2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 空間向量與立體幾何 1.4 空間向量的應(yīng)用 1.4.1 第2課時(shí) 空間中直線、平面的平行學(xué)案 新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 空間向量與立體幾何 1.4 空間向量的應(yīng)用 1.4.1 第2課時(shí) 空間中直線、平面的平行學(xué)案 新人教a版選擇性必修第一冊(cè)2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 空間向量與立體幾何 1.4 空間向量的應(yīng)用 1.4.1 第2課時(shí) 空間中直線、平面的平行學(xué)案 新人教a版選擇性必修第一冊(cè)年級(jí)：姓名：第2課時(shí)空間中直線、平面的平行學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)熟練掌握用方向向量，法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系(重點(diǎn)、難點(diǎn))借助利用空間向量解決平行問題的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理素養(yǎng).牌樓與牌坊類似，是中國傳統(tǒng)建筑之一，最早見于周朝在園林、寺觀、宮苑、陵墓和

2、街道常有建造舊時(shí)牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種，多設(shè)于要道口牌樓中有一種有柱門形構(gòu)筑物，一般較高大如圖，牌樓的柱子與地面是垂直的，如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直，我們就能知道下邊線與地面平行這是為什么呢？知識(shí)點(diǎn)空間中直線、平面平行的向量表達(dá)式位置關(guān)系向量表達(dá)式線線平行設(shè)1，2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1l212r，使得12線面平行設(shè)是直線l的方向向量，n是平面的法向量，l，則lnn0面面平行設(shè)n1，n2分別是平面，的法向量，則n1n2r，使得n1n2(1)設(shè)直線l的方向向量為，向量a，b是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，若l，則向量，a，b有什么關(guān)系？(2)根據(jù)上述問題，試研究證明直

3、線與平面平行的另一種方法提示(1)三向量共面，即xayb.(2)若直線的方向向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量共面，則直線與平面平行(1)若平面外的一條直線l的方向向量是u(1,2，3)，平面的法向量為n(4，1，2)，則l與的位置關(guān)系是_(2)若兩個(gè)不同平面，的法向量分別為u(1,2，1)，v(4，8,4)，則平面，的位置是_(1)l(2)(1)由un(1)42(1)(3)(2)0知，l.(2)由v4u知uv，所以. 類型1直線和直線平行【例1】在長方體abcda1b1c1d1中，ab3，ad4，aa12，點(diǎn)m在棱bb1上，且bm2mb1，點(diǎn)s在dd1上，且sd12sd，點(diǎn)n，r分別為a1d1，b

4、c的中點(diǎn)求證：mnrs.證明法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得m，n(0,2,2)，r(3,2,0)，s.則，分別為mn，rs的方向向量，所以，所以，所以，因?yàn)閙rs，所以mnrs.法二：設(shè)a，b，c，則cab，bac.所以，所以.又rmn，所以mnrs.1向量法證明直線平行的兩種思路2坐標(biāo)法證明線線平行的步驟(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求出直線的方向向量的坐標(biāo)；(3)證明兩個(gè)向量共線；(4)證明其中一個(gè)向量所在直線上一點(diǎn)不在另一個(gè)向量所在直線上，即表示方向向量的有向線段不共線，即可得證跟進(jìn)訓(xùn)練1已知正方體abcda1b1c1d1中，e為c1d1的中點(diǎn)，

5、求證：直線bd1與直線ce不平行證明以d為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，正方體的棱長為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則b(1,1,0)，d1(0,0,1)，c(0,1,0)，e，所以(1，1,1)，.又因?yàn)?，所以與不平行因?yàn)闉橹本€bd1的一個(gè)方向向量，為直線ce的一個(gè)方向向量，當(dāng)bd1ce時(shí)，必有.由上可知直線bd1與直線ce不平行 類型2直線和平面平行【例2】(對(duì)接教材p30例3)如圖，四棱錐pabcd中，pa平面abcd，pb與底面成的角為45，底面abcd為直角梯形，abcbad90，pabcad1.問：在棱pd上是否存在一點(diǎn)e，使得ce平面pab？若存在，求出e點(diǎn)的

6、位置，若不存在，請(qǐng)說明理由在棱pd上是否存在點(diǎn)e，可假設(shè)存在，從而，則的取值范圍是什么？解分別以ab，ad，ap為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則p(0,0,1)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，a(0,0,0)，從而(0,2,0)，(1，1,1)，(0,2，1)假設(shè)在棱pd上存在符合題意的點(diǎn)e，則(01)，則(0,2，)，所以(1,21,1)(0,2,0)是平面pab的一個(gè)法向量由ce平面pab可得，即0，210，解得，即.即存在點(diǎn)e為pd的中點(diǎn)時(shí)ce平面pab證明線面平行問題的方法(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；(2)證明直線的方向向量與

7、平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量共面且直線不在平面內(nèi)；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)跟進(jìn)訓(xùn)練2.如圖，在正三棱柱abca1b1c1中，d是ac的中點(diǎn)，求證：ab1平面dbc1.證明如圖以a為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正三棱柱的底面邊長為a(a0)，側(cè)棱長為b(b0)，則a(0,0,0)，b，b1，c1(0，a，b)，d，.設(shè)平面dbc1的法向量為n(x，y，z)，則不妨令y2b，則n(0,2b，a)由于nabab0，因此n.又ab1平面dbc1，ab1平面dbc1. 類型3平面與平面平行【例3】已知正方體abcda1b1c1d1的棱長為2，e，f分別是bb1，dd1的中點(diǎn)，試

8、用向量的方法證明平面ade平面b1c1f.證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系dxyz，則d(0,0,0)，a(2,0,0)，c(0,2,0)，c1(0,2,2)，e(2,2,1)，f(0,0,1)，b1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)，(2,0,0)，設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面ade的法向量，則n1，n1，即得令z12，則y11，所以可取n1(0，1,2)同理，設(shè)n2(x2，y2，z2)是平面b1c1f的一個(gè)法向量由n2，n2，得解得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)因?yàn)閚1n2，即n1n2，所以平面ade平面b1c1f.證明面面平行問題可由以下方

9、法去證明：轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線線平行或線面平行；分別求出這兩個(gè)平面的法向量，然后證明這兩個(gè)法向量平行.本題采用的是方法，解題過程雖復(fù)雜，但思路清晰，是證明平面平行的常用方法.跟進(jìn)訓(xùn)練3.在直四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd為等腰梯形，abcd，ab4，bccd2，aa12，f是棱ab的中點(diǎn)試用向量的方法證明：平面aa1d1d平面fcc1.證明因?yàn)閍b4，bccd2，f是棱ab的中點(diǎn)，所以bfbccf，所以bcf為正三角形因?yàn)閍bcd為等腰梯形，ab4，bccd2，所以badabc60.取af的中點(diǎn)m，連接dm，則dmab，所以dmcd以d為原點(diǎn)，dm為x軸，dc為y軸，dd1為z軸建立

10、空間直角坐標(biāo)系dxyz，則d(0,0,0)，d1(0,0,2)，a(，1,0)，f(，1,0)，c(0,2,0)，c1(0,2,2)，所以(0,0,2)，(，1,0)，(，1,0)，(0,0,2)，所以，所以dd1cc1，dacf，又dd1dad，cc1cfc，dd1，da平面aa1d1d，cc1，cf平面fcc1，所以平面aa1d1d平面fcc1.1若不重合的直線l1，l2的方向向量分別為a(1,2，2)，b(3，6,6)，則()al1l2bl1l2cl1，l2相交但不垂直d不能確定a因?yàn)椋詀b.又直線l1，l2不重合，所以l1，l2平行2如果直線l的方向向量是a(2,0,1)，且直線l

11、上有一點(diǎn)p不在平面上，平面的法向量是b(2,0,4)，那么()alblcldl與斜交b直線l的方向向量是a(2,0,1)，平面的法向量是b(2,0,4)，ab4040，直線l在平面內(nèi)或者與平面平行，又直線l上有一點(diǎn)p不在平面上，l.3若平面，則下面可以是這兩個(gè)平面法向量的是()an1(1,2,3)，n2(3,2,1)bn1(1,2,2)，n2(2,2,1)cn1(1,1,1)，n2(2,2,1)dn1(1,1,1)，n2(2，2，2)d因?yàn)槠矫?，所以兩個(gè)平面的法向量應(yīng)該平行，只有d項(xiàng)符合4已知線段ab的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為a(9，3,4)，b(9,2,1)，則直線ab()a與坐標(biāo)平面oxy平行b與坐標(biāo)平面oyz平行c與坐標(biāo)平面oxz平行d與坐標(biāo)平面oyz相交b因?yàn)閍(9，3,4)，b(9,2,1)，所以(0,5，3)，而坐標(biāo)平面oyz的法向量為(1,0,0)，顯然(0,5，3)(1,0,0)0，故直線ab與坐標(biāo)平面oyz平行5已知l，且l的方向向量為(2，m,1)，平面的法向量為，則m_.8設(shè)a(2，m,1)，b.因?yàn)閘，所以ab.于是ab2m20，則m8.回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題：(1)兩直線平行的向量表達(dá)式是什么？提示設(shè)1，2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1l212r，使得12.(2)直線和平面平行的向量表達(dá)式是什么？提示