第五章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)2014

1、5-1 剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 5-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 5-3 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 力矩的功力矩的功 5-4 角動(dòng)量角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 理解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本物理量的定義和性質(zhì)；理解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本物理量的定義和性質(zhì)； 理解力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義；理解力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義； 掌握定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和角動(dòng)量定理；掌握定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和角動(dòng)量定理； 掌握定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒定律和角動(dòng)量守恒定律。掌握定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒定律和角動(dòng)量守恒定律。 教學(xué)要求教學(xué)要求 5-1 5-1 剛體的平動(dòng)

2、、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 一、剛體一、剛體 （理想模型）（理想模型） 剛體上的任一直線，在各時(shí)刻的位置始終保持彼止平剛體上的任一直線，在各時(shí)刻的位置始終保持彼止平 行的運(yùn)動(dòng)，叫做平動(dòng)。如車刀、活塞等。因?yàn)樵谄絼?dòng)時(shí)行的運(yùn)動(dòng)，叫做平動(dòng)。如車刀、活塞等。因?yàn)樵谄絼?dòng)時(shí)剛剛 體上所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都相同，各時(shí)刻各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移、體上所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都相同，各時(shí)刻各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移、 速度、加速度都相同，所以可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理。速度、加速度都相同，所以可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理。 二、平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的二種基本運(yùn)動(dòng)形態(tài)）二、平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的二種基本運(yùn)動(dòng)形態(tài)） 1 1、平動(dòng)平動(dòng) 在任何外力作用下，形狀大小均

3、不發(fā)生改變的物體在任何外力作用下，形狀大小均不發(fā)生改變的物體稱為稱為 剛體?；蛘哒f(shuō)運(yùn)動(dòng)中物體上任二點(diǎn)的間距不變。剛體?；蛘哒f(shuō)運(yùn)動(dòng)中物體上任二點(diǎn)的間距不變。 說(shuō)明：說(shuō)明： 1. 理想模型理想模型 ； 2. 在外力作用下，任意兩點(diǎn)間均不發(fā)生相對(duì)位移；在外力作用下，任意兩點(diǎn)間均不發(fā)生相對(duì)位移； 3. 內(nèi)力無(wú)窮大的特殊質(zhì)點(diǎn)系。內(nèi)力無(wú)窮大的特殊質(zhì)點(diǎn)系。 如果剛體上的任意一條直線的方位在運(yùn)動(dòng)中變了，則稱剛?cè)绻麆傮w上的任意一條直線的方位在運(yùn)動(dòng)中變了，則稱剛 體作轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)的軸線可變也可不變，若軸線固定不動(dòng)，則體作轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)的軸線可變也可不變，若軸線固定不動(dòng)，則 稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上的各點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)中

4、都繞同稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上的各點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)中都繞同 一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng)。而且，剛體上各點(diǎn)在相同時(shí)一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng)。而且，剛體上各點(diǎn)在相同時(shí) 間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度。間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度。 2 2、轉(zhuǎn)動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)可視為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)?？梢暈槠絼?dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。 如車輪如車輪 的運(yùn)動(dòng)。的運(yùn)動(dòng)。 下面觀看汽車車輪的運(yùn)動(dòng)。下面觀看汽車車輪的運(yùn)動(dòng)。 再如：再如： 滾動(dòng)滾動(dòng)軸心的平動(dòng)軸心的平動(dòng)+ +繞軸心的轉(zhuǎn)動(dòng)繞軸心的轉(zhuǎn)動(dòng) 拋體拋體質(zhì)心的拋物線運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的拋物線運(yùn)動(dòng)+ +繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng) 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)+ +轉(zhuǎn)軸繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸繞定

5、軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量 1. 角位置角位置、角位移角位移 y x 0 P(t) P(t+dt) d 運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程： 角位置角位置 ：位矢與：位矢與 ox 軸夾角。軸夾角。 角位移角位移 d ：dt 時(shí)間內(nèi)角位置增量。時(shí)間內(nèi)角位置增量。 )(t 1 1、剛體上各質(zhì)點(diǎn)的角位移，角速、剛體上各質(zhì)點(diǎn)的角位移，角速 度和角加速度均相同；度和角加速度均相同； 2 2、各質(zhì)點(diǎn)都在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)、各質(zhì)點(diǎn)都在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi) 運(yùn)動(dòng)，且作圓周運(yùn)動(dòng)。圓心在轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，且作圓周運(yùn)動(dòng)。圓心在轉(zhuǎn) 軸上。軸上。 三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)：剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)： 3.

6、 線量線量 與角量的關(guān)系與角量的關(guān)系 2 rara rvrs nt y x 0 v r rv 方向垂直方向垂直 和和 組成的平面組成的平面v r 2. 角速度角速度、 角加速度角加速度 t d d 2 2 d d d d tt 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向。 規(guī)定：規(guī)定： 位矢從位矢從o x 軸逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角位置軸逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角位置 為正，為正， 反之，為負(fù)。反之，為負(fù)。 若若 是定值，剛體的運(yùn)動(dòng)稱為：是定值，剛體的運(yùn)動(dòng)稱為： 若若 是定值，剛體的運(yùn)動(dòng)稱作：是定值，剛體的運(yùn)動(dòng)稱作： 勻角速轉(zhuǎn)動(dòng) 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)（或勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的公式與一維直線運(yùn)動(dòng)的公式相

7、似：剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的公式與一維直線運(yùn)動(dòng)的公式相似： axxv, 00 為恒矢為恒矢 為恒值為恒值 a 2 2 1 2 0 2 2 0 0 t t axvv atvx atvv 2 2 1 2 0 2 2 0 0 Example 1 1、一飛輪作減速運(yùn)動(dòng)，其角加速度與角速度關(guān)系、一飛輪作減速運(yùn)動(dòng)，其角加速度與角速度關(guān)系 為為 ，k k為比例系數(shù)，設(shè)初始角速度為為比例系數(shù)，設(shè)初始角速度為 。求：。求： 飛輪角速度與時(shí)間的關(guān)系；飛輪角速度與時(shí)間的關(guān)系； 當(dāng)角速度由當(dāng)角速度由 時(shí)，在此時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。時(shí)，在此時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。 k0 2 0 0 Solution： k dt d t dtk

8、d 0 0 kt 0 ln kt e 0 t dtk d 0 2 kk t 2ln 2 1 ln 1 dtedtd dt d kt 0 k kt e k k 2 0 0 2ln 0 | k42 0 在此時(shí)間內(nèi)車輪轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)在此時(shí)間內(nèi)車輪轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)= = kkt dted 2ln 0 0 0 成的平面內(nèi)。 組與且在向 的右手螺旋方至 Fr Fr , 一、力矩一、力矩 1 1、定義：、定義： 轉(zhuǎn)軸到力的作用點(diǎn)的矢徑與作用力的叉積。轉(zhuǎn)軸到力的作用點(diǎn)的矢徑與作用力的叉積。 力矩的表示式：力矩的表示式： 大?。捍笮。?FrM 2 2、注意：、注意：合力矩合力矩 合力的力矩合力的力矩 合力矩合力矩= =力

9、矩的和力矩的和 ( (矢量和）矢量和） （對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而言為代數(shù)和）（對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而言為代數(shù)和） 合力為零，合力矩不一定為零合力為零，合力矩不一定為零 方向：方向： M F r d 力矩是矢量力矩是矢量 sinrF F1 F2 轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 （F1=F2） 5-2 5-2 力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)定律、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)定律、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 合力矩為零，合力不一定為零合力矩為零，合力不一定為零 F 0M 力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)， 1.1.與轉(zhuǎn)軸垂直但通過(guò)轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩與轉(zhuǎn)軸垂直但通過(guò)轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩 為零為零；2.2.與轉(zhuǎn)軸平行的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零；與轉(zhuǎn)軸平行的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零；

10、問(wèn)：一對(duì)作用力與反作用力的力矩和等于多少？問(wèn)：一對(duì)作用力與反作用力的力矩和等于多少？ 零零 由此推知：質(zhì)點(diǎn)組對(duì)任一軸的內(nèi)力矩之和為零。由此推知：質(zhì)點(diǎn)組對(duì)任一軸的內(nèi)力矩之和為零。 F1 F2 1 r 2 r 力矩力矩 合力合力 2211 rFrF 21 FF 中心力（過(guò)轉(zhuǎn)軸的力）的中心力（過(guò)轉(zhuǎn)軸的力）的 力矩力矩00，如推門。，如推門。 F 2 F 1 F r 轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 sinrFM 定點(diǎn)力矩：定點(diǎn)力矩： FrM 垂直垂直 和和 構(gòu)成的平面。構(gòu)成的平面。M F r 定軸力矩：定軸力矩： dFM 2 合力矩：合力矩： 21 MMM 2211 dFdFMz M 只有兩個(gè)方向，可用正、負(fù)表示。只有兩個(gè)

11、方向，可用正、負(fù)表示。 而且有：而且有： 與轉(zhuǎn)動(dòng)垂直但通過(guò)轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)不產(chǎn)生力矩；與轉(zhuǎn)動(dòng)垂直但通過(guò)轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)不產(chǎn)生力矩； 與轉(zhuǎn)軸平行的力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩；與轉(zhuǎn)軸平行的力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩； 剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。 o d P F 2 F 1 F 歸結(jié)起來(lái)：歸結(jié)起來(lái)： F 0M 二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律 力矩是改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因，是產(chǎn)生角加速度的原因。力矩是改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因，是產(chǎn)生角加速度的原因。 轉(zhuǎn)動(dòng)物體也有保持原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不變的慣性，在一定力轉(zhuǎn)動(dòng)物體也有保持原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不變的慣性，在一定力 矩作用下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大的物體獲得的角加速度小，反

12、之則大。矩作用下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大的物體獲得的角加速度小，反之則大。 所以，物體的角加速度與力矩成正比，與轉(zhuǎn)動(dòng)慣性成反比。所以，物體的角加速度與力矩成正比，與轉(zhuǎn)動(dòng)慣性成反比。 若用若用J J 表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣性（表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣性（J J 稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）則有：稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）則有： kJM J M 寫成等式 1 在國(guó)際單位制中，在國(guó)際單位制中，k = 1 則上式為則上式為 轉(zhuǎn)動(dòng)定律JM 它說(shuō)明了力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律。什么時(shí)刻有力矩作用于它說(shuō)明了力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律。什么時(shí)刻有力矩作用于 物體，物體什么時(shí)刻就有角加速度。轉(zhuǎn)動(dòng)定律相當(dāng)重要，物體，物體什么時(shí)刻就有角加速度。轉(zhuǎn)動(dòng)定律相當(dāng)重要， 其在轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位就相當(dāng)于平動(dòng)中

13、的牛頓第二定律。其在轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位就相當(dāng)于平動(dòng)中的牛頓第二定律。 把剛體看作質(zhì)元把剛體看作質(zhì)元 的集合，對(duì)的集合，對(duì) 用牛頓第二定律用牛頓第二定律 的切向式與法向式。的切向式與法向式。 設(shè)一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，某質(zhì)元受內(nèi)力和設(shè)一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，某質(zhì)元受內(nèi)力和 外力作用外力作用 i m i m 轉(zhuǎn)動(dòng)定律可由牛頓第二定律推求：轉(zhuǎn)動(dòng)定律可由牛頓第二定律推求： 推導(dǎo)的基本思想：推導(dǎo)的基本思想： 矢量式：矢量式： 法向式：法向式： 切向式：切向式： i ii iamfF 內(nèi) 外 iniinin amfF itiitit amfF i r i m 對(duì)整個(gè)剛體：對(duì)整個(gè)剛體： iiitit rmfF 以以 遍乘切向

14、式：遍乘切向式： i r 2 iiiitiit rmrfrF i r it FM 外 剛體所受的合外力矩剛體所受的合外力矩 0 i r it F內(nèi)力矩和（內(nèi)力不改變動(dòng)量）（內(nèi)力不改變動(dòng)量） 2 ii rmM 外 定義定義： 為剛體所受的合外力矩其中M JM 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 說(shuō)明說(shuō)明：（：（1）M, J, 均對(duì)同一軸而言，且具有瞬時(shí)性均對(duì)同一軸而言，且具有瞬時(shí)性； （2）改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的是力矩；）改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的是力矩； （3）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2 iir mJ ., ., 大小成正比的方向一致與 大小成正比的方向一致與 M dt

15、d Fa dt vd a 牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律的對(duì)應(yīng)關(guān)系牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律的對(duì)應(yīng)關(guān)系 物理量：質(zhì)點(diǎn)物理量：質(zhì)點(diǎn) m m 剛體剛體 J J F av M M 規(guī)規(guī) 律：質(zhì)點(diǎn)律：質(zhì)點(diǎn) 牛頓第二定律牛頓第二定律 剛體剛體 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 aMF JM 不一定不一定 ExampleExample：?jiǎn)枺簡(jiǎn)枺篗 M大，是否大，是否 大？大？ 式中各量是對(duì)于同一軸而言，且式中各量是對(duì)于同一軸而言，且 與與M M的符號(hào)（轉(zhuǎn)向）的符號(hào)（轉(zhuǎn)向） 相同。相同。 該定律不但對(duì)固定軸（轉(zhuǎn)軸）成立，對(duì)質(zhì)心軸也成立。該定律不但對(duì)固定軸（轉(zhuǎn)軸）成立，對(duì)質(zhì)心軸也成立。 該定律是力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律。該定律是力矩的瞬時(shí)作用

16、規(guī)律。 不一定不一定 大，是否大，是否M M大？大？ 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 M M = J= J 應(yīng)注意：應(yīng)注意： （M M大，大， 大，大， 的變化大。的變化大。 可為可為0 0） （ 大，并不代表它的變化大，有可能它的大，并不代表它的變化大，有可能它的 M=0M=0，勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。），勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。） 對(duì)分離的質(zhì)點(diǎn)組：對(duì)分離的質(zhì)點(diǎn)組： 對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 2 2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：J J是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。 ( (對(duì)比平動(dòng)對(duì)比平動(dòng)m m是物體平動(dòng)慣性大小的量度）是物體平動(dòng)慣

17、性大小的量度） 2 iir mJ dmr i r i mJ 22 dmrJ 2 2 33 2 22 2 11 rmrmrmJ 對(duì)應(yīng)與 m F J M a 三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 m1 r1 m2 r2 m3 r3 轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義：、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義： 對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)：J = m r 2 其中其中 r 為到轉(zhuǎn)軸的距離。為到轉(zhuǎn)軸的距離。 與剛體的總質(zhì)量有關(guān)與剛體的總質(zhì)量有關(guān) 與質(zhì)量的分布有關(guān)與質(zhì)量的分布有關(guān) 與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān) 4 4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J的計(jì)算方法的計(jì)算方法：（可將質(zhì)量元變?yōu)榫€元、面元、：（可將質(zhì)量元變?yōu)榫€元、面元、 體元積分求得）體元積分求得） 3

18、 3、J J與下列因素有關(guān)：與下列因素有關(guān)： Example 1、有一均勻細(xì)桿，桿長(zhǎng)為、有一均勻細(xì)桿，桿長(zhǎng)為 l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，c為桿的為桿的 中點(diǎn)。設(shè)轉(zhuǎn)軸中點(diǎn)。設(shè)轉(zhuǎn)軸oo通過(guò)通過(guò)c點(diǎn)且與桿垂直，桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)且與桿垂直，桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量慣量Jc=？ Solution ：?。喝軸方向如圖，桿的線密軸方向如圖，桿的線密 度為度為 = m/l ，取小質(zhì)元，取小質(zhì)元dm= dx，則，則 2 2/ 2/ 3 2/ 2/ 22 12 1 3 ml x dxxdmxJ l l l l c 0 x 0 0 x dx C 0 x 0 x dx A 0 若將轉(zhuǎn)軸移到若將轉(zhuǎn)軸移到A點(diǎn)，求點(diǎn)，

19、求 JA=？ 仍有小質(zhì)元仍有小質(zhì)元dm= dx，（，（ =m/l） 2 0 22 3 1 mldxxdmxJ l A 平行軸定理：平行軸定理：剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J， 等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J Jc c ，加上剛體質(zhì)量，加上剛體質(zhì)量 m m 乘以兩平行軸之間乘以兩平行軸之間 的距離的距離d d的平方。即：的平方。即： 2 mdJJ cB d C B 可見轉(zhuǎn)軸不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的?？梢娹D(zhuǎn)軸不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。 那么將轉(zhuǎn)軸從那么將轉(zhuǎn)軸從C點(diǎn)平行移到點(diǎn)平行移到A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變了多少？點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變了多少？ C 2222

20、2 ) 2 ( 4 1 12 1 3 1 md l mmlmlmlJJ CA 移項(xiàng)得：移項(xiàng)得： JA= JC + md2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理 2 mrJ r r 2 2 1 mrJ r 2 2 1 mrJ )( 2 2 2 2 1 rr m J 2 2 1 mrJ r r l 124 22 mlmr J 12 2 ml J l l 3 2 ml J r2 2 5 2 mrJ r2 2 3 2 mrJ 1 r 2 r Solution ：?。喝XOX軸如圖所示，軸如圖所示， 則棍上任一段元?jiǎng)t棍上任一段元dxdx的的 質(zhì)量質(zhì)量 至轉(zhuǎn)軸的距離至轉(zhuǎn)軸的距離 dxdm l m s

21、inxr dxdx X X d d O O r r X X O Example 2 2、質(zhì)量為質(zhì)量為m m、長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為l的均質(zhì)細(xì)直棍的均質(zhì)細(xì)直棍，對(duì)通過(guò)其中，對(duì)通過(guò)其中 心心O O且與棍斜交成角的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。且與棍斜交成角的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 過(guò)棒一端過(guò)棒一端 O O 、仍與棍斜交成角 、仍與棍斜交成角 的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 22 12 1 22 sin)sin( 2 2 mldxxdmrJ l l l m 討論：討論： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 即為棍對(duì)于過(guò)它的中心即為棍對(duì)于過(guò)它的中心 且與棍垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。且與棍垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 2 2 12 1 m

22、lJ 2 mdJJ oo 2 2 22 12 1 )sin(sin l mml 22 3 1 sinml 為棍對(duì)過(guò)棍一端、且與棍為棍對(duì)過(guò)棍一端、且與棍 垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 2 3 1 , 2 mlJ 時(shí)當(dāng) 由平行軸定理：由平行軸定理： Example 3、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的細(xì)圓環(huán)對(duì)過(guò)環(huán)心垂直于的細(xì)圓環(huán)對(duì)過(guò)環(huán)心垂直于 環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 Solution ：圓環(huán)的線密度為：圓環(huán)的線密度為 =m/2 R 環(huán)上取小質(zhì)元環(huán)上取小質(zhì)元 dm= dl = R d 則則 23 2 0 32 2 2 mR R m RdRdmRJ dl d

23、Example 4、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的薄圓盤對(duì)過(guò)圓心垂直的薄圓盤對(duì)過(guò)圓心垂直 于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 r dr Solution ：圓盤的面密度為：圓盤的面密度為 =m/ R2 取一半徑為取一半徑為 r，寬為，寬為dr 的圓環(huán)為質(zhì)元的圓環(huán)為質(zhì)元 dm = 2 r dr 24 0 32 2 1 2 1 2mRRdrrdmrJ R 即圓盤對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為即圓盤對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J =mR2/2 。所以定滑所以定滑 輪繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為輪繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J =mR2/2 ，滑輪繞其過(guò)邊緣一點(diǎn)滑輪繞其過(guò)邊緣一點(diǎn) 的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的平

24、行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J = mR2/2 + mR2 。（。（平行軸定理平行軸定理） 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算只是對(duì)規(guī)則物體而言，對(duì)不規(guī)則的物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算只是對(duì)規(guī)則物體而言，對(duì)不規(guī)則的物體 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只能用實(shí)驗(yàn)的方法得出。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只能用實(shí)驗(yàn)的方法得出。 Example 5、如圖所示，求大圓盤的實(shí)心部分對(duì)、如圖所示，求大圓盤的實(shí)心部分對(duì)O軸（垂直軸（垂直 于盤面）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。于盤面）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 （已知（已知 R = 2 r ，大盤質(zhì)量為，大盤質(zhì)量為M，小，小 盤質(zhì)量為盤質(zhì)量為m） Solution ：由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有可加性，：由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有可加性， 所以先分別求出大盤和小盤對(duì)所以先分別求出大盤和小盤對(duì)O

25、軸的軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，再把小盤的除去即得大盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，再把小盤的除去即得大盤 實(shí)心部分對(duì)實(shí)心部分對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 大盤對(duì)大盤對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：J1 = MR2/2 小盤對(duì)小盤對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：J2 = mr2/2 + mr2 = 3mr2/2 所以實(shí)心部分對(duì)所以實(shí)心部分對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： 0 R r M m 22 2222 21 )34( 8 1 )34( 2 1 2 3 )2( 2 1 2 3 2 1 RmMrmM mrrMmrMRJJJ Example 6 6、一質(zhì)量為、一質(zhì)量為M M、半徑為、半徑為R R的定滑輪上面繞有細(xì)繩，繩

26、的定滑輪上面繞有細(xì)繩，繩 的一端固定在滑輪上（略去輪軸處的摩檫，繩不可伸長(zhǎng)不計(jì)的一端固定在滑輪上（略去輪軸處的摩檫，繩不可伸長(zhǎng)不計(jì) 質(zhì)量），另一端掛有一質(zhì)量為質(zhì)量），另一端掛有一質(zhì)量為m m 的物體而下垂。求物體的物體而下垂。求物體m m由靜由靜 止下落止下落h h高度時(shí)的速度和此時(shí)輪的角速度。高度時(shí)的速度和此時(shí)輪的角速度。 Solution ： 對(duì)象：對(duì)象：M M剛體剛體 m m 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 受力分析：如圖所示受力分析：如圖所示 依牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程依牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程 h h T1 T1 mg m m M 對(duì)物體有：對(duì)物體有： mg - T = m a 對(duì)滑輪有：對(duì)滑輪有

27、： TR = J = M R2 /2 角量和線量的關(guān)系：角量和線量的關(guān)系： a = R 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系： v2 = v02 + 2ah = 2ah 解方程得：解方程得： 122 24 mm ghm v 122 24 1 mm ghm RR v 在該題中如果在滑輪上加一恒力矩，使物在該題中如果在滑輪上加一恒力矩，使物 體以體以v0的速度勻速上升，撤去力矩后，問(wèn)過(guò)的速度勻速上升，撤去力矩后，問(wèn)過(guò) 多少時(shí)間后滑輪開始反向運(yùn)動(dòng)？多少時(shí)間后滑輪開始反向運(yùn)動(dòng)？ 解：分析：撤去力矩后，滑輪和物體受力解：分析：撤去力矩后，滑輪和物體受力 和前面完全一樣和前面完全一樣 。因此對(duì)物體應(yīng)用牛頓第二。因此對(duì)物

28、體應(yīng)用牛頓第二 定律和對(duì)滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的形式完全一樣。定律和對(duì)滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的形式完全一樣。 h h T1 T1 mg m m M v0 對(duì)物體有：對(duì)物體有： mg - T = m a 對(duì)滑輪有：對(duì)滑輪有： TR = J = M R2 /2 角量和線量的關(guān)系：角量和線量的關(guān)系： a = R 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系： v = v0 + at = 0 由第由第1、2、3個(gè)方程可解得：個(gè)方程可解得： 由第由第4個(gè)方程可解得：個(gè)方程可解得： )2( 2 mM mg a mg vmM a v t 2 )2( 00 h h T1 T1 mg m m M v0 看書看書123頁(yè)例題頁(yè)例題 5 - 4（講

29、解）（講解） 例題例題5 5-4 -4 半徑分別為半徑分別為R1、R2的階梯形滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的階梯形滑輪轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量為慣量為 J ，其上反向繞有兩根細(xì)繩，各懸掛質(zhì)量為，其上反向繞有兩根細(xì)繩，各懸掛質(zhì)量為 m1、m2的物體，忽略滑輪與軸間摩擦，求滑輪的角的物體，忽略滑輪與軸間摩擦，求滑輪的角 加速度加速度 及各繩中張力及各繩中張力FT1、FT2。 m1 m2 m2 m1 T1 F T1 F T2 F T2 F N F gm 1 gm 2 1 a 2 a 解解 分析各物體的分析各物體的 受力情況，對(duì)輕繩應(yīng)有受力情況，對(duì)輕繩應(yīng)有 T2T2T1T1 ,FFFF 假設(shè)滑輪沿順時(shí)針假設(shè)滑輪沿順時(shí)針 方向轉(zhuǎn)動(dòng)方向轉(zhuǎn)

30、動(dòng) 選取物體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正向，根據(jù)牛頓第選取物體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正向，根據(jù)牛頓第 二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得 JRFRF amgmF amFgm 2T21T1 222T2 11T11 滑輪邊緣的切向加速度等于物體的加速度滑輪邊緣的切向加速度等于物體的加速度 2211 ,Ra Ra 解以上各式得解以上各式得 g RmRmJ RmRm 2 22 2 11 2211 gm RmRmJ RRmRmJ RgmF gm RmRmJ RRmRmJ RgmF 2 2 22 2 11 211 2 11 222T 1 2 22 2 11 212 2 22 111T 右圖中，滑輪兩邊張力不相同右圖

31、中，滑輪兩邊張力不相同 ， 兩物體的加速度相同。（繩不可伸長(zhǎng)）兩物體的加速度相同。（繩不可伸長(zhǎng)）M m m1 1m m2 2 T T2 2T T1 1 T T2 2T T1 1 a a m m1 1g g m m2 2g g M m m1 1 m m2 2 T T2 2 T T1 1 T T2 2 T T1 1 a a m m1 1g g m m2 2g g M T TT T amTgm 111 amgmT 222 JrTT)( 21 ra amTgm 111 amgmT 222 JrTT)( 1 ra 2 2 1 MrJ JrTT)( 2 Solution ： （1 1）選細(xì)桿、剛體為研究對(duì)

32、象）選細(xì)桿、剛體為研究對(duì)象 受力與受力矩分析如圖受力與受力矩分析如圖 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有方程：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有方程： ) 3 1 ( 2 2 mlCos l mg Cos l g 2 3 （2 2）由于力矩）由于力矩M= mgM= mg（l/2l/2）coscos 屬變力矩，故由屬變力矩，故由 求角速度求角速度 時(shí)用積分法。時(shí)用積分法。 得得 l l r r mg 2 O O Example 7 7、質(zhì)量、質(zhì)量m m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為l的均質(zhì)細(xì)桿，可繞過(guò)固定端的均質(zhì)細(xì)桿，可繞過(guò)固定端O O的水的水 平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，將桿從水平位置由靜止釋放，如圖。試求：平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，將桿從水平位置由靜止釋放，如圖。試求： 轉(zhuǎn)到任一角轉(zhuǎn)到

33、任一角 時(shí)，桿的角加速度時(shí)，桿的角加速度 等于多少？等于多少？此時(shí)的角此時(shí)的角 速度速度 等于多少？等于多少？ 當(dāng)當(dāng) = = /2/2 （桿轉(zhuǎn)到豎直位置）時(shí)，（桿轉(zhuǎn)到豎直位置）時(shí)， l gSin 3 討論：討論： 越小，越小， 值越小；值越小； 越大，越大， 值越大。值越大。 0, 3 l g m dCos l g dd 000 2 3 作業(yè)：作業(yè)：5-4、5-5、5-7、5-10。 d d dt d d d dt d sin 2 3 2 1 2 l g Cos l g 2 3 例例6 6。如圖示，一長(zhǎng)為。如圖示，一長(zhǎng)為L(zhǎng) L、質(zhì)量可以忽略的剛性直桿，兩端分別固、質(zhì)量可以忽略的剛性直桿，兩端分

34、別固 定質(zhì)量分別為定質(zhì)量分別為2 2m m和和m m的小球，桿可繞通過(guò)其中心的小球，桿可繞通過(guò)其中心O O且與桿垂直的水且與桿垂直的水 平光滑固定軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。開始桿與水平成某一角度平光滑固定軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。開始桿與水平成某一角度， 處于靜止?fàn)顟B(tài)，釋放后，處于靜止?fàn)顟B(tài)，釋放后， 桿繞桿繞O O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則當(dāng)桿轉(zhuǎn)到軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平位置水平位置時(shí)，時(shí)， 求（求（1 1）該系統(tǒng)所受到的合外力矩）該系統(tǒng)所受到的合外力矩M M的大??；（的大?。唬? 2）該系統(tǒng)對(duì)光滑）該系統(tǒng)對(duì)光滑 固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（3 3）此時(shí)該系統(tǒng)角加速度）此時(shí)該系統(tǒng)角加速度的大小。的大小。 解

35、：已知：略。解：已知：略。 研究對(duì)象：兩小球研究對(duì)象：兩小球+ +桿系統(tǒng)（剛體），受力分析桿系統(tǒng)（剛體），受力分析 m m2 o o gm gm 2 1 r 2 r （1 1） mgL L mg L mgMM gmrgmrM 2 1 | 2 2 2 | 2 21 逆時(shí)針為正逆時(shí)針為正 計(jì)計(jì)2 2 （2 2）dmrrmJ i ii 22 222 4 3 ) 2 (2) 2 (mL L m L mJ （3 3） JM L g mL mgL J M 3 2 4 3 2 1 2 任意位置時(shí)：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變?nèi)我馕恢脮r(shí)：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變 gm gm 2 1 r 2 r 2 4 3 mLJ 力矩：力矩： gmrg

36、mrM 2 21 ) 2 sin(2 2 1 ) 2 sin( 2 1 mgLmgLM coscos 2 1 mgLmgL cos 2 1 mgL （負(fù)號(hào)表順時(shí)針）（負(fù)號(hào)表順時(shí)針） JM cos 2 3 l g 例題例題8 8、（、（125125頁(yè)頁(yè)5-155-15，習(xí)題集計(jì)，習(xí)題集計(jì) 4 4）質(zhì)量為）質(zhì)量為 的鼓形輪，可繞的鼓形輪，可繞 水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一繩纏繞于輪上，另一端通過(guò)質(zhì)量為水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一繩纏繞于輪上，另一端通過(guò)質(zhì)量為 的圓盤形的圓盤形 滑輪懸有滑輪懸有 的物體，當(dāng)重物由靜止開始下降了的物體，當(dāng)重物由靜止開始下降了 時(shí)，求：時(shí)，求： （1 1）物體的速度；（）物體的速度；（2 2）繩中

37、張力。（繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)）繩中張力。（繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)） 已知：略。已知：略。 解：研究對(duì)象：鼓輪、滑輪、重物。解：研究對(duì)象：鼓輪、滑輪、重物。 受力分析：受力分析： kg24 kg5 kg10m5 . 0 R r R R F T F gm 3 1 m 2 m 3 m r T F R F 1 2 111 2 1 RmJRFR(1)(1) 計(jì)計(jì)4 4 amFgm T33 (2)(2) 2 2 222 2 1 )(rmJrFF RT Ra 1 ra 2 (5)(5) (4)(4) (3)(3) 1 2 111 2 1 RmJRFR(1)(1) smasvasvvv ttt /222 22 0

38、2 聯(lián)立求解得：聯(lián)立求解得： 2 /4sma )(58 NF T )(48 NFR 所以剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能所以剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 2 2 1 JEk 一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)都繞定軸作圓運(yùn)動(dòng)，都剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)都繞定軸作圓運(yùn)動(dòng)，都 具有動(dòng)能。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能就等于剛體中所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之具有動(dòng)能。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能就等于剛體中所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之 和。和。 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為（1/21/2） m mi iv vi i2 2= =（1/21/2） m mi ir ri i2 2 2 2 則剛體總動(dòng)能為 則剛體總動(dòng)能為 222 2 1 2 1 iiiik rmvmE 與平動(dòng)動(dòng)能形式相同，量

39、綱也相同，單位也相同。與平動(dòng)動(dòng)能形式相同，量綱也相同，單位也相同。 Ek=mr2 2 2=ML=ML2 2T T-2 -2 二、力矩的功二、力矩的功 5-3 5-3 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、力矩的功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、力矩的功 這就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理這就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 M M： X X d F r ds 0 剛體轉(zhuǎn)過(guò)剛體轉(zhuǎn)過(guò)d 角，角，合外力合外力 F作的元功為作的元功為 ： cosFdssdFdw sincos rdds dFrdwsin MddwFrMsin力矩的大小又 當(dāng)剛體在當(dāng)剛體在F力作用下，從力作用下，從 1轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 2時(shí)所作的功為：時(shí)所作的功為： 2 1 2

40、2 2 1 2 12 1 2 1 2 1 JJdJd dt d JMddww 2 1 2 2 2 1 2 12 1 JJMdw 即 2 1 2 2 2 1 2 1 JJW 力矩轉(zhuǎn)力矩k EW 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理： 合外力矩對(duì)剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。合外力矩對(duì)剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。 使用中應(yīng)注意使用中應(yīng)注意： E Ek k轉(zhuǎn) 轉(zhuǎn) 是相對(duì)量； 是相對(duì)量； 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理的表達(dá)式為標(biāo)量式。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理的表達(dá)式為標(biāo)量式。 應(yīng)用該定理時(shí)只需分析始態(tài)與末態(tài)。應(yīng)用該定理時(shí)只需分析始態(tài)與末態(tài)。 凡是涉及桿的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，要應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理凡是涉及桿的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，要應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理

41、下面用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理求解下面用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理求解Example 7 7 2 1 2 2 2 1 2 12 1 JJMdw Solution ：對(duì)象：桿：對(duì)象：桿 由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理有：由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理有： 0 2 1 cos 2 2 0 Jd l mg 22 ) 3 1 ( 2 1 2 mlmgSin l l gSin 3 cos 2 3 l g dt d 可見：求解桿的角速度時(shí)，用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理比用轉(zhuǎn)動(dòng)定律可見：求解桿的角速度時(shí)，用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理比用轉(zhuǎn)動(dòng)定律 簡(jiǎn)單。求角加速度又是用轉(zhuǎn)動(dòng)定律為簡(jiǎn)單。簡(jiǎn)單。求角加速度又是用轉(zhuǎn)動(dòng)定律為簡(jiǎn)單。 l l r r mg 2 O O 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 只有保

42、守力作功時(shí)，機(jī)械能守恒，即只有保守力作功時(shí)，機(jī)械能守恒，即 21 EE ,恒量 轉(zhuǎn) pk EE 為質(zhì)心處的勢(shì)能 cp mghE 用機(jī)械能守恒定律求解用機(jī)械能守恒定律求解Example 7 7中的中的 Solution ：在桿轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，由于只有重：在桿轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，由于只有重 力作功，故機(jī)械能守恒。取桿的水平位置為力作功，故機(jī)械能守恒。取桿的水平位置為 勢(shì)能零點(diǎn)，有勢(shì)能零點(diǎn)，有: : ) 2 (0 2 Sin l mgE k Sin l mgml 2 ) 3 1 ( 2 1 22 l gSin 3 l r r mg 2 O O0 p E 一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）和角動(dòng)量守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)的角

43、動(dòng)量（動(dòng)量矩）和角動(dòng)量守恒定律 定義為：定義為： PrL L r sin,rmvL大小為為矢量 方向：從方向：從 至至 的右旋前進(jìn)方向（右手螺旋法則）。的右旋前進(jìn)方向（右手螺旋法則）。 rP 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)繞當(dāng)質(zhì)點(diǎn)繞O點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)時(shí) 1sin90 則有則有 L = P r = m v r dt Pd r dt Pd rP dt rd dt Prd dt Ld )( )0(0mP dt rd dt Pd r dt Ld 5-4 5-4 角動(dòng)量角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量原理：質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量原理：LLLMdt 0 質(zhì)點(diǎn)所受沖量矩質(zhì)點(diǎn)所受沖量矩=質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量 當(dāng)

44、質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩 M=0 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒時(shí)，質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒 L = 恒恒 量量 。此即質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律。此即質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律 。 dt Ld M 12 LLLddtM dt dP F dt pd rFrM dt pd r dt Ld 又 Example 1、一小球在光滑平面上作圓運(yùn)動(dòng)，小球被穿過(guò)、一小球在光滑平面上作圓運(yùn)動(dòng)，小球被穿過(guò) 中心的線拉住中心的線拉住 。開始時(shí)繩半徑為。開始時(shí)繩半徑為r1 ，小球速率為，小球速率為 v1 ；后；后 來(lái)，往下拉繩子，使半徑變?yōu)閬?lái)，往下拉繩子，使半徑變?yōu)?r2 ，小球速率變?yōu)?，小球速率變?yōu)?v2 ，求，求 v2 =？ Soluti

45、on ：受力分析如圖所示。：受力分析如圖所示。 Mg = N , T為小球圓運(yùn)動(dòng)的向心力，為小球圓運(yùn)動(dòng)的向心力， 合外力合外力= T ，但過(guò)轉(zhuǎn)軸而無(wú)力矩。，但過(guò)轉(zhuǎn)軸而無(wú)力矩。 合外力矩為合外力矩為0，小球角動(dòng)量守恒，小球角動(dòng)量守恒 。 有：有： L = mvr = 恒量恒量 即即 m v1 r1 =m v2 r2 mg N T 1 2 1 2 )(v r r v 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒 二、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律二、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律 JrmrvmrL i iii i i 2 剛體對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量等于剛體剛體對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量等于剛體 中所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的

46、角動(dòng)量之和：中所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量之和： )( iiii vmRL iii mvRLd z 0 mi i v L i R ri 剛體對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量：剛體對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量： JL 由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律： dt dL dt dJ dt d JJM 的方向與的的方向與的 的方向相同。的方向相同。 L dt dL M 1212 JJLLdLdtM 角動(dòng)量定理：角動(dòng)量定理：合外力矩的沖量矩合外力矩的沖量矩= =角動(dòng)量的增量角動(dòng)量的增量。 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量守恒定律 常量 0 )(JJL 當(dāng)當(dāng)0M時(shí)，時(shí)， 剛體受外力矩為零時(shí)，動(dòng)量矩（角動(dòng)量）保持不變。即剛體受外

47、力矩為零時(shí)，動(dòng)量矩（角動(dòng)量）保持不變。即 大小，正負(fù)（方向）均不變。大小，正負(fù)（方向）均不變。 （ 角動(dòng)量守恒條件角動(dòng)量守恒條件 ） 0M 質(zhì)點(diǎn)與剛體的角動(dòng)量量綱相同質(zhì)點(diǎn)與剛體的角動(dòng)量量綱相同 mrmrJL 2 剛體 JmrmrL 2 質(zhì)點(diǎn) m i m i r .推廣至人推廣至人 人非剛體，只要滿足人所受的人非剛體，只要滿足人所受的 則人的角動(dòng)量也守恒。則人的角動(dòng)量也守恒。 使用中的幾種情況：使用中的幾種情況： .一個(gè)剛體（質(zhì)點(diǎn)）一個(gè)剛體（質(zhì)點(diǎn)） J J不變，不變， 不變，不變，L=L=恒量恒量 。 注意守恒定律的使用注意守恒定律的使用 條件分析：條件分析： ，即力矩的和為零。，即力矩的和為零

48、。 0 i M .幾個(gè)剛體（幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)）幾個(gè)剛體（幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)） J J變，變， 變，變， 不變。不變。 合力合力=0=0，合力矩不一定等于零。，合力矩不一定等于零。 合力矩合力矩=0=0，合力不一定等于零。，合力不一定等于零。 J 0 i M 花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員，伸開手：花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員，伸開手：J0 、 、 0 。收攏手： 收攏手：J=J0/3 ， 則則 = J0 0/J=3 0 Example 2 2、一根長(zhǎng)為、一根長(zhǎng)為 l 、質(zhì)量為、質(zhì)量為 m m1 1 的均勻細(xì)棒，其一端的均勻細(xì)棒，其一端 掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜止于豎直位置。今有一子彈質(zhì)掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜止于豎直位置。今有一子彈質(zhì) 量為

49、量為m m2 2 、以水平速度、以水平速度 v0 射入棒下端距軸高度為射入棒下端距軸高度為 a 處如圖。處如圖。 子彈射入后嵌入其內(nèi)并與棒一起轉(zhuǎn)動(dòng)偏離鉛直位置子彈射入后嵌入其內(nèi)并與棒一起轉(zhuǎn)動(dòng)偏離鉛直位置 3030。 。， ， 求子彈的水平速度求子彈的水平速度 v0 的大??？的大??？ Solution ： 對(duì)象：對(duì)象： 棒棒 剛體剛體 子彈子彈 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 過(guò)程分析：過(guò)程分析： 第一階段：第一階段： 與與 碰撞碰撞 2 m 1 m 第二階段：第二階段： + + 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 1 m 2 m 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒 )0(0 i M 恒矢 i L 只有重力作功，只有重力作功，故機(jī)械能守恒。故機(jī)械能守恒。

50、30 a 0 p E 0 m m2 2 m m1 1 列方程列方程 ) 3 1 ( 2 2 2 102 amlmam 3030 2 0 ) 2 ()() 3 1 ( 2 1 21 21 2 22 1 22 1 gaCosmCos l gm gam l gmamlm )3)(2)(32( 6 1 2 2 2 121 2 0 amlmamlm g am 解得：解得： 上面例子說(shuō)明：上面例子說(shuō)明： 1. 動(dòng)量矩（角動(dòng)量）保持不變是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的積不變；動(dòng)量矩（角動(dòng)量）保持不變是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的積不變； 2. 多物體組成的系統(tǒng)角動(dòng)量的可疊加性；多物體組成的系統(tǒng)角動(dòng)量的可疊加性； 3. 角動(dòng)量守恒

51、定律是一條普適定律。角動(dòng)量守恒定律是一條普適定律。 2211 JJJ 30 0 p E 0 m m2 2 m m1 1 a 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒: : 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒: : Example 3 3、質(zhì)量為、質(zhì)量為M M、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為L(zhǎng) L的均勻直棒，可繞垂直于棒的一的均勻直棒，可繞垂直于棒的一 端的水平軸端的水平軸O O無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。它原來(lái)靜止在平衡位置上，現(xiàn)在無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。它原來(lái)靜止在平衡位置上，現(xiàn)在 有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m m的彈性小球飛來(lái)，正好在棒下端與棒垂直相碰撞，的彈性小球飛來(lái)，正好在棒下端與棒垂直相碰撞， 碰撞后，棒從平衡位置處擺動(dòng)到最大角度碰撞后，棒從平衡位置處擺動(dòng)到最大角度 =30=30。 。，如圖所示。 ，如圖所示。 求：（求：（1 1）小球碰撞前的速度）小球碰撞前的速度v v0 0= =？ （2 2）碰撞時(shí)，小球受到多大的沖量？）碰撞時(shí)，小球受到多大的沖量？ 30 L 0 p E 0 m O Solution ：（：（1 1）選小球和棒為研）選小球和棒為研 究對(duì)象究對(duì)象, ,碰撞時(shí)系統(tǒng)所受合外力矩碰撞時(shí)系統(tǒng)所受合外力矩 為為0 0，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，有：，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，有： 2 0 3 1 MLmvLLmv ) 1 ( 3 0 m ML vv 3