高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程 3.3.3 點(diǎn)到直線的距離 3.3.4 兩條平行直線間的距離學(xué)案（含解析）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精33.3 3。3.4點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離提出問題在鐵路的附近,有一大型倉庫，現(xiàn)要修建一條公路與之連接起來，易知,從倉庫垂直于鐵路方向所修的公路最短將鐵路看作一條直線l，倉庫看作點(diǎn)p.問題1：若已知直線l的方程和點(diǎn)p的坐標(biāo)（x0，y0)，如何求p到直線l的距離?提示：過點(diǎn)p作直線ll，垂足為q，pq|即為所求，直線l的斜率為k，則l的斜率為，l的方程為yy0（xx0）,聯(lián)立l，l的方程組，解出q點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出|pq.問題2：平面直角坐標(biāo)系中，若p（x0，y0)，則p到x軸、y軸的距離分別是多少？提示：y0|

2、，x0|.問題3：在直角坐標(biāo)系中，若p(x0，y0）,則p到直線l：axbyc0的距離是不是過點(diǎn)p到直線l的垂線段的長度?提示：是問題4：若過p(x0，y0）的直線l與l:axbyc0平行,那么點(diǎn)p到l的距離與l與l的距離相等嗎?提示：相等導(dǎo)入新知點(diǎn)到直線的距離與兩條平行直線間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點(diǎn)到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長度公式點(diǎn)p0(x0,y0）到直線l：axbyc0的距離d兩條平行直線l1：axbyc10與l2:axbyc20(c1c2)之間的距離d化解疑難1點(diǎn)到直線的距離公式需注意的問題直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式,應(yīng)先化成一般式再

3、用公式例如，求p0(x0，y0)到直線ykxb的距離，應(yīng)先把直線方程化為kxyb0，得d.2點(diǎn)到幾種特殊直線的距離（1)點(diǎn)p0(x0，y0）到x軸的距離dy0|；（2）點(diǎn)p(x0，y0）到y(tǒng)軸的距離dx0；（3）點(diǎn)p（x0，y0）到與x軸平行的直線yb（b0)的距離d|y0b；(4)點(diǎn)p（x0，y0)到與y軸平行的直線xa（a0)的距離dx0a|.3對平行直線間的距離公式的理解（1）利用公式求平行直線間的距離時(shí)，兩直線方程必須是一般式，且x,y的系數(shù)對應(yīng)相等（2）當(dāng)兩直線都與x軸(或y軸)垂直時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合來解決兩直線都與x軸垂直時(shí)，l1:xx1，l2：xx2，則d|x2x1;兩直線都與y

4、軸垂直時(shí)，l1：yy1，l2：yy2，則d|y2y1.點(diǎn)到直線的距離例1求點(diǎn)p（3，2)到下列直線的距離：（1)yx；（2）y6；（3)x4.解(1）直線yx化為一般式為3x4y10，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d.（2)因?yàn)橹本€y6與y軸垂直，所以點(diǎn)p到它的距離d|268.(3）因?yàn)橹本€x4與x軸垂直，所以點(diǎn)p到它的距離d|34|1.類題通法應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問題(1）直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式（2)點(diǎn)p在直線l上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0，公式仍然適用（3)直線方程axbyc0中,a0或b0公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解活

5、學(xué)活用1已知點(diǎn)a（a，2）(a0）到直線l：xy30的距離為1,則a等于(）a。b2c.1 d。1答案:c2已知原點(diǎn)和點(diǎn)p（4，1)到直線axa2y60的距離相等,求實(shí)數(shù)a的值解：利用點(diǎn)到直線的距離公式得，于是a24a66，且a2a40,a24a0或a24a120，且a2a40，a2或a4或a6。兩條平行直線間的距離例2求與直線l：5x12y60平行且到l的距離為2的直線方程解法一：設(shè)所求直線的方程為5x12yc0.在直線5x12y60上取一點(diǎn)p0，則點(diǎn)p0到直線5x12yc0的距離為，由題意，得2，所以c32，或c20.故所求直線的方程為5x12y320，或5x12y200。法二：設(shè)所求直線

6、的方程為5x12yc0，由兩條平行直線間的距離公式得2，解得c32,或c20。故所求直線的方程為5x12y320，或5x12y200.類題通法求兩條平行直線間的距離，一般是直接利用兩條平行直線間的距離公式,當(dāng)直線l1：ykxb1,l2：ykxb2，且b1b2時(shí)，d；當(dāng)直線l1：axbyc10，l2：axbyc20，且c1c2時(shí)，d。但必須注意兩直線方程中x，y的系數(shù)對應(yīng)相等活學(xué)活用兩直線3xy30和6xmy10平行，則它們之間的距離為_答案：距離的綜合應(yīng)用例3求經(jīng)過點(diǎn)p（1，2)，且使a(2,3),b(0,5）到它的距離相等的直線l的方程解法一：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，即x1，顯然符合題意當(dāng)直線斜

7、率存在時(shí),設(shè)所求直線的斜率為k,則直線方程為y2k(x1）由條件得,解得k4，故所求直線方程為x1或4xy20。法二：由平面幾何知識知lab或l過線段ab的中點(diǎn)直線ab的斜率kab4，若lab，則l的方程為4xy20；若l過ab的中點(diǎn)(1，1)，則直線方程為x1。故所求直線方程為x1或4xy20。類題通法解這類題目常用的方法是待定系數(shù)法,即根據(jù)題意設(shè)出方程,然后由題意列方程求參數(shù)也可以綜合應(yīng)用直線的有關(guān)知識，充分發(fā)揮幾何圖形的直觀性,判斷直線l的特征,然后由已知條件寫出l的方程活學(xué)活用求經(jīng)過兩直線l1：x3y40與l2：4x3y60的交點(diǎn)，且和點(diǎn)a（3，1）的距離為5的直線l的方程解:由解得,

8、即直線l過點(diǎn)b。當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，方程為x2,點(diǎn)a(3,1）到l的距離d|325，滿足題意當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)斜率為k，則l的方程為yk(x2),即kxy2k0，由點(diǎn)a到l的距離為5，得5，解得k，所以l的方程為xy0，即4x3y100.綜上，所求直線方程為x2或4x3y100。典例直線l1過點(diǎn)a(0，1)，l2過點(diǎn)b(5，0），如果l1l2，且l1與l2的距離為5，求l1,l2的方程解若直線l1，l2的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，由斜截式得l1的方程為ykx1,即kxy10.由點(diǎn)斜式可得l2的方程為yk(x5)，即kxy5k0.因?yàn)橹本€l1過點(diǎn)a（0，1)，則點(diǎn)a到直線l2的距離d5，25

9、k210k125k225，k,l1的方程為12x5y50,l2的方程為12x5y600.若l1，l2的斜率不存在，則l1的方程為x0，l2的方程為x5,它們之間的距離為5，同樣滿足條件綜上所述,滿足條件的直線方程有兩組：l1：12x5y50，l2：12x5y600或l1：x0，l2:x5.易錯(cuò)防范1*處容易漏掉l1,l2的斜率都不存在的情形而導(dǎo)致錯(cuò)誤2用待定系數(shù)法求直線方程時(shí)，一定要對斜率是否存在的情況進(jìn)行討論成功破障經(jīng)過點(diǎn)a(1,2）且到原點(diǎn)的距離等于1的直線方程為_答案:x1或3x4y50隨堂即時(shí)演練1原點(diǎn)到直線x2y50的距離為（)a1b.c2 d。答案：d2已知直線l1：xy10,l2

10、：xy10,則l1，l2之間的距離為（）a1 b。c。 d2答案：b3直線4x3y50與直線8x6y50的距離為_答案：4已知直線l在y軸上的截距為10，且原點(diǎn)到直線l的距離是8，則直線l的方程為_答案:3x4y400或3x4y4005已知abc三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)a(1，3)，b(3，0),c（1,2),求abc的面積s.答案:4課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1與直線2xy10的距離等于的直線方程為（)a2xy0b2xy20c2xy0或2xy20d2xy0或2xy20答案:d2兩平行線分別經(jīng)過點(diǎn)a(3，0）,b（0,4)，它們之間的距離d滿足的條件是（）a0d3b0d5c0d4 d3d5答案：b3過點(diǎn)（1,

11、3）且與原點(diǎn)的距離為1的直線共有(）a3條 b2條c1條 d0條答案:b4直線l過點(diǎn)a（3，4)且與點(diǎn)b(3,2）的距離最遠(yuǎn),那么l的方程為（)a3xy130 b3xy130c3xy130 d3xy130答案：c5若動點(diǎn)a(x1，y1），b（x2,y2)分別在直線l1：xy70和l2：xy50上移動，則ab的中點(diǎn)m到原點(diǎn)距離的最小值是()a3 b2c3 d4答案:a二、填空題6若點(diǎn)（4，0）到直線yx的距離為3,則m的值為_答案：1或317直線l在x軸上的截距為1,又有兩點(diǎn)a(2，1），b（4，5）到l的距離相等,則l的方程為_答案：x1或xy108.如圖所示，平面中兩條直線l1，l2相交于點(diǎn)

12、o,對于平面上任意一點(diǎn)m，若p，q分別是點(diǎn)m到直線l1，l2的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(p,q)是點(diǎn)m的“距離坐標(biāo)已知常數(shù)p0，q0，給出下列命題：若pq0，則“距離坐標(biāo)”為（0,0)的點(diǎn)有且只有1個(gè)；若pq0,且pq0，則“距離坐標(biāo)”為(p，q)的點(diǎn)有且只有2個(gè);若pq0,則“距離坐標(biāo)”為(p，q）的點(diǎn)有且只有4個(gè)上述命題中，正確的命題是_(填序號)答案:三、解答題9已知直線l經(jīng)過點(diǎn)p（2，5），且斜率為。(1)求直線l的方程；(2)若直線m與l平行，且點(diǎn)p到直線m的距離為3，求直線m的方程解:（1）由直線方程的點(diǎn)斜式，得y5（x2），整理得所求直線方程為3x4y140。(2）由直線m與直線l平行,可設(shè)直線m的方程為3x4yc0,由點(diǎn)到直線的距離公式得3，即3,解得c1或c29，故所求直線方程為3x4y10或3x4y290。10已知正方形abcd一邊cd所在直線的方程為x3y130，對角線ac，bd的交點(diǎn)為p（1,5），求正方形abcd其他三邊所在直線的方程解：點(diǎn)p（1，5)到lcd的距離為d，則d 。lablcd，可設(shè)lab:x3ym0。點(diǎn)p(1，5）到lab的距離也等于d，則。又m13，m19，即lab：x3y190。ladlcd，可設(shè)lad：3