本-環(huán)境流體力學-No4(1)

1、流體動力學 續(xù) 4.1 矢量知識回顧 cos sin A+B = C A-B = D A B = A B AB =A BeG 直角坐標系下的矢量 xyzr = ijk xyz AAAA =ijk 直角坐標系中給定矢量直角坐標系中給定矢量 ，則可以表示為，則可以表示為A 標量積、矢量積 直角坐標系中任意兩矢量直角坐標系中任意兩矢量 則有則有 xyz BBBB =ijk xxyyzz A BA BA BA B = ()()() xyz xyz yzzyzxxzxyyx AAA BBB A BA BA BA BA BA B ijk AB = ijk xyz AAAA =ijk 梯度 標量標量 p p

2、沿沿s s方向的變化率方向的變化率, ,即方向導數(shù)為即方向導數(shù)為 標量場梯度為標量場梯度為 1( , , ) pp x y z= dp p ds n ppp p xyz ijk 散度、旋度 矢量矢量 則矢量的散度：則矢量的散度： 矢量的旋度：矢量的旋度： ( ,) xyz x y zVVVV = Vijk y xz V VV xyz V ()()() xyz xyz yy xxzz AAA BBB VV VVVV yzzxxy ijk V ijk 散度與流函數(shù) 散度：各速度分量在其分量方向上的方向導數(shù)之和散度：各速度分量在其分量方向上的方向導數(shù)之和 標定流體微團在運動過程中的相對體積變標定流體

3、微團在運動過程中的相對體積變 化率化率 y xz v vv V xyz 111 rr r vvvv Drv rrrrrrr 散度與流函數(shù) 流函數(shù)流函數(shù)： = 常數(shù)表示流線常數(shù)表示流線 流函數(shù)存在的充要條件：滿足連續(xù)方程（不一定無旋）流函數(shù)存在的充要條件：滿足連續(xù)方程（不一定無旋） 0 y x v v xy y x v v xy xy dv dyv dx x v y y v x 例 已知二維定常不可壓流動的速度分布已知二維定常不可壓流動的速度分布 ， a為常數(shù)。求勢函數(shù)為常數(shù)。求勢函數(shù)。 y v x v y x )( 2 1 )( 2 1 1 2 1 2 xfay yfax 2 1 2 1 2

4、1 )( 2 1 )( axxf ayyf )( 2 1 22 yxa xy vax vay； n旋度旋度為旋轉角速度的兩倍：為旋轉角速度的兩倍： n無旋運動無旋運動n有旋運動有旋運動 n無旋時：無旋時： 為速度勢或速度勢函數(shù)（位函數(shù)）為速度勢或速度勢函數(shù)（位函數(shù)） 2 ()()() yy xxzz vv vvvv v yzzxxy ijk 0 0 , yy xxzz vv vvvv yzzxxy xyz dv dxv dyv dzdxdydz xyz ( , , )x y z 旋度與速度勢 線積分 曲線曲線C C的兩個端點分別為的兩個端點分別為a,ba,b， 矢量矢量 沿曲線沿曲線C C的積

5、分為的積分為 其中其中 如果曲線如果曲線C C為封閉曲線，則線積分為為封閉曲線，則線積分為 ( ,)x y zA = A b a A ds dsdsn C A ds 曲面積分 曲面曲面S S積分方式有三種積分方式有三種 如果曲面如果曲面S S為封閉式的，曲面積分可表示為為封閉式的，曲面積分可表示為 = = s s s p dS A dS AdS 矢 量 標 量 矢 量 , sss p dSA dSAdS ,A 體積分 在體積為在體積為 中分別對中分別對 進行體積分進行體積分 = d Ad 標 量 矢 量 線、面、體積分之間的關系 StokesStokes原理原理 散度原理散度原理 梯度原理梯度

6、原理 C s A dsAdS s A dSA d s pp dSd 4.2 基本原理 建立控制方程的三大原則：建立控制方程的三大原則： 1.1.質量守恒質量守恒 2.2.牛頓第二定律牛頓第二定律 3.3.能量守恒能量守恒 什么樣的模型什么樣的模型 合理？合理？ ( , , , )pp x y z t 流場描述 將矢量、標量理論應用到對流場描述中， 可得如下表述： Vuiviwi ( , , , )x y z t ( , , )TT x y z t 研究方法研究方法1：有限控制體：有限控制體 控制體：閉合的有限區(qū)域 控制面：控制體外邊界 以對控制體有限區(qū)域內(nèi)流體的研究代替對全 局的研究，簡化計算

7、量。 n宏觀無窮小、微觀無窮大 n連續(xù)介質 研究方法研究方法2：流體微元法：流體微元法 4.3 連續(xù)方程 連續(xù)方程是質量守恒定律在流體力學中 具體表達形式 以下針對一個微分六面體推導微分形式 的連續(xù)方程。由于連續(xù)方程僅是運動的 行為，與動力無關，因此適應于理想流 體和粘性流體 流場中邊長分別為dx，dy，dz的矩形六 面體，其空間位置相對于坐標系是固定 的，不隨時間變化，被流體所通過 假設六面體中心點為(x,y,z)， 過中心點分速u,v,w，密度是 T時刻，dt時段內(nèi)經(jīng)過從 ABCD面進入的流體質量為 T時刻， dt時段內(nèi)經(jīng)過從 ABCD面流出流體質量為 1 () () 2 u dx mud

8、ydzdt x dydzdt dx x u um) 2 )( ( 2 ()u dxdydzdt x ()() ()() 22 u dxu dx udydzdtudydzdt xx 12 x mmm 在dt時段內(nèi)，由x面儲存在在微分六面體 的流體質量為（凈流入量） ()()() () uvw dxdydzdt xyz xyz mmmm 同理可得，在dt時段內(nèi)，由y,z面儲存在 微分六面體的流體質量為 由此可得，在dt時段內(nèi)由所有側面流入 到微分六面體的凈流體總質量為 () y v mdxdydzdt y () z w mdxdydzdt z dt內(nèi)，由密度變化引起微分六面體質量 的增加量為 據(jù)質

9、量守恒定律，dt時段內(nèi)從側面凈流 入微分六面體的總質量應等于其內(nèi)流體 質量因密度隨時間變化的引起增量 t mdt dxdydzdxdydzdxdydzdt tt dxdydzdt x dxdydzdt z w y v x u m ) )()()( ( 上式兩邊同除以dxdydzdt，整理得到微 分形式的連續(xù)方程。即: ()()() 0 uvw txyz ()0V t ()0 uvw uvw txyzxyz 0 d V dt 對于不可壓縮流體，連續(xù)方程變?yōu)?根據(jù)散度的定義，有 0 d dt 0V 0 uvw xyz 0 () ()()lim A VndA divVV 根據(jù)高斯公式，有 這樣可以回

10、溯為有限控制體方式的推導 不可壓：每個質點的密度在流動過程中 保持不變，但是不同流體質點的密度可 以不同，即流體可以是非均值的，因此 不可壓縮流體的密度并不一定處處都是 常數(shù)，例如變密度平行流動 ()() A VnV dA 均值流體的定義是0，即密度在空間 處處均勻，但不能保證隨時間不變化 只有既為不可壓縮流體，同時又是均值時 ，流體的密度才處處都是同一個常數(shù)；由 不可壓條件得到 均值流體條件得到 0 d dt 0 從而有 于是=C，即流體密度既不隨時間變化，也 不隨位置變化，在整個流場中是個常數(shù)。 () d uvwV dttxyzt 0 t 4.4 動量方程 牛頓第二定律的普遍形式為牛頓第二

11、定律的普遍形式為 是理論流體力學的基礎，其物理原則為：是理論流體力學的基礎，其物理原則為： 力是動量隨時間的變化率力是動量隨時間的變化率 () d Fm dt V 上述原則在有限控制體中應用：力來自兩 個方面 (1)體積力，包括重力、電磁力等； (2)壓力及作用在控制面上的應力 體積力= 面積力= 則 其中 代表粘性流體的粘性力 V fdV s pdS viscous Vs FfdVpdSF viscous F 通過控制面的動量凈流量 控制體中非定常波動引起的動量變化 () S GdS VV HdV t V 則動量變化率為 帶入到動量定理得 ()() S d mGHdSdV dtt VVVV

12、() viscous SVs dSdVfdVpdSF t VVV 偏微分形式的方程推導 S ppdV ds () () viscous S dVpdVdV t V V ds VfF uvwV = ijk () ()() xxviscous S up dVudVf dVF tx V ds x方向上 流場中各點積分為0，故 () ()0 xxviscous up ufFdV tx V () () xxviscous up ufF tx V ()()() SSV uuudV V dsVdsV 考慮到 有 在y、z方向上分別有 () () yyviscous vp vfF ty V () () zzv

13、iscous wp wfF tz V 上述為守恒形式狹意N-S方程 將微分方程應用到非定常無粘流中可得 Euler方程 上述為守恒形式狹意Euler方程 x f x p u t u )V( )( y f y p v t v )V( )( z f z p w t w )V( )( 注意到前述方程 一點分析 ()DV pf Dt n速度增加，壓力降低，反之則反 n分離區(qū)壓強幾乎一致 積分形式動量方程應用 () ()F S dVpdVdV t V V ds Vf 預測物體所受阻力 應用例1 () ()F S dVpdVdV t V V ds Vf 11212 F() x S uV VVdym VV

14、V ds F 求發(fā)動機推力：噴氣飛機以800km/h速 度在8000m高空飛行。假設發(fā)動機進口 截面直徑為0.86m，流量系數(shù)為1。尾噴 氣速度為650m/s，噴氣壓強與外界相同 應用例2 2 67.8/ in mVrkn s 12 67.8 42829 x Fm VVKN 4.5 動量方程的積分 伯努利方程伯努利方程 結合流量連續(xù)，前述Euler方程可改寫為 不守恒形式如下： 1 (1) 1 (2) 1 (3) x y z uuuup uvwf txyzx vvvvp uvwf txyzy wwwwp uvwf txyzz 動量方程積分 (1)*dx+(2)*dy+(3)*dz，得： 222

15、 () 222 1 ()()0 (4) xyz VVV udxvdywdzdxdydz txyz ppp dxdydzf dxf dyf dz xyz n如果dudxvdywdz () xyz df dxf dyf dz 速度位勢(無旋) 徹體力位勢 n則(4)式為 2 0.50 (5)dtd Vdpd 用于不可壓(=c)定常( )流，則 n如果再忽略徹體力，則 2 (6) 2 pV C 0t 2 (7) 2 pV C 2 * (8) 2 V pp n即伯努利方程 *p稱為總壓或駐壓，有相對和絕對之分 venturi管(變截面管中)的流動 連續(xù)方程：連續(xù)方程： 對于定常流動有對于定常流動有 0

16、 s d t V dS 0 s V dS （a） 將方程（將方程（a）運用到準一維變截面管中。）運用到準一維變截面管中。 由于在壁面處，氣流速度與壁面相切，因此由于在壁面處，氣流速度與壁面相切，因此 與壁面與壁面 正交，那么正交，那么 ，也就有，也就有 對于變截面管進口位置，氣流速度對于變截面管進口位置，氣流速度 與與 方向相反方向相反 12 0 AAwall V dSV dSV dS（a1） 0V dS dS 0 wall V dS 1 111 A A V V dS VdS （a2） （a3） 同理，出口位置氣流速度同理，出口位置氣流速度 與與 方向相同方向相同 將（將（3.15-3.17）

17、代入（）代入（3.14）化簡可得）化簡可得 對于不可壓流體對于不可壓流體 ，則有，則有 方程（方程（a6）是準一維不可壓變截面管的連續(xù)方程）是準一維不可壓變截面管的連續(xù)方程 2 222 A A V V dS VdS （a4） 111222 A VA V（a5） 1122 A VA V const （a6） 由（由（a6）可知，對于不可壓流體，變截面管截面積減）可知，對于不可壓流體，變截面管截面積減 小（收縮管道），氣流速度增大；反過來，截面積增?。ㄊ湛s管道），氣流速度增大；反過來，截面積增 大（擴張管道），氣流速度減小。由伯努利方程可知大（擴張管道），氣流速度減小。由伯努利方程可知 ，收縮管道

18、中，氣流速度增大，壓強則減小；而在擴，收縮管道中，氣流速度增大，壓強則減?。欢跀U 張管道中，氣流速度減小，壓強則增大。張管道中，氣流速度減小，壓強則增大。 對于對于不可壓不可壓流體流過收縮流體流過收縮-擴張擴張 管道，氣體在收縮管道加速，管道，氣體在收縮管道加速， 在管道截面積最小處速度達到在管道截面積最小處速度達到 最大，壓強則達到最??；而在最大，壓強則達到最??；而在 擴張管道，速度減小，而壓強擴張管道，速度減小，而壓強 則增加。如圖所示則增加。如圖所示 (venturi管管) 由伯努利方程得由伯努利方程得 由由(a6)可得可得 將（將（a7）代入到（）代入到（b），可以解得），可以解得

19、類似的類似的 22 1212 2 ()VppV （b） 1 21 2 A VV A （a7） 12 1 2 12 2() /1 pp V AA （c1） 12 2 2 21 2() 1/ pp V AA （c2） 低速風洞就是由電動機帶動風機產(chǎn)生氣流流動的低速風洞就是由電動機帶動風機產(chǎn)生氣流流動的 venturi管。管。 低速風洞可以分為開式和封閉式兩種低速風洞可以分為開式和封閉式兩種 venturi管的應用 4.6 能量方程 能量方程 對于不可壓流動，連續(xù)方程和動量方程足以描對于不可壓流動，連續(xù)方程和動量方程足以描 述壓力和速度。對于可壓流動，則增加了變述壓力和速度。對于可壓流動，則增加了變

20、 量量密度，需要補充能量方程進行描述密度，需要補充能量方程進行描述 能量守恒：能量守恒：能量變化率生成熱傳熱外力能量變化率生成熱傳熱外力 功率，能量既不能創(chuàng)造也不能消失，只能從一功率，能量既不能創(chuàng)造也不能消失，只能從一 種形式轉化為另一種形式種形式轉化為另一種形式 閉合系統(tǒng)單位質量物質的能量為e，外部 環(huán)境對其傳熱 對其做功 則 做如下定義： B1 =外部對控制體傳熱效率 B2 =外部對控制體做功效率 B3 =控制體能量變化率 q w deqw 123 BBB 定義單位質量物質的體積增熱率為 則體積增熱率 對于粘性流體需考慮粘性項，則 q V q dV 1viscous V Bq dVQ 功率

21、 則面積力功率 體積力功率 對粘性流體考慮粘性項，則 FV () s pdS V () V fdV V 2 () viscous sV BpdSfdVW VV 對于運動的控制體，單位質量的能量為 內(nèi)能與動能之和，即 則穿過控制面的能量流率為 對于非定常流，由于流場的波動會引起 控制體中物質量的變化進而導致能量有 所變化，該能量變化率為 2 2 e V 2 ()() 2 S dS e V V 2 () 2 V edV t V 從而有 將各式帶入 可得 以上就是能量方程的積分形式 22 3 ()()() 22 VS BedVdS e t VV V 123 BBB () viscousviscous

22、 VsV q dVQpdSfdVW VV 22 ()() 22 VS edVedS t VV V 能量方程的微分形式為 對定常無粘不傳熱無體積力流體，能量 方程可簡化為 22 () () 22 ()() viscousviscous ee t qpfQW VV V VV 2 () 2 Ss edSpdS V VV 2 () () 2 ep V VV 連續(xù)方程、動量方程、能量方程是流動 的基本控制方程，包含 等變量， 在補充了氣體狀態(tài)方程 后是封閉 的(針對無粘流) , , ,p v e pRT 4.7 物質(隨流)導數(shù)以及相應方程 物質導數(shù) 對于速度場對于速度場 其中其中 密度為密度為 假定假

23、定t1t1時刻密度為時刻密度為 假定假定t2t2時刻密度為時刻密度為 uvwV = ijk ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) uu x y z t vv x y z t ww x y z t = = = ( , , , )x y z t= 11111 ( , )x y z t= 22222 (, )xyz t= 由由TaylorTaylor展開式展開式 整理，并忽略高階小量整理，并忽略高階小量 212121 1 1 2121 11 ()() ()() xxyy xy zztt zt = 高階小量 212121 1212121 1 21 1121 xxyy ttxtty

24、tt zz zttt = 當當t t2 2趨近趨近t t1 1時，時， 由于由于 則有則有 21 21 21 lim tt D ttDt = 2121 21 2121 2121 21 21 lim, lim; lim tttt tt xxyy uv tttt zz w tt D uvw Dttxyz = 在直角坐標系中有在直角坐標系中有 如果如果 那么那么 D uvw Dttxyz = xyz ijk () D Dtt V 物質導數(shù)形式的基本方程 ()VVV ()0 t V 連續(xù)方程連續(xù)方程 已知已知 則有則有 0 t VV 有前面物質導數(shù)公式可知有前面物質導數(shù)公式可知 0 D Dt V 在在x方向上，動量方程為方向上，動量方程為 其中其中 則有則有 () ()() xx