第三章控制系統(tǒng)時域分析法

1、 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 第三章第三章 控制系統(tǒng)的時域分析控制系統(tǒng)的時域分析 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 第三章第三章 控制系統(tǒng)的時域分析控制系統(tǒng)的時域分析 3-1 系統(tǒng)的時域性能指標系統(tǒng)的時域性能指標 3-2 一階系統(tǒng)的時域響應一階系統(tǒng)的時域響應 3-3 二階系統(tǒng)的時域響應二階系統(tǒng)的時域響應 3-4 高階系統(tǒng)的時域響應高階系統(tǒng)的時域響應 3-5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 3-6 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 分析和設計控制系統(tǒng)的首要任務是建立系統(tǒng)的數分析和設計控制系統(tǒng)的首要任務是建立系

2、統(tǒng)的數 學模型。一旦獲得合理的數學模型，就可以采用不學模型。一旦獲得合理的數學模型，就可以采用不 同的分析方法來分析系統(tǒng)的性能同的分析方法來分析系統(tǒng)的性能。 經典控制理論中常用的工程方法有經典控制理論中常用的工程方法有 時域分析法時域分析法 根軌跡法根軌跡法 頻率特性法頻率特性法 分析內容分析內容 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 時域分析法的三個特點時域分析法的三個特點 直接分析法，直觀，易于接受直接分析法，直觀，易于接受 比較準確比較準確 可以提供時間響應的全部信息?？梢蕴峁r間響應的全部信息。 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 控制系統(tǒng)性能的評價分為控制系統(tǒng)性

3、能的評價分為動態(tài)性能動態(tài)性能指標和指標和穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能指標。指標。 確定系統(tǒng)模型后，可用不同的方法去分析系統(tǒng)性能。確定系統(tǒng)模型后，可用不同的方法去分析系統(tǒng)性能。時域時域分析分析 法是一種直接在時域中對系統(tǒng)進行分析的方法，具有法是一種直接在時域中對系統(tǒng)進行分析的方法，具有直觀、準直觀、準 確確的優(yōu)點，并可以提供系統(tǒng)時間響應的的優(yōu)點，并可以提供系統(tǒng)時間響應的全部全部信息。信息。 3-1 線性系統(tǒng)時間響應的性能指標線性系統(tǒng)時間響應的性能指標 1 典型輸入信號典型輸入信號 為求解系統(tǒng)的時間響應為求解系統(tǒng)的時間響應,必須了解輸入信號的解析表達式。必須了解輸入信號的解析表達式。 然而在大多數情況下然而在

4、大多數情況下,控制系統(tǒng)的輸入信號具有隨機性，以無法控制系統(tǒng)的輸入信號具有隨機性，以無法 預測的方式變化。為便于進行分析和設計，以及對各種系統(tǒng)性預測的方式變化。為便于進行分析和設計，以及對各種系統(tǒng)性 能進行比較，需要選擇若干能進行比較，需要選擇若干典型輸入信號典型輸入信號。這些信號是根據系。這些信號是根據系 統(tǒng)常遇到的輸入信號形式，在數學描述上加以統(tǒng)常遇到的輸入信號形式，在數學描述上加以理想化理想化的一些基的一些基 本輸入函數，目的是本輸入函數，目的是便于數學分析和實驗研究便于數學分析和實驗研究。 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 實際應用時究竟采用哪一種典型輸入信號實際應用時究竟

5、采用哪一種典型輸入信號,取決于系統(tǒng)常見取決于系統(tǒng)常見 的工作狀態(tài)。如系統(tǒng)的輸入信號是突然加入的恒定作用量，則可的工作狀態(tài)。如系統(tǒng)的輸入信號是突然加入的恒定作用量，則可 選用階躍函數信號；而當輸入信號是沖擊輸入量時，則選脈沖函選用階躍函數信號；而當輸入信號是沖擊輸入量時，則選脈沖函 數比較合適。通常以數比較合適。通常以單位階躍函數單位階躍函數作為典型輸入作用，可在一統(tǒng)作為典型輸入作用，可在一統(tǒng) 一的基礎上對各種系統(tǒng)的特性進行比較和研究。一的基礎上對各種系統(tǒng)的特性進行比較和研究。 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 2 動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程 在典型輸入信號作用下在典型輸

6、入信號作用下,任何一個控制系統(tǒng)的時間響應都任何一個控制系統(tǒng)的時間響應都 由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成. (1) 動態(tài)過程動態(tài)過程 又稱過渡過程或瞬態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程,是指在典型輸入是指在典型輸入 信號作用下信號作用下,系統(tǒng)輸出量系統(tǒng)輸出量從從初始狀態(tài)初始狀態(tài)到到最終狀態(tài)的最終狀態(tài)的響應過程響應過程.根根 據系統(tǒng)結構和參數選擇情況據系統(tǒng)結構和參數選擇情況,動態(tài)過程表現為動態(tài)過程表現為衰減、發(fā)散或等衰減、發(fā)散或等 幅振蕩幅振蕩的形式的形式.一個可以實際運行的控制系統(tǒng)一個可以實際運行的控制系統(tǒng),其動態(tài)過程必須其動態(tài)過程必須 是衰減的是衰減的,即系統(tǒng)必須是即系

7、統(tǒng)必須是穩(wěn)定穩(wěn)定的的. 動態(tài)過程除提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息外，還可提供響應速度動態(tài)過程除提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息外，還可提供響應速度 及阻尼情況等信息及阻尼情況等信息,這些信息用這些信息用動態(tài)性能動態(tài)性能來描述來描述 . 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 (2) 穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程(穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應) 系統(tǒng)在典型輸入信號作用下系統(tǒng)在典型輸入信號作用下 ,當當 時間時間 t 趨于無窮趨于無窮時時,系統(tǒng)輸出量的表現方式系統(tǒng)輸出量的表現方式.它提供系統(tǒng)有關它提供系統(tǒng)有關穩(wěn)穩(wěn) 態(tài)誤差態(tài)誤差的信息的信息,用穩(wěn)態(tài)性能描述用穩(wěn)態(tài)性能描述. 3 動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能 穩(wěn)定穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠

8、運行的是控制系統(tǒng)能夠運行的首要條件首要條件,因此只有當動態(tài)過因此只有當動態(tài)過 程程收斂收斂時時,研究系統(tǒng)的動態(tài)性能才有意義研究系統(tǒng)的動態(tài)性能才有意義. (1) 動態(tài)性能動態(tài)性能 通常在階躍函數作用下通常在階躍函數作用下,測定或計算系統(tǒng)的測定或計算系統(tǒng)的 動態(tài)性能。描述動態(tài)性能。描述穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)在在單位階躍函數作用下單位階躍函數作用下,動態(tài)過程動態(tài)過程 隨時間隨時間 t 的變化狀況的指標的變化狀況的指標,稱為動態(tài)性能指標稱為動態(tài)性能指標.為了便于分析為了便于分析 和比較和比較,假定系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用前處于靜止狀態(tài)假定系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用前處于靜止狀態(tài),而而 且輸出量及其各階

9、導數均等于零且輸出量及其各階導數均等于零. 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 通常在階躍函數作用下，測定或計算系統(tǒng)的動通常在階躍函數作用下，測定或計算系統(tǒng)的動 態(tài)性能。態(tài)性能。 系統(tǒng)在單位階躍函數作用下的時間響應稱系統(tǒng)在單位階躍函數作用下的時間響應稱 為單位階躍響應為單位階躍響應h(th(t) )，其動態(tài)過程隨時間，其動態(tài)過程隨時間t t變化的指變化的指 標稱之為動態(tài)性能指標。在零初始條件下，描述系標稱之為動態(tài)性能指標。在零初始條件下，描述系 統(tǒng)的動態(tài)性能指標為：統(tǒng)的動態(tài)性能指標為： 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 0 trtpts t y max y )(y 2

10、 )(y )(05. 0y )(02. 0y 或或 td y )(y 2 )(y t tstd )(05.0y )(02.0y或或 tr d t 延遲時間延遲時間 （Delay TimeDelay Time）響應曲線第一）響應曲線第一 次達到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時間次達到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時間。 上升時間上升時間 p t : r t p t （Rise TimeRise Time）指響應曲線第一次到達穩(wěn)指響應曲線第一次到達穩(wěn) 態(tài)值所需的時間。對于無振蕩系統(tǒng)，指響態(tài)值所需的時間。對于無振蕩系統(tǒng)，指響 應曲線從穩(wěn)態(tài)值的應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%10%上升到穩(wěn)態(tài)值的上升到穩(wěn)態(tài)值的90%90% 所需的時間。

11、上升時間是系統(tǒng)響應速度所需的時間。上升時間是系統(tǒng)響應速度 的一種度量。的一種度量。 峰值時間峰值時間 （Peak TimePeak Time）：響應曲線超過穩(wěn)態(tài)值到達）：響應曲線超過穩(wěn)態(tài)值到達 第一個峰值所需要的時間。第一個峰值所需要的時間。 s t調節(jié)調節(jié)時間時間 （Settling TimeSettling Time）指響應曲線到達并保持指響應曲線到達并保持 在穩(wěn)態(tài)值的在穩(wěn)態(tài)值的 5%5%內，所需的時間內，所需的時間。 超調量超調量% （Maximum OvershootMaximum Overshoot）：）： 指響應曲線最大偏離量指響應曲線最大偏離量h(tph(tp) )與穩(wěn)態(tài)值與穩(wěn)態(tài)

12、值h()h()之差的比值之差的比值: : %100 )( )()( % h htph 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 總結：上述五個動態(tài)性能指標，基本上可以體現系總結：上述五個動態(tài)性能指標，基本上可以體現系 統(tǒng)動態(tài)性能過程的特征。在實際應用中，常用的動態(tài)統(tǒng)動態(tài)性能過程的特征。在實際應用中，常用的動態(tài) 性能指標為性能指標為trtr，tsts，%，用，用trtr，tptp評價系統(tǒng)的響應速評價系統(tǒng)的響應速 度，用度，用%評價系統(tǒng)的阻尼程度，而評價系統(tǒng)的阻尼程度，而tsts是同時反映響應是同時反映響應 速度和阻尼程度的綜合性指標。速度和阻尼程度的綜合性指標。 穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能

13、的一種性能指標，穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標， 是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量。是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量。 2 2、穩(wěn)態(tài)性能指標、穩(wěn)態(tài)性能指標 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 3-2 3-2 一階系統(tǒng)的時域分析一階系統(tǒng)的時域分析 一、一階系統(tǒng)的數學模型一、一階系統(tǒng)的數學模型 i(t) + r(t) c(t) + （a） 電路圖 R C )()( )( trtc dt tdc RC )()()(trtCtCT 其中其中C(tC(t) )為電路輸出電壓，為電路輸出電壓，r(tr(t) )為電為電 路輸入電壓，路輸入電壓，T=RCT=RC為時間常數。為時

14、間常數。 1 1 )( )( )( TSsR sC s 當初使條件為零時，其傳遞函數為當初使條件為零時，其傳遞函數為 這種系統(tǒng)實際上是一個非周期性的慣性環(huán)節(jié)。這種系統(tǒng)實際上是一個非周期性的慣性環(huán)節(jié)。 R(s) C(s) （c）等效方塊圖 R(s) C(s) （b）方塊圖 I(s) 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應 s sRttr 1 )( )( 1)( 1 11 1 1 )()()( Ts T ssTs sRssC (Unit-Step Response of First-order System) Ctt - Css 0 t

15、 1)(h(t) 瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量 T t etc 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 1、用時間常數去度量、用時間常數去度量h(t)的數值。的數值。 特點：特點： )(%98)4(,4 )(%95)3(,3 )(%5 .86)2( ,2 )(%2 .631)( , 1 hThTt hThTt hThTt heThTt 時 時 時 時 根據這一特點，可用實驗的方法測定一階系統(tǒng)的時間常數根據這一特點，可用實驗的方法測定一階系統(tǒng)的時間常數。 圖3-4指數響應曲線 1 0 63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3% T 2T3T 4T 5T 0.632 t c(t)=1-ec

16、(t) 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 0 )( 1 0368 )( 1)( 0 tTtt dt tdh Tdt tdh Tdt tdh 2 2、h(th(t) )的初始斜率為的初始斜率為 1/T,1/T,并隨時間的推移而下降并隨時間的推移而下降 斜率 T 1 1 C(t) T3T 根據這一特點能夠確定一階系統(tǒng)的時間常數。根據這一特點能夠確定一階系統(tǒng)的時間常數。 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 Ttetc d t T d d 69. 05 . 01)( 1 Tttt etc etc r t T t T 2 . 2 9 . 01)( 1 . 01)( 12 1 2

17、 1 1 2 1 Ttetc s t T s s 395. 01)( 1 延遲時間：延遲時間： 上升時間：上升時間： 調節(jié)時間：調節(jié)時間： 峰值時間和超調量都不存在。峰值時間和超調量都不存在。 一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為：一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為： 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 三、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應三、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應 1)()( (t)r(t) tLsR 1 1 )( 1 1 )( Ts sR Ts sC 0 t 1 1 1 L)( 1 T t e TTs tc 0 )( 1 0368 )( 1)( 22 0 tTtt dt tdh Tdt tdh Tdt tdc

18、 1/T T 1 368. 0 T t c(t) 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應為單調下降的指數曲線，斜率為：一階系統(tǒng)的單位脈沖響應為單調下降的指數曲線，斜率為： 若定義該指數曲線衰減到其初始的若定義該指數曲線衰減到其初始的5%5%所需的時間為脈沖所需的時間為脈沖 響應調節(jié)時間，則仍有：響應調節(jié)時間，則仍有：tsts=3T=3T。故系統(tǒng)的慣性越小，。故系統(tǒng)的慣性越小， 響應過程的快速性越好。響應過程的快速性越好。 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 四、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應四、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應 0 tTeT- tc(t) T t - )e-T(1c(t)-r(t)e(t) T t

19、- ,)( t Te 時， 2 s 1 R(s)t r(t) 1 11 1Ts 1 C(s) 2 22 Ts T s T ss 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 五、一階系統(tǒng)的單位拋物線響應五、一階系統(tǒng)的單位拋物線響應 3 3 2 s 1 1Ts 1 )()(C(s) s 1 R(s) 2 1 r(t) sRs t )1 ( 2 1 2 1 )( 1 1 C(s) 22222 32 23 T t eTTtteTTTtttc Ts T s T s T s T t )1 ()()()( 2 T t eTTttctrte 因此系統(tǒng)的跟蹤誤差為：因此系統(tǒng)的跟蹤誤差為： 上式表明：跟蹤誤差

20、隨時間推移而增大，直至無限大，因此，上式表明：跟蹤誤差隨時間推移而增大，直至無限大，因此， 一階系統(tǒng)不能實現對加速度輸入函數的跟蹤。一階系統(tǒng)不能實現對加速度輸入函數的跟蹤。 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 六、線性定常系統(tǒng)的一個重要的性質六、線性定常系統(tǒng)的一個重要的性質 T t TeTttc )()( T t etcth 1)()( 線性系統(tǒng)對輸入信號導數的響應，就等于系統(tǒng)對線性系統(tǒng)對輸入信號導數的響應，就等于系統(tǒng)對 該輸入信號響應的導數，系統(tǒng)對輸入信號積分的響該輸入信號響應的導數，系統(tǒng)對輸入信號積分的響 應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號的積分。應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號的積分。 例

21、如：已知例如：已知 ttr)( ，系統(tǒng)的響應是：，系統(tǒng)的響應是： )()( 1tt 現求階躍響應。因為現求階躍響應。因為 故故 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 解解: (1) 例例1 1 某一階系統(tǒng)如圖某一階系統(tǒng)如圖, ,（1 1）求調節(jié)時間）求調節(jié)時間t ts s, ,（2 2）若要求）若要求 10/1 10 10 100 1 . 0)/100(1 /100 )()(1 )( )( sss s sHsG sG s (2) 要求要求ts=0.1s，即即3T=0.1s, 即即 , 得得 h h h Ks K sK s s 100/1 /1 /1001 /100 )( 3 1 .

22、0 100 1 h K 3 . 0 h K 0.1 C(s)R(s)E(s) 100/s (- -) ts=0.1s,求反饋系數求反饋系數 Kh . 解題關鍵：解題關鍵：化閉環(huán)傳遞函數為標準形式?；]環(huán)傳遞函數為標準形式。 Kh 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 5 .0)( 1 tc 5 . 0)( 1 tc 19)( 1 th 19)( 1 th 2 1 10 12 20 )( s s s 2 10)( t etc ste t 65 .010 1 2 1 t 0 (t)1(t) )1 (202010)( 222 0 ttt t eedteth ste t 619)1 (20

23、1 2 例例1 某系統(tǒng)微分方程為：某系統(tǒng)微分方程為： 試求：（試求：（1）單位脈沖響應，）單位脈沖響應， 時的時的t1值值； 時的時的t1值。值。 解：解： （1）單位脈沖響應）單位脈沖響應 當當 （2） 因此：因此： 單位階躍響應單位階躍響應 當當 )(20)()(2trtctc （2）單位階躍響應）單位階躍響應 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 整理得傳遞函數整理得傳遞函數 故得結構圖故得結構圖 )()()( 2 )( 1 2 2 sRsCssCsCs nn )()( )( 2 )( 2 2 2 trtc dt tdc T dt tcd T 在第二章，已得微分方程在第二章，已

24、得微分方程 ： 取拉氏變換，有取拉氏變換，有 22 2 2 )( )( )( nn n ss s sR sC 2 2 )2( nn n ss R(s)C(s) (- -) )2( 2 n n ss 其中：其中： 自然頻率；自然頻率； 阻尼比。阻尼比。 又因為又因為 標準形式標準形式 標準形式標準形式 一、一、 二階系統(tǒng)的數學模型二階系統(tǒng)的數學模型 控制系統(tǒng)的運動方程為二階微分方程，稱為二階系統(tǒng)。控制系統(tǒng)的運動方程為二階微分方程，稱為二階系統(tǒng)。 )2( 1 )2( 2 2 n n n n ss ss 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 02s 2 2 nn s 1 2 2, 1 nn

25、 js s1 s2 2 1 n n 二二階系統(tǒng)的單位階躍響應二二階系統(tǒng)的單位階躍響應 二階系統(tǒng)的特征方程為二階系統(tǒng)的特征方程為 特征根特征根 位于平面的左半部位于平面的左半部 的取值不同的取值不同,特征根不同特征根不同。 1s 2 1,2 nn （1） （欠阻尼）有一對共軛復根（欠阻尼）有一對共軛復根10 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 n 1,2 s 1 s1s2 s1 s2 1s 1 2 1,2 nn （2） （臨界阻尼）， ，兩相等實根 （3） （過阻尼），過阻尼）， ，兩不等實根，兩不等實根 1s 2 1,2 nn 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 （4）

26、 （無阻尼）， ，一對純虛根 n j 1,2 s 0 1s 01- 2 1,2 nn j 1s 1- 2 1,2 nn s2 s1 （5） 位于右半平面，或 者 s2 s1 S1S2 j 1s 2 1,2 nn 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 s1 s2 2 1 n n s1 s2 s1s2 s2 s1 s2 s1 S1S2 j 欠阻尼欠阻尼 臨界阻尼臨界阻尼 無阻尼無阻尼 過阻尼過阻尼 負阻尼負阻尼 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 1. 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) (即即01 ）時）時） 此時系統(tǒng)有兩個不相等負實根此時系統(tǒng)有兩個不相等負實根 1 2 2,1 nn s )

27、1( 1 )1( 1 2 2 2 1 nn TT令 ) 1 )( 1 ( )( 21 2 T s T ss sC n t T t T e T T e T T tc 21 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1)( 階躍響應：階躍響應： 系統(tǒng)的單位躍響應無振蕩、無超調，系統(tǒng)的單位躍響應無振蕩、無超調， 響應速度比臨界阻尼時慢。響應速度比臨界阻尼時慢。 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 0123456789101112 nt c(t) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 以上幾種情況的單位階躍響應曲線如下圖：以上幾種情況的單位階躍響應曲

28、線如下圖： =0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.81.0 2.0 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 三、三、 欠阻尼二階系統(tǒng)的欠阻尼二階系統(tǒng)的 2 2 1 )cos1sin(2 ln 1 , 5 . 0)( art t ttc dn dn dd 的隱函數得到 )0()sin( 1 1)( 2 tt e tc d t n 單位階躍響應單位階躍響應 延遲時間延遲時間 td n d dn t t 2 2.06.01 值范圍內，近似有：大的利用曲線擬合法，在較 的關系曲線，與繪制 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 2 1 n d r t 單位單

29、位階躍響應超過穩(wěn)態(tài)值達到第一個峰值所需要的時間。階躍響應超過穩(wěn)態(tài)值達到第一個峰值所需要的時間。 階躍響應從零第一次升到穩(wěn)態(tài)所需的的時間。階躍響應從零第一次升到穩(wěn)態(tài)所需的的時間。 2 1 n d p t 上升時間上升時間 tr 峰值時間峰值時間 tp 0)sin( 1 2 rd t t e rn 即即 得得 0 )( p tt dt tdc 由由 得得 此時此時 1)( r tc 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 單位單位階躍響應中最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。階躍響應中最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。 %100 )( )()( % c ctc p 超調量超調量 % )0()sin( 1 1)(

30、 2 tt e tc d t n 單位單位階躍響應進入階躍響應進入 誤差帶的最小時間。誤差帶的最小時間。 調節(jié)時間調節(jié)時間 ts %100% 2 1 e %100)sin( 1 2 pd t t e pn 由由 有有 根據定義根據定義 )()()()( s ttcctc )()sin( 1 2 sd t ttt e n 1)sin( t d 因因 則則 )( 1 2 s t tt e n 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 阻尼比阻尼比越小，超調量越大，平穩(wěn)性越差，調節(jié)越小，超調量越大，平穩(wěn)性越差，調節(jié) 時間時間t ts s長；長； 過大時，系統(tǒng)響應遲鈍，調節(jié)時間過大時，系統(tǒng)響應遲

31、鈍，調節(jié)時間t ts s也長，快也長，快 速性差；速性差； 結果分析：結果分析： 欠阻尼二階系統(tǒng)的一對包絡線欠阻尼二階系統(tǒng)的一對包絡線 如右圖：如右圖： c(t) t 0 1 2 1 e 1 n t- 2 1 e 1 n t- n 1 T 包絡線包絡線 n s t 5 . 4 或 （ =2%時）時） n s t 5 . 3 ( =5%) 工程上通常用工程上通常用包絡線代替實際曲線來估算。包絡線代替實際曲線來估算。 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 )4( 16 ss R(s) (- -) C(s) 22 2 2 2164 16 )( nn n ssss s %3 .16%100%

32、 2 1 e 秒91. 0 1 2 n d p t st d r 61. 0 st n s 75. 1 5 . 3 解：解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為 解得解得 n=4, =0.5 例例1 某系統(tǒng)如圖所示，當輸入為單位階躍時，某系統(tǒng)如圖所示，當輸入為單位階躍時， 求系統(tǒng)單位階躍響應指標。求系統(tǒng)單位階躍響應指標。 弧度05. 160cos ar st n d 34. 0 2 . 06 . 01 2 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 設單位反饋的二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖所示，設單位反饋的二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖所示， 試確定其開環(huán)傳遞函數。試確定其開環(huán)傳遞函數。

33、 例例2 解：解：圖示為一欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲圖示為一欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲 線。由圖中給出的階躍響應性能指標，先確定二線。由圖中給出的階躍響應性能指標，先確定二 階系統(tǒng)參數，再求傳遞函數。階系統(tǒng)參數，再求傳遞函數。 %100e3 . 0%30% 2 1/ 2 . 13 . 0lnln 1 2 e 36. 0 秒秒1 . 0 1 t 2 n d p 1 2 n 6 .33 934. 0 4 .31 1 4 .31 秒秒 ) s (G1 ) s (G 1130s2 .24s 1130 s2s ) s ( 22 nn 2 2 n )2 .24s ( s 1129 )2s ( s)

34、 s (1 ) s ( ) s (G n 2 n 0 t(s) 1 1.3 0.1 h(t) 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 三、三、 過阻尼二階系統(tǒng)的過阻尼二階系統(tǒng)的 其中：其中： 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) （即（即1 ），二階系統(tǒng)的單位階躍響應為：），二階系統(tǒng)的單位階躍響應為： t T t T e T T e T T tc 21 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1)( )1( 1 )1( 1 2 2 2 1 nn TT 由于過阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標無法根據定義來求出由于過阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標無法根據定義來求出 準確的計算公式，故采取工程近似計算公式：準確的計算公式

35、，故采取工程近似計算公式： 延遲時間延遲時間 td n d t 2 2.06.01 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 上升時間上升時間 tr n r t 2 5.11 調節(jié)時間調節(jié)時間 ts 根據根據p96頁，圖頁，圖3-17，可知當，可知當=1=1時，即時，即T T1 1/T/T2 2=1=1時，時， 當當T14T2時，系統(tǒng)可以等效為具有時，系統(tǒng)可以等效為具有 的一階系統(tǒng)，這時的一階系統(tǒng)，這時 1 75. 4Tts 1 1 T 1 3Tts 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 例例3、某角度隨動系統(tǒng)如圖所示。要求系統(tǒng)單位階躍響應無超某角度隨動系統(tǒng)如圖所示。要求系統(tǒng)單

36、位階躍響應無超 調，且調，且 ts1s，開環(huán)增益開環(huán)增益K應取多大應取多大？延遲時間延遲時間td和上升時間和上升時間tr等等 于多少？于多少？ ) 11 . 0(ss KR(s) (- -) C(s) 解：解： 根據題意響應應無超調的要求根據題意響應應無超調的要求1，考慮到考慮到=1時系時系 統(tǒng)無超調，且統(tǒng)無超調，且ts比比1要小，故取要小，故取=1。 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為： Kss K Kss K s 10 10 1 . 0 )( 22 5 . 2 10 5 102 2 KK nnn )( 1)(95. 075. 4 )( 2 . 0 1 1 121 ssTtsTT s n

37、 時，在 )(36.0 2.06.01 2 st n d )(7.0 5.11 2 st n r 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 五、五、二階系統(tǒng)性能的改善二階系統(tǒng)性能的改善 比例比例微分控制微分控制 R(s) (- -) C(s) )2s(s n 2 n Tds+1 E(s) 開環(huán)傳遞函數：開環(huán)傳遞函數： )12/( )1( )2( )1( )( )( )( 2 n d n dn ss sTK ss sT sE sC sG 開環(huán)增益：開環(huán)增益： K= n/2 閉環(huán)傳遞函數：閉環(huán)傳遞函數： )2( )( )( 2 1 ) 2 (2 ) 1( ) 1()2( ) 1( )( 22

38、 2 2 2 2 2 2 nnd n n d d n nd n dn dnn dn ssz zs s zT z s T s sT sTss sT s 若令 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 （1）動態(tài)響應分析：）動態(tài)響應分析： s sR 1 )( d d nd dn dnnd dn t d z zzzr ttretc nd 22 222 2 1 arctan 1 arctan 1/2 0 )1sin(1)( 10 時當 （2）性能指標估算：）性能指標估算： 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 例例4、某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為： (

39、1)Td=0時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標；時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標； (2)Td=0.4時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。 )5 . 0( 1 )( ss sT sG d 解：解： 25. 0 1 )2()5 . 0( 1 )( 0 2 n n n d ssss sGT 性能指標為：性能指標為： )(88. 1 1 2 st n r )(14 5 . 3 st n s %47%100% 2 1 e 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 ) 19 . 0(5 . 2 5 . 2 19 . 0 14 . 0 )( )5 . 0( 14 . 0 )( 4 . 0 22 ss s ss s s

40、 ss s sGTd 45. 0 1 dn )2( )( 22 2 nnd n ssz zs Tr查圖，其橫坐標為：查圖，其橫坐標為：6 . 5/ nd z 縱坐標為：縱坐標為： 5 . 1 nr t 所以：所以： %22% )(7 )(5 . 1 st st s r 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 測速反饋控制測速反饋控制 R(s) (- -) C(s) )2s(s n 2 n KtS (- -) skss sG ntn n 2 2 )2( )( ) 1 2 ( 2 )2( 2 2 2 ntn nt n ntn n k s s k kss 其開環(huán)增益為：其開環(huán)增益為： nt

41、n k K 2 閉環(huán)傳遞函數：閉環(huán)傳遞函數： 22 2 ) 2 (2 )( n nt n n s k s s ntt k 2 1 22 2 2 nnt n ss 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 例例5、 ) 1( 10 ss R(s) (- -) C(s) (a) R(s) (- -) C(s) ) 1s(s 10 KtS (- -) (b) （1）a圖為無測速反饋控制系統(tǒng)，試分析各項性能指標；圖為無測速反饋控制系統(tǒng)，試分析各項性能指標； （2）b圖為測速反饋控制系統(tǒng)，試確定使阻尼比為圖為測速反饋控制系統(tǒng)，試確定使阻尼比為0.5的的Kt值。值。 解：解： （1） 22 2 2

42、210 10 )( nn n ssss s 16. 3 158. 0 n %4 .60% )(7 )(01. 1 )(55. 0 )(351. 0stststst sprd （2） 10)101 ( 10 )( 2 sKs s t 216. 0 10 12 5 . 0 2 101 nt t n t t k k %3 .16% )(22. 2 )(15. 1 )(77. 0 )(43. 0stststst sprd 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 例例6、一位置隨動系統(tǒng)，在單位階躍輸入下要求一位置隨動系統(tǒng)，在單位階躍輸入下要求 。 %5% （1）驗證系統(tǒng)各項參數是否滿足；）驗證系

43、統(tǒng)各項參數是否滿足； （2）為滿足題意，增加一測速反饋控制，求）為滿足題意，增加一測速反饋控制，求 值。值。 R(s) (- -) C(s) ) 1s05. 0s( 50 S (- -) 解：解： 50) 105. 0( 50 )( ss s 100020 1000 2 ss 0.32 6 .311000n %35% 超調量多大，不能滿足要求。超調量多大，不能滿足要求。 （1） （2） 1000)100020( 1000 )( 2 ss s 0.7 %5% 0241. 0 1000 202 2100020 n n 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 .K , 1 %3 .16 c(

44、t) , 2 p 之之值值及及內內反反饋饋系系數數 益益試試確確定定前前置置放放大大器器的的增增 秒秒峰峰值值時時間間 和和調調量量 有有超超具具階階躍躍響響應應 要要求求該該系系統(tǒng)統(tǒng)的的單單位位如如圖圖所所示示已已知知某某控控制制系系統(tǒng)統(tǒng)方方框框圖圖例例 p t )1( 10 ssK s C(s) R(s) rad/s 3.63 n 2 1 p t 0.5 %3 .16%100 2 1/ p p ) 1 (: 得 又 得 由 及參數 計算出二階系統(tǒng)和由已知解 n e n p t 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 0.263 32. 1 10 2 101 n 2 2 2 2 s

45、2 R(s) C(s) (3) 10)101( 2 s 10K R(s) C(s) , (2) K K n n s n n Ks 解得解得 與標準形式比較與標準形式比較 并化成標準形式并化成標準形式求閉環(huán)傳遞函數求閉環(huán)傳遞函數 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階，則該系統(tǒng)若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階，則該系統(tǒng) 為高階系統(tǒng)。在控制工程中，大多數控制系統(tǒng)都為高階系統(tǒng)。在控制工程中，大多數控制系統(tǒng)都 是高階系統(tǒng)。從理論上講，高階系統(tǒng)也可以直接是高階系統(tǒng)。從理論上講，高階系統(tǒng)也可以直接 由傳遞函數求出它的時域響應，然后按上述二階由傳遞函數求出它的時域響應，然后

46、按上述二階 系統(tǒng)的分析方法來確定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標。但系統(tǒng)的分析方法來確定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標。但 是，高階系統(tǒng)的分布計算比較困難，同時，在工是，高階系統(tǒng)的分布計算比較困難，同時，在工 程設計的許多問題中，過分講究精確往往是不必程設計的許多問題中，過分講究精確往往是不必 要的，甚至是無意義的。因此，工程上通常把高要的，甚至是無意義的。因此，工程上通常把高 階系統(tǒng)適當地簡化成低階系統(tǒng)進行分析。下面簡階系統(tǒng)適當地簡化成低階系統(tǒng)進行分析。下面簡 單地介紹高階系統(tǒng)時域響應的確定方法及研究高單地介紹高階系統(tǒng)時域響應的確定方法及研究高 階系統(tǒng)性能的思路和途徑。階系統(tǒng)性能的思路和途徑。 3-4高階系統(tǒng)的時域響

47、應高階系統(tǒng)的時域響應 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 0 1 1 0 1 1 . . )( asasa bsbsb s n n n n m m m m r k kkk q i i m i i ssss zsK s 1 2 2 1 1 )2()( )( )( 一、高階系統(tǒng)的單位階躍響應一、高階系統(tǒng)的單位階躍響應 n j j m i i ss zs s 1 1 )( )( )( rqn2 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 q i r k kkk kkkkkk i i ss CsB sss sC 11 2 2 2 0 2 1)( )( r k kkk q i i m i

48、 i ssss zsK s sC 1 2 2 1 1 )2()( )( 1 )( 將上式展開成部分分式，得將上式展開成部分分式，得 對上式進行拉氏反變換，求得系統(tǒng)在零初始條件下的單位階對上式進行拉氏反變換，求得系統(tǒng)在零初始條件下的單位階 躍響應為：躍響應為： 由此可見，高階系統(tǒng)的時域響應是由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振由此可見，高階系統(tǒng)的時域響應是由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振 蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應分量所組成。蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應分量所組成。 q i k k r k t k ts i teetC kki 1 2 1 0 )1cos()( r k k t k teC kk 1 2 )1sin( )0( t 第三

49、章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 q i k k r k t k ts i teetC kki 1 2 1 0 )1cos()( r k k t k teC kk 1 2 )1sin( )0( t 0- 0 k kj s j skk t 0 )(Ac 式中式中 為實數極點，為實數極點， 為共軛復數極點的實部，如果可為共軛復數極點的實部，如果可 以滿足以滿足 ， ，也就是當所有極點都具有負實，也就是當所有極點都具有負實 部，即位于部，即位于s平面左半平面，那么當平面左半平面，那么當 時，指數項與阻尼時，指數項與阻尼 項都將趨于零。高階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出項都將趨于零。高階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 即在

50、高階系統(tǒng)中，距離虛軸最近的極點，其實部與其他極點即在高階系統(tǒng)中，距離虛軸最近的極點，其實部與其他極點 的實部相差的實部相差5倍以上，附近不存在零點，這時可以認為系統(tǒng)的暫倍以上，附近不存在零點，這時可以認為系統(tǒng)的暫 態(tài)響應主要由這一極點決定。那么對系統(tǒng)的暫態(tài)響應起主導作態(tài)響應主要由這一極點決定。那么對系統(tǒng)的暫態(tài)響應起主導作 用的極點，稱為用的極點，稱為主導極點。主導極點。可以是實極點，也可以是復數極點?？梢允菍崢O點，也可以是復數極點。 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 3-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 一、穩(wěn)定的概念和定義一、穩(wěn)定的概念和定義 在自動控制理論中，有多

51、種穩(wěn)定性的定義，這里只討論其中在自動控制理論中，有多種穩(wěn)定性的定義，這里只討論其中 最常用的一種，即漸近穩(wěn)定性的定義。最常用的一種，即漸近穩(wěn)定性的定義。 穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運行的首穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運行的首 要條件。控制系統(tǒng)在實際運行過程中，總會受到外界和內部一要條件?？刂葡到y(tǒng)在實際運行過程中，總會受到外界和內部一 些因素的擾動，例如負載和能源的波動、系統(tǒng)參數的變化、環(huán)些因素的擾動，例如負載和能源的波動、系統(tǒng)參數的變化、環(huán) 境條件的改變等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會在任何微小的擾動作境條件的改變等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會在任何微小的擾動作 用下偏離原來的

52、平衡狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因此，如用下偏離原來的平衡狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因此，如 何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動控制何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動控制 理論的基本任務之一。理論的基本任務之一。 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 圖圖 不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng) d f c A A f 擺運動示意圖擺運動示意圖 )(lim)()(tctctc t 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 q 穩(wěn)定的基本概念：穩(wěn)定的基本概念： 設系統(tǒng)處于某一起始的平衡狀態(tài)。在外作用的影設系統(tǒng)處于某一起始的平衡狀態(tài)。在外作用的影 響下，離開了該平衡

53、狀態(tài)。當外作用消失后，如果經響下，離開了該平衡狀態(tài)。當外作用消失后，如果經 過足夠長的時間它能回復到原來的起始平衡狀態(tài)，則過足夠長的時間它能回復到原來的起始平衡狀態(tài)，則 稱這樣的系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng)稱這樣的系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng) 。否則為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。否則為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以定義為：系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以定義為： 若線性控制系統(tǒng)在初始擾動若線性控制系統(tǒng)在初始擾動 (t)(t)的影響下，其過渡的影響下，其過渡 過程隨過程隨t t， c(t)0，則系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定，則系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定， 反之，在反之，在(t)的影響下，的影響下， t， c(t)發(fā)散，系統(tǒng)則為不發(fā)散，系統(tǒng)則為不 穩(wěn)定。穩(wěn)定

54、。 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 二、 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件： 由上面的定義可知，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于自身的固 有特性，與輸入信號無關。 設初始條件條件為0， r(t)=(t)，當t， c(t)0。 r k kkk q i i m i i ssss zsK s 1 2 2 1 1 )2()( )( )( 高階系統(tǒng)傳遞函數： 1)(tL )()(ssC q i k k r k t k ts i teetC kki 1 2 1 )1cos()( r k k t k teC kk 1 2 )1sin( )0( t 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的

55、充要條件：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件： 系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數的極點）全為系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數的極點）全為 負實數或具有負實部的共軛復根。或者說，特征方負實數或具有負實部的共軛復根?；蛘哒f，特征方 程的根應全部位于程的根應全部位于s平面的左半部。平面的左半部。 三、勞斯穩(wěn)定性判據 將系統(tǒng)的特征方程式寫成如下標準形式：將系統(tǒng)的特征方程式寫成如下標準形式： 0 01 1 1 asasasa n n n n 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 0 01 1 1 asasasa n n n n 建立勞斯表： 0 1 2 3 2 1 s s s s s s s n n n n 64

56、2 nnnn aaaa 6531 nnnn aaaa 4321 bbbb 4321 cccc 21 ee 1 f 1 g 1 321 1 n nnnn a aaaa b 1 541 2 n nnnn a aaaa b 1 761 3 n nnnn a aaaa b 1 1231 1 b abab c nn 1 1351 2 b abab c nn 1 1471 3 b abab c nn 0 a 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 勞斯判據的內容：勞斯判據的內容： 1、特征方程的全部系數為正值；、特征方程的全部系數為正值； 2、由特征方程系數組成的勞思表的第一列也為正。、由特征方程

57、系數組成的勞思表的第一列也為正。 例1：特征方程為： ，試判斷穩(wěn)定性。 0611126 234 ssss 解：勞斯表： )61( 6 61 6 111126 1126 6 110 4 s 3 s 2 s 1 s 0 s 0)36(6 6 0136 61 3666111 36 0 6 特征方程的全部系數為正值，勞思表的第一列也為正，特征方程的全部系數為正值，勞思表的第一列也為正， 故系統(tǒng)穩(wěn)定。故系統(tǒng)穩(wěn)定。 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 例例2：特征方程為：特征方程為： ，確定系統(tǒng)正實部根，確定系統(tǒng)正實部根 的個數。的個數。 05432 2345 sssss 4 s 3 s 2

58、s 1 s 0 s 5 s 解：勞斯表： 1 14 235 ) 1( 2 1 2 3121 2)3( 2 3 2 5142 0 9 1 3231 5 1 51 9 32 9 5) 1(93 0 5 勞斯陣第一列有負數，勞斯陣第一列有負數， 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。其符系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。其符 號變化兩次，表示有兩號變化兩次，表示有兩 個極點在個極點在s的右半平面，的右半平面， 即有兩個正實部的根。即有兩個正實部的根。 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 應用勞斯判據的特殊情況 1、出現第一列某系數為0的情況 例3：0122 234 ssss 4 s 3 s 2 s 1 s 0 s 1 11 2

59、20 0 )( 22 1 1 0勞斯陣第一列有負數，勞斯陣第一列有負數， 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。其符系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。其符 號變化兩次，表示有兩號變化兩次，表示有兩 個極點在個極點在s的右半平面，的右半平面， 即有兩個正實部的根。即有兩個正實部的根。 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分析控制系統(tǒng)時域分析 2 2、某行所有系數均為、某行所有系數均為0 0的情況的情況 勞斯表某行系數全為零的情況。表明特征方程具有大小相等勞斯表某行系數全為零的情況。表明特征方程具有大小相等 而位置徑向相反的根。至少要下述幾種情況之一出現，如：大而位置徑向相反的根。至少要下述幾種情況之一出現，如：大 小相等，符號相反的一對實根，或

60、一對共軛虛根，或對稱于虛小相等，符號相反的一對實根，或一對共軛虛根，或對稱于虛 軸的兩對共軛復根。軸的兩對共軛復根。 例如:502548242)2)(25)(4( 234522 1 ssssssss )4( 2 2 s 處理辦法處理辦法：可將不為零的最后一行的系數組成輔助方程，對可將不為零的最后一行的系數組成輔助方程，對 此輔助方程式對此輔助方程式對s求導所得方程的系數代替全零的行。大小相等，求導所得方程的系數代替全零的行。大小相等， 位置徑向相反的根可以通過求解輔助方程得到。輔助方程應為位置徑向相反的根可以通過求解輔助方程得到。輔助方程應為 偶次數的。偶次數的。 第三章第三章 控制系統(tǒng)時域分