本-環(huán)境流體力學(xué)-No4(1)

1、流體動(dòng)力學(xué) 續(xù) 4.1 矢量知識(shí)回顧 cos sin A+B = C A-B = D A B = A B AB =A BeG 直角坐標(biāo)系下的矢量 xyzr = ijk xyz AAAA =ijk 直角坐標(biāo)系中給定矢量直角坐標(biāo)系中給定矢量 ，則可以表示為，則可以表示為A 標(biāo)量積、矢量積 直角坐標(biāo)系中任意兩矢量直角坐標(biāo)系中任意兩矢量 則有則有 xyz BBBB =ijk xxyyzz A BA BA BA B = ()()() xyz xyz yzzyzxxzxyyx AAA BBB A BA BA BA BA BA B ijk AB = ijk xyz AAAA =ijk 梯度 標(biāo)量標(biāo)量 p p

2、沿沿s s方向的變化率方向的變化率, ,即方向?qū)?shù)為即方向?qū)?shù)為 標(biāo)量場(chǎng)梯度為標(biāo)量場(chǎng)梯度為 1( , , ) pp x y z= dp p ds n ppp p xyz ijk 散度、旋度 矢量矢量 則矢量的散度：則矢量的散度： 矢量的旋度：矢量的旋度： ( ,) xyz x y zVVVV = Vijk y xz V VV xyz V ()()() xyz xyz yy xxzz AAA BBB VV VVVV yzzxxy ijk V ijk 散度與流函數(shù) 散度：各速度分量在其分量方向上的方向?qū)?shù)之和散度：各速度分量在其分量方向上的方向?qū)?shù)之和 標(biāo)定流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的相對(duì)體積變標(biāo)定流體

3、微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的相對(duì)體積變 化率化率 y xz v vv V xyz 111 rr r vvvv Drv rrrrrrr 散度與流函數(shù) 流函數(shù)流函數(shù)： = 常數(shù)表示流線常數(shù)表示流線 流函數(shù)存在的充要條件：滿足連續(xù)方程（不一定無(wú)旋）流函數(shù)存在的充要條件：滿足連續(xù)方程（不一定無(wú)旋） 0 y x v v xy y x v v xy xy dv dyv dx x v y y v x 例 已知二維定常不可壓流動(dòng)的速度分布已知二維定常不可壓流動(dòng)的速度分布 ， a為常數(shù)。求勢(shì)函數(shù)為常數(shù)。求勢(shì)函數(shù)。 y v x v y x )( 2 1 )( 2 1 1 2 1 2 xfay yfax 2 1 2 1 2

4、1 )( 2 1 )( axxf ayyf )( 2 1 22 yxa xy vax vay； n旋度旋度為旋轉(zhuǎn)角速度的兩倍：為旋轉(zhuǎn)角速度的兩倍： n無(wú)旋運(yùn)動(dòng)無(wú)旋運(yùn)動(dòng)n有旋運(yùn)動(dòng)有旋運(yùn)動(dòng) n無(wú)旋時(shí)：無(wú)旋時(shí)： 為速度勢(shì)或速度勢(shì)函數(shù)（位函數(shù)）為速度勢(shì)或速度勢(shì)函數(shù)（位函數(shù)） 2 ()()() yy xxzz vv vvvv v yzzxxy ijk 0 0 , yy xxzz vv vvvv yzzxxy xyz dv dxv dyv dzdxdydz xyz ( , , )x y z 旋度與速度勢(shì) 線積分 曲線曲線C C的兩個(gè)端點(diǎn)分別為的兩個(gè)端點(diǎn)分別為a,ba,b， 矢量矢量 沿曲線沿曲線C C的積

5、分為的積分為 其中其中 如果曲線如果曲線C C為封閉曲線，則線積分為為封閉曲線，則線積分為 ( ,)x y zA = A b a A ds dsdsn C A ds 曲面積分 曲面曲面S S積分方式有三種積分方式有三種 如果曲面如果曲面S S為封閉式的，曲面積分可表示為為封閉式的，曲面積分可表示為 = = s s s p dS A dS AdS 矢 量 標(biāo) 量 矢 量 , sss p dSA dSAdS ,A 體積分 在體積為在體積為 中分別對(duì)中分別對(duì) 進(jìn)行體積分進(jìn)行體積分 = d Ad 標(biāo) 量 矢 量 線、面、體積分之間的關(guān)系 StokesStokes原理原理 散度原理散度原理 梯度原理梯度

6、原理 C s A dsAdS s A dSA d s pp dSd 4.2 基本原理 建立控制方程的三大原則：建立控制方程的三大原則： 1.1.質(zhì)量守恒質(zhì)量守恒 2.2.牛頓第二定律牛頓第二定律 3.3.能量守恒能量守恒 什么樣的模型什么樣的模型 合理？合理？ ( , , , )pp x y z t 流場(chǎng)描述 將矢量、標(biāo)量理論應(yīng)用到對(duì)流場(chǎng)描述中， 可得如下表述： Vuiviwi ( , , , )x y z t ( , , )TT x y z t 研究方法研究方法1：有限控制體：有限控制體 控制體：閉合的有限區(qū)域 控制面：控制體外邊界 以對(duì)控制體有限區(qū)域內(nèi)流體的研究代替對(duì)全 局的研究，簡(jiǎn)化計(jì)算

7、量。 n宏觀無(wú)窮小、微觀無(wú)窮大 n連續(xù)介質(zhì) 研究方法研究方法2：流體微元法：流體微元法 4.3 連續(xù)方程 連續(xù)方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中 具體表達(dá)形式 以下針對(duì)一個(gè)微分六面體推導(dǎo)微分形式 的連續(xù)方程。由于連續(xù)方程僅是運(yùn)動(dòng)的 行為，與動(dòng)力無(wú)關(guān)，因此適應(yīng)于理想流 體和粘性流體 流場(chǎng)中邊長(zhǎng)分別為dx，dy，dz的矩形六 面體，其空間位置相對(duì)于坐標(biāo)系是固定 的，不隨時(shí)間變化，被流體所通過(guò) 假設(shè)六面體中心點(diǎn)為(x,y,z)， 過(guò)中心點(diǎn)分速u(mài),v,w，密度是 T時(shí)刻，dt時(shí)段內(nèi)經(jīng)過(guò)從 ABCD面進(jìn)入的流體質(zhì)量為 T時(shí)刻， dt時(shí)段內(nèi)經(jīng)過(guò)從 ABCD面流出流體質(zhì)量為 1 () () 2 u dx mud

8、ydzdt x dydzdt dx x u um) 2 )( ( 2 ()u dxdydzdt x ()() ()() 22 u dxu dx udydzdtudydzdt xx 12 x mmm 在dt時(shí)段內(nèi)，由x面儲(chǔ)存在在微分六面體 的流體質(zhì)量為（凈流入量） ()()() () uvw dxdydzdt xyz xyz mmmm 同理可得，在dt時(shí)段內(nèi)，由y,z面儲(chǔ)存在 微分六面體的流體質(zhì)量為 由此可得，在dt時(shí)段內(nèi)由所有側(cè)面流入 到微分六面體的凈流體總質(zhì)量為 () y v mdxdydzdt y () z w mdxdydzdt z dt內(nèi)，由密度變化引起微分六面體質(zhì)量 的增加量為 據(jù)質(zhì)

9、量守恒定律，dt時(shí)段內(nèi)從側(cè)面凈流 入微分六面體的總質(zhì)量應(yīng)等于其內(nèi)流體 質(zhì)量因密度隨時(shí)間變化的引起增量 t mdt dxdydzdxdydzdxdydzdt tt dxdydzdt x dxdydzdt z w y v x u m ) )()()( ( 上式兩邊同除以dxdydzdt，整理得到微 分形式的連續(xù)方程。即: ()()() 0 uvw txyz ()0V t ()0 uvw uvw txyzxyz 0 d V dt 對(duì)于不可壓縮流體，連續(xù)方程變?yōu)?根據(jù)散度的定義，有 0 d dt 0V 0 uvw xyz 0 () ()()lim A VndA divVV 根據(jù)高斯公式，有 這樣可以回

10、溯為有限控制體方式的推導(dǎo) 不可壓：每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的密度在流動(dòng)過(guò)程中 保持不變，但是不同流體質(zhì)點(diǎn)的密度可 以不同，即流體可以是非均值的，因此 不可壓縮流體的密度并不一定處處都是 常數(shù)，例如變密度平行流動(dòng) ()() A VnV dA 均值流體的定義是0，即密度在空間 處處均勻，但不能保證隨時(shí)間不變化 只有既為不可壓縮流體，同時(shí)又是均值時(shí) ，流體的密度才處處都是同一個(gè)常數(shù)；由 不可壓條件得到 均值流體條件得到 0 d dt 0 從而有 于是=C，即流體密度既不隨時(shí)間變化，也 不隨位置變化，在整個(gè)流場(chǎng)中是個(gè)常數(shù)。 () d uvwV dttxyzt 0 t 4.4 動(dòng)量方程 牛頓第二定律的普遍形式為牛頓第二

11、定律的普遍形式為 是理論流體力學(xué)的基礎(chǔ)，其物理原則為：是理論流體力學(xué)的基礎(chǔ)，其物理原則為： 力是動(dòng)量隨時(shí)間的變化率力是動(dòng)量隨時(shí)間的變化率 () d Fm dt V 上述原則在有限控制體中應(yīng)用：力來(lái)自兩 個(gè)方面 (1)體積力，包括重力、電磁力等； (2)壓力及作用在控制面上的應(yīng)力 體積力= 面積力= 則 其中 代表粘性流體的粘性力 V fdV s pdS viscous Vs FfdVpdSF viscous F 通過(guò)控制面的動(dòng)量?jī)袅髁?控制體中非定常波動(dòng)引起的動(dòng)量變化 () S GdS VV HdV t V 則動(dòng)量變化率為 帶入到動(dòng)量定理得 ()() S d mGHdSdV dtt VVVV

12、() viscous SVs dSdVfdVpdSF t VVV 偏微分形式的方程推導(dǎo) S ppdV ds () () viscous S dVpdVdV t V V ds VfF uvwV = ijk () ()() xxviscous S up dVudVf dVF tx V ds x方向上 流場(chǎng)中各點(diǎn)積分為0，故 () ()0 xxviscous up ufFdV tx V () () xxviscous up ufF tx V ()()() SSV uuudV V dsVdsV 考慮到 有 在y、z方向上分別有 () () yyviscous vp vfF ty V () () zzv

13、iscous wp wfF tz V 上述為守恒形式狹意N-S方程 將微分方程應(yīng)用到非定常無(wú)粘流中可得 Euler方程 上述為守恒形式狹意Euler方程 x f x p u t u )V( )( y f y p v t v )V( )( z f z p w t w )V( )( 注意到前述方程 一點(diǎn)分析 ()DV pf Dt n速度增加，壓力降低，反之則反 n分離區(qū)壓強(qiáng)幾乎一致 積分形式動(dòng)量方程應(yīng)用 () ()F S dVpdVdV t V V ds Vf 預(yù)測(cè)物體所受阻力 應(yīng)用例1 () ()F S dVpdVdV t V V ds Vf 11212 F() x S uV VVdym VV

14、V ds F 求發(fā)動(dòng)機(jī)推力：噴氣飛機(jī)以800km/h速 度在8000m高空飛行。假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)口 截面直徑為0.86m，流量系數(shù)為1。尾噴 氣速度為650m/s，噴氣壓強(qiáng)與外界相同 應(yīng)用例2 2 67.8/ in mVrkn s 12 67.8 42829 x Fm VVKN 4.5 動(dòng)量方程的積分 伯努利方程伯努利方程 結(jié)合流量連續(xù)，前述Euler方程可改寫(xiě)為 不守恒形式如下： 1 (1) 1 (2) 1 (3) x y z uuuup uvwf txyzx vvvvp uvwf txyzy wwwwp uvwf txyzz 動(dòng)量方程積分 (1)*dx+(2)*dy+(3)*dz，得： 222

15、 () 222 1 ()()0 (4) xyz VVV udxvdywdzdxdydz txyz ppp dxdydzf dxf dyf dz xyz n如果dudxvdywdz () xyz df dxf dyf dz 速度位勢(shì)(無(wú)旋) 徹體力位勢(shì) n則(4)式為 2 0.50 (5)dtd Vdpd 用于不可壓(=c)定常( )流，則 n如果再忽略徹體力，則 2 (6) 2 pV C 0t 2 (7) 2 pV C 2 * (8) 2 V pp n即伯努利方程 *p稱為總壓或駐壓，有相對(duì)和絕對(duì)之分 venturi管(變截面管中)的流動(dòng) 連續(xù)方程：連續(xù)方程： 對(duì)于定常流動(dòng)有對(duì)于定常流動(dòng)有 0

16、 s d t V dS 0 s V dS （a） 將方程（將方程（a）運(yùn)用到準(zhǔn)一維變截面管中。）運(yùn)用到準(zhǔn)一維變截面管中。 由于在壁面處，氣流速度與壁面相切，因此由于在壁面處，氣流速度與壁面相切，因此 與壁面與壁面 正交，那么正交，那么 ，也就有，也就有 對(duì)于變截面管進(jìn)口位置，氣流速度對(duì)于變截面管進(jìn)口位置，氣流速度 與與 方向相反方向相反 12 0 AAwall V dSV dSV dS（a1） 0V dS dS 0 wall V dS 1 111 A A V V dS VdS （a2） （a3） 同理，出口位置氣流速度同理，出口位置氣流速度 與與 方向相同方向相同 將（將（3.15-3.17）

17、代入（）代入（3.14）化簡(jiǎn)可得）化簡(jiǎn)可得 對(duì)于不可壓流體對(duì)于不可壓流體 ，則有，則有 方程（方程（a6）是準(zhǔn)一維不可壓變截面管的連續(xù)方程）是準(zhǔn)一維不可壓變截面管的連續(xù)方程 2 222 A A V V dS VdS （a4） 111222 A VA V（a5） 1122 A VA V const （a6） 由（由（a6）可知，對(duì)于不可壓流體，變截面管截面積減）可知，對(duì)于不可壓流體，變截面管截面積減 ?。ㄊ湛s管道），氣流速度增大；反過(guò)來(lái)，截面積增?。ㄊ湛s管道），氣流速度增大；反過(guò)來(lái)，截面積增 大（擴(kuò)張管道），氣流速度減小。由伯努利方程可知大（擴(kuò)張管道），氣流速度減小。由伯努利方程可知 ，收縮管道

18、中，氣流速度增大，壓強(qiáng)則減?。欢跀U(kuò)，收縮管道中，氣流速度增大，壓強(qiáng)則減?。欢跀U(kuò) 張管道中，氣流速度減小，壓強(qiáng)則增大。張管道中，氣流速度減小，壓強(qiáng)則增大。 對(duì)于對(duì)于不可壓不可壓流體流過(guò)收縮流體流過(guò)收縮-擴(kuò)張擴(kuò)張 管道，氣體在收縮管道加速，管道，氣體在收縮管道加速， 在管道截面積最小處速度達(dá)到在管道截面積最小處速度達(dá)到 最大，壓強(qiáng)則達(dá)到最??；而在最大，壓強(qiáng)則達(dá)到最??；而在 擴(kuò)張管道，速度減小，而壓強(qiáng)擴(kuò)張管道，速度減小，而壓強(qiáng) 則增加。如圖所示則增加。如圖所示 (venturi管管) 由伯努利方程得由伯努利方程得 由由(a6)可得可得 將（將（a7）代入到（）代入到（b），可以解得），可以解得

19、類似的類似的 22 1212 2 ()VppV （b） 1 21 2 A VV A （a7） 12 1 2 12 2() /1 pp V AA （c1） 12 2 2 21 2() 1/ pp V AA （c2） 低速風(fēng)洞就是由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)風(fēng)機(jī)產(chǎn)生氣流流動(dòng)的低速風(fēng)洞就是由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)風(fēng)機(jī)產(chǎn)生氣流流動(dòng)的 venturi管。管。 低速風(fēng)洞可以分為開(kāi)式和封閉式兩種低速風(fēng)洞可以分為開(kāi)式和封閉式兩種 venturi管的應(yīng)用 4.6 能量方程 能量方程 對(duì)于不可壓流動(dòng)，連續(xù)方程和動(dòng)量方程足以描對(duì)于不可壓流動(dòng)，連續(xù)方程和動(dòng)量方程足以描 述壓力和速度。對(duì)于可壓流動(dòng)，則增加了變述壓力和速度。對(duì)于可壓流動(dòng)，則增加了變

20、 量量密度，需要補(bǔ)充能量方程進(jìn)行描述密度，需要補(bǔ)充能量方程進(jìn)行描述 能量守恒：能量守恒：能量變化率生成熱傳熱外力能量變化率生成熱傳熱外力 功率，能量既不能創(chuàng)造也不能消失，只能從一功率，能量既不能創(chuàng)造也不能消失，只能從一 種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式 閉合系統(tǒng)單位質(zhì)量物質(zhì)的能量為e，外部 環(huán)境對(duì)其傳熱 對(duì)其做功 則 做如下定義： B1 =外部對(duì)控制體傳熱效率 B2 =外部對(duì)控制體做功效率 B3 =控制體能量變化率 q w deqw 123 BBB 定義單位質(zhì)量物質(zhì)的體積增熱率為 則體積增熱率 對(duì)于粘性流體需考慮粘性項(xiàng)，則 q V q dV 1viscous V Bq dVQ 功率

21、 則面積力功率 體積力功率 對(duì)粘性流體考慮粘性項(xiàng)，則 FV () s pdS V () V fdV V 2 () viscous sV BpdSfdVW VV 對(duì)于運(yùn)動(dòng)的控制體，單位質(zhì)量的能量為 內(nèi)能與動(dòng)能之和，即 則穿過(guò)控制面的能量流率為 對(duì)于非定常流，由于流場(chǎng)的波動(dòng)會(huì)引起 控制體中物質(zhì)量的變化進(jìn)而導(dǎo)致能量有 所變化，該能量變化率為 2 2 e V 2 ()() 2 S dS e V V 2 () 2 V edV t V 從而有 將各式帶入 可得 以上就是能量方程的積分形式 22 3 ()()() 22 VS BedVdS e t VV V 123 BBB () viscousviscous

22、 VsV q dVQpdSfdVW VV 22 ()() 22 VS edVedS t VV V 能量方程的微分形式為 對(duì)定常無(wú)粘不傳熱無(wú)體積力流體，能量 方程可簡(jiǎn)化為 22 () () 22 ()() viscousviscous ee t qpfQW VV V VV 2 () 2 Ss edSpdS V VV 2 () () 2 ep V VV 連續(xù)方程、動(dòng)量方程、能量方程是流動(dòng) 的基本控制方程，包含 等變量， 在補(bǔ)充了氣體狀態(tài)方程 后是封閉 的(針對(duì)無(wú)粘流) , , ,p v e pRT 4.7 物質(zhì)(隨流)導(dǎo)數(shù)以及相應(yīng)方程 物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 對(duì)于速度場(chǎng)對(duì)于速度場(chǎng) 其中其中 密度為密度為 假定假

23、定t1t1時(shí)刻密度為時(shí)刻密度為 假定假定t2t2時(shí)刻密度為時(shí)刻密度為 uvwV = ijk ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) uu x y z t vv x y z t ww x y z t = = = ( , , , )x y z t= 11111 ( , )x y z t= 22222 (, )xyz t= 由由TaylorTaylor展開(kāi)式展開(kāi)式 整理，并忽略高階小量整理，并忽略高階小量 212121 1 1 2121 11 ()() ()() xxyy xy zztt zt = 高階小量 212121 1212121 1 21 1121 xxyy ttxtty

24、tt zz zttt = 當(dāng)當(dāng)t t2 2趨近趨近t t1 1時(shí)，時(shí)， 由于由于 則有則有 21 21 21 lim tt D ttDt = 2121 21 2121 2121 21 21 lim, lim; lim tttt tt xxyy uv tttt zz w tt D uvw Dttxyz = 在直角坐標(biāo)系中有在直角坐標(biāo)系中有 如果如果 那么那么 D uvw Dttxyz = xyz ijk () D Dtt V 物質(zhì)導(dǎo)數(shù)形式的基本方程 ()VVV ()0 t V 連續(xù)方程連續(xù)方程 已知已知 則有則有 0 t VV 有前面物質(zhì)導(dǎo)數(shù)公式可知有前面物質(zhì)導(dǎo)數(shù)公式可知 0 D Dt V 在在x方向上，動(dòng)量方程為方向上，動(dòng)量方程為 其中其中 則有則有 () ()() xx