計算機圖形學(xué) 8、投影

1、7.4 投影變換 現(xiàn)實世界是三維的，顯示器、繪圖紙、照 片都是二維的。 如同二維照片能夠表現(xiàn)三維世界一樣，在 顯示器、繪圖紙上也能表現(xiàn)三維世界。 三維形體是通過投影表現(xiàn)在二維平面上。 三維形體的表示方法 三維形體的表示方法：線框模型、表面模 型和實體模型。 線框模型：以一組或幾組輪廓線來表示形 體。它是實體的高度抽象，容易表現(xiàn)實體 的拓撲結(jié)構(gòu)。 三維形體的表示方法 表面模型：由形體表面來表示形體。形體 的表面有法向，有紋理；面與面之間存在 遮擋關(guān)系。是三維城市模型中常用的方式。 實體模型：用形體各種組成物體實際占據(jù) 的空間位置，以及材料、質(zhì)量、重心等物 理屬性來表示形體。在醫(yī)學(xué)研究中常用。 平

2、面幾何投影 投影的實質(zhì)是將一個n維的空間點變成一個小于n維 的空間點 投影的直觀方式是照相原理。 可以想象，一個空間物體的投影與三個因素有關(guān)： 1、空間物體的位置， 2、觀察點的位置或投影方向， 3、投影面的位置。 平面幾何投影 在平面幾何投影，投影面為平面。 幾個概念： 投影中心：觀察點； 物點：空間物體上的任意一點； 投影線：投影中心與物點的空間連接直線； 投影平面：投影成像的平面； 像點：投影線與投影平面的交點就是物點的像。 平面幾何投影分類 平面幾何投影分為透視投影和平行投影。 當(dāng)投影中心到投影平面的距離有限時，就是透視 投影；當(dāng)投影中心距離投影平面無窮遠時，所有 的投影線彼此平行，為

3、平行投影。太陽光照射形 成的投影就是平行投影。 透視投影可分為：一點透視，二點透視，三點透 視。 平行投影可分為：正投影，斜投影等。 透視投影（1） 不平行于投影面的平行線，經(jīng)過透視投影之后交 會于一點，稱為滅點。滅點交會于無窮遠點處。 主滅點。 透視投影按照主滅點數(shù)分為一點透視，二點透視， 三點透視。 滅點理論可用于根據(jù)二維圖像重建三維立體模型。 一點透視，二點透視，三點透視給出不同的空間 信息，具有不同的空間表現(xiàn)力。 透視投影（2） 透視圖的形成取決于投影平面與空間物體之間的 相對關(guān)系。 攝像時應(yīng)根據(jù)要表現(xiàn)的內(nèi)容選擇適當(dāng)?shù)慕嵌龋纬刹煌?效果的透視圖。 AB CD AB C D AB C

4、D 一點透視：投影平面 平行于平面ABCD 二點透視：投影平面 平行于直線AB、CD 三點透視：投影平面與立 方體三個方向都不平行 平行投影 正投影：投影線垂直于投影面。 常見的正投影有正射影像和三視圖。 正射影像常用于地圖制作，三視圖常用于 工程制圖中。 平行投影 根據(jù)投影平面的位置不同，形成的平行投 影又分為正軸側(cè)，等軸側(cè)，正二側(cè)，正三 側(cè)等。 斜投影：投影線不垂直于投影面。 投影變換 任何種類的投影，要顯示出來就必須首先 計算在投影平面上的坐標。 在坐標系oxyz中討論投影。 假設(shè)投影平面為z=0，投影中心為 C(xc,yc,zc)，物點為Q(x,y,z)，在投影平 面z=0上的像點為P

5、(xp,yp,0)。 顯然， C，Q，P 三點在同一空間直線上 透視投影變換 我們知道，過空間兩點 (x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)的空 間直線方程為 X y z C P Q 12 1 12 1 12 1 zz zz yy yy xx xx 由于P(xp,yp,0)為空間 直線CQ 上的點，所以 滿足方程： 0 c c c cp c cp zz z yy yy xx xx 整理得透視投影計算 公式： ) ( zz z xxxx c c ccp ) ( zz z yyyy c c ccp （8-1） 平行投影變換 過空間物點Q(x,y,z)，沿投影方向(xd,yd,zd)作一 空間直線

6、，直線與投影平面z=0的交點就是投影點 P(xp,yp,0)。 投影線的空間直線方程為 將P(xp,yp,0)代入，整理得平行投影計算公式： ddd z zz y yy x xx z z x xx d d p z z y yy d d p （8-2） 任意投影平面的投影 在很多情況下，都會對投影平面的位置作出要求， 將投影平面限制在z=0平面，不能滿足這些要求。 在坐標系oxyz中，當(dāng)投影平面為任意平面時，可 以在投影平面上作輔助坐標系oxyz使投影平面 為z=0平面。 在進行投影前，將空間物體從坐標系oxyz中變換 到坐標系oxyz中，然后就可以按照前述的投影 平面為z=0平面的方式進行投影

7、變換。 關(guān)鍵是找出從坐標系oxyz中變換到坐標系oxyz 的變換關(guān)系。 oxyz坐標系的確定 坐標系oxyz的確定不是任意的。一般為了 后續(xù)的圖形裁剪與顯示的方便，要求x、y 軸分別平行于裁剪窗口的兩條邊， oxyz 坐標原點位于裁剪窗口的左下角。 一般，應(yīng)給出一個空間點o(x0,y0,z0)和一個 法線方向(a31,a32,a33)，以確定投影平面。 則投影平面就是過空間點o、法線方向為 (a31,a32,a33)的一個空間平面。 oxyz坐標系的確定 裁剪窗口位于投影平面中，裁剪窗口水平 邊方向由單位矢量(a11,a12,a13)確定，垂直 邊方向由單位矢量(a21,a22,a23)確定。

8、 oxyz坐標系可以這樣確定：原點為 o(x0,y0,z0)，x軸方向為(a11,a12,a13)，y軸 方向為(a21,a22,a23)， z軸方向為 (a31,a32,a33)。 從oxyz到oxyz的變換關(guān)系 根據(jù)線性代數(shù)理論，如果一個輔助坐標系的坐標單位向量和 原點已知，則由原坐標系變換到輔助坐標系的變換公式為： 332313 322212 312111 000 aaa aaa aaa zzyyxxzyx 用齊次坐標表示為： 1000 0 0 0 1 0100 0010 0001 11 332313 322212 312111 000 aaa aaa aaa zyx zyxzyx （8

9、-3） 任意投影平面的透視投影變換 首先運用8-3式，再運用8-1式，就完成了任意投影 平面的透視投影變換。希望用一個矩陣來表示這個 變換。 式8-1不是線性的，無法用矩陣來表示。 8-1式變換成線性關(guān)系： ) () ( ) ( ccccpcq zxxzzxxzzx ) () ( ) ( ccccpcq zyyzzyyzzy 用矩陣表示： 00 1 00 00 1 c cc c c qq z yx z z zyxqyx （8-4） 任意投影平面的透視投影變換 聯(lián)合式8-3和式8-4，得到透視投影變換： (xq,yq)不是投影點，作如下計算得到投影點： 00 1 00 00 1000 0 0 0

10、 1 0100 0010 0001 1 332313 322212 312111 000c cc c c qq z yx z z aaa aaa aaa zyx zyxqyx （8-5） 用式8-5進行實際投影計算前，為了減少計算量，應(yīng)該先合并矩陣 qxx qp / qyy qp / （8-6） 342414 332313 322212 312111 1 bbb bbb bbb bbb zyxqyx qq （8-7） 要注意的是，觀測點坐標 (xc,yc,zc)是在輔助坐標系 oxyz中的坐標。如果實際問 題中給出的是oxyz中的坐標 (xc,yc,zc) ，應(yīng)該用式8-3將其 轉(zhuǎn)變成為輔助坐

11、標系的坐標 任意投影平面的平行投影變換 將式8-2用矩陣表示 100 0 010 001 11 d d d d pp z y z xzyxyx 與式8-3聯(lián)合，并合并矩陣 342414 332313 322212 312111 11 bbb bbb bbb bbb zyxyx pp 100 0 010 001 1000 0 0 0 1 0100 0010 0001 11 332313 322212 312111 000 d d d d pp z y z x aaa aaa aaa zyx zyxyx 觀察坐標系下的一點透視 三維場景漫游，視點（攝像機，照相 機）在場景中移動，場景在二維感光 面

12、成二維圖像，其隨視點空間位置發(fā) 生變換。 為了方便求出場景的二維圖像，建立 觀察坐標系。 觀察坐標系下的一點透視 什么是觀察坐標系 是一個原點在投影中心（視點）的左手直角坐標系 View Reference Coordinate或VRC 照相機所在的坐標系 為什么要采用觀察坐標系 便于用戶選擇好的視點 適應(yīng)觀察時要求物體不動而視點動的應(yīng)用需求 簡化和加速投影變換 投影平面：Z=d 投影中心： (0，0，0) 生活中的類比-移動舞臺還是移動攝像機 移動舞臺 投影（攝像）簡單 移動難度大 移動攝像機 移動容易 投影復(fù)雜 采用觀察坐標系，投影簡單采用觀察坐標系，投影簡單 如何建立觀察坐標系 坐標原點

13、-聚焦參考點在底片（投影平面）上的投影， 稱為觀察參考點VRP（View Reference Point) z軸-照相機鏡頭方向（投影平面的法向，VPN） y軸-照相機向上的方向（觀察正向） x軸-與y、z軸垂直的方向 X y z C P Q 普通透視投影， 投影平面z=0 y x z C Q P d 觀察坐標系 投影平面z=d 視點C(0,0,0) 模型點Q(x,y,z) 投影點P(xp,yp,d) 觀察坐標系下透視投影公式的推導(dǎo) n過空間兩點(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)的空間直線方程為 投影點P(xp,yp,zp)滿足直線方程，其中zp =d qqp qqp zydy zxd

14、x / / 12 1 12 1 12 1 zz zz yy yy xx xx n過空間兩點C(0,0,0)、Q(xq,yq,zq)的空間直線方程為 qqq z z y y x x （8-8） 如何從用戶坐標系到觀察坐標系 1000 0 0 0 1 0100 0010 0001 11 332313 322212 312111 000 aaa aaa aaa zyx zyxzyx x y z x y z 式（8-8）中的物點Q的坐 標是在觀察坐標系的坐標， 模型一般采用用戶坐標系 需要將三維模型從用戶坐 標系變換到觀察坐標系 如何從用戶坐標系到觀察坐標系 1000 0 0 0 1 0100 001

15、0 0001 11 332313 322212 312111 000 aaa aaa aaa zyx zyxzyx x y z x y z X軸在坐 標系Oxyz 中的單位 向量 如何從用戶坐標系到觀察坐標系 1000 0 0 0 1 0100 0010 0001 11 332313 322212 312111 000 aaa aaa aaa zyx zyxzyx x y z x y z Y軸在坐 標系Oxyz 中的單位 向量 如何從用戶坐標系到觀察坐標系 1000 0 0 0 1 0100 0010 0001 11 332313 322212 312111 000 aaa aaa aaa z

16、yx zyxzyx x y z x y z Z軸在坐 標系Oxyz 中的單位 向量 如何從用戶坐標系到觀察坐標系 由照相機的位置、姿態(tài)可以求出上述參數(shù) 場景漫游：投影計算簡單，模型變換計算 量大，且隨著照相機的漫游，模型變換關(guān) 系不斷變化，需要不斷計算。 四、投影空間 相對于二維的窗口概念，三維的投影窗口稱為投影 空間。 投影空間是這樣的一個三維空間，在該空間中的任 何物體經(jīng)過投影后，都將落在二維窗口中。 投影空間的作用是在三維空間進行物體的三維裁剪， 三維空間的物體經(jīng)過裁剪后，只有位于投影空間內(nèi) 的物體得以保留，經(jīng)過投影后，它們?nèi)课挥诙S 窗口內(nèi)。 投影空間的使用可以大幅度減少場景中物點Q

17、的數(shù) 量，減少投影計算量。 投影空間 透視投影空間： 四棱臺體 平行投影空間： 四棱柱體 參數(shù)作用 投影中心Oe(xe,ye,ze)改變投影中心坐標即從不同角度觀察物體 投影平面法向VPN(xn,yn,zn)一般為觀察坐標的Z軸 觀察右向PREF (xp,yp,zp)確定觀察坐標系的Xe軸 觀察點到前截面和后截面的距 離FD、BD 用來控制四棱臺裁剪空間的長度和位置 觀察點到投影平面的距離VD 用來控制投影圖的大小，VD小，投影小， VD大，則投影大。一般VD0。 窗口中Ow(wcu,wcv)及窗口半邊 長WSU、WSV 這是在投影平面上定義的窗口的位置和大小 透視投影空間的定義（如下頁圖示）

18、 有限觀察空間亦稱視見體或裁剪空間 參數(shù)作用 觀察參考點VRP(xr,yr,zr) 投影平面法向NORM(xn,yn,zn)一般為觀察坐標的Z軸 觀察右向PREF (xp,yp,zp)確定觀察坐標系的Xe軸 觀察點到前截面和后截面的距 離FD、BD 用來控制四棱柱裁剪空間的長度和位置 窗口中Ow(wcu,wcv)及窗口半邊 長WSU、WSV 這是在投影平面上定義的窗口的位置和大小 平行投影空間的定義 五、規(guī)格化的裁剪空間和圖象空間 任意的透視投影，其投影空間為斜四棱臺 任意的平行投影，其投影空間為斜四棱柱 斜四棱臺、斜四棱柱面方程表示不規(guī)范，求 交、裁剪的效率不高 將斜四棱臺規(guī)格化為正四棱臺，

19、斜四棱柱規(guī) 格化為正四棱柱十分必要 五、規(guī)格化的裁剪空間和圖象空間 1、透視投影裁剪空間的規(guī)格化 2、平行投影裁剪空間的規(guī)格化 3、規(guī)格化的圖象空間 1、透視投影裁剪空間的規(guī)格化 規(guī)范視見體 四棱臺 1, 1, 1 1, 1 min zzz yy xx x, y z -zo 平移（x0,y0,z0) 錯切（shx,shy) 縮放（sx,sy,sz) 2、平行投影裁剪空間的規(guī)格化 規(guī)范視見體 半立方體 優(yōu)勢：正投影，投影結(jié)果容易得到 1, 0 1, 1 1, 1 zz yy xx o x,y z 平移（x0,y0) 平移（z0) 錯切（shx,shy) 縮放（sx,sy,sz) 為什么引入規(guī)范視

20、見體 簡化投影 簡化裁剪 規(guī)范化變換 將任意視見體變換成規(guī)范視見體的變換 規(guī)范投影坐標（三維屏幕坐標 ） 經(jīng)規(guī)范化的觀察坐標系 3、規(guī)格化的圖象空間 透視投影的規(guī)范視見體對于三維物體的裁剪并不 方便 透視投影的投影方式比平行投影復(fù)雜變換為平行 投影的規(guī)范視見體 將透視投影的規(guī)范視見體轉(zhuǎn)化為平行投影的規(guī)范 視見體，既方便三維物體的裁剪，又統(tǒng)一了投影 方式 將透視投影轉(zhuǎn)化為平行投影，透視投影的規(guī)范視 見體轉(zhuǎn)化為平行投影的規(guī)范視見體，這個轉(zhuǎn)化而 來的平行投影的規(guī)范視見體就是規(guī)格化的圖象空間 3、規(guī)格化的圖象空間 以A為基點做X、Y方向上的 錯切變換，使前裁剪面與后 裁剪面同樣大小 以A為基點做Z方向上的縮放 變換，使前裁剪面與Z=0平 面重合 優(yōu)勢 關(guān)于長方體的裁剪較關(guān)于正四 棱臺的裁剪簡單。