2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)專題5.3平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用（講）（含解析）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第03講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 -講1。理解平面向量數(shù)量積的概念及其意義，了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.2.掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握數(shù)量積與兩個(gè)向量的夾角之間的關(guān)系.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的平行與垂直.4.高考預(yù)測(cè)：（1）以考查向量的數(shù)量積、夾角、模、垂直的條件等問(wèn)題為主，基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下； （2）同三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)5.備考重點(diǎn):(1）理解數(shù)量積的概念是基礎(chǔ)，掌握數(shù)量積的兩種運(yùn)算的方法是關(guān)鍵;（2）解答與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等交匯問(wèn)題時(shí)，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)

2、系，利用坐標(biāo)運(yùn)算解題.知識(shí)點(diǎn)1平面向量的數(shù)量積一、兩個(gè)向量的夾角1定義已知兩個(gè)非零向量a和b，作a,b，則aob叫做向量a與b的夾角2范圍向量夾角的范圍是0180a與b同向時(shí)，夾角0；a與b反向時(shí)，夾角180.3向量垂直如果向量a與b的夾角是90,則a與b垂直,記作ab.二、平面向量的數(shù)量積1已知兩個(gè)非零向量a與b,則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積,記作ab，即aba|bcos ，其中是a與b的夾角規(guī)定0a0。當(dāng)ab時(shí)，90，這時(shí)ab0。2ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度a|與b在a的方向上的投影bcos 的乘積三、數(shù)量積的運(yùn)算律1交換律:abba.2分配律：(ab)cacbc

3、。3對(duì)r,（ab)(a)ba（b)【典例1】（2018天津高考真題（文)）在如圖的平面圖形中，已知，則的值為a bc d0【答案】c【解析】如圖所示，連結(jié)mn,由可知點(diǎn)分別為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則,由題意可知：，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則可得：.本題選擇c選項(xiàng).【總結(jié)提升】計(jì)算向量數(shù)量積的三種常用方法(1)定義法:已知向量的模與夾角時(shí)，可直接使用數(shù)量積的定義求解,即ab|a|b|cos(是a與b的夾角)(2)基向量法（利用數(shù)量積的幾何意義）：計(jì)算由基底表示的向量的數(shù)量積時(shí)，應(yīng)用相應(yīng)運(yùn)算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積,進(jìn)而求解（3)坐標(biāo)法:若向量選擇坐標(biāo)形式，則向量的數(shù)量積可應(yīng)用坐標(biāo)的運(yùn)算形式進(jìn)行求

4、解【變式1】(2019山西省靜樂(lè)縣第一中學(xué)高三月考）在中，則在方向上的投影為( ）a4b3c-4d5【答案】c【解析】對(duì)等式兩邊平方得，,整理得，則,，設(shè)向量與的夾角為，所以，在方向上的投影為，故選：c.知識(shí)點(diǎn)2平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算一、向量數(shù)量積的性質(zhì)1如果e是單位向量，則aeea.2abab0.3aaa|2，。4cos .(為a與b的夾角）5ab|a|b。二、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a(a1,a2)，b(b1，b2)，則:1aba1b1a2b2.2aba1b1a2b20。3a。4cos.(為a與b的夾角）【典例2】(2018浙江高考真題）已知a，b,e是平面向量,e是單位向量若非零向量a與

5、e的夾角為，向量b滿足b24eb+3=0,則|ab的最小值是（ ）a b c2 d【答案】a【解析】設(shè)，則由得,由得因此的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選a。【思路點(diǎn)撥】先確定向量所表示的點(diǎn)的軌跡，一個(gè)為直線,一個(gè)為圓，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求最小值.【變式2】（2019浙江高三期末）若向量滿足,且，則的最小值是_.【答案】【解析】設(shè)，由可知，所以點(diǎn)c在以ab為直徑的圓上；設(shè)，,則,而表示點(diǎn)o到以ab為直徑的圓上任一點(diǎn)的距離,所以最大值即是點(diǎn)o到圓心e的距離加半徑,即，所以，即最小值為2.故答案為2.考點(diǎn)1 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【典例3】（2018全國(guó)高考真題（理）)已知向量，滿足，

6、則( ）a4 b3 c2 d0【答案】b【解析】因?yàn)樗赃xb.【總結(jié)提升】已知向量a，b的模及夾角,利用公式aba|bcos求解；對(duì)于向量數(shù)量積與線性運(yùn)算的綜合運(yùn)算問(wèn)題，可先利用數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)，再進(jìn)行運(yùn)算 【變式3】已知向量,則在方向上的投影為（ ）a、 b、 c、 d、【答案】d【解析】因?yàn)?，所以，則，則在方向上的投影既是在方向上的投影為.考點(diǎn)2 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【典例4】(2019成都模擬）已知菱形abcd邊長(zhǎng)為2,b，點(diǎn)p滿足，r，若3，則的值為（）a. b c。 d【答案】a【解析】法一:由題意可得22cos2,（)（)（)(）(）（1)（1）2（1）2（1)422（1）4

7、63,，故選a.法二:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則b(2,0)，c（1，)，d(1，）令p(x，0)，由(3,)（x1,）3x333x3得x1.，。故選a.【方法總結(jié)】1。已知向量a,b的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解設(shè)a(a1，a2），b(b1，b2），則aba1b1a2b2.2.通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系,利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式計(jì)算.【變式4】（2019天津高考模擬（理）如圖梯形，且，在線段上，則的最小值為( )abcd【答案】b【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，因此,因此,設(shè)所以當(dāng)時(shí)，最小值為選b?？键c(diǎn)3 平面向量的夾角問(wèn)題【典例5】(2019全國(guó)高考真題（理）已

8、知為單位向量，且=0，若，則_?！敬鸢浮?【解析】因?yàn)?，所以，,所以，所以【總結(jié)提升】向量夾角問(wèn)題的解答方法：（1）當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí),求a與b的夾角,需求出ab及|a|，|b或得出它們之間的關(guān)系；(2)若已知a（x1,y1)與b(x2，y2）,則cosa，b。提醒：a，b0，【變式5】（2018四川高考模擬（理）已知向量，滿足，若與的夾角為，則m的值為a2 b c1 d【答案】a【解析】，又，,即， 得或（舍去），故的值為2,故選a.考點(diǎn)4 平面向量的模的問(wèn)題【典例6】（2019浙江高考模擬)已知平面向量不共線,且，記與 的夾角是，則最大時(shí)，（ ）abcd【答案】c【解析】設(shè)，則，所以

9、。易得,，當(dāng)時(shí)，取得最小值，取得最大值,此時(shí)。故選c.【規(guī)律方法】平面向量模問(wèn)題的類型及求解方法（1)求向量模的常用方法若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永霉絴a|。若向量a,b是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的模可應(yīng)用公式|a2a2aa,或|ab2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方,再通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算求解（2)求向量模的最值（范圍）的方法代數(shù)法:把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解幾何法(數(shù)形結(jié)合法)：弄清所求的模表示的幾何意義,結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解（3）利用向量夾角公式、模公式，可將有關(guān)角度問(wèn)題、線段長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來(lái)解決【變式6】（20

10、18浙江高考模擬）已知向量,滿足，則的最小值是a1 b2 c3 d4【答案】a【解析】因?yàn)椋?由絕對(duì)值向量三角不等式得：=1，故選a.考點(diǎn)5 平面向量垂直的條件【典例7】（2018年文北京卷）設(shè)向量a=（1，0),b=(1，m），若，則m=_.【答案】【總結(jié)提升】平面向量垂直問(wèn)題的類型及求解方法(1）判斷兩向量垂直第一，計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；第二，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可(2）已知兩向量垂直求參數(shù)根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)【變式7】（浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)2018年5月高三模擬）已知平面向量, 滿足,若，則的最小值為_【答案】?！窘馕觥吭O(shè)a（x,y）,b(5，0