高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)案（含解析）2-2

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精11.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義如下圖，pn的坐標(biāo)為（xn,f(xn)(n1,2，3,4)，p的坐標(biāo)為(x0，y0），直線pt為過點(diǎn)p的切線問題1:割線ppn的斜率kn是什么？提示：割線ppn的斜率kn。問題2:當(dāng)點(diǎn)pn趨近于點(diǎn)p時,割線ppn與過點(diǎn)p的切線pt有什么關(guān)系？提示：當(dāng)點(diǎn)pn趨近于點(diǎn)p時，割線ppn趨近于過點(diǎn)p的切線pt。問題3：當(dāng)pn無限趨近于點(diǎn)p時，kn與切線pt的斜率k有什么關(guān)系？提示：kn無限趨近于切線pt的斜率k.問題4：如何求得過點(diǎn)p的切線pt的斜率？提示：函數(shù)f（x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)就是切線pt的斜率k，即kf（x0) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)

2、f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)就是切線pt的斜率k，即kf（x0）.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象升降的關(guān)系若函數(shù)yf(x）在xx0處的導(dǎo)數(shù)存在且f（x0)0(即切線的斜率大于零),則函數(shù)yf（x）在xx0附近的圖象是上升的；若f（x0）0（即切線的斜率小于零）,則函數(shù)yf(x)在xx0附近的圖象是下降的導(dǎo)數(shù)絕對值的大小反映了曲線上升和下降的快慢.導(dǎo)函數(shù)對于函數(shù)f（x）x22。問題1：如何求f（x0)？提示：f（x0）li li （2x0x）2x0.問題2：若x0是一變量x，f(x）是常量嗎?提示：f（x）2x，說明f(x）不是常量，而是關(guān)于x的函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的定義對于函數(shù)yf(x），當(dāng)xx0時，f(x0) 是一個確定

3、的數(shù)當(dāng)x變化時，f(x） 便是x的一個函數(shù),我們稱它為f（x）的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)）yf（x)的導(dǎo)函數(shù)有時也記作y，即f（x)y。f（x0)與f(x)的異同區(qū)別聯(lián)系f（x0）f（x0）是具體的值,是數(shù)值在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0）是導(dǎo)函數(shù)f（x)在xx0處的函數(shù)值,因此求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)的函數(shù)值f(x）f（x)是f(x）在某區(qū)間i上每一點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個新函數(shù),是函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y3x22x1；(2)ya(a為常數(shù)）(1)y3（xx）22（xx）1(3x22x1）（26x)x3(x)2,26x3x，yl

4、i li （26x3x）26x.(2)yaa，li li ，即y.求函數(shù)yf（x)的導(dǎo)數(shù)的步驟(1）求yf（xx）f(x）；(2)求；（3)計(jì)算f（x）li .利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f（x）x3x2的導(dǎo)數(shù)f（x），并利用f（x）求f（1)，f(1)解：利用導(dǎo)數(shù)的定義，得f(x)li li li3x21，f（x）3x21，則f（1）4，f(1）4。求曲線的切線方程已知曲線yx3及其上一點(diǎn)p。(1)求點(diǎn)p處切線的斜率;(2)寫出點(diǎn)p處的切線方程（1）yx3，yli li li lix2，yx2224，點(diǎn)p處切線的斜率為4。（2)由（1）知，點(diǎn)p處切線斜率為4,且點(diǎn)p的坐標(biāo)為，在點(diǎn)p處的切線方程是y4

5、(x2），即12x3y160。利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟(1)求出函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0）；（2）寫出切線方程,即yf（x0）f(x0）（xx0）特別注意：若在點(diǎn)（x0，y0）處切線的傾斜角為，此時所求的切線平行于y軸，所以直接得切線方程為xx0。求曲線y在點(diǎn)處的切線的斜率解：因?yàn)閥li li li ，所以曲線在點(diǎn)的切線的斜率為kyx4.求切點(diǎn)坐標(biāo)若曲線yx26在點(diǎn)p處的切線垂直于直線2xy50，求點(diǎn)p的坐標(biāo)及切線方程設(shè)切點(diǎn)p的坐標(biāo)為（x0，y0），因?yàn)閒（x0)li li li (2x0x）2x0，所以2x021，解得x0，所以y0x6，故點(diǎn)p的坐標(biāo)為，切線方程為

6、y，即8x16y950。根據(jù)切線斜率求切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟(1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)；（2）求導(dǎo)函數(shù)f(x)；（3)求切線的斜率f（x0）;（4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程，解方程求x0;(5）由點(diǎn)(x0，y0)在曲線f（x)上,將(x0,y0)代入求y0得切點(diǎn)坐標(biāo)曲線yx33x21在點(diǎn)p處的切線平行于直線y9x1，則切線方程為（)ay9xby9x26cy9x26 dy9x6或y9x26解析:選d（x)23x0x3x3x6x0.所以f(x0)li3x6x0,于是3x6x09,解得x03或x01，因此,點(diǎn)p的坐標(biāo)為（3,1）或（1，3）又切線斜率為9,所以曲線在點(diǎn)p處的切線方程為y9（x3）

7、1或y9（x1)3,即y9x26或y9x6.若函數(shù)yf(x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)yf（x)在區(qū)間上的圖象可能是下圖中的()由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知導(dǎo)函數(shù)遞增說明函數(shù)切線的斜率隨x增大而變大，因此應(yīng)選a.應(yīng)會靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義辨析曲線的凹凸性a 1本題易搞錯導(dǎo)數(shù)的幾何意義,混淆導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象的凹凸變化間的關(guān)系而誤選b或d。2導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線的斜率借助圖象，用斜率的正負(fù)及大小來說明曲線的變化情況既科學(xué)又直觀，注意歸納總結(jié)已知函數(shù)yf(x），yg（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖,那么yf(x),yg（x)的圖象可能是（）解析：選d從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個函數(shù)在x0處斜率相同，可以排

8、除b、c.再者導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)的斜率大小,可明顯看出yf(x）的導(dǎo)函數(shù)的值在減小，所以原函數(shù)的斜率慢慢變小,排除a.1下列說法正確的是（）a若f(x0）不存在，則曲線yf（x）在點(diǎn)(x0，f（x0)）處沒有切線b若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f（x0）)處有切線，則f(x0)必存在c若f（x0)不存在，則曲線yf（x）在點(diǎn)(x0，f（x0）)處的切線斜率不存在d若曲線yf（x)在點(diǎn)（x0，f（x0)）處沒有切線，則f（x0)有可能存在解析：選c根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線的定義知曲線在（x0，y0)處有導(dǎo)數(shù),則切線一定存在，但反之不一定成立，故a、b、d錯誤2曲線yf(x)在點(diǎn)（x0，f

9、（x0)處的切線方程為x2y30,那么(）af(x0）0bf（x0）0cf(x0）0 df(x0）不存在解析：選b根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,f(x）在x0處的導(dǎo)數(shù)即f(x)在x0處切線的斜率，故f（x0）0。3已知函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)m（1,f（1）處的切線方程是yx2，則f（1）f(1）_.解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f（1)，由點(diǎn)m在切線上得f（1）12，所以f（1)f（1)3。答案：34曲線yx32在點(diǎn)處切線的傾斜角為_解析：因?yàn)閘i li x2,所以yx2，y|x11，因此傾斜角為45。答案:455已知拋物線yx24與直線yx10.求：(1）它們的交點(diǎn)；（2)拋物線在交點(diǎn)處的切線方程解:（1

10、)由得或拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8）或(3,13)（2)yx24,yli li li （x2x)2x，yx24，y|x36，即在點(diǎn)(2，8)處的切線斜率為4,在點(diǎn)(3,13）處的切線斜率為6.在點(diǎn)(2，8）處的切線方程為4xy0；在點(diǎn)(3，13)處的切線方程為6xy50。一、選擇題1若函數(shù)f(x）3x1，則f（x)等于()a0 b3xc3 d3解析:選d法一：f(x）li li li （3）3。法二:由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,f（x）為直線y3x1的斜率，f(x)3.2設(shè)f（x0）0，則曲線yf(x)在點(diǎn)（x0，f(x0）)處的切線()a不存在b與x軸平行或重合c與x軸垂直d與x軸相交但不垂

11、直解析：選bf(x0)0，曲線yf（x)在點(diǎn)(x0，f（x0)）處的切線的斜率為0.3在曲線yx2上切線傾斜角為的點(diǎn)是（）a(0，0） b(2，4）c。 d。解析：選dkli li li (2xx)2x，2xtan1，x,從而y。4已知曲線yx22上一點(diǎn)p，則在點(diǎn)p處的切線的傾斜角為（)a30 b45c135 d165解析：選c點(diǎn)p在曲線yf（x）x22上,在點(diǎn)p處的切線斜率為kf(1）1,在點(diǎn)p處的切線的傾斜角為135。5已知yf（x）的圖象如下圖,則f(xa）與f(xb）的大小關(guān)系是（）af(xa)f（xb) bf(xa)f(xb)cf（xa）f（xb) d不能確定解析：選b由題圖可知，曲

12、線在點(diǎn)a處的切線的斜率比曲線在點(diǎn)b處的切線的斜率小,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f(xa)f(xb）二、填空題6y在點(diǎn)處的切線方程是_解析:先求y的導(dǎo)數(shù):y， ，即y，所以y在點(diǎn)處的切線斜率為f4，所以切線方程是y24,即y4x4。答案：y4x47對于函數(shù)f(x)ax4，若f(1）2，則a_.解析：因?yàn)閒（x0)li a，f（1)2，所以a2。答案:28已知曲線y2x24x在點(diǎn)p處的切線斜率為16，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為_解析：設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,2x4x0)，則f(x0)4x04。又f（x0）16,4x0416，x03，p點(diǎn)坐標(biāo)為(3，30）答案:（3，30）三、解答題9已知f（x)x2，g(x)x3，求滿足f（x)2g(x）的x的值解：f(x）li 2x，g（x）li 3x2.因?yàn)閒（x）2g(x），所以2x23x2，解得x或x。10已知曲線y2x2a在點(diǎn)p處的切線方程為8xy150,求切點(diǎn)p的坐標(biāo)和實(shí)數(shù)a的