高中數(shù)學(xué) 第二章223 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系第1課時(shí)目標(biāo)導(dǎo)學(xué) 北師大版必修2

1、2.3直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系第1課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1能夠說出直線與圓的位置關(guān)系的種類2依據(jù)直線和圓的方程，能夠熟練地寫出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)會(huì)用代數(shù)法判斷直線和圓的位置關(guān)系；能通過比較圓心到直線的距離和半徑之間的大小用幾何法判斷直線和圓的位置關(guān)系3能夠根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系解決有關(guān)問題.重點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系的判斷應(yīng)用難點(diǎn)：通過方程組的解用代數(shù)法研究直線和圓的位置關(guān)系；圓的幾何性質(zhì)在解題中的應(yīng)用疑點(diǎn)：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系如何建立關(guān)系式求解有關(guān)問題1直線axbyc0(a2b20)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判定方

2、法幾何法：圓心到直線的距離ddrdrdr代數(shù)法：由消元得到一元二次方程的判別式000預(yù)習(xí)交流1判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，代數(shù)法與幾何法哪個(gè)更方便？提示：已知直線及圓的方程，判斷兩者的位置關(guān)系時(shí)，幾何法較簡單，一般情況下，在判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，優(yōu)先考慮使用幾何法預(yù)習(xí)交流2直線yx1與圓x2y21的位置關(guān)系是()a相切b相交但直線不過圓心c直線過圓心d相離提示：b2怎樣解決圓的切線方程與弦長問題？提示：(1)涉及圓的切線方程，其解題思路是圓心到直線的距離等于半徑，需注意考慮直線斜率不存在的特殊情形(一般用數(shù)形結(jié)合的思想求解或驗(yàn)證)(2)對于圓的弦長問題求解常常利用半弦長、半徑及弦心距組成的直

3、角三角形求解預(yù)習(xí)交流3(1)若直線yxb與圓x2y22相切，則b的值為()a4 b2 c d2(2)直線xy20被圓(x1)2y21所截得的線段的長為()a1 b. c. d2提示：(1)b(2)c1直線與圓的位置關(guān)系的判斷已知直線方程mxym10，圓的方程為x2y24x2y10，當(dāng)m為何值時(shí)，圓與直線(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn)？思路分析：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)直線與圓相交；直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)直線與圓相切；直線與圓沒有公共點(diǎn)直線與圓相離解：方法一：將直線mxym10代入圓的方程并化簡整理得：(1m2)x22(m22m2)xm24m40.4m(3m4)，當(dāng)0時(shí)，

4、即m0或m時(shí)，直線與圓相交，直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，即m0或m時(shí)，直線與圓相切，直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，即m0時(shí)，直線與圓相離，直線與圓沒有公共點(diǎn)方法二：已知圓的方程可化為：(x2)2(y1)24，即圓心為c(2,1)，半徑r2.圓心c(2,1)到直線mxym10的距離d.當(dāng)d2時(shí)，即m0或m時(shí)，直線與圓相交，即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)d2時(shí)，即m0或m時(shí)，直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)d2時(shí)，即m0時(shí)，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn)1判斷下列圓與直線的位置關(guān)系(1)圓x2y28x2y80，直線4x3y60；(2)圓x2y24x30，直線2xy50.解：(1)圓x

5、2y28x2y80可化為(x4)2(y1)225，圓心(4，1)，半徑r5.圓心(4，1)到直線4x3y60的距離d5r，圓與直線相切(2)圓x2y24x30可化為(x2)2y21，圓心(2,0)，半徑r1，圓心到直線2xy50的距離d1r，圓與直線相離2(1)已知p(x0，y0)在圓x2y2r2內(nèi)，試判斷直線x0xy0yr2與圓的位置關(guān)系；(2)若直線ykx2與圓(x2)2(y3)21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍解：(1)點(diǎn)p(x0，y0)在圓x2y2r2的內(nèi)部，xyr2.又圓心o(0,0)到直線x0xy0yr2的距離為dr，直線x0xy0yr2與圓x2y2r2相離(2)由直線ykx2與

6、圓(x2)2(y3)21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)可得直線與圓的位置關(guān)系是相交，故圓心到直線的距離小于圓的半徑，即1，解得k.解決此類問題的關(guān)鍵是搞清直線與圓的位置關(guān)系和直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)間的等價(jià)關(guān)系在處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，常用幾何法，即比較圓心到直線的距離和半徑的大小，而聯(lián)立方程的方法用得比較少2直線與圓的相切問題(1)已知圓c：(x1)2(y2)22，求過點(diǎn)p(2,3)的圓的切線方程；(2)過點(diǎn)a(4，3)作圓c：(x3)2(y1)21的切線，求此切線的方程思路分析：(1)先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再利用切線的斜率與圓心和切點(diǎn)連線的斜率乘積為1求出切線斜率(2)設(shè)出切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離

7、等于圓的半徑，列出切線斜率所滿足的方程，求出斜率，但要注意分斜率存在、不存在兩種情況討論解：(1)因?yàn)?21)2(32)22，所以點(diǎn)p(2,3)在圓上由圓的方程可得圓心c(1,2)，半徑r.由斜率公式得kcp1，故所求切線的斜率為1.由直線的點(diǎn)斜式方程得所求的切線方程為y3(x2)，即xy50.(2)因?yàn)?43)2(31)2171，所以點(diǎn)a在圓外若所求直線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y3k(x4)因?yàn)閳A心c(3,1)到切線的距離等于半徑1，所以1，解得k.所以切線方程為y3(x4)，即15x8y360.若切線斜率不存在，圓心c(3,1)到直線x4的距離也為1，這時(shí)直線與圓也相切，所

8、以另一條切線方程是x4.綜上，所求切線方程為15x8y360或x4.1已知圓o：x2y25和點(diǎn)a(1,2)，則過a且與圓o相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于_解析：點(diǎn)a在圓o上，過點(diǎn)a且與圓o相切的直線的斜率為，故切線方程為y2(x1)令x0得y；令y0得x5.故三角形的面積為5.答案：2求圓心在直線y2x上，且與直線y1x相切于點(diǎn)(2，1)的圓的方程解：設(shè)圓心(a，2a)，由圓與直線y1x相切于點(diǎn)(2，1)，得，解得a1.所求圓的圓心為(1，2)，半徑r.所求圓的方程為(x1)2(y2)22.求圓的切線方程一般有三種方法：(1)利用常見結(jié)論：過圓x2y2r2上一點(diǎn)(x0，y0)的切線

9、方程為x0xy0yr2，代入切點(diǎn)坐標(biāo)求切線方程；(2)待定系數(shù)法：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)或切線斜率，由題意列出方程(組)，解得切點(diǎn)坐標(biāo)或切線斜率，寫出點(diǎn)斜式，最后將點(diǎn)斜式化為一般式；(3)直接法：由切線斜率與圓心和切點(diǎn)的連線斜率乘積為1，求出切線斜率，再寫出直線的點(diǎn)斜式方程即可一般地，過圓外一點(diǎn)可向圓作兩條切線，應(yīng)注意斜率不存在的情況3直線與圓相交時(shí)的弦長問題過點(diǎn)p(4，4)的直線l被圓c：x2y22x4y200截得的弦ab的長度為8，求直線l的方程思路分析：設(shè)出直線方程，由圓心到直線的距離d與圓的半徑及半弦長構(gòu)成的直角三角形求解注意討論斜率存在與否解：圓的方程可化為(x1)2(y2)252，圓心c(1

10、,2)，半徑r5.由圓的性質(zhì)可知圓的半弦長、半徑、弦心距構(gòu)成直角三角形，圓心到直線的距離d3.當(dāng)直線abx軸時(shí)，l過(4，4)，ab方程為x4，點(diǎn)c(1,2)到l的距離d|41|3，滿足題意當(dāng)ab與x軸不垂直時(shí)，設(shè)方程為y4k(x4)，即kxy4k40.d3，解得k.l的方程為y4(x4)，即3x4y40.綜上，直線l的方程為x4或3x4y40.1直線x2y50與圓x2y28相交于a，b兩點(diǎn)，則|ab|_.解析：d，|ab|222.答案：2有關(guān)直線與圓相交時(shí)的弦長問題常用幾何法來處理如圖，若半徑為r，弦心距為d，則弦長|ab|2.2(2011湖北高考，文14)過點(diǎn)(1，2)的直線l被圓x2y2

11、2x2y10截得的弦長為，則直線l的斜率為_解析：設(shè)直線的斜率為k，則可得直線方程為ykx2k0，圓心到直線距離d，又圓心到直線的垂線段，圓的半徑，弦的一半構(gòu)成直角三角形，所以d221，可求得k1或k.答案：1或1已知2a22b2c2，則直線axbyc0與圓x2y24的位置關(guān)系是()a相交但不過圓心 b相交且過圓心c相切 d相離解析：d2，直線與圓相交，且不過圓心(0,0)答案：a2直角坐標(biāo)平面內(nèi)，過點(diǎn)p(2,1)且與圓x2y24相切的直線()a有兩條 b有且僅有一條c不存在 d不能確定解析：點(diǎn)p(2,1)在圓x2y24外，切線有2條答案：a3若直線xy2被圓(xa)2y24所截得的弦長為2，則實(shí)數(shù)a的值為()a1或 b1或3 c2或6 d0或4解析：圓心c(a,0)到直線xy2的距離d，由題意得d2()222，解得d.所以，解得a0或a4.答案：d4以點(diǎn)(2，1)為圓心且與直線xy6相切的圓的方程是_解