材料力學(xué) 扭轉(zhuǎn)

1、第五章第五章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 5-1 扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念 一、扭轉(zhuǎn)的概念及實例一、扭轉(zhuǎn)的概念及實例 汽車的轉(zhuǎn)向操縱桿汽車的轉(zhuǎn)向操縱桿絲錐、電動機軸絲錐、電動機軸 CL5TU1 受力特征：桿受一對大小相等、方向相反的受力特征：桿受一對大小相等、方向相反的 力偶，力偶作用面垂直于軸線。力偶，力偶作用面垂直于軸線。 變形特征：橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動。變形特征：橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動。 CL5TU2 二、外力偶矩的計算二、外力偶矩的計算 設(shè)某輪所傳遞的功率是設(shè)某輪所傳遞的功率是N kW，軸的轉(zhuǎn)速，軸的轉(zhuǎn)速 是是 n rpm CL5TU18 N kW的功率相當于每分鐘作功： WN=100060 1)( 外力偶矩 所作

2、的功：m Wmn =2 2)( (1) = (2) 100060 =2 得 Nmn m N n N n m 9549 kW rpm N m m N n N n m 7024 PS rpm N m 5-2 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖 Tm Tm 扭矩扭矩 CL5TU6 例：例： 圖示傳動軸，主動輪圖示傳動軸，主動輪A輸入功率輸入功率 NA=50 馬力，從動輪馬力，從動輪B、C、D輸出功率分輸出功率分 別為別為 NB=NC=15馬力馬力 ，ND=20馬力，軸的馬力，軸的 轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為n=300轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分。作軸的扭矩圖。分。作軸的扭矩圖。 CL5TU3 NNNN n ABCD 501520PSPSPS

3、= 300rpm 解：解： m N n A A 70247024 50 300 1170 N m mm N n m N n BC B D C 70247024 15 300 351 70247024 20 300 468 N m N m TmB 1 351 N m T2702 N m TmD 3 468N m m mm m A BC D 1170 351 468 N m N m N m T(N m) T T T 1 2 3 351 702 468 N m N m N m 5-3 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實驗薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實驗 一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分析一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分析 等厚度的薄壁圓筒等厚度的

4、薄壁圓筒,平均半徑為平均半徑為 r,壁厚為壁厚為 t CL5TU4 受扭前在其表面上用圓周線和縱向線畫成受扭前在其表面上用圓周線和縱向線畫成 方格方格,然后加載。然后加載。 m m (1) 縱向線傾斜了同一微小角度縱向線傾斜了同一微小角度 (2) 圓周線的形狀、大小及圓周線之間的距圓周線的形狀、大小及圓周線之間的距 離沒有改變離沒有改變 根據(jù)以上實驗現(xiàn)象根據(jù)以上實驗現(xiàn)象,可得結(jié)論：可得結(jié)論： 圓筒橫截面上沒有正應(yīng)力，只有剪應(yīng)圓筒橫截面上沒有正應(yīng)力，只有剪應(yīng) 力。剪應(yīng)力在截面上均勻分布，方向垂直力。剪應(yīng)力在截面上均勻分布，方向垂直 于半徑于半徑。 觀察到如下現(xiàn)象：觀察到如下現(xiàn)象： m m 剪應(yīng)力

5、在截面上均勻分布，方向垂直于半徑剪應(yīng)力在截面上均勻分布，方向垂直于半徑 T T 根據(jù)精確的理論分析根據(jù)精確的理論分析,當當tr/10時時,上式的上式的 誤差不超過誤差不超過4.52%,是足夠精確的。是足夠精確的。 rAT A ddA dA rAT A d rrtT 2 T r t2 2 r 二、剪應(yīng)力互等定理二、剪應(yīng)力互等定理 dx t dy ()()t yxt xydddd CL5TU7 微元體微元體 單元體單元體 剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理 : 在相互垂直的兩個平面上在相互垂直的兩個平面上, 剪應(yīng)力一定成對出現(xiàn)，其數(shù)值相等，方向同剪應(yīng)力一定成對出現(xiàn)，其數(shù)值相等，方向同 時指向或背離兩平面

6、的交線。時指向或背離兩平面的交線。 三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 CL5TU8 薄壁圓筒的實驗薄壁圓筒的實驗, 證實了剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間證實了剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間 存在著象拉壓胡克定律類似的關(guān)系存在著象拉壓胡克定律類似的關(guān)系, 即當剪應(yīng)力即當剪應(yīng)力 不超過材料的剪切比例極限不超過材料的剪切比例極限p時時,剪應(yīng)力與剪應(yīng)剪應(yīng)力與剪應(yīng) 變成正比變成正比 G稱為材料的剪切彈性模量。上式關(guān)系稱為稱為材料的剪切彈性模量。上式關(guān)系稱為剪切剪切 胡克定律胡克定律。 G 剪切彈性模量剪切彈性模量G 材料常數(shù)：拉壓彈性模量材料常數(shù)：拉壓彈性模量E 泊松比泊松比 G E 2 1 () 對于各向同性材料對于各向同性

7、材料,可以證明可以證明:E、G、 三個彈三個彈 性常數(shù)之間存在著如下關(guān)系性常數(shù)之間存在著如下關(guān)系 5-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形 一、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力一、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力 變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系 從三方面考慮：物理關(guān)系從三方面考慮：物理關(guān)系 靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系 CL5TU5 觀察到下列現(xiàn)象觀察到下列現(xiàn)象: (1)各圓周線的形狀、大小以及兩圓周線間的距各圓周線的形狀、大小以及兩圓周線間的距 離沒有變化離沒有變化 (2)縱向線仍近似為直線縱向線仍近似為直線, 但都傾斜了同一角度但都傾斜了同一角度 1.變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系 平面假設(shè)：平面假設(shè)： 變形前為

8、平面的橫截面變形后仍為平面，它變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它 像剛性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個角度。像剛性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個角度。 CL5TU5 d CL5TU5 ddx d dx 在外表面上 r x d d 根據(jù)剪切胡克定律根據(jù)剪切胡克定律, 當剪應(yīng)力不超過材料當剪應(yīng)力不超過材料 的剪切比例極限時的剪切比例極限時 G 剪應(yīng)力方向垂直于半徑剪應(yīng)力方向垂直于半徑 2. 物理關(guān)系物理關(guān)系 G x d d 3.靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系 dA dA o A ATd A G x AT d d d G x AT A d d d 2 令 IA p A 2 d則 d d x T G I p IA p

9、A 2 d極慣性矩 d d x T G I p G x d d max max T I p G T G I p T I p T Wt W I t p max 抗扭截面模量 T I T W pt max max max CL5TU9 d o IA p A 2 d 下面求極慣性矩和抗扭截面模量IW pt 2 0 2 2d d/ 2 3 0 2 d d/ 2 2 4 4 d d 4 32 W I t p max I d p 2 d 3 16 CL5TU5 IA p A 2 d 對于空心圓，外徑為 ，內(nèi)徑為Dd 2 2 2 2d d D / / ()Dd 44 32 W I t p max I D p

10、 2 D 3 4 16 1 () D 44 1 32 () 極慣性矩： 實心圓： I d p 4 32 空心圓：I DdD p () () 444 4 3232 1 抗扭截面模量： 實心圓：W d t 3 16 空心圓：W D t 3 4 16 1() 二、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形二、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 CL5TU5 d d d x T GI p dd T GI x p T GI x p l d 若，則T T l G I p const l N l E A 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件和剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件和剛度條件 強度條件： max T W t 剛度條件： d d x T GI p T GI p 1

11、80 rad m/ /m 例：實心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半例：實心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半 時，橫截面的最大剪應(yīng)力是原來的時，橫截面的最大剪應(yīng)力是原來的 倍？倍？ 圓軸的扭轉(zhuǎn)角是原來的圓軸的扭轉(zhuǎn)角是原來的 倍？倍？ max T W T d t 3 16 T l G I T l G d p 4 32 8 16 例：圖示鑄鐵圓軸受扭時，在例：圖示鑄鐵圓軸受扭時，在 面上面上 發(fā)生斷裂，其破壞是由發(fā)生斷裂，其破壞是由 應(yīng)力引起的。應(yīng)力引起的。 在圖上畫出破壞的截面。在圖上畫出破壞的截面。 CL5TU10 45 螺旋螺旋 最大拉最大拉 例：內(nèi)外徑分別為例：內(nèi)外徑分別為20mm和和40mm的

12、空心圓截的空心圓截 面軸，受扭矩面軸，受扭矩T=1kNm作用，計算橫截面上作用，計算橫截面上A 點的剪應(yīng)力及橫截面上的最大和最小剪應(yīng)力。點的剪應(yīng)力及橫截面上的最大和最小剪應(yīng)力。 CL5TU11 解：解： A A p T I 10000015 004 32 105 4 4 . . (.) 6366.MPa max T Wt 1000 004 16 105 3 4 . (.) 8488.MPa minmax . 10 20 4244MPa 例：一直徑為例：一直徑為D1的實心軸，另一內(nèi)外徑之的實心軸，另一內(nèi)外徑之 比比d2D20.8的空心軸，若兩軸橫截面上的空心軸，若兩軸橫截面上 的扭矩相同，且最大

13、剪應(yīng)力相等。求兩軸外直的扭矩相同，且最大剪應(yīng)力相等。求兩軸外直 徑之比徑之比D2/D1。 解：由解：由 T D T D 1 3 2 3 4 1616 108 (.) D D 2 1 4 3 1 108 1192 . . 得：得： 例：在強度相同的條件下，用例：在強度相同的條件下，用d/D=0.5的空心圓的空心圓 軸取代實心圓軸，可節(jié)省材料的百分比為多少軸取代實心圓軸，可節(jié)省材料的百分比為多少? 解：設(shè)實心軸的直徑為解：設(shè)實心軸的直徑為 d1 ，由，由 T d T D 1 33 4 1616 105 (.) D d1 1022 . 得：得： A A D d 空 實 2 2 1 2 4 105 4

14、 0783 (.) . 0.8 0.81.192 0.8 0.512 例：一厚度為例：一厚度為30mm、內(nèi)直徑為、內(nèi)直徑為230mm 的空的空 心圓管，承受扭矩心圓管，承受扭矩T=180 kNm 。試求管中的。試求管中的 最大剪應(yīng)力，使用：最大剪應(yīng)力，使用： (1)薄壁管的近似理論；薄壁管的近似理論； (2)精確的扭轉(zhuǎn)理論。精確的扭轉(zhuǎn)理論。 解：解：(1) 利用薄壁管的近似理論可求得利用薄壁管的近似理論可求得 max T r t2 2 max () T D 3 4 16 1 (2) 利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得 18010 029 16 1 230 290 3 3 4 .

15、622 . MPa 18010 2013003 3 2 . 565 . MPa 例：一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為例：一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為=0.5， 兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為， 若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍 保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？ （按強度計算）。（按強度計算）。 解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為d、D，面，面 積增大一倍后內(nèi)外徑分別變?yōu)榉e增大一倍后內(nèi)外徑分別變?yōu)閐1 、 D1 ， ，最 最 大許可扭矩為大許可

16、扭矩為1 由 T D T D 1 1 3 4 3 4 16 1 16 1 ()() 由得 DDD D 1 2 2 2 21 4 1052 4 1052(.)(.) 得 T T D D 11 3 3/2 22828 . 例：一空心軸例：一空心軸=d/D=0.8，轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速n=250r/m, 功率功率 N=60kW，=40MPa，求軸的外直徑，求軸的外直徑D和和 內(nèi)直徑內(nèi)直徑d。 解：解：m N n 95499549 60 250 229176.N m 由 m DD 3 4 3 4 6 16 1 229176 16 108 4010 () . (.) 得D 791 . mm ,.d 633 mm

17、例：水平面上的直角拐，例：水平面上的直角拐，AB段為圓軸，段為圓軸， 直徑為直徑為 d，在端點，在端點C受鉛垂力受鉛垂力P作用，材料的剪作用，材料的剪 切彈性模量為切彈性模量為G，不計，不計BC段變形。求段變形。求C點的鉛點的鉛 垂位移。垂位移。 CL5TU12 解：解： CVAB a P a l G I a p 32 2 4 Pa l Gd 例：已知一直徑例：已知一直徑d=50mm的鋼制圓軸在扭的鋼制圓軸在扭 轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角為 6時，軸內(nèi)最大剪應(yīng)力等于時，軸內(nèi)最大剪應(yīng)力等于90MPa， G=80GPa。求該軸長度。求該軸長度。 解：解： T l G I p ( ) 1 max ( ) T Wt

18、2 ( ) ( ) 1 2 得：l G I W p t max 6 180 8010005 90102 9 6 . 233.m 例：圓截面橡膠棒的直徑例：圓截面橡膠棒的直徑d=40mm,受扭后受扭后,原來原來 表面上的圓周線和縱向線間夾角由表面上的圓周線和縱向線間夾角由 90變?yōu)樽優(yōu)?88。如桿長。如桿長 l=300mm，試求兩端截面間的扭，試求兩端截面間的扭 轉(zhuǎn)角；如果材料的剪變模量轉(zhuǎn)角；如果材料的剪變模量G=2.7MPa，試求桿，試求桿 橫截面上最大剪應(yīng)力和桿端的外力偶矩。橫截面上最大剪應(yīng)力和桿端的外力偶矩。 CL5TU13 解：由解：由 l d 2 得l d 2 2300 2 40 30

19、 max G 272 180 . 009425.MPa mWt max 00942510 004 16 6 3 . . 118.N m 例：傳動軸傳遞外力偶矩例：傳動軸傳遞外力偶矩5kNm,材材 料的料的=30MPa, G=80GPa, =0.5/m,試選試選 擇軸的直徑。擇軸的直徑。 解：解：由 5000 16 3010 3 6 d 得d 947 . mm 由 5000 8010 32 180 05 9 4 d . 得 d 924 . mm 例：一圓鋼管套在一實心圓鋼軸上，長度均例：一圓鋼管套在一實心圓鋼軸上，長度均 為，鋼管與鋼軸材料相同，先在實心圓軸兩為，鋼管與鋼軸材料相同，先在實心圓軸

20、兩 端加外力偶矩，使軸受扭后，在兩端把管與端加外力偶矩，使軸受扭后，在兩端把管與 軸焊起來，去掉外力偶矩。求此外管與內(nèi)軸的軸焊起來，去掉外力偶矩。求此外管與內(nèi)軸的 最大剪應(yīng)力。最大剪應(yīng)力。 CL5TU14 解：外管與內(nèi)軸承受的扭矩相等，設(shè)為解：外管與內(nèi)軸承受的扭矩相等，設(shè)為T m m l G I p內(nèi) T l G I T l G I pp內(nèi)外 例：兩端固定的圓截面等直桿例：兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面，在截面 C受外力偶矩受外力偶矩m作用，試求桿兩端的支座反力作用，試求桿兩端的支座反力 偶矩。偶矩。 CL5TU15 解：解： mmm AB 靜力平衡方程為：靜力平衡方程為： ABACCB

21、0 變形協(xié)調(diào)條件為：變形協(xié)調(diào)條件為： ma G I mb G I A p B p 0 即：即： 作業(yè)：（作業(yè)：（P68-71） 3、4、6、8、10、11、17、19 5-6 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念 圓截面桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形公式圓截面桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形公式,均建立均建立 在在平面假設(shè)平面假設(shè) 的基礎(chǔ)上。的基礎(chǔ)上。 對于非圓截面桿對于非圓截面桿,受扭時橫截面不再保持受扭時橫截面不再保持 為平面，桿的橫截面已由原來的平面變成了曲為平面，桿的橫截面已由原來的平面變成了曲 面。這一現(xiàn)象稱為截面翹曲。面。這一現(xiàn)象稱為截面翹曲。 因此因此,圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力、變形公式對非圓圓軸扭轉(zhuǎn)時的

22、應(yīng)力、變形公式對非圓 截面桿均不適用。截面桿均不適用。 CL5TU20 非圓截面桿在扭轉(zhuǎn)時有兩種情形非圓截面桿在扭轉(zhuǎn)時有兩種情形: CL5TU21 1.自由扭轉(zhuǎn)或純扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)或純扭轉(zhuǎn) 在扭轉(zhuǎn)過程中在扭轉(zhuǎn)過程中,桿的各橫截面的翹曲不受任何約桿的各橫截面的翹曲不受任何約 束束,任意兩相鄰橫截面的翹曲程度完全相同。此任意兩相鄰橫截面的翹曲程度完全相同。此 時橫截面只有剪應(yīng)力時橫截面只有剪應(yīng)力,而沒有正應(yīng)力。而沒有正應(yīng)力。 2.約束扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn) 扭轉(zhuǎn)時扭轉(zhuǎn)時,由于桿的端部支座的約束由于桿的端部支座的約束,使桿件截面使桿件截面 翹曲受到一定限制翹曲受到一定限制,而引起任意兩相鄰橫截面而引起任意兩相鄰橫截面 的翹曲程度不同的翹曲程度不同,將在