一節(jié)“生”動(dòng)的立體幾何課必修2《2.3.2平面與平面垂直的判定》課例

1、一節(jié)“生”動(dòng)的立體幾何課-必修22.3.2平面與平面垂直的判定課例本課例是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（a版）必修2第二章2.3.2平面與平面垂直的判定，課堂按照“提出問題建立概念生成判定新知運(yùn)用歸納總結(jié)”的認(rèn)知過程展開教學(xué)。學(xué)生將在問題的驅(qū)動(dòng)下，進(jìn)行主動(dòng)的思維活動(dòng)，構(gòu)建平面與平面垂直合理定義和有效判定，并為平面與平面垂直的性質(zhì)以及二面角打下基礎(chǔ)。一、教學(xué)設(shè)計(jì)（一） 類比已知，提出問題問題1:直線和平面間存在哪幾種平行關(guān)系？又存在哪幾種垂直關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生原認(rèn)知出發(fā)，通過直線與平面間平行關(guān)系類比，提出面面垂直，又在實(shí)際中讓學(xué)生說出模型，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，領(lǐng)悟面面垂直學(xué)習(xí)的必要性

2、。師生活動(dòng)：學(xué)生思考、分析尋找實(shí)物模型，教師給以引導(dǎo)評(píng)價(jià)，并追問：數(shù)學(xué)中如何定義面面垂直呢？問題2:對(duì)比直線和直線垂直，直線和平面垂直，平面與平面垂直如何合理定義？設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過對(duì)條件的對(duì)比，讓學(xué)生參與建立面面垂直的概念，體驗(yàn)知識(shí)的形成過程及合理性。師生活動(dòng)：學(xué)生思考、分析尋找實(shí)物模型，教師給以評(píng)價(jià)，并引導(dǎo)學(xué)生可以以手頭書本為學(xué)習(xí)工具去探索。（二）埋下鋪墊 建立概念通過模型觀察、思考分析，對(duì)比已知，師生共同完成下列表格內(nèi)容：構(gòu)成圖形垂直線線角射線 點(diǎn) 射線二面角半平面 棱 半平面問題3:類比異面直線所成的角，直線和平面所成的角，如何度量二面角的大??？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生

3、通過類比體驗(yàn)空間角的大小都是通過平面角來度量，體現(xiàn)把空間的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題重要數(shù)學(xué)思想。師生活動(dòng)：（1）學(xué)生思考、分析、交流，師生一起完成二面角的平面角的定義。（2）讓學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)，初步體驗(yàn)二面角的度量方法，獲得二面角的平面角的直接經(jīng)驗(yàn)。（3）生成概念2：二面角的平面角。（三）歸納概括，構(gòu)建新知問題4：當(dāng)二面角的平面角為直角時(shí)，此時(shí)兩平面處于什么位置？設(shè)計(jì)意圖：承上啟下，引導(dǎo)學(xué)生觀察，直觀感知兩平面的垂直位置關(guān)系，獲得兩個(gè)平面互相垂直的直觀體驗(yàn)。師生活動(dòng)：學(xué)生舉一些身邊的例子如：墻壁所在的平面與地面垂直，書頁與桌面相互垂直，教室的門與地面相互垂直等；老師給予肯定、鼓勵(lì)。并一起給出兩個(gè)平

4、面垂直的定義：如果兩個(gè)平面相交且所成二面角為直二面角，則稱這兩個(gè)平面互相垂直。（四）提煉知識(shí)，給出判斷問題5：類比平面與平面平行判定，除定義外，是否也有方法判定平面與平面垂直呢？設(shè)計(jì)意圖：啟發(fā)學(xué)生象面面平行判定一樣，去尋找除定義外，有效判定兩個(gè)平面是否垂直的辦法，并讓學(xué)生從線面垂直著手，去探究，去感悟面面垂直的判定。師生活動(dòng)：學(xué)生思考、模擬、交流。教師到學(xué)生中去傾聽學(xué)生的想法。并追問：（1）若兩個(gè)平面垂直，其中一個(gè)面內(nèi)是否存在直線垂直于另一個(gè)平面？（2）若兩個(gè)平面相交但不垂直，其中一個(gè)面內(nèi)是否存在直線垂直于另一個(gè)平面？（3）上述問題的解決，你能得出什么結(jié)論？并追問經(jīng)過平面的一條垂線能做多少個(gè)平

5、面，都跟已知平面垂直嗎？問題6：你能在生活實(shí)際中找到模型嗎？舉例說說判定定理在實(shí)際中的應(yīng)用嗎？設(shè)計(jì)意圖：聯(lián)系生活實(shí)際，學(xué)以致用。師生活動(dòng)：學(xué)生思考、討論、交流，教師點(diǎn)評(píng)。（五）初步應(yīng)用，鞏固新知例題：如圖，ab是圓o的直徑，pa垂直于圓o所在的平面，c是圓周上不同于a，b的任意一點(diǎn)，求證：平面pac垂直平面pbc。 探究：（1）三棱錐p-abc中，共有幾對(duì)面互相垂直？編題意圖：拓展學(xué)生思維，考察學(xué)生思維嚴(yán)密性，在較繁雜問題中抓住面面垂直判定的關(guān)鍵是線面垂直。（2）平面pbc與平面abc垂直嗎，為什么？編題意圖：拓展學(xué)生思維，能從定義和判定定理說明兩個(gè)平面不垂直。（3）過點(diǎn)a作,垂足為h，求證：

6、 。編題意圖：變式訓(xùn)練，讓學(xué)生抓住問題本質(zhì)和出題思路。練習(xí)：如圖，四棱錐p-abcd的底面為矩形，pa底面abcd，pa=ad，m為ab的中點(diǎn)， （1）求證：平面pad平面pcd.（2）求證：平面pmc平面pcd.編題意圖：通過變題、改題鞏固面面垂直判定定理的運(yùn)用。師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立解題，并交流。教師點(diǎn)評(píng)歸納。二、課堂實(shí)錄（一）課題引出問題1:直線和平面間存在哪幾種平行關(guān)系？又存在哪幾種垂直關(guān)系？學(xué)生：線線平行，線面平行還有面面平行。教師：又存在哪幾種垂直關(guān)系？學(xué)生：線線垂直，線面垂直還有面面垂直。教師：面面垂直現(xiàn)實(shí)中有哪些事例？學(xué)生：教室內(nèi)墻面和地面，正方體的側(cè)面和底面等。教師：大家說的很好

7、，那數(shù)學(xué)中如何定義兩個(gè)平面垂直呢（幻燈）？（二）概念建立問題2:對(duì)比直線和直線垂直，直線和平面垂直，平面與平面垂直如何合理定義？學(xué)生：應(yīng)該可以通過所成的角是直角定義，并用書本擺出模型。教師：你擺出的角與線線角有何區(qū)別，這個(gè)角組成元素是什么？學(xué)生：是兩個(gè)平面所成的角。教師：與線線角對(duì)比下，給出二面角的定義。問題3:類比異面直線所成的角，直線和平面所成的角，如何度量二面角的大?。繉W(xué)生：用平面角來度量。教師：對(duì)，把空間的角轉(zhuǎn)化為平面角，即把未知轉(zhuǎn)化為可知。那如何尋找合理的平面角能客觀反映二面角的大小？請大家打開的書本表示二面角，用兩只筆表示兩條線，去模擬，同桌合作、探究、交流。問題4：當(dāng)二面角的平面

8、角為直角時(shí)，此時(shí)兩平面處于什么位置？學(xué)生：兩個(gè)平面位置相互垂直。教師：非常直觀，板書兩個(gè)平面垂直的定義。（三）判定形成問題5：類比平面與平面平行判定，除定義外，是否也有方法判定平面與平面垂直呢？學(xué)生：應(yīng)該從線面垂直著手。教師：那我們就從這里探究，若兩個(gè)平面垂直，其中一個(gè)面內(nèi)是否存在直線垂直于另一個(gè)平面？學(xué)生：一定存在。教師：請你給出模型。并追問若兩個(gè)平面相交但不垂直，其中一個(gè)面內(nèi)是否存在直線垂直于另一個(gè)平面？學(xué)生：找不到。教師：經(jīng)過上述問題的探究解決，你能得出什么結(jié)論？并追問經(jīng)過平面的一條垂線能做多少個(gè)平面，都跟已知平面垂直嗎？學(xué)生：如果一個(gè)平面內(nèi)有直線與另一個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面垂直。師生

9、：共同完成平面與平面垂直判定定理的描述。教師：請大家作出圖形，用符號(hào)語言表示，并給予證明。學(xué)生：學(xué)生思考動(dòng)筆，教師查看學(xué)生完成情況（部分學(xué)生對(duì)證明困惑）。教師：在現(xiàn)在我們有什么依據(jù)說明兩個(gè)平面是否垂直？學(xué)生：（恍然大悟）定義。教師：定義如何，如何證明。學(xué)生（個(gè)別作答）：過交點(diǎn)在平面做一直線垂直棱。教師：點(diǎn)評(píng)該判定定理的作用，即證明面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直。也就是說在其中一個(gè)面內(nèi)找到另一個(gè)面的一條垂線即可。問題6：你能在生活實(shí)際中找到模型嗎？舉例說說判定定理在實(shí)際中的應(yīng)用嗎？學(xué)生：小組交流，并發(fā)表自己見解。教師：點(diǎn)評(píng)啟發(fā)，同時(shí)給出一些參考實(shí)例。（四）初步應(yīng)用例題：如圖，ab是圓o的直徑，pa垂直于

10、圓o所在的平面，c是圓周上不同于a，b的任意一點(diǎn)，求證：平面pac垂直平面pbc。 學(xué)生：學(xué)生獨(dú)立解題（足夠時(shí)間）。教師：巡視學(xué)生答題情況，提問并板書學(xué)生答案。同時(shí)小結(jié)該題解題思路關(guān)鍵是在其中一個(gè)面內(nèi)找到一條直線垂直另一個(gè)平面，依據(jù)判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直。探究：（1）三棱錐p-abc中，共有幾對(duì)面互相垂直？學(xué)生：（思考片刻）2對(duì)，3對(duì)，4對(duì)等。教師：如何不重不漏，關(guān)鍵在哪里？學(xué)生：線面垂直。教師：先找出存在那些線面垂直，再檢驗(yàn)。并板書結(jié)果。（2）平面pbc與平面abc垂直嗎，為什么？學(xué)生：應(yīng)該不垂直。教師：為什么？依據(jù)什么說明不垂直？引導(dǎo)學(xué)生從定義和判定定理兩個(gè)角度說明。（3）過點(diǎn)a作,垂足為

11、h，求證：。學(xué)生：學(xué)生獨(dú)立思考，并請個(gè)別板書。教師：點(diǎn)評(píng)，并啟發(fā)學(xué)生如何編題。練習(xí)：如圖，四棱錐p-abcd的底面為矩形，pa底面abcd，pa=ad，m為ab的中點(diǎn)， （1）求證：平面pad平面pcd.（2）求證：平面pmc平面pcd.學(xué)生：課堂練習(xí)，并解后交流心得體會(huì)。教師：再次點(diǎn)評(píng)強(qiáng)調(diào)面面垂直判定定理的條件。三、課后反思 3.1理解教材 把握重點(diǎn) 本節(jié)課的核心內(nèi)容是面面垂直的定義及判定，而面面垂直的定義需要用到“二面角”，而二面角是空間中不同于平面角，而且度量二面角的大小即二面角的平面角的定義都是學(xué)生的難點(diǎn)，本節(jié)課的處理是引人二面角是為面面垂直的定義服務(wù)，對(duì)于二面角大小的度量，讓學(xué)生合理

12、給出即可，本節(jié)對(duì)如何求二面角的大小，不做展開探討，以突出面面垂直這一核心內(nèi)容。3.2 類比思想貫穿始終本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)線面間的平行關(guān)系和直線與平面垂直的判定基礎(chǔ)上，新學(xué)習(xí)的知識(shí)，是屬于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的知識(shí)，跟原有認(rèn)知即現(xiàn)在發(fā)展區(qū)進(jìn)行類比，有助于知識(shí)同化，把未知轉(zhuǎn)化為已知，把不會(huì)轉(zhuǎn)化成會(huì)，把不能轉(zhuǎn)化為能的過程。3.3 動(dòng)手體驗(yàn)貫穿始終從面面垂直實(shí)際存在開始，到二面角的定義以及度量，都讓學(xué)生動(dòng)手操作感知，形成面面垂直的定義，再讓學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際，舉例說明，都讓學(xué)生有直觀體驗(yàn)。再有學(xué)生動(dòng)手操作，尋找有效判斷面面垂直的辦法，讓學(xué)生感悟知識(shí)形成的過程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展

13、都是自然的。知識(shí)的形成是一種合理、實(shí)在的有客觀意義的結(jié)果。3.4 有效問題貫穿始終 問題是數(shù)學(xué)的心臟，有效設(shè)問是一節(jié)課成敗關(guān)鍵，學(xué)生能否有效探究的前提，問題必須具有關(guān)鍵性、指向性，本節(jié)課共設(shè)六次提問，每個(gè)問題簡潔，指向性明確，圍繞面面垂直的定義以及判斷展開，各個(gè)問題具有可探究、可操作性，每個(gè)問題解決都是掌握本節(jié)課內(nèi)容的關(guān)鍵，所有問題有形成本節(jié)課主干知識(shí)。四、課例點(diǎn)評(píng)4.1重基礎(chǔ)，重語言教師1(青年骨干)：在教學(xué)中，始終注重訓(xùn)練學(xué)生三種語言（文字語言、圖形語言和符號(hào)語言）的表述，比如平面與平面垂直定義以及平面與平面垂直的判定先讓學(xué)生符號(hào)語言歸納，作圖，再用文字語言表示，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力。

14、4.2抓重點(diǎn)、破難點(diǎn)教師2(青年骨干)：本節(jié)課教師緊扣面面垂直這一核心概念展開教學(xué)，緊緊圍繞中心，對(duì)于二面角知識(shí)的處理，理解到位，使其成為面面垂直定義所需要的概念，是定義面面垂直所需要用到的概念，對(duì)如何求二面角的大小，不在此節(jié)課展開應(yīng)用，這樣處理是合理的，而對(duì)于刻畫二面角的大小即平面角，是學(xué)生一個(gè)難點(diǎn)，教師讓學(xué)生自己動(dòng)手操作、觀察、分析、探討，讓學(xué)生體驗(yàn)平面角的定義以及合理性和唯一性。4.3問題精，可探究教師3(教研組長)：本節(jié)課教師共提出六個(gè)關(guān)鍵問題給學(xué)生探究，每個(gè)問題緊扣面面垂直這一核心內(nèi)容，是本節(jié)課的脈絡(luò)和線索，而且每個(gè)問題指向性明確，學(xué)生可探究性強(qiáng)，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生思維和空間想象能力和邏輯思維能力，動(dòng)手操作能力，讓學(xué)生在問題驅(qū)動(dòng)下探究，體驗(yàn)了知識(shí)生成的過程。4.4 一點(diǎn)商榷教師4(市壇中堅(jiān))：由于本節(jié)課有兩個(gè)概念和一個(gè)定理，教學(xué)任務(wù)相對(duì)比較重，面面垂直定義出來后，能否直接問學(xué)生，實(shí)際生活中，建筑個(gè)人砌墻時(shí)，為什么用一根鉛