實驗數(shù)據(jù)誤差分析和數(shù)據(jù)處理

1、 緒緒 論 論 物理實驗物理實驗 是研究自然現(xiàn)象、總結(jié)物理規(guī)律的基本方法， 同時也是驗證新理論的必經(jīng)之路。 物理實驗大體分為下面幾個步驟： a. 要明確實驗?zāi)康?、?nèi)容、步驟，通過實驗過程觀察某些物理現(xiàn)象， 測量某些物理量-觀察和測量； b. 測試計量是取得正確實驗結(jié)果的關(guān)鍵一步，對測量量-準確記 錄計量結(jié)果； d. 實驗?zāi)康氖菫榱藦臏y得的大量數(shù)據(jù)中得到實驗規(guī)律，尋找各變量 間的相互關(guān)系-數(shù)據(jù)處理； c. 任何測量都有誤差，應(yīng)運用誤差理論估計判斷測量結(jié)果是否可靠- -對計量結(jié)果誤差分析和計算； e. 最后寫出測量結(jié)果-結(jié)果表達。 誤差理論基礎(chǔ)誤差理論基礎(chǔ) 緒緒 論 論 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： v基

2、本概念基本概念物理實驗和測量誤差物理實驗和測量誤差 v誤差分類誤差分類偶然誤差和系統(tǒng)誤差偶然誤差和系統(tǒng)誤差 v誤差計算誤差計算測量結(jié)果的不確定度測量結(jié)果的不確定度 v數(shù)據(jù)格式數(shù)據(jù)格式有效數(shù)字有效數(shù)字 v數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理用最二乘法作直線擬合用最二乘法作直線擬合 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 一、一、 物理實驗和測量誤差物理實驗和測量誤差 測量就是將待測量與選做標準單位的物理量進行比較， 得到此物理量的測量值。 測量值必須包括:數(shù)值和單位，如測量課桌的長度為 1.2534m。 測量的分類： 按測量方式通常可分為： 直接測量由儀器直接讀出測量結(jié)果的叫做直接測量 如：用米尺測量課桌的長

3、度，電壓表測量電壓等 間接測量由直接測量結(jié)果經(jīng)過公式計算才能得出結(jié) 果的叫做間接測量 如：測量單擺的振動周期T，用公式glT/2 求得g 按測量精度通?？煞譃椋喊礈y量精度通常可分為： n等精度測量對某一物理量進行多次重復(fù)測量，而且 每次測量的條件都相同(同一測量者，同一組儀器，同一 種實驗方法，溫度和濕度等環(huán)境也相同)。 n不等精度測量在諸測量條件中，只要有一個發(fā)生了 變化，所進行的測量。 n由于測量方法、測量環(huán)境、測量儀器和測量者的局限 性誤差的不可避免性，待測物理量的真值同測量值 之間總會存在某種差異，這種差異就稱為測量誤差，定 義為 測量誤差（）= 測量值（X）- 真值（a) n測量結(jié)果

4、也應(yīng)包含測量誤差的說明及其優(yōu)劣的評價 Y=NN 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 真值就是與給定的特定量的定義相一致的量值?？陀^存在 的、但不可測得的（測量的不完善造成）。 可知的真值： a.理論真值-理論設(shè)計值、理論公式表達值等 如三角形內(nèi)角和180度； b.約定(實用)真值-指定值,最佳值等， 如阿伏加德羅常數(shù), 算術(shù)平均值當真值等。 誤差分類 按其性質(zhì)和原因可分為三類: 系統(tǒng)誤差 偶然誤差(隨機誤差) 粗大誤差 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 1系統(tǒng)誤差：在重復(fù)測量條件下

5、對同一被測量進行無限 多次測量結(jié)果的平均值減去真值 來源： 儀器、裝置誤差； 測量環(huán)境誤差； 測量理論或方法誤差； 人員誤差-生理或心理特點所造成的誤差。 標準器誤差標準器誤差；儀器安裝調(diào)整不妥儀器安裝調(diào)整不妥, ,不水平、不水平、 不垂直、偏心、零點不準等，如天平不等臂不垂直、偏心、零點不準等，如天平不等臂, , 分光計讀數(shù)裝置的偏心；附件如導(dǎo)線分光計讀數(shù)裝置的偏心；附件如導(dǎo)線 理論公式為近似理論公式為近似 或?qū)嶒灄l件達不或?qū)嶒灄l件達不 到理論公式所規(guī)到理論公式所規(guī) 定的要求定的要求 溫度、濕度、光照，電磁場等溫度、濕度、光照，電磁場等 特點特點：同一被測量多次測量中，保持恒定或以可預(yù)知的方

6、 式變化（一經(jīng)查明就應(yīng)設(shè)法消除其影響） anx)( 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 分類: a.定值系統(tǒng)誤差-其大小和符號恒定不變。 例如，千分尺沒有零點修正，天平砝碼的標稱值不準確等。例如，千分尺沒有零點修正，天平砝碼的標稱值不準確等。 b.變值系統(tǒng)誤差-呈現(xiàn)規(guī)律性變化?？赡茈S時間,隨 位置變化。例如分光計刻度盤中心與望遠鏡轉(zhuǎn)軸中心 不重合，存在偏心差 發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)的方法的方法 (2)理論分析法理論分析法- - 理論公式和儀器要求的使用條件理論公式和儀器要求的使用條件 規(guī)律性變化規(guī)律性變化( (一致變大變小一致變大變小) ) 一定存在著系統(tǒng)誤差一定存在著系統(tǒng)誤差 (1)數(shù)據(jù)分析法數(shù)

7、據(jù)分析法- - 觀察觀察 隨測量次序變化 隨測量次序變化 xxx ii (3)對比法對比法 a.a.實驗方法實驗方法 b.b.儀器儀器 c.c.改變測量條件改變測量條件 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 處理: 任何實驗儀器、理論模型、實驗條件，都不可能理想 a. 消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源(原因) b. 選擇適當?shù)臏y量方法 單擺單擺g=(9.8000.002)m/s2； 自由落體自由落體g=(9.77=(9.770.02)m/s2，其一存在系統(tǒng)誤差其一存在系統(tǒng)誤差 如兩個電表接入同一電路，對比兩個表的如兩個電表接入同一電路，對比兩個表的 讀數(shù)，如其一是標準表，可得另一表的修讀數(shù)，如其

8、一是標準表，可得另一表的修 正值。正值。 某些物理量的方向、參數(shù)某些物理量的方向、參數(shù) 的數(shù)值、甚至換人等的數(shù)值、甚至換人等 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 1)交換法-如為了消除天平不等臂而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差 2)替代法-如用自組電橋測量電阻時 3)抵消法-如測量楊氏模量實驗中，取增重和減重時 讀數(shù)的平均值； 各種消減系統(tǒng)誤差的方法都具有較強的針對性， 都是些經(jīng)驗型、具體的處理方法! 4)半周期法-如分光計的讀數(shù)盤相對180設(shè)置兩個游 標，任一位置用兩個游標讀數(shù)的平均值 圖中角度讀數(shù)為：游標1讀數(shù): 295+132=29513 游標2讀數(shù): 115+12=11512 分光計 讀數(shù)方

9、法示意圖 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 2偶然誤差（隨機誤差）：測量結(jié)果減去同一條件 下對被測量進行無限多次測量結(jié)果的平均值 來源：儀器性能和測量者感官分辨力的統(tǒng)計漲落，環(huán)境條 件的微小波動，測量對象本身的不確定性(如氣壓小球直 徑或金屬絲直徑)等 特點：個體而言是不確定的; 但其總體服從一定的統(tǒng)計規(guī)律。 處理：可以用統(tǒng)計方法估算其對測量結(jié)果的影響（標準 差），不可修正，但可減小之。（下面講） )(nxxi 定義: 在相同的條件下，由于偶然的不確定的因素造成每 一次測量值的無規(guī)則的漲落，測量值對真值的偏離時大時 小、時正時負，這類誤差稱為偶然誤差 誤誤 差 差 理 理 論 論

10、基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 測量結(jié)果測量結(jié)果分布規(guī)律分布規(guī)律的估計的估計經(jīng)驗分布曲線經(jīng)驗分布曲線 f(v vi)-v vi 測量列測量列 xi ， n容量容量 對大量數(shù)據(jù)處理時，往往對對大量數(shù)據(jù)處理時，往往對 i取一個單位取一個單位 (盡量小盡量小)， 考慮考慮 i落在第一個落在第一個 ，第二個第二個 ，第三個第三個 -的的f( i)， ，-經(jīng)驗分布曲線經(jīng)驗分布曲線 axi i f(i)- i出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率 正態(tài)分布正態(tài)分布均勻分布均勻分布三角分布三角分布 i i 正態(tài)分布規(guī)律正態(tài)分布規(guī)律: : 大多數(shù)偶然誤差服從正態(tài)分布大多數(shù)偶然誤差服從正態(tài)分布(高斯分布高斯分布)規(guī)律規(guī)律 特點特點： 1）有界性

11、）有界性. 2）單峰性）單峰性. 3）對稱性）對稱性. 4）抵償性）抵償性. 可以通過多次測量，利用其統(tǒng)計規(guī)律達到互相抵償隨機可以通過多次測量，利用其統(tǒng)計規(guī)律達到互相抵償隨機 誤差，找到真值的最佳近似值誤差，找到真值的最佳近似值(又叫最佳估計值或最近又叫最佳估計值或最近 真值真值)。 n i i n n 1 0 1 lim 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 2 2 2 )( 2 1 )( ax exf 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 3粗大誤差 ：明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差 來源：使用儀器的方法不正確，粗心大意讀錯、記錯、 算錯數(shù)據(jù)或?qū)嶒灄l件突變等原因造成的（壞值）

12、。 處理：實驗測量中要盡力避免過失錯誤； 在數(shù)據(jù)處理中要盡量剔除壞值。 實驗中的異常值決不能不加分析地統(tǒng)統(tǒng)扔掉實驗中的異常值決不能不加分析地統(tǒng)統(tǒng)扔掉 -很多驚世發(fā)現(xiàn)都是超出預(yù)期的結(jié)果！很多驚世發(fā)現(xiàn)都是超出預(yù)期的結(jié)果！ 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 精確度：用于表述測量結(jié)果的好壞 1精密度：表示測量結(jié)果中隨機誤差大小的程度。 即是指在規(guī)定條件下對被測量進行多次測量時，所得結(jié) 果之間符合的程度，簡稱為精度。 2. 正確度：表示測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小的程度。 它反映了在規(guī)定條件下，測量結(jié)果中所有系統(tǒng)誤差的綜 合。 3.準確度：表示測量結(jié)果與被測量的“真值”之間的一致 程度。 它反映了

13、測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與隨機誤差的綜合。又稱 精確度。 xxi ax )()(axxxax ii 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) a)精密度低, 正確度高 (b)精密度高， 正確度低 (c)精密度、 正確度和準確度皆高 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) （1）直接測量中不確定度的估算 （a)多次測量：在相同條件下對一物理量X進行了n次獨立的 直接測量，所得n個測量值為x1，x2，xn，稱其為

14、測量 列，標準不確定度參數(shù)：數(shù)學(xué)期望（算術(shù)平均值）和標準：數(shù)學(xué)期望（算術(shù)平均值）和標準 差差 n i i x n x 1 1 算術(shù)平均值 n i ix ax n 1 2 )( 1 )(標準差測量列標準不確定度 )()( 1 1 1 2 實用 n i ix xx n 任一測量結(jié)果的誤差落在-x，x范圍內(nèi)的概率為68.3%。 3不確定度的估計方法 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 算術(shù)平均值的標準不確定度 n i i x x xx nnn 1 2 )( ) 1( 1 平均值的標準差 算術(shù)平均值的誤差落在 范圍內(nèi)的概率為68.3%。 xx , 隨隨n的增大而減小，但當?shù)脑龃蠖鴾p小，但當n

15、大于大于1010后，減小速度明后，減小速度明 顯降低，通常取顯降低，通常取 5 5n1010 x 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) （b)b)單次測量結(jié)果標準單次測量結(jié)果標準不確定度的估算的估算： k e e e為極限不確定度（儀器的最大讀數(shù)誤差）為極限不確定度（儀器的最大讀數(shù)誤差） k為分布系數(shù)，對于為分布系數(shù)，對于正態(tài)正態(tài)分布，分布，k= =3 3, ,=e/3； 對于對于均勻均勻分布，分布，k= =3, ,即即= e/3 ； 測量結(jié)果的表示測量結(jié)果的表示: : %)100( )( x E xx x x 單位 意義意義: :真值真值a落在落在 范圍內(nèi)的概率為范圍內(nèi)的概率為68.

16、3%。 xx xx, 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 例例1 1 用溫度計對某個不變溫度等精度測量數(shù)據(jù)如表，求測量結(jié)果。 OC) 解解: n i i t n t 1 1 =530.0909 OC n i i t t tt nnn 1 2 )( ) 1( 1 =0.5301 OC %100 0909.530 5301. 0 %100 t E t =0.1000017% =0.6 OC =530.1 OC =0.11% (%)11. 0 )(6 . 01 .530 E Ct o %)100( )( x E xx x x 單位 (2)(2)間接測量結(jié)果不確定度的估計間接測量結(jié)果不確定度

17、的估計： 設(shè)間接測量設(shè)間接測量N=f（x，y，z） 量值量值： ),( zyxfN 2 2 2 2 2 2 zyx N z N y N x N n i i x x xx nnn 1 2 )( ) 1( 1 其中 標準不確定度標準不確定度： 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 相對不確定度相對不確定度： 2 2 2 2 2 2 22 Nz N Ny N Nx N N E z y xN %100 N E NN N N 單位 測量結(jié)果的表示測量結(jié)果的表示 計算順序計算順序： 計算公式以加減運算為主，先算標準，再算相對計算公式以加減運算為主，先算標準，再算相對不確定度不確定度； 計算公式以乘

18、除或乘方運算為主，先算相對，再算標準計算公式以乘除或乘方運算為主，先算相對，再算標準不確不確 定度定度 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 22 yxN 2 2 yxN y xN y e x e N e y xN x e k N e xN x k N xN 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 誤誤 差 差 理 理 論 論 基 基 礎(chǔ) 礎(chǔ) 例例2 測某立方體鋼材的長寬高為 l, b, h 如表，材料的密度p=7.86gcm-3 求其質(zhì)量m。 解：m=plbh hbl pm 2 2 2 2 2 2 mh m mb m ml m m E hblm 22 2 hbl hbl n i

19、 i l l ll nnn 1 2 2 2 )( ) 1( 1 =0.00501mm2 =127.503013kg =0.02158 2 b 2 h = mE m =0.275157kg (%)2 . 2 )(3 . 05 .127 E kgm %100 m E mm m m 單位 2 2 2 2 2 2 )()()( hblp lbp hblp hlp hblp hbp hbl 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運運 算算 四、有效數(shù)字 數(shù)字分類：完全準確數(shù)字；有效數(shù)字。 有效數(shù)字的構(gòu)成(讀取)：準確部分+一位非準確部分(誤差 所在位)。 ( (I) )物體長度物體長度L估讀為估讀為4.2

20、7cm或或4.28cm ( (II) )右端恰好與右端恰好與15cm刻度線對齊刻度線對齊, ,準確數(shù)字為準確數(shù)字為“15.0”， 再加上估讀數(shù)再加上估讀數(shù)“0”，則物體長度，則物體長度L的有效數(shù)字應(yīng)記為的有效數(shù)字應(yīng)記為 15.00cm 估計值，一般為最小分度值的估計值，一般為最小分度值的1/10的整數(shù)倍的整數(shù)倍 位數(shù)無限多，如1/3， 等 位數(shù)有限，如0.333， 3.14159等 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運運 算算 有效數(shù)字有效數(shù)字位數(shù)的特點：位數(shù)的特點： a.a.位數(shù)與儀器最小分度值有關(guān)，與被測量的大小也有關(guān)；位數(shù)與儀器最小分度值有關(guān)，與被測量的大小也有關(guān)； 如用最小分度值如用

21、最小分度值0.010.01mmmm的千分尺測量的長度讀數(shù)為的千分尺測量的長度讀數(shù)為 8.348.344 4mmmm，用最小分度值為用最小分度值為0.020.02mmmm的游標卡尺來測量，的游標卡尺來測量， 其讀數(shù)為其讀數(shù)為 8.3 8.34 4mmmm。 b.b.位數(shù)與小數(shù)點的位置（單位）無關(guān)；位數(shù)與小數(shù)點的位置（單位）無關(guān)； 如重力加速度如重力加速度9.80m9.80ms s2 2，0.009800.00980kmkms s2 2 或 或 980980cmcm s s2 2, , 9.809.80 x10 x103 3mmmms s2 2 都是三位有效數(shù)字都是三位有效數(shù)字 c.c.位數(shù)粗略反

22、映測量的誤差位數(shù)粗略反映測量的誤差. . 位數(shù)越多，測量的相對誤差就越小位數(shù)越多，測量的相對誤差就越小, , 如如8.348.344 4mmmm， 8.38.34 4mmmm的相對誤差的相對誤差, , 不要寫成不要寫成9800 mm/s2 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運運 算算 原則：五下舍，五上入，整五湊偶。 如保留四位有效數(shù)字如保留四位有效數(shù)字: : 3.1423.142 2.7172.717 4.5104.510 3.2163.216 6.3796.379 3.1413.1415 59 9 2.7172.7172 29 9 4.5104.5105 50 0 3.2153.2155

23、 50 0 6.3786.3785 50 0l l 7.6917.6914 49999 7.6917.691 測量誤差測量誤差的有效位數(shù)：修約原則的有效位數(shù)：修約原則-只入不舍只入不舍 相對不確定度相對不確定度-兩位，如兩位，如E=0.0010023修約為修約為0.11% 絕對絕對不確定度不確定度-一位，當為一位，當為1或或9時，可以保留兩位。時，可以保留兩位。 如：如：0.00123寫為寫為0.0013，0.0962寫為寫為0.10。 擬舍的第一位數(shù)字為擬舍的第一位數(shù)字為5， 其后無數(shù)字或皆為其后無數(shù)字或皆為0 保留末位為奇數(shù)保留末位為奇數(shù), , 加加1， 保留末位為偶數(shù)保留末位為偶數(shù), ,

24、 不變不變 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運運 算算 3. 3. 有效數(shù)字有效數(shù)字運算運算: : 規(guī)則規(guī)則: : 準確數(shù)字與準確數(shù)字的運算結(jié)果仍為準確數(shù)字，準確數(shù)字與準確數(shù)字的運算結(jié)果仍為準確數(shù)字， 準確數(shù)字與非準確數(shù)字或非準確數(shù)字與非準確數(shù)字的運準確數(shù)字與非準確數(shù)字或非準確數(shù)字與非準確數(shù)字的運 算結(jié)果為非準確數(shù)字。運算結(jié)果只保留一位非準確數(shù)字。算結(jié)果為非準確數(shù)字。運算結(jié)果只保留一位非準確數(shù)字。 (1)加減法加減法 結(jié)果的非準確位與參與運算的所有數(shù)字中非準確位數(shù)結(jié)果的非準確位與參與運算的所有數(shù)字中非準確位數(shù) 值最大者相同值最大者相同 (2)乘除法乘除法 結(jié)果的位數(shù)與所有參與運算的數(shù)字中有

25、效數(shù)字位數(shù)最結(jié)果的位數(shù)與所有參與運算的數(shù)字中有效數(shù)字位數(shù)最 少的相同少的相同 (3)(3)乘方開方乘方開方 結(jié)果的位數(shù)與相應(yīng)的底數(shù)的位數(shù)相同結(jié)果的位數(shù)與相應(yīng)的底數(shù)的位數(shù)相同 如如674.6-21.3542的結(jié)果取的結(jié)果取 為為653.2 如如23.4*26的結(jié)果取為的結(jié)果取為 6.1*102 如如23.42的結(jié)果取的結(jié)果取 為為548 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運運 算算 (4)(4)對數(shù)對數(shù) 結(jié)果的位數(shù)與真數(shù)的位數(shù)相同結(jié)果的位數(shù)與真數(shù)的位數(shù)相同 (5)(5)三角函數(shù)三角函數(shù) 以上方法對少量數(shù)據(jù)運算可用以上方法對少量數(shù)據(jù)運算可用, 運算過程中可多保留運算過程中可多保留 位數(shù)。對大量數(shù)

26、據(jù)用統(tǒng)計方法處理位數(shù)。對大量數(shù)據(jù)用統(tǒng)計方法處理. 如如 ln23.4的結(jié)果取為的結(jié)果取為3.15 如如sin(16O2512)的結(jié)果取為的結(jié)果取為 0.282676 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運運 算算 4. 4. 測量最終結(jié)果測量最終結(jié)果的有效數(shù)字的有效數(shù)字： %100 N E NN N N 單位 結(jié)果的標準不確定度求出并修約后，測量量結(jié)果的最后結(jié)果的標準不確定度求出并修約后，測量量結(jié)果的最后 位與標準不確定度對齊，測量量結(jié)果按四舍五入的原則位與標準不確定度對齊，測量量結(jié)果按四舍五入的原則 修約。修約。 如如由公式求得的楊氏模量由公式求得的楊氏模量 Y=2.182641011(kg

27、/m2)， 求得標準不確定度為求得標準不確定度為 Y=0.02318641011(kg/m2)。 則根據(jù)上述規(guī)則，最終結(jié)果為則根據(jù)上述規(guī)則，最終結(jié)果為 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運運 算算 (1)加減法加減法求求N=X+Y+Z，其中其中X=(98.70.3)cm，Y=(6.2380.006)cm， Z=(14.360.08)cm (2)乘除法乘除法 求立方體體積求立方體體積V，其中其中L=(22.4550.002)mm，H=(90.350.03)mm， B=(279.680.05)mm 五、舉例五、舉例： 解解: N=X+Y+Z=98.7+6.238+14.36= 119.298 (

28、cm) 4 . 031. 008. 0006. 03 . 0 222222 ZYXN 所以所以 N=(119.3 0.4) (cm) 所以所以 V=(56743)*102 mm3 =219.866 mm3 2 2 2 2 2 2 HBLV H V B V L V 3 37104.56741768.27935.90455.22mmLHBV 2 2 2 2 2 2 HBLv LBLHBH 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運運 算算 (3)(3)指數(shù)指數(shù) 求求e ex x，已知，已知 x x=7.85=7.850.050.05 xx edxed/ )( 385. 7 1013. 005. 0)(

29、exee xx 385. 7 10566. 2 ee x 故故 e ex x = =（2.572.570.130.13）10103 3 (4)(4)三角函數(shù)三角函數(shù)- - 已知已知x = 38241，求求sinx sin38sin3824= 0.62114778 24= 0.62114778 0003. 0 60 1 180 2438coscos)(sin xxx 所以所以 sin3824= 0.6211 0.00030.0003 xdxxdcos/ )(sin (5)(5)對數(shù)對數(shù)- - 已知已知x = 65.48，求求lnx lnx = ln65.48= 4.18174475 d(d(ln

30、xlnx)/)/dxdx=1/x -=1/x - (1nx) =x/ /x= 0.1/65.48=0.002 所以所以 lnx = 4.182 0.002 有有 效效 數(shù)數(shù) 字字 及及 其其 運運 算算 必須指出，測量結(jié)果的必須指出，測量結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)取決于測量有效數(shù)字位數(shù)取決于測量，而，而 不取決于運算過程。因此在運算時，尤其是使用計算不取決于運算過程。因此在運算時，尤其是使用計算 器時，不要隨意擴大或減少有效數(shù)字位數(shù)，更不要認器時，不要隨意擴大或減少有效數(shù)字位數(shù)，更不要認 為算出結(jié)果的位數(shù)越多越好。為算出結(jié)果的位數(shù)越多越好。 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 實驗的數(shù)據(jù)處理不單純是數(shù)

31、學(xué)運算，而是要以一定的物實驗的數(shù)據(jù)處理不單純是數(shù)學(xué)運算，而是要以一定的物 理模型為基礎(chǔ)，以一定的物理條件為依據(jù)，理模型為基礎(chǔ)，以一定的物理條件為依據(jù)，通過對數(shù)據(jù)通過對數(shù)據(jù) 的整理、分析和歸納計算，得出明確的實驗結(jié)論的整理、分析和歸納計算，得出明確的實驗結(jié)論。 1 列表法列表法- - 記錄數(shù)據(jù)時，把數(shù)據(jù)列成表格記錄數(shù)據(jù)時，把數(shù)據(jù)列成表格 要求要求(1)(1)表格設(shè)計合理表格設(shè)計合理; (2) (2)標題欄中寫明各物理量的符號和單位標題欄中寫明各物理量的符號和單位; (3) (3)表中所列數(shù)據(jù)要正確反映測量結(jié)果的有效數(shù)字；表中所列數(shù)據(jù)要正確反映測量結(jié)果的有效數(shù)字； (4) (4)實驗室給出的數(shù)據(jù)或

32、查得的單項數(shù)據(jù)應(yīng)列在表格實驗室給出的數(shù)據(jù)或查得的單項數(shù)據(jù)應(yīng)列在表格 的上部的上部 m (g)t1 (s)t2 (s)t3 (s) 5.00 10.00 15.00 如如： r =2.50cm , h = cm 六、數(shù)據(jù)處理六、數(shù)據(jù)處理 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 2 圖示法圖示法-將數(shù)據(jù)之間的關(guān)系或其變化情況用圖線直將數(shù)據(jù)之間的關(guān)系或其變化情況用圖線直 觀地表示出來觀地表示出來 優(yōu)點：物理量之間的變化規(guī)律；優(yōu)點：物理量之間的變化規(guī)律； 內(nèi)插法求值；內(nèi)插法求值； 外推法求值。外推法求值。 缺點：三個及其以上的變量不適用；缺點：三個及其以上的變量不適用； 繪圖時易引入人為誤差。繪圖時易引入

33、人為誤差。 作圖步驟作圖步驟 ： 選用合適的坐標紙選用合適的坐標紙 坐標軸的比例與標度坐標軸的比例與標度 a.a.用粗實線描出坐標軸用粗實線描出坐標軸(箭頭箭頭)，橫軸代表自變量，橫軸代表自變量,縱軸縱軸 代表因變量，標明物理量名稱代表因變量，標明物理量名稱(或符號或符號)及單位。及單位。 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 b.b.原則上，原則上， 可根據(jù)情況選擇這一位的可根據(jù)情況選擇這一位的“1”“1”、“2”“2” 或或“5”“5”倍倍 c.c.坐標軸的起點不一定從零開始，標度用整數(shù)，不坐標軸的起點不一定從零開始，標度用整數(shù)，不 用測量值。用測量值。 標實驗點標實驗點 a.a.以以“+”

34、、“”、 “” “”、 “ “”等符號等符號 標出實驗點，測量數(shù)據(jù)落在所標符號的中心，標出實驗點，測量數(shù)據(jù)落在所標符號的中心， 大小適中。大小適中。禁止用禁止用“ “ ” b.b.一條實驗曲線用同一種符號。一條實驗曲線用同一種符號。 連圖線（擬合線）連圖線（擬合線） a.a.把點連成直線或光滑曲線；不要無限延長把點連成直線或光滑曲線；不要無限延長 b.b.要求數(shù)據(jù)點均勻地分布在圖線兩旁，連線要細而清晰要求數(shù)據(jù)點均勻地分布在圖線兩旁，連線要細而清晰 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 (5) 注解說明注解說明 a. 圖形的意義、數(shù)據(jù)來源、所用公式等圖形的意義、數(shù)據(jù)來源、所用公式等 b. 圖線的名

35、稱、實驗日期、實驗者等圖線的名稱、實驗日期、實驗者等 圖解法圖解法-求直線的斜率和截距求直線的斜率和截距 (y=a+bx ) 在圖線上測量范圍內(nèi)靠近兩端取兩相距較遠的點，在圖線上測量范圍內(nèi)靠近兩端取兩相距較遠的點， 如如P1(x1，y1)和和P2(x2，y2)(不同于實驗點不同于實驗點),用不同于實用不同于實 驗點的符號表明驗點的符號表明 12 12 xx yy b 斜率 1 12 12 1 x xx yy ya 截距 3 12 12 3 x xx yy ya 或三點法 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 圖示法圖示法舉例舉例 在剛體轉(zhuǎn)動實驗中，當保持塔輪半徑在剛體轉(zhuǎn)動實驗中，當保持塔輪半徑r

36、不變的情況下，懸不變的情況下，懸 掛砝碼質(zhì)量掛砝碼質(zhì)量m與下落時間與下落時間t的關(guān)系為的關(guān)系為 1 2 1 1 22 1 112 C t K gr M tgr hI m m與與1/t2成成線性關(guān)系線性關(guān)系 m(g) t1 (s) t2 (s) t3 (s) t(s) 2 1 t(10-3 s-2) 5.00 16.02 15.60 15.42 15.68 4.07 10.00 10.62 10.81 10.23 10.55 8.98 15.00 8.40 8.47 8.31 8.39 14.19 20.00 6.92 7.02 6.92 6.95 20.68 25.00 6.12 6.32 6

37、.15 6.19 26.04 30.00 5.74 5.64 5.73 5.70 30.74 35.00 5.14 5.28 5.16 5.19 37.08 其中 r = 2.50 cm h = 89.50 cm 測出一組測出一組m m 1/1/t t2 2值值, ,作出它們關(guān)系曲線作出它們關(guān)系曲線, ,求出斜率求出斜率K K1 1即即 可得到可得到I I1 1 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 O O O 作圖：作圖： 選坐標紙；選坐標紙； 坐標軸的比坐標軸的比 例與標度；例與標度； 標實驗點；標實驗點； 連圖線；連圖線； 注解說明注解說明 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 求直線的斜率

38、和截距 在圖線上測量范圍內(nèi)靠近兩端任取兩相距較遠的點，如 P1(x1，y1)和P2(x2，y2)(不同于實驗點),用不同于實驗點的 符號標明 P1（x1, y1）=(5.0010-3, 6.02)， P2 (x2, y2)=(36.0010-3, 34.30) )(10123. 9 10)00. 500.36( 02. 630.34 22 3 12 12 1 sg xx yy k C1=1.65（g） （延長與延長與Y 軸交點；由軸交點；由P1，P2的坐標值；取第三點。）的坐標值；取第三點。） 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 3 逐差法 - 充分利用測量數(shù)據(jù)減小測量誤差 兩個條件： 函數(shù)具

39、有y=a+bx的線性關(guān)系(或代換后是線性） 自變量x是等間距變化的,測量次數(shù)為偶數(shù) 如: 楊氏模量, 等 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 處處 理理 方方 法法 4 線性回歸（方程法） 根據(jù)實驗數(shù)據(jù)用函數(shù)解析形式求出經(jīng)驗公式，既無根據(jù)實驗數(shù)據(jù)用函數(shù)解析形式求出經(jīng)驗公式，既無 人為因素影響，也更為明確和快捷人為因素影響，也更為明確和快捷, ,這個過程稱為這個過程稱為回歸回歸 分析分析 a. 函數(shù)關(guān)系已經(jīng)確定，但式中的系數(shù)是未知的，利函數(shù)關(guān)系已經(jīng)確定，但式中的系數(shù)是未知的，利 用測量的用測量的n對對(xi，yi)值，確定系數(shù)的最佳估計值。值，確定系數(shù)的最佳估計值。 b. 第二類問題是第二類問題是y和和x之間的函數(shù)關(guān)系未知，需要從之間的函數(shù)關(guān)系未知，需要從 n對對(xi，yi)測量數(shù)據(jù)中尋找出它們之間的函數(shù)關(guān)測量數(shù)據(jù)中尋找出它