2018年高考數(shù)學20 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式教學案 理

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精專題20 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1。會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式;2.能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式；3.能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式,導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；4。能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶) 1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin（）sin_cos_cos_sin_cos（）cos_cos_sin_sin_tan(）2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_cos 2cos2sin22c

2、os2112sin2tan 23有關公式的逆用、變形等（1)tan tan tan（)（1tan_tan_）（2）cos2,sin2(3）1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos ）2，sin cos sin.4函數(shù)f()asin bcos （a,b為常數(shù)），可以化為f（)sin（)或f（）cos（）。高頻考點一、三角函數(shù)式的化簡【例1】 (1)cos（)cos sin(）sin (）a.sin(2) b。sin c。cos（2) d。cos (2)化簡:（0）_.【方法規(guī)律】三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則:一看角之間的差別與聯(lián)系,把角進行合理的拆分，正確使用公式；

3、二看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；三看結(jié)構(gòu)特征,找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升冪”等。【變式探究】 (1)2的化簡結(jié)果是_.(2)化簡:_。解析（1）原式22|cos 42sin 4cos 4|,因為4，所以cos 40,且sin 4cos 4,所以原式2cos 42(sin 4cos 4)2sin 4.（2)原式cos 2.答案（1）2sin 4（2）cos 2高頻考點二三角函數(shù)式的求值【例2】 （1）2sin 50sin 10(1tan 10)_。（2）已知cos，則的值為_.(3）已知，（0，），且tan（），tan ,則2的值為

4、_. (2)sin 2sin 2tan.由得2,又cos，所以sin，tan。cos cos，sin ，sin 2。所以。(3）tan tan(）0,又（0，），0，又tan 20,02，tan(2）1.tan 0，20，2.答案(1)（2)（3）【方法規(guī)律】（1)已知條件下的求值問題常先化簡需求值的式子，再觀察已知條件與所求值的式子之間的聯(lián)系（從三角函數(shù)名及角入手）,最后將已知條件及其變形代入所求式子，化簡求值.(2）通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵照以下原則:已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,)

5、，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好.【變式探究】 （1)4cos 50tan 40（）a. b。c. d.21(2）已知sinsin ，0，則cos 的值為_.（3)已知cos ,cos()(0)，則tan 2_，_。解析（1）原式4sin 40,故選c。（2）由sinsin ，得sin cos ,sin。又0，所以，于是cos。所以cos cos。（3)cos ,0，sin ,tan 4，tan 2.0，0，sin（），cos cos（)cos cos（）sin sin(），.答案（1）c（2）(3）高頻考點三三角變換的簡單應用【例3】 已知abc為銳角三角形，若向量p(22sin a，

6、cos asin a)與向量q(sin acos a,1sin a）是共線向量.(1）求角a;（2）求函數(shù)y2sin2bcos的最大值。解（1）因為p，q共線，所以（22sin a）(1sin a)(cos asin a）(sin acos a)，則sin2a。又a為銳角,所以sin a,則a。(2）y2sin2 bcos2sin2bcos2sin2bcos1cos 2bcos 2bsin 2bsin 2bcos 2b1sin1。因為b，所以2b,所以當2b時,函數(shù)y取得最大值，此時b，ymax2.【方法規(guī)律】解三角函數(shù)問題的基本思想是“變換”，通過適當?shù)淖儞Q達到由此及彼的目的，變換的基本方向

7、有兩種，一種是變換函數(shù)的名稱，一種是變換角的形式。變換函數(shù)名稱可以使用誘導公式、同角三角函數(shù)關系、二倍角的余弦公式等；變換角的形式，可以使用兩角和與差的三角函數(shù)公式、倍角公式等?！咀兪教骄俊?已知函數(shù)f(x）(2cos2x1）sin 2xcos 4x.（1）求f(x)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；(2)若（0，)，且f,求tan的值.解（1）f（x)（2cos2x1）sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x）sin，f(x）的最小正周期t.令2k4x2k,kz，得x，kz。f(x)的單調(diào)減區(qū)間為，kz.1.【2016高考新課標3理數(shù)】在中,，邊上的高等

8、于,則（ )(a） （b） (c) （d)【答案】c【解析】設邊上的高為,則，所以，由余弦定理，知，故選c2?！?016高考新課標2理數(shù)】若，則（ ）（a） （b） (c） （d)【答案】d【解析】 ,且，故選d.3.【2016高考新課標3理數(shù)】若 ，則（ ）(a) (b) (c) 1 (d) 【答案】a【解析】由，得或，所以，故選a【2015高考重慶，理9】若，則（）a、1 b、2 c、3 d、4【答案】c【解析】由已知,選c.（2014新課標全國卷 函數(shù)f（x)sin(x2)2sin cos(x）的最大值為_【答案】1【解析】 函數(shù)f(x)sin（x2)2sin cos(x)sin(x)2

9、sin cos（x）sin（x)cos cos（x）sin sin x，故其最大值為1。（2014安徽卷)設abc的內(nèi)角a，b，c所對邊的長分別是a,b，c，且b3，c1，a2b.(1)求a的值;(2）求sin的值【解析】 （1）因為a2b，所以sin asin 2b2sin bcos b，由余弦定理得cos b,所以由正弦定理可得a2b。因為b3，c1,所以a212，即a2 .（2)由余弦定理得cos a。因為0a8 bab（ab）16 c6abc12 d12abc24【答案】a【解析】 因為abc，所以acb，c(ab),所以由已知等式可得sin 2asin(2b)sin2(ab），即si

10、n 2asin 2bsin 2(ab)，所以sin（ab)（ab)sin(ab）（ab)sin 2（ab)，所以2 sin（ab)cos(ab)2sin(ab）cos(ab）， 所以2sin(ab)cos(ab）cos（ab），所以sin asin bsin c.由1s2，得1bcsin a2。由正弦定理得a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c,所以12r2sin asin bsin c2，所以12,即2r2，所以bc(bc)abc8r3sin asin bsin cr38.（2014湖北卷）某實驗室一天的溫度(單位：)隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關系：f（t）10co

11、stsint，t0，24）(1)求實驗室這一天的最大溫差(2)若要求實驗室溫度不高于11,則在哪段時間實驗室需要降溫？【解析】（1）因為f（t）102102sin,又0t24,所以t，1sin1。當t2時，sin1；當t14時，sin1。于是f（t)在0，24）上取得的最大值是12，最小值是8.故實驗室這一天的最高溫度為12 ，最低溫度為8 ，最大溫差為4 .(2014遼寧卷）在abc中，內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且ac。已知2，cos b，b3。求：(1)a和c的值；(2)cos(bc)的值【解析】（1）由2得cacos b2，又cos b，所以ac6。由余弦定理，得a2c2b2

12、2accos b，又b3，所以a2c292213.解得或因為ac，所以a3，c2。(2）在abc中，sin b.由正弦定理,得sin csin b.因為abc,所以c為銳角,因此cos c。所以cos(bc)cos bcos csin bsin c。（2014全國卷)abc的內(nèi)角a，b,c的對邊分別為a,b，c。已知3acos c2ccos a，tan a，求b.【解析】由題設和正弦定理得3sin acos c2sin ccos a,故3tan acos c2sin c。因為tan a，所以cos c2sin c,所以tan c。所以tan btan180（ac）tan(ac）1，所以b135

13、。（2014新課標全國卷 設，,且tan ，則()a3 b3c2 d2【答案】c(2014四川卷）如圖13所示，從氣球a上測得正前方的河流的兩岸b,c的俯角分別為67,30，此時氣球的高度是46 m,則河流的寬度bc約等于_m（用四舍五入法將結(jié)果精確到個位參考數(shù)據(jù)：sin 670。92，cos 670。39,sin 370。60，cos 370。80，1.73）圖1。3【答案】60【解析】 過a點向地面作垂線，記垂足為d，則在rtadb中，abd67，ad46 m，ab50（m)，在abc中,acb30，bac673037，ab50 m,由正弦定理得，bc60 (m）,故河流的寬度bc約為60

14、 m。（2014四川卷）已知函數(shù)f（x）sin。(1）求f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2)若是第二象限角，fcoscos 2,求cos sin 的值【解析】(1）因為函數(shù)ysin x的單調(diào)遞增區(qū)間為，kz，由2k3x2k，kz，得x,kz。所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kz。(2）由已知，得sincos（cos2sin2),所以sin coscos sin（cos2 sin2 ),即sin cos （cos sin ）2(sin cos )當sin cos 0時，由是第二象限角，得2k，kz，此時，cos sin 。當sin cos 0時，（cos sin )2.由是第二象限角,得cos s

15、in0，此時cos sin .綜上所述，cos sin 或。(2014天津卷）已知函數(shù)f（x)cos xsincos2x，xr.（1)求f(x）的最小正周期；（2)求f（x)在閉區(qū)間上的最大值和最小值 (2)因為f(x）在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù),f，f，f，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值為，最小值為.1.（1tan 17)（1tan 28）的值是(）a。1 b.0 c.1 d。2解析原式1tan 17tan 28tan 17tan 281tan 45(1tan 17tan 28)tan 17tan 28112。答案d2.已知是第二象限角,且tan ，則sin 2（)a. b。 c.

16、 d.解析因為是第二象限角，且tan ，所以sin ，cos ，所以sin 22sin cos 2，故選c。答案c3.設acos 2sin 2，b,c,則有(）a。acb b。abcc。bca d.cab解析由題意可知，asin 28，btan 28，csin 25,cab。答案d4.已知sin 且為第二象限角,則tan（）a. b。 c。 d。解析由題意得cos ，則sin 2,cos 22cos21.tan 2，tan.答案d5.coscoscos()a. b. c. d.解析coscoscoscos 20cos 40cos 100cos 20cos 40cos 80.答案a6。設，0，且

17、滿足sin cos cos sin 1，則sin(2)sin(2)的取值范圍為（）a.，1 b。1，c。1,1 d。1，解析sin cos cos sin 1，sin(）1，0，由，sin（2)sin(2）sinsin(2）cos sin sin，,，1sin1,即所求的取值范圍是1，1,故選c。答案c7.已知cos4sin4，且，則cos_.8.若cos，則sin的值是_.解析sinsincos 22cos2121.答案9。已知,，且cos，sin，則cos(）_.解析，cos,sin,sin，sin，又，cos，cos（)cos.答案10.已知，且sin，則tan 2_。解析sin,得si

18、n cos ,平方得2sin cos ，可求得sin cos ，sin ，cos ，tan ，tan 2.答案11.已知向量a(cos ,sin )，b（2，1）.(1）若ab,求的值；（2）若ab2，,求sin的值。解（1）由ab可知，ab2cos sin 0，所以sin 2cos ，所以.(2)由ab（cos 2，sin 1)可得，|ab|2,即12cos sin 0。又cos2sin21，且，所以sin ，cos 。所以sin（sin cos ）。12。設cos ，tan ，0，求的值.解法一由cos ,，得sin ，tan 2，又tan ,于是tan（）1.又由，0可得0,因此,.法二由cos ，得sin 。由tan ,0得sin ，cos.所以sin（)sin cos cos sin .又由，0可得0，因此，。13。 如圖，現(xiàn)要在一塊半徑為1 m,圓心角為的扇形白鐵片aob上剪出一個平行四邊形