1)(2)gTT 22 1 1 21 200.707 pn T 2 1 () 21 pp MA 2 1 1 2 ()tan p p與有關(guān)， p稱為諧振頻率或峰值頻率。 2、對(duì)數(shù)頻率特性曲線： 2222 ( )20lg( )20lg20lg(1)(2)LAKTT 1T 低頻段， ( )20lg10L 低頻漸近線 1T 高頻段， 2 ( )20lg()40lgLTT 高頻漸近線 1 T ( )20lg10L ( )90 兩漸近線相交，振蕩環(huán)節(jié)的交

11、接頻率或轉(zhuǎn)折頻率。 相頻特性曲線： 1 22 2 ( )tan 1 T T 0, ( )0 1 , ( ) 2T , ( ) ( )G sKs()G jjK 1、純微分環(huán)節(jié) ( )AK( )90 ( )20lg( )20lg 20lg20lg LAK K 與積分環(huán)節(jié)對(duì)比？與積分環(huán)節(jié)對(duì)比？ 22 ( )20lg( ) 20lg20lg 1 LA KT 2、一階微分環(huán)節(jié) ( )(1)G sK Ts ()(1)G jKjT 22 ( )1AKT 1 ( )tanT 3、二階微分環(huán)節(jié) 22 ( )(21)G sKss 22 ()(1)2G jKj 2222 ( )(1)(2)AK 1 22 2 ( )

12、tan 1 2222 ( )20lg( ) 20lg20lg(1)(2) LA K ( ) s G se () j G je ( )1A ( ) ( )20lg( )0LAdB 1( )57.3 時(shí) 5.3 開環(huán)頻率特性繪制 n極坐標(biāo)特性曲線的繪制 n對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制 n最小相與非最小相系統(tǒng) () ()( )( )( ) j G jAePjQ 例：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為： 12 () (1)(1) K G j jTjT 1）列寫實(shí)頻特性和虛頻特性的表達(dá)式； 2）當(dāng)K=10、T1=1、T2=5時(shí)，試?yán)L制極坐標(biāo)圖。 12 2222 1212 222 1212 2222 12 (1)(1) (

13、) (1)(1)(1)(1) (1)() (1)(1) KjTjTK G j jTjTTT KT TjK TT TT 2 1 2 2222 12 (1) ( ) (1)(1) KTT P TT 12 2222 12 () ( ) (1)(1) K TT Q TT 將G(j)有理化： 帶入K=10、T1=1、T2=5，取為不同值計(jì)算，描點(diǎn) 2 1 2 2222 12 (1) ( ) (1)(1) KTT P TT 12 2222 12 () ( ) (1)(1) K TT Q TT 一般地： 0(0),(0)0PK Q, 1 2 12 1 2 1 ( )0,( ) K TT PQ TTTT 起點(diǎn)

14、： 與虛軸交點(diǎn)： 終點(diǎn)： ( )0,( )0PQ , 例：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為： 12 () (1)(1) K G j jjTjT 試?yán)L制極坐標(biāo)特性曲線。 12 2222 12 () ( ) (1)(1) K TT P TT 2 1 2 2222 12 (1) ( ) (1)(1) KTT Q TT 將G(j)有理化： 12 0(0)(),(0)PK TTQ , 1 2 12 1 2 1 ( )0, ( ) KTT QP TTTT 起點(diǎn)： 與實(shí)軸交點(diǎn)： 終點(diǎn)： ( )0,( )0PQ , 極坐標(biāo)特性曲線： 1、保持準(zhǔn)確曲線的重要特征，如起點(diǎn)、終點(diǎn)、與實(shí)軸或虛軸的交叉點(diǎn)； 2、在重要點(diǎn)的附近有

15、足夠準(zhǔn)確性。 一般系統(tǒng)： 1 1 1 1 (1) (), ()(1) m i i n j j Kj G jnn jjT 1 1 1 |1| ( ) |() |1| m i i n j j Kj A jjT 1 11 ( )(1)(1) 2 n m ij ij jj T 1、起點(diǎn)： 0() () K G j j , 0( ), ( )0AK , 0( ), ( ) 2 A , 起點(diǎn)與系統(tǒng)類型和增 益有關(guān) 2、終點(diǎn)： 對(duì)于實(shí)際的物理系統(tǒng)，一般nm ()0()() 2 G jG jnm , 3、與實(shí)、虛軸交點(diǎn)： 4、中頻部分曲線形狀和頻率特性的參數(shù)密切相關(guān)。 零點(diǎn)的影響： Re ()0 x G j

16、Im ()0 y G j 3 12 (1) () (1)(1) KjT G j jjTjT 12 ()()()G jGjGj 已知各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性，開環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為： 12 ( )20lg|()|( )( )LG jLL 12 ( )()( )( )G j 將開環(huán)系統(tǒng)寫成典型環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)的實(shí)系數(shù)形式 12 12 22 11 22 11 (1)(21) ( ) (1)(21) mm ikkk ik knn jlll jl sss K Gs s sss 1212 22nnnmmm 2）繪制對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻漸近線，即0 ()( )20lg20 lg () K G jLK

17、j , 1, (1)20lg, ( )0LKK L 對(duì)數(shù)幅頻實(shí)際繪制時(shí)按以下步驟一次完成： 1）確定K、v以及各個(gè)環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。 1111 ; ikjl ikjl 將各轉(zhuǎn)折頻率從小到大標(biāo)注在頻率軸上。 4）分段直線的最后一段 5）在轉(zhuǎn)折頻率附近進(jìn)行修正，可得到較準(zhǔn)確曲線。 斜率：-20(n-m)dB/dec 3）以低頻漸近線作為分段直線的第一段，從低頻段開始沿頻率增大的方向，每 遇到一個(gè)交接頻率改變一次分段直線的斜率。 當(dāng)遇到i時(shí)，斜率變化量為+20dB/dec； 當(dāng)遇到k時(shí)，斜率變化量為+40dB/dec； 當(dāng)遇到j(luò)時(shí)，斜率變化量為-20dB/dec； 當(dāng)遇到l時(shí)，斜率變化量為-40dB/

18、dec； 對(duì)數(shù)相頻特性曲線的繪制： 利用典型環(huán)節(jié)的各對(duì)數(shù)相頻特性相加，或直接利用相頻特性表達(dá)式計(jì)算。 12 12 11 22 11 11 22 11 2 ( )tantan 1 2 tantan 21 mm kk i ik k nm ll j jl l 0 lim ( )lim( )() 22 nm 例：設(shè)某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 2 160 ( ) (4)(1.64) G s sss 試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。 整理： 2 10 ( ) (0.251)(0.250.41) G s sss 1）K=10, v=0 慣性環(huán)節(jié)：T1=0.25, 1=1/T1=4 振蕩環(huán)節(jié)： T2=0.5,

19、2=1/T2=2 2）低頻段 3）繪制近似對(duì)數(shù)幅頻特性曲線 ( )20lg20LKdB 相頻特性： 11 2 0.4 ( )tan0.25tan 1 0.25 例：設(shè)某系統(tǒng)的頻率特性為： 32 2 10 (1100 ) () () (110 )(10.125 )(10.05 ) j G j jjjj 試?yán)L制用分段直線表示的對(duì)數(shù)幅頻特性。 1）轉(zhuǎn)折頻率 1234 0.01,0.1,8,20 2）低頻段 3 2 10 () () G j j 3 1, ( )20lg1060LdB 斜率:-40dB/dec 3）繪制近似對(duì)數(shù)幅頻曲線 例：延遲環(huán)節(jié)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 0.5 3 ( ) 1 s e G

20、 s s 試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性。 12 ()()()G jGjGj 0.5 1( ) j Gje 2 3 () 1 Gj j 122 ( )( )( )( )LLLL 12 ( )( )( ) 22 1 1. 2! s ess 例： 12 11 (),()0 11 jj GjGjT jTjT 2222 12 ( )( )20lg 120lg 1LLT 11 1( ) tantanT 11 2( ) tantanT 利用對(duì)數(shù)幅頻特性曲線確定最小相位系統(tǒng)傳函 1 2 (1) ( ) (1) K T s G s s T s 22 ( ) 21 K G s T sTs 1 20lg6 2 5.

21、4 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) n輔助函數(shù)F(s)與開環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)零點(diǎn) 和極點(diǎn)的關(guān)系 n幅角定理 n奈氏(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù) n奈氏判據(jù)在、型系統(tǒng)中的應(yīng)用 n對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù) 1932年，奈奎斯特(Nyquist)提出了頻率法的穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判 據(jù)。 奈氏判據(jù)由開環(huán)系統(tǒng)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在控制理論中占有重要 地位。 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)： 構(gòu)造一輔助函數(shù)： F(s)特點(diǎn): 1、 F(s)零點(diǎn)是閉環(huán)極點(diǎn)； 2、 F(s)極點(diǎn)是開環(huán)極點(diǎn)； 3、 由于n=m，因此系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目等于開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目 （即F(s)零點(diǎn)數(shù)等于極點(diǎn)數(shù)）。 如何求F(s)零點(diǎn)？ ( ) ( ) ( )

22、B s G s A s ( )( ) ( )1( ) ( ) A sB s F sG s A s 1、映射關(guān)系、映射關(guān)系 S平面上的任一條不通過F(s)奇異點(diǎn)的封閉曲線，F(xiàn)(s)平面上存在與其相對(duì)應(yīng) 的封閉曲線。 F(s)平面原點(diǎn)被包圍的次數(shù)和方向，對(duì)穩(wěn)定性有重要意義。 2、幅角定理、幅角定理 由幅角變化，導(dǎo)出F(s)平面原點(diǎn)被包圍的次數(shù)和方向。 例： 1 1 ( )1( )( ) sz F sG s H s sp 11 ( )()()F sszsp 當(dāng)s沿封閉曲線變化時(shí)，復(fù)數(shù)F(s)的幅角變化： 11 ( )()()F sszsp 問題： s沿封閉曲線順時(shí)針移動(dòng)一周， ( )?F s a）z

23、1、p1未被包圍 11 ()0,()0szsp( )0F s 不包圍原點(diǎn) b）z1被包圍 ( )2F s 順時(shí)針包圍原點(diǎn)一周N=1 c）p1被包圍 ( )2F s 逆時(shí)針包圍原點(diǎn)一周N=-1 NZP 如何判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性？ 1、奈氏路徑 為判斷右半平面F(s)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，取如下包圍整個(gè) 右半s平面的封閉曲線為奈氏路徑。 1)正虛軸，由s=j; :0+; 2)半徑無窮大的正半圓，由 ,: 22 j sReR 3)負(fù)虛軸，由s=-j; :0-; 2、奈氏路徑在F(s)平面上的映射 1)半徑無窮大的右半圓 0 lim( ) s nm G s nm 常數(shù) 一個(gè)點(diǎn) ( )()1():0F sF jG j

24、2)正虛軸 3)負(fù)虛軸 ( )()1()F sFjGj 與F(j)對(duì)稱于實(shí)軸。 3、F(s)平面轉(zhuǎn)化為G(s)平面 ()() 1G jF j 奈氏曲線 F(j)曲線對(duì)原點(diǎn)的包圍情況與G(j)曲線對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍情況相當(dāng)。 奈氏路徑順時(shí)針包圍了F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，則G(s)平面上的映射曲線 G(j)(開環(huán)頻率特性曲線)順時(shí)針包圍點(diǎn)(-1,j0)N次 NZP 4、奈氏判據(jù) 設(shè)開環(huán)傳函在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是： 在G(s)平面上的開環(huán)頻率特性曲線G(j)當(dāng) ：-+時(shí)，將以逆時(shí)針的方向圍繞(-1,j0)點(diǎn)P圈，即 NP 若閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平

25、面上的極點(diǎn)個(gè)數(shù)： ZNP N開環(huán)頻率特性曲線順時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。 推論： 開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是N=0，即開環(huán)頻率特性曲 線G(j)當(dāng):- +時(shí)不包圍點(diǎn)(-1,j0)。 例1： 12 ( ) (1)(1) K G s T sT s 0P 例2： 2 52 ( ) (2)(25) G s sss 1、概略繪制奈氏曲線 2 22 2222 52 () (2)(52 ) 52(104)52 (9) (4)(5)4 G j jj j 2、判斷穩(wěn)定性 0P 何時(shí)處于臨界穩(wěn)定？ 例3： P=1，穩(wěn)定N=-1，即逆時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，K1 1 1 (1) (

26、 ) (1) m i i kn j j s K Gs s T s 開環(huán)系統(tǒng)傳函： 1、重新選取奈氏路徑 半徑為無窮小的右半圓 ,0,: 22 j sR eR 2、奈氏曲線的畫法 半徑為無窮小的半圓上的點(diǎn) j sR e 1 00 0 (1) lim( )|lim ()(1) lim () j j i jj s R e RR j j j R KR e G s R eT R e K e R e 1 :0:0 2222 1 :0,:0 2222 型系統(tǒng)： 型系統(tǒng)： 1 :0,:0 22 :00? 含有積分環(huán)節(jié)完整的極坐標(biāo)頻率特性曲線： 1）：0+ 2）=0+ 逆時(shí)針補(bǔ)畫v 90圓弧 3）以實(shí)軸為對(duì)稱軸，畫出：-0時(shí)的奈氏曲線 例1： 12 ( ) (1)(1) K G s s T sT s 例2： 2 (1) ( ) (1) Ks G sT s Ts 若若 ？ T T 注： 1）簡(jiǎn)便起見，G(j)， ：0 對(duì)點(diǎn)(-1,j0)的包圍 2 ZP N NG(j)， ：0 變化，順時(shí)針圍繞(-1,j0)圈數(shù)。 2 P N 穩(wěn)定 2）利用正負(fù)穿越討論對(duì)點(diǎn)(-1,j0)的包圍 穿越：極坐標(biāo)曲線穿過點(diǎn)(-1,j0)以左的負(fù)實(shí)軸。 正穿