高中數(shù)學 第一章 坐標系 1.3 曲線的極坐標方程學案 -4

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.3 曲線的極坐標方程對應(yīng)學生用書p8 讀教材填要點1曲線的極坐標方程在給定的平面上的極坐標系下，有一個二元方程f(，)0。如果曲線c是由極坐標(，)滿足方程的所有的點組成的,則稱此二元方程f（，）0為曲線c的極坐標方程2直線的極坐標方程(1)當直線l過極點，從極軸到l的角是0，則l的方程為0。（2)當直線l過點m(d,0)且垂直于極軸時，l的方程為cos d.(3）當直線l過點m(d,)，且平行于極軸時，l的方程為sin_d。（4）極點到直線l的距離為d，極軸到過極點的直線l的垂線的角度為，此時直線l的方程為cos_（)d。小問題大思維1在直角坐標系中，曲線上每一

2、點的坐標一定適合它的方程那么，在極坐標系中，曲線上一點的所有極坐標是否一定都適合方程?提示：在直角坐標系內(nèi)，曲線上每一點的坐標一定適合它的方程，可是在極坐標系內(nèi)，曲線上一點的所有坐標不一定都適合方程例如，給定曲線，設(shè)點p的一極坐標為，那么點p適合方程，從而是曲線上的一個點，但點p的另一個極坐標就不適合方程了所以在極坐標系內(nèi),確定某一個點p是否在某一曲線c上，只需判斷點p的極坐標中是否有一對坐標適合曲線c的方程即可2在直線的極坐標方程中,的取值范圍是什么？提示：的取值范圍是全體實數(shù)對應(yīng)學生用書p8極坐標方程與直角坐標方程的互化例1進行直角坐標方程與極坐標方程的互化：(1）y24x；（2）y2x2

3、2x10;（3）cos21；(4）2cos 24；(5).思路點撥本題考查極坐標與直角坐標的互化公式精解詳析(1)將xcos ,ysin 代入y24x，得(sin )24cos 。化簡,得sin24cos .（2)將xcos ,ysin 代入y2x22x10,得(sin ）2（cos )22cos 10?；?，得22cos 10.（3)cos21，1，即cos 2x2。化簡，得y24（x1)(4）2cos 24，2cos22sin24，即x2y24.（5)，2cos 1.2x1.化簡，得3x24y22x10.直角坐標方程化為極坐標方程比較容易，只要運用公式xcos 及ysin 直接代入并化簡即

4、可；而極坐標方程化為直角坐標方程則相對困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如cos ，sin ，2的形式，進行整體代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以）及方程兩邊平方是常用的變形方法但對方程進行變形時，方程必須同解，因此應(yīng)注意對變形過程的檢驗1求極坐標方程cos1所表示的直角坐標方程解：將cos1化為cos sin 1.將cos x,sin y代入上式，得x1,即xy20.求曲線的極坐標方程例2在直角坐標系xoy中，以o為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系曲線c的極坐標方程為cos1，m，n分別為c與x軸、y軸的交點（1）寫出c的直角坐標方程,并求m，n的極坐標;(2）設(shè)mn的中點為p，求直線

5、op的極坐標方程思路點撥(1)利用兩角差余弦公式展開，結(jié)合互化公式可得直角坐標方程(2)先求出p點的直角坐標,再求出op的極坐標方程精解詳析（1)由cos1得1.從而c的直角坐標方程為xy1,即xy2。當0時，2，所以m（2，0）當時，所以n.(2)m點的直角坐標為(2,0），n點的直角坐標為，所以p點的直角坐標為。則p點的極坐標為，所以直線op的極坐標方程為（r)2設(shè)m是定圓o內(nèi)一定點，任作半徑oa，連接ma,自m作mpma交oa于p，求p點的軌跡方程解:以o為極點，射線om為極軸，建立極坐標系，如圖設(shè)定圓o的半徑為r，oma，p（，)是軌跡上任意一點mpma，|ma2|mp2pa2.由余弦

6、定理，可知|ma2a2r22arcos ，mp|2a222acos 。而pa|r，由此可得a2r22arcos a222acos （r)2。整理化簡，得.求直線的極坐標方程例3求出下列直線的極坐標方程：（1）過定點m（0，0)，且與極軸成弧度的角；（2）過定點m（0，0)，且與直線0垂直思路點撥本題考查直線的極坐標方程的求法解答本題需要根據(jù)已知條件畫出極坐標系,然后借助平面幾何的知識建立與間的關(guān)系精解詳析(1)設(shè)p（,)為直線上任意一點(如圖）,且記opm1，omp2，則1，2（0)在omp中應(yīng)用正弦定理得，即00.即直線方程為sin（）0sin（0)(2）設(shè)p(，）為直線上任意一點(如圖所示

7、)，omp為直角三角形，顯然有cos (0）0.這就是所求直線方程求直線極坐標方程的步驟：(1）設(shè)（，)為直線上任一點的極坐標(2)寫出動點滿足的幾何條件（3)把上述條件轉(zhuǎn)化為，的等式（4）化簡整理3求過a且和極軸所成角為的直線方程解：如圖所示，a，即oa3，aob.設(shè)m（，)為直線上任一點,由已知得mbx,oab.oam.omambx。在moa中,根據(jù)正弦定理,得.sinsin，將sin展開，化簡上面的方程，可得(sin cos ）.過a且和極軸所成角為的直線方程為（sin cos ).對應(yīng)學生用書p10一、選擇題1極坐標方程cos （0）表示的曲線是（）a余弦曲線b兩條相交直線c一條射線

8、d兩條射線解析：選dcos ，2k（kz）又0，cos 表示兩條射線2在極坐標系中與曲線c:4sin 相切的一條直線的方程為(）acos 2 bsin 2c4sin d4sin解析:選a4sin 的普通方程為x2（y2）24，cos 2的普通方程為x2，圓x2(y2)24與直線x2顯然相切3直線和直線sin(）1的位置關(guān)系是(）a垂直 b平行c相交但不垂直 d重合解析：選b直線化為直角坐標方程為yxtan ,sin(）1化為sin cos cos sin 1,即yxtan 。所以兩直線平行4過點a（5，0)和直線垂直的直線的極坐標方程是（)asin5 bcoscsin dsin解析：選c直線即

9、直線yx,過點a(5,0)和直線垂直的直線方程為yx5，其極坐標方程為sin。二、填空題5在極坐標系中，直線l的方程為sin 3，則點到直線l的距離為_解析：將直線l的極坐標方程sin 3化為直角坐標方程為y3，點在直角坐標系中為（，1)，故點到直線l的距離為2。答案：26在極坐標系中，圓4被直線分成兩部分的面積之比是_解析：直線過圓4的圓心,直線把圓分成兩部分的面積之比是11。答案：117在極坐標系（，)（02）中，曲線2sin 與cos 1的交點的極坐標為_解析：由2sin ，得22sin ，其普通方程為x2y22y.cos 1的普通方程為x1。聯(lián)立解得點（1，1)的極坐標為。答案:8在極

10、坐標系中，定點a（1，)，點b在直線l:cos sin 0上運動當線段ab最短時，點b的極坐標是_解析：將cos sin 0化為直角坐標方程為xy0，點a化為直角坐標得a（0,1）如圖，過a作ab直線l于b。因為aob為等腰直角三角形,又因為oa1,則ob|,，故b點的極坐標是b.答案：三、解答題9求過(2，3)點且斜率為2的直線的極坐標方程解：由題意知,直線的直角坐標方程為y32（x2）,即2xy70。設(shè)m（，)為直線上任意一點,將xcos ，ysin 代入直角坐標方程2xy70，得2cos sin 70.這就是所求的極坐標方程10在極坐標系中，曲線c：10cos 和直線l:3cos 4sin 300相交于a，b兩點,求線段ab的長解：分別將曲線c和直線l的極坐標方程化為直角坐標方程：圓c：x2y210x，即（x5)2y225，圓心c（5，0)直線l：3x4y300。因為圓心c到直線l的距離d3，所以ab28.11如圖，點a在直線x4上移動，opa為等腰直角三角形，opa的頂角為opa(o，p，a依次按順時針方向排列)，求點p的軌跡方程，并判斷軌跡形狀解：取o為極點，x正半軸為極軸，建立極坐標系,則直線x4的極坐標方程為cos 4.設(shè)a（0，0)，p(,)點a在直線cos 4上，0cos 04.opa為等腰直角三角形，且opa，而op,