高中有關圓的應用問題試卷

1、高中有關圓的應用問題試卷一解答題（共12小題）1如圖，我海監(jiān)船在D島海域例行維權巡航，某時刻航行至A處，此時測得其北偏東30方向與它相距20海里的B處有一外國船只，且D島位于海監(jiān)船正東18海里處（1）求此時該外國船只與D島的距離；（2）觀測中發(fā)現(xiàn)，此外國船只正以每小時4海里的速度沿正南方航行為了將該船攔截在離D島12海里的E處（E在B的正南方向），不讓其進入D島12海里內(nèi)的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值（角度精確到0.1，速度精確到0.1海里/小時）2在某海濱城市附近海面有一臺風，據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于城市A（看做一點）的東偏南角方向，300km的海面P處，并以20km/h的速

2、度向西偏北45方向移動臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大（1）問10小時后，該臺風是否開始侵襲城市A，并說明理由；（2）城市A受到該臺風侵襲的持續(xù)時間為多久？3如圖，A、B是海岸線OM、ON上的兩個碼頭，海中小島有碼頭Q到海岸線OM、ON的距離分別為2km、km測得tanMON=3，OA=6km以點O為坐標原點，射線OM為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系一艘游輪以18km/小時的平均速度在水上旅游線AB航行（將航線AB看作直線，碼頭Q在第一象限，航線AB經(jīng)過Q）（1）問游輪自碼頭A沿方向開往碼頭B共需多少分鐘？（2）海中有一處景點P（設點P在xO

3、y平面內(nèi)，PQOM，且PQ=6km），游輪無法靠近求游輪在水上旅游線AB航行時離景點P最近的點C的坐標4如圖所示，A，B是兩個垃圾中轉站，B在A的正東方向16千米處，AB的南面為居民生活區(qū)為了妥善處理生活垃圾，政府決定在AB的北面建一個垃圾發(fā)電廠P垃圾發(fā)電廠P的選址擬滿足以下兩個要求（A，B，P可看成三個點）：垃圾發(fā)電廠到兩個垃圾中轉站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成反比，比例系數(shù)相同；垃圾發(fā)電廠應盡量遠離居民區(qū)（這里參考的指標是點P到直線AB的距離要盡可能大）現(xiàn)估測得A，B兩個中轉站每天集中的生活垃圾量分別約為30噸和50噸，問垃圾發(fā)電廠該如何選址才能同時滿足上述要求？5如圖，OM，ON是

4、兩條海岸線，Q為海中一個小島，A為海岸線OM上的一個碼頭已知tanMON=3，OA=6km，Q到海岸線OM，ON的距離分別為3km，km現(xiàn)要在海岸線ON上再建一個碼頭，使得在水上旅游直線AB經(jīng)過小島Q（1）求水上旅游線AB的長；（2）若小島正北方向距離小島6km處的海中有一個圓形強水波P，從水波生成th時的半徑為r=3（a為大于零的常數(shù)）強水波開始生成時，一游輪以18km/h的速度自碼頭A開往碼頭B，問實數(shù)a在什么范圍取值時，強水波不會波及游輪的航行6某地擬建造一座體育館，其設計方案側面的外輪廓線如圖所示：曲線AB是以點E的圓心的圓的一部分，其中E（0，t）（0t25），GF是圓的切線，且GF

5、AD，曲線BC是拋物線y=ax2+50（a0）的一部分，CDAD，且CD恰好等于圓E的半徑（1）若CD=30米，AD=24米，求t與a的值；（2）若體育館側面的最大寬度DF不超過75米，求a的取值范圍7某地擬建造一座大型體育館，其設計方案側面的外輪廓如圖所示：曲線AB是以點E為圓心的圓的一部分，其中E（0，t）（0t25）；曲線BC是拋物線y=ax2+50（a0）的一部分；CDAD，且CD恰好等于圓E的半徑假定擬建體育館的高OB=50（單位：米，下同）（1）若t=20、a=，求CD、AD的長度；（2）若要求體育館側面的最大寬度DF不超過75米，求a的取值范圍；（3）若a=，求AD的最大值8在位

6、于城市A南偏西60相距100海里的B處，一股臺風沿著正東方向襲來，風速為120海里/小時，臺風影響的半徑為r（r50）海里：（1）若r=70，求臺風影響城市A持續(xù)的時間（精確到1分鐘）？（2）若臺風影響城市A持續(xù)的時間不超過1小時，求r的取值范圍9如圖，某地要在矩形區(qū)域OABC內(nèi)建造三角形池塘OEF，E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，OA=5米，OC=4米，EOF=，設CF=x，AE=y（1）試用解析式將y表示成x的函數(shù)；（2）求三角形池塘OEF面積S的最小值及此時x的值10如圖，有一直徑為8米的半圓形空地，現(xiàn)計劃種植甲、乙兩種水果，已知單位面積種植水果的經(jīng)濟價值是種植乙水果經(jīng)濟價值的5倍，但種植甲

7、水果需要有輔助光照半圓周上的C處恰有一可旋轉光源滿足甲水果生產(chǎn)的需要，該光源照射范圍是ECF=，點E，F(xiàn)的直徑AB上，且ABC=（1）若CE=，求AE的長；（2）設ACE=，求該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟價值時種植甲種水果的面積11如圖所示的鐵片由兩部分組成，半徑為1的半圓O及等腰直角EFH，其中FEFH現(xiàn)將鐵片裁剪成盡可能大的梯形鐵片ABCD（不計損耗），ADBC，且點A，B在弧上點C，D在斜邊EH上設AOE=（1）求梯形鐵片ABCD的面積S關于的函數(shù)關系式；（2）試確定的值，使得梯形鐵片ABCD的面積S最大，并求出最大值12如圖，四邊形為邊長為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的

8、圓O交于C，F(xiàn)，連接CF并延長交AB于點E（1）求證：E是AB的中點； （2）求線段EF的長高中有關圓的應用問題試卷參考答案與試題解析一解答題（共12小題）1（2017虹口區(qū)一模）如圖，我海監(jiān)船在D島海域例行維權巡航，某時刻航行至A處，此時測得其北偏東30方向與它相距20海里的B處有一外國船只，且D島位于海監(jiān)船正東18海里處（1）求此時該外國船只與D島的距離；（2）觀測中發(fā)現(xiàn)，此外國船只正以每小時4海里的速度沿正南方航行為了將該船攔截在離D島12海里的E處（E在B的正南方向），不讓其進入D島12海里內(nèi)的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值（角度精確到0.1，速度精確到0.1海里/小時）

9、【分析】（1）依題意，在ABD中，DAB=60，由余弦定理求得DB；（2）法一、過點B作BHAD于點H，在RtABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，進一步得到sinEAH，則EAH可求，求出外國船只到達E處的時間t，由求得速度的最小值法二、建立以點A為坐標原點，AD為x軸，過點A往正北作垂直的y軸可得A，D，B的坐標，設經(jīng)過t小時外國船到達點，結合ED=12，得，列等式求得t，則，再由求得速度的最小值【解答】解：（1）依題意，在ABD中，DAB=60，由余弦定理得DB2=AD2+AB22ADABcos60=182+20221815cos60=364，即此時該外國船只與D島的距離為海里；（

10、2）法一、過點B作BHAD于點H，在RtABH中，AH=10，HD=ADAH=8，以D為圓心，12為半徑的圓交BH于點E，連結AE、DE，在RtDEH中，HE=，又AE=，sinEAH=，則41.81外國船只到達點E的時間（小時）海監(jiān)船的速度（海里/小時）又9041.81=48.2，故海監(jiān)船的航向為北偏東48.2，速度的最小值為6.4海里/小時法二、建立以點A為坐標原點，AD為x軸，過點A往正北作垂直的y軸則A（0，0），D（18，0），設經(jīng)過t小時外國船到達點，又ED=12，得，此時（小時）則，監(jiān)測船的航向東偏北41.81海監(jiān)船的速度（海里/小時）【點評】本題是應用題，考查簡單的數(shù)學建模思想

11、方法，考查了直線與圓位置關系的應用，考查計算能力，屬中檔題2（2017靜安區(qū)一模）在某海濱城市附近海面有一臺風，據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于城市A（看做一點）的東偏南角方向，300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45方向移動臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大（1）問10小時后，該臺風是否開始侵襲城市A，并說明理由；（2）城市A受到該臺風侵襲的持續(xù)時間為多久？【分析】（1）建立直角坐標系，（1分），則城市A（0，0），當前臺風中心，設t小時后臺風中心P的坐標為（x，y），由題意建立方程組，能求出10小時后，該臺風還沒有開始侵襲城市A（2）t小時

12、后臺風侵襲的范圍可視為以為圓心，60+10t為半徑的圓，由此利用圓的性質能求出結果【解答】解：（1）如圖建立直角坐標系，（1分）則城市A（0，0），當前臺風中心，設t小時后臺風中心P的坐標為（x，y），則，此時臺風的半徑為60+10t，10小時后，|PA|184.4km，臺風的半徑為r=160km，r|PA|，（5分）10小時后，該臺風還沒有開始侵襲城市A（1分）（2）由（1）知t小時后臺風侵襲的范圍可視為以為圓心，60+10t為半徑的圓，若城市A受到臺風侵襲，則，300t210800t+864000，即t236t+2880，（5分）解得12t24（1分）該城市受臺風侵襲的持續(xù)時間為12小時（

13、1分）【點評】本題考查圓的性質在生產(chǎn)生活中的實際應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意挖掘題意中的隱含條件，合理地建立方程3（2016江蘇模擬）如圖，A、B是海岸線OM、ON上的兩個碼頭，海中小島有碼頭Q到海岸線OM、ON的距離分別為2km、km測得tanMON=3，OA=6km以點O為坐標原點，射線OM為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系一艘游輪以18km/小時的平均速度在水上旅游線AB航行（將航線AB看作直線，碼頭Q在第一象限，航線AB經(jīng)過Q）（1）問游輪自碼頭A沿方向開往碼頭B共需多少分鐘？（2）海中有一處景點P（設點P在xOy平面內(nèi)，PQOM，且PQ=6km），游輪無法靠近求游輪在

14、水上旅游線AB航行時離景點P最近的點C的坐標【分析】（1）由已知得：A（6，0），直線ON的方程為y=3x，求出Q（4，2），得直線AQ的方程，從而求出水上旅游線AB的長，由此能求出游輪在水上旅游線自碼頭A沿方向開往碼頭B共航行時間（2）點P到直線AB的垂直距離最近，則垂足為C，分別求出直線AB的方程和直線PC的方程，聯(lián)立直線AB和直線PC的方程組，能求出點C的坐標【解答】解：（1）由已知得：A（6，0），直線ON的方程為y=3x，1分設Q（x1，2），（x10），由及x10，得x1=4，Q（4，2），3分直線AQ的方程為y=（x6），即x+y6=0，5分由，得，即B（3，9），6分AB=9，

15、即水上旅游線AB的長為9km游輪在水上旅游線自碼頭A沿方向開往碼頭B共航行30分鐘時間 8分（2）點P到直線AB的垂直距離最近，則垂足為C 10分由（1）知直線AB的方程為x+y6=0，P（4，8），則直線PC的方程為xy+4=0，12分聯(lián)立直線AB和直線PC的方程組，得點C的坐標為C（1，5） 14分【點評】本題考查直線與圓的位置關系在生產(chǎn)生活中的實際應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質、直線方程的合理運用4（2016鹽城一模）如圖所示，A，B是兩個垃圾中轉站，B在A的正東方向16千米處，AB的南面為居民生活區(qū)為了妥善處理生活垃圾，政府決定在AB的北面建一個垃圾發(fā)電廠P垃圾發(fā)電廠P

16、的選址擬滿足以下兩個要求（A，B，P可看成三個點）：垃圾發(fā)電廠到兩個垃圾中轉站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成反比，比例系數(shù)相同；垃圾發(fā)電廠應盡量遠離居民區(qū)（這里參考的指標是點P到直線AB的距離要盡可能大）現(xiàn)估測得A，B兩個中轉站每天集中的生活垃圾量分別約為30噸和50噸，問垃圾發(fā)電廠該如何選址才能同時滿足上述要求？【分析】由條件可設PA=5x，PB=3x，運用余弦定理，即可得到cosPAB，由同角的平方關系可得sinPAB，求得點P到直線AB的距離h=PAsinPAB，化簡整理配方，由二次函數(shù)的最值的求法，即可得到所求最大值及PA，PB的值【解答】解：由條件，得=，PA=5x，PB=3x，

17、則cosPAB=+，由同角的平方關系可得sinPAB=，所以點P到直線AB的距離h=PAsinPAB=5x=，cosPAB1，+1，2x8，所以當x2=34，即x=時，h取得最大值15千米即選址應滿足PA=5千米，PB=3千米【點評】本題考查解三角形的數(shù)學模型的解法，注意運用余弦定理和同角的平方關系和二次函數(shù)的最值的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題5（2016江蘇模擬）如圖，OM，ON是兩條海岸線，Q為海中一個小島，A為海岸線OM上的一個碼頭已知tanMON=3，OA=6km，Q到海岸線OM，ON的距離分別為3km，km現(xiàn)要在海岸線ON上再建一個碼頭，使得在水上旅游直線AB經(jīng)過小島Q（

18、1）求水上旅游線AB的長；（2）若小島正北方向距離小島6km處的海中有一個圓形強水波P，從水波生成th時的半徑為r=3（a為大于零的常數(shù)）強水波開始生成時，一游輪以18km/h的速度自碼頭A開往碼頭B，問實數(shù)a在什么范圍取值時，強水波不會波及游輪的航行【分析】（1）由點到直線的距離，結合直線AQ的方程，即可求出AB的長；（2）強水波不會波及游輪的航行即，代入進行分類討論，即可得出結論【解答】解：（1）以點O 為坐標原點，直線OM 為x 軸，建立直角坐標系如圖所示則由題設得：A（6，0），直線ON 的方程為y=3x，Q（x0，3）（x00）由，及x00 得x0=3，Q（3，3）直線AQ 的方程為

19、y=（x6），即x+y6=0，由 得 即B（3，9），即水上旅游線AB 的長為（2）設試驗產(chǎn)生的強水波圓P，由題意可得P（3，9），生成t 小時時，游輪在線段AB 上的點C 處，則AC=18t，0，C（618t，18t）強水波不會波及游輪的航行即PC2=（18t3）2+（18t9）2r2=9at，當t=0 時，上式恒成立，當，.，當且僅當 時等號成立，所以，在0a2448 時rPC 恒成立，亦即強水波不會波及游輪的航行【點評】本題考查直線與圓的位置關系在生產(chǎn)生活中的實際應用，注意圓的性質、直線方程的合理運用是解題的關鍵，屬于中檔題6（2016延安校級三模）某地擬建造一座體育館，其設計方案側面的

20、外輪廓線如圖所示：曲線AB是以點E的圓心的圓的一部分，其中E（0，t）（0t25），GF是圓的切線，且GFAD，曲線BC是拋物線y=ax2+50（a0）的一部分，CDAD，且CD恰好等于圓E的半徑（1）若CD=30米，AD=24米，求t與a的值；（2）若體育館側面的最大寬度DF不超過75米，求a的取值范圍【分析】（1）由CD=30米，AD=24米，代入拋物線的方程，結合圓的方程，即可解得答案；（2）問題轉化為+恒成立，根據(jù)基本不等式的性質解出即可【解答】解：（1）因為圓E的半徑為OBOE=50t，所以CD=50t=30，t=20，令y=ax2+50=50t，得圓E：x2+（y20）2=302，

21、令y=0，得，所以，即，又t=20，得（2）由題意得：對t（0，25恒成立，所以恒成立，當，即t=25時，所以，解得，故a的取值范圍為）【點評】本題考查了直線和圓的位置關系，考查三角函數(shù)問題，考查函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題7（2016徐匯區(qū)一模）某地擬建造一座大型體育館，其設計方案側面的外輪廓如圖所示：曲線AB是以點E為圓心的圓的一部分，其中E（0，t）（0t25）；曲線BC是拋物線y=ax2+50（a0）的一部分；CDAD，且CD恰好等于圓E的半徑假定擬建體育館的高OB=50（單位：米，下同）（1）若t=20、a=，求CD、AD的長度；（2）若要求體育館側面的最大寬度DF不超過75米，求a的

22、取值范圍；（3）若a=，求AD的最大值【分析】（1）分別求出OD和AO的長，相加即可；（2）問題轉化為恒成立，根據(jù)級別不等式的性質解出即可；（3）法一：根據(jù)三角函數(shù)知識解答；法二：根據(jù)圓的知識解答即可【解答】解：（1）因為圓E的半徑為OBOE=50t=30，所以CD=30在中令y=30，得在圓E：x2+（y20）2=302，中令y=0，得，所以（2）由圓E的半徑為OBOE=50t，得CD=50t在y=ax2+50中令y=50t，得由題意知，對t（0，25恒成立，所以恒成立當，即t=25時，取得最小值10，故，解得（3）當時，又圓E的方程為x2+（yt）2=（50t）2，令y=0，得，所以，從而

23、下求的最大值方法一：令，則=，其中是銳角，且，從而當時，AD取得最大值方法二：令，則題意相當于：已知x2+y2=25（x0，y0），求z=AD=5（2x+y）的最大值當直線與圓弧x2+y2=25（x0，y0）相切時，z取得最大值答：當t=5米時，AD的最大值為米【點評】本題考查了直線和圓的位置關系，考查三角函數(shù)問題，考查函數(shù)恒成立問題，是一道難題8（2016普陀區(qū)三模）在位于城市A南偏西60相距100海里的B處，一股臺風沿著正東方向襲來，風速為120海里/小時，臺風影響的半徑為r（r50）海里：（1）若r=70，求臺風影響城市A持續(xù)的時間（精確到1分鐘）？（2）若臺風影響城市A持續(xù)的時間不超過

24、1小時，求r的取值范圍【分析】（1）由題意，AB=70，AC=50，則BC=20，根據(jù)風速為120海里/小時，即可得出結論；（2）若臺風影響城市A持續(xù)的時間不超過1小時，|BC|60，求r的取值范圍【解答】解：（1）由題意，AB=70，AC=50，則BC=20，風速為120海里/小時，臺風影響城市A持續(xù)的時間為26049分鐘；（2）由題意，|BC|60，60，r5，5r10【點評】本題考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題9（2016黃浦區(qū)一模）如圖，某地要在矩形區(qū)域OABC內(nèi)建造三角形池塘OEF，E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，OA=5米，OC=4米，

25、EOF=，設CF=x，AE=y（1）試用解析式將y表示成x的函數(shù)；（2）求三角形池塘OEF面積S的最小值及此時x的值【分析】（1）由EOF=，可得COF+AOE=，則tan（COF+AOE）=1，化簡可得函數(shù)的解析式，由0y4求得x的范圍；（2）三角形池塘OEF面積S=S矩形OABCSAOESCOFSBEF，運用三角形的面積公式，設t=x+4，求得S的表達式，運用基本不等式可得最小值和x的值【解答】解：（1）由EOF=，可得COF+AOE=，即有tanCOF=，tanAOE=，則tan（COF+AOE）=1，即有y=，由y4，解得x，則函數(shù)的解析式為y=，（x4）；（2）三角形池塘OEF面積S

26、=S矩形OABCSAOESCOFSBEF=455y4x（4y）（5x）=202x（5x）=20+（x4），令t=x+4（t8），即有S=20+（5t+80）20+（280）=2020當且僅當5t=即t=4，此時x=44，OEF的面積取得最小值，且為2020【點評】本題考查函數(shù)的解析式的求法，注意運用兩角和的正切公式，考查三角形的面積的最小值，注意運用間接法求面積，再由換元法和基本不等式，屬于中檔題10（2016南通模擬）如圖，有一直徑為8米的半圓形空地，現(xiàn)計劃種植甲、乙兩種水果，已知單位面積種植水果的經(jīng)濟價值是種植乙水果經(jīng)濟價值的5倍，但種植甲水果需要有輔助光照半圓周上的C處恰有一可旋轉光源滿

27、足甲水果生產(chǎn)的需要，該光源照射范圍是ECF=，點E，F(xiàn)的直徑AB上，且ABC=（1）若CE=，求AE的長；（2）設ACE=，求該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟價值時種植甲種水果的面積【分析】（1）利用余弦定理，即可求AE的長；（2）設ACE=，求出CF，CE，利用SCEF=，計算面積，求出最大值，即可求該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟價值時種植甲種水果的面積【解答】解：（1）由題意，ACE中，AC=4，A=，CE=，13=16+AE22，AE=1或3；（2）由題意，ACE=0，AFC=AACF=在ACF中，由正弦定理得，CF=；在ACE中，由正弦定理得，CE=，該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟價值時，CEF的面積最大，SCEF=，0，0sin（2+）1，=時，SCEF取最大值為4，該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟價值【點評】本題考查余弦定理的運用，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題11（2016南通模擬）如圖所示的鐵片由兩部分組成，半徑為1的半圓O