高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 1.3 平均值不等式練習(xí) 北師大版-5

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3平均值不等式課后篇鞏固探究a組1。下列結(jié)論正確的是()a.若3a+3b23a3b，則a0，b0b。若ba+ab2成立,則a0，b0c.若a0,b0,且a+b=4，則1a+1b1d.若ab0,則ab2aba+b解析:當(dāng)a,br時(shí)，一定有3a0，3b0，必有3a+3b23a3b,故a錯;要使ba+ab2成立,只要ba0，ab0即可,這時(shí)只要a,b同號,故b錯；當(dāng)a0，b0，且a+b=4時(shí),則1a+1b=4ab。因?yàn)閍ba+b22=4,所以1a+1b=4ab1,故c錯;當(dāng)a0，b0時(shí)，a+b2ab,所以2aba+b2ab2ab=ab,而當(dāng)a0,b0，3x0，所以f（x)=

2、3x+3-x=3x+13x23x13x=2,當(dāng)且僅當(dāng)3x=3-x,即x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值2.答案：a3。若a1，則a+1a-1的最大值是(）a.3b。ac.-1d.2aa-1解析：因?yàn)閍0,所以2xy=x2yx+2y22，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2時(shí)等號成立.又2xy=8-（x+2y），所以8-（x+2y)x+2y22。令x+2y=t，則t2+4t320,解得t4或t8（舍去),所以x+2y4，即x+2y的最小值是4，故選b.答案：b6.若正數(shù)x，y滿足x+4y=4，則xy的最大值為.解析:由平均值不等式可得x+4y24xy=4xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=2時(shí)等號成立，所以4xy4,所以0xy1，故

3、xy的最大值為1。答案：17。若x0，則2x-x2的最大值為。解析:2x-x2=-x2-2x=-x2+-2x。因?yàn)閤0，所以x2+-2x=x2+-1x+-1x33x2-1x-1x=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號成立，所以2x-x2-3，即最大值為-3.答案:38.已知x1，y1，且xy=1 000,求lg xlg y的最大值.解因?yàn)閤1，y1，所以lg x0,lg y0.所以lg xlg ylgx+lgy22=lgxy22=lg1 00022=322=94,當(dāng)且僅當(dāng)lg x=lg y，即x=y=1010時(shí)等號成立,故lg xlg y的最大值等于94。9.已知x0，y0,x+y=1，求證:1+1x1

4、+1y9。證明1+1x1+1y=1+x+yx1+x+yy=2+yx2+xy=5+2yx+xy5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)yx=xy，即x=y=12時(shí)等號成立,所以1+1x1+1y9。10。某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房,由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5 m.房屋正面的造價(jià)為400元/m2，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m2,屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5 800元,如果墻高為3 m,且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用.當(dāng)側(cè)面的長度為多少時(shí),總造價(jià)最低？解由題意可得，總造價(jià)y=32x150+12x400+5 800=900x+16x+5 800(0loga（a+1）.證明loga1al

5、oga（a+1)=lgalg(a-1)-lg(a+1)lga=lg 2a-lg(a-1)lg(a+1)lgalg(a-1).lg（a-1)lg（a+1)lg(a-1)+lg(a+1)22=lg(a2-1)220。又a2,lg(a-1)lg a0.lg 2a-lg(a-1)lg(a+1)lgalg(a-1)0,即loga1a-loga（a+1）0,loga1aloga（a+1）。7。導(dǎo)學(xué)號35664013東海水晶制品廠去年的年產(chǎn)量為10萬件，每件水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格為100元,固定成本為80元。從今年起，工廠投入100萬元科技成本，并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元科技成本。預(yù)計(jì)產(chǎn)量每年遞增1

6、萬件,每件水晶產(chǎn)品的固定成本g(n)與科技成本的投入次數(shù)n的關(guān)系是g（n）=80n+1。若水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格不變，第n次投入后的年利潤為f(n）萬元。（1)求出f（n)的表達(dá)式;（2）求從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？解（1)第n次投入后，產(chǎn)量為（10+n)萬件，每件水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格為100元，固定成本為80n+1元，科技成本投入為100n萬元，則年利潤為f（n)=（10+n）100-80n+1-100n(nn+).（2)由(1)知f（n）=（10+n)100-80n+1-100n=1 00080n+1+9n+1520（萬元)，當(dāng)且僅當(dāng)n+1=9n+1,即n=8時(shí),利潤最高，最高利潤為520萬元。故從今年算起第8年利潤最高，最