圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線知識點總結(jié)例題習(xí)題精講

1、橢圓一、橢圓的定義1、橢圓的第一定義：平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù) ，這個動點的軌跡叫橢圓。這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距。注意：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形。二、橢圓的方程1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（端點為a、b，焦點為c）（1）當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；（2）當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2、兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1三、橢圓的性質(zhì)（以為例）1、對稱性：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形；并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。2、范圍：橢圓上所有的點

2、都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標(biāo)滿足，。3、頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。橢圓與坐標(biāo)軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標(biāo)分別為，。 線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。4、離心率： 橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。 因為，所以的取值范圍是。越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓。 當(dāng)且僅當(dāng)時，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。 離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關(guān)，與其所處的位置無關(guān)。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）： 5、

3、橢圓的第二定義：平面內(nèi)與一個定點（焦點）和一條定直線（準(zhǔn)線）的距離的比為常數(shù)e，（0e1）的點的軌跡為橢圓（）。即：到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離的比為離心率的點所構(gòu)成的圖形，也即上圖中有。焦點在x軸上：（ab0）準(zhǔn)線方程：焦點在y軸上：（ab0）準(zhǔn)線方程：6、橢圓的內(nèi)外部需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識點總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答)” 或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】”（1）點在橢圓的內(nèi)部（2）點在橢圓的外部四、橢圓的兩個標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)焦點，焦距范圍，對稱性關(guān)于軸、軸和原點對稱頂點，軸長長軸長=，短軸長=離心

4、率準(zhǔn)線方程焦半徑，五、其他結(jié)論需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識點總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答)” 或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】”1、若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是2、若在橢圓外 ，則過po作橢圓的兩條切線切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是3、橢圓 (ab0)的左右焦點分別為f1，f 2，點p為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為4、橢圓（ab0）的焦半徑公式：,( , )5、設(shè)過橢圓焦點f作直線與橢圓相交 p、q兩點，a為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)ap 和aq分別交相應(yīng)于焦點f的橢圓準(zhǔn)線于m、n兩點，則mfnf

5、。6、過橢圓一個焦點f的直線與橢圓交于兩點p、q, a1、a2為橢圓長軸上的頂點，a1p和a2q交于點m，a2p和a1q交于點n，則mfnf。7、ab是橢圓的不平行于對稱軸的弦，m為ab的中點，則，即。8、若在橢圓內(nèi)，則被po所平分的中點弦的方程是9、若在橢圓內(nèi)，則過po的弦中點的軌跡方程是雙曲線一、雙曲線的定義1、第一定義：到兩個定點f1與f2的距離之差的絕對值等于定長（|f1f2|）的點的軌跡（為常數(shù)）。這兩個定點叫雙曲線的焦點。 要注意兩點：（1）距離之差的絕對值。（2）2a|f1f2|。 當(dāng)|mf1|mf2|=2a時，曲線僅表示焦點f2所對應(yīng)的一支； 當(dāng)|mf1|mf2|=2a時，曲線

6、僅表示焦點f1所對應(yīng)的一支； 當(dāng)2a=|f1f2|時，軌跡是一直線上以f1、f2為端點向外的兩條射線；當(dāng)2a|f1f2|時，動點軌跡不存在。2、第二定義：動點到一定點f的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e1)時，這個動點的軌跡是雙曲線。這定點叫做雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準(zhǔn)線。二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（，其中|=2c）需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識點總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答)” 或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】”三、點與雙曲線的位置關(guān)系，直線與雙曲線的位置關(guān)系1、點與雙曲線2、直線與雙曲線四、雙曲線與漸近線的關(guān)系

7、五、雙曲線與切線方程六、雙曲線的性質(zhì)七、 弦長公式1、若直線與圓錐曲線相交于兩點a、b，且分別為a、b的橫坐標(biāo)，則，若分別為a、b的縱坐標(biāo)，則。2、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于a、b兩點，則弦長。3、若弦ab所在直線方程設(shè)為，則。4、特別地，焦點弦的弦長的計算是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解八、焦半徑公式九、等軸雙曲線十、共軛雙曲線拋物線一、拋物線的概念平面內(nèi)與一定點f和一條定直線l (l不經(jīng)過點f) 距離相等的點的軌跡叫做拋物線。定點f叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。二、拋物線的性質(zhì)三、相關(guān)定義1、通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦h1

8、h2稱為通徑；通徑：|h1h2|=2p2、弦長公式：3、焦點弦：過拋物線焦點的弦，若，則(1) x0+， (2)，p2(3) 弦長,，即當(dāng)x1=x2時,通徑最短為2p(4) 若ab的傾斜角為，則=（5）+=四、點、直線與拋物線的位置關(guān)系需要詳細(xì)的拋物線的資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識點總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答)” 圓錐曲線與方程一、圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)的動點p(x,y)到一個定點f(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線的距離之比是一個常數(shù)e(e0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點f(c,0)稱為焦點，定直線稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率。當(dāng)

9、0e1時，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時，軌跡為拋物線；當(dāng)e1時，軌跡為雙曲線。 特別注意：當(dāng)時，軌跡為圓（，當(dāng)時）。二、橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)三、曲線與方程四、坐標(biāo)變換1、坐標(biāo)變換： 2、坐標(biāo)軸的平移：3、中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程【例】以拋物線的焦點為右焦點,且兩條漸近線是的雙曲線方程為_.解： 拋物線的焦點為，設(shè)雙曲線方程為，雙曲線方程為【例】雙曲線=1(bn)的兩個焦點f1、f2，p為雙曲線上一點，|op|5,|pf1|,|f1f2|,|pf2|成等比數(shù)列，則b2=_。解：設(shè)f1(c,0）、f2(c,0)、p(x,y)，則|pf1|2+|pf2|2=2(|po|2+

10、|f1o|2)2(52+c2)，即|pf1|2+|pf2|250+2c2，又|pf1|2+|pf2|2=(|pf1|pf2|)2+2|pf1|pf2|，依雙曲線定義，有|pf1|pf2|=4，依已知條件有|pf1|pf2|=|f1f2|2=4c2 16+8c250+2c2，c2,又c2=4+b2，b2，b2=1。【例】當(dāng)取何值時，直線：與橢圓相切，相交，相離？解： 代入得化簡得當(dāng)即時，直線與橢圓相切；當(dāng)，即時，直線與橢圓相交；當(dāng)，即或時，直線與橢圓相離?！纠恳阎獧E圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，它的一個焦點為f，m是橢圓上的任意點，|mf|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y

11、=x為軸的對稱點m1和m2，且|m1m2|=，試求橢圓的方程。解：|mf|max=a+c，|mf|min=ac，則(a+c)(ac)=a2c2=b2，b2=4，設(shè)橢圓方程為設(shè)過m1和m2的直線方程為y=x+m將代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0設(shè)m1(x1，y1)、m2(x2，y2)，m1m2的中點為(x0，y0)，則x0= (x1+x2)=，y0=x0+m=。代入y=x，得，由于a24，m=0，由知x1+x2=0，x1x2=，又|m1m2|=，代入x1+x2，x1x2可解a2=5，故所求橢圓方程為： =1?！纠磕硳佄锞€形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需用一

12、支柱支撐，求其中最長的支柱的長。 解：以拱頂為原點，水平線為x軸，建立坐標(biāo)系，如圖，由題意知，|ab|=20，|om|=4，a、b坐標(biāo)分別為(10，4）、(10，4）設(shè)拋物線方程為x2=2py，將a點坐標(biāo)代入，得100=2p(4)，解得p=12。5，于是拋物線方程為x2=25y。由題意知e點坐標(biāo)為(2，4)，e點橫坐標(biāo)也為2，將2代入得y=0。16，從而|ee|=(0.16)(4)=3.84。故最長支柱長應(yīng)為3.84米。【例】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點o，焦點在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于p和q，且opoq，|pq|=，求橢圓方程。解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0，n0)，p(x1

13、，y1)，q(x2，y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0，=4n24(m+n)(n1)0，即m+nmn0，由opoq，所以x1x2+y1y2=0，即2x1x2+(x1+x2)+1=0，+1=0，m+n=2又22，將m+n=2，代入得mn=由、式得m=，n=或m=，n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1。【例】已知圓c1的方程為，橢圓c2的方程為，c2的離心率為，如果c1與c2相交于a、b兩點，且線段ab恰為圓c1的直徑，求直線ab的方程和橢圓c2的方程。解：由設(shè)橢圓方程為設(shè) 又 兩式相減，得 又即將由得解得 故所有橢圓方程【例】過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心

14、率為的橢圓c相交于a、b兩點，直線y=x過線段ab的中點，同時橢圓c上存在一點與右焦點關(guān)于直線l對稱，試求直線l與橢圓c的方程。解法一：由e=，得，從而a2=2b2，c=b。設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2，a(x1，y1)，b(x2，y2)在橢圓上。則x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0，設(shè)ab中點為(x0，y0)，則kab=，又(x0，y0)在直線y=x上，y0=x0，于是=1，kab=1，設(shè)l的方程為y=x+1。右焦點(b，0)關(guān)于l的對稱點設(shè)為(x，y)，由點(1，1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2，b2=。所

15、求橢圓c的方程為 =1，l的方程為y=x+1。解法二：由e=，從而a2=2b2，c=b。設(shè)橢圓c的方程為x2+2y2=2b2，l的方程為y=k(x1)，將l的方程代入c的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0，則x1+x2=，y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=。直線l：y=x過ab的中點()，則，解得k=0，或k=1。若k=0，則l的方程為y=0，焦點f(c，0)關(guān)于直線l的對稱點就是f點本身，不能在橢圓c上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1)，即y=x+1，以下同解法一。解法三：設(shè)橢圓方程為直線不平行于y軸，否則ab中點在x軸上與

16、直線中點矛盾。故可設(shè)直線， ，則， 所以所求的橢圓方程為：【例】如圖，已知p1op2的面積為，p為線段p1p2的一個三等分點，求以直線op1、op2為漸近線且過點p的離心率為的雙曲線方程。解：以o為原點，p1op2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)雙曲線方程為=1(a0，b0)，由e2=，得。兩漸近線op1、op2方程分別為y=x和y=x設(shè)點p1(x1， x1)，p2(x2，x2)(x10，x20)，則由點p分所成的比=2，得p點坐標(biāo)為()，又點p在雙曲線=1上，所以=1，即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4，b2=9。

17、 故雙曲線方程為=1?！纠窟^橢圓c：上一動點p引圓o：x2 +y2 =b2的兩條切線pa、pb，a、b為切點，直線ab與x軸，y軸分別交于m、n兩點。(1) 已知p點坐標(biāo)為(x0，y0 )并且x0y00，試求直線ab方程；(2) 若橢圓的短軸長為8，并且，求橢圓c的方程；(3) 橢圓c上是否存在點p，由p向圓o所引兩條切線互相垂直？若存在，請求出存在的條件；若不存在，請說明理由。解：(1)設(shè)a(x1，y1)，b(x2， y2) 切線pa：，pb：p點在切線pa、pb上，直線ab的方程為(2)在直線ab方程中，令y=0，則m(，0)；令x=0，則n(0，) 2b=8 b=4 代入得a2 =25

18、， b2 =16橢圓c方程： (3) 假設(shè)存在點p(x0，y0)滿足papb，連接oa、ob由|pa|=|pb|知，四邊形paob為正方形，|op|=|oa| 又p點在橢圓c上 由知x ab0 a2 b20(1)當(dāng)a22b20，即ab時，橢圓c上存在點，由p點向圓所引兩切線互相垂直；(2)當(dāng)a22b20，即ba0）過m（2，） ，n(,1)兩點，o為坐標(biāo)原點，（i）求橢圓e的方程；（ii）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|ab |的取值范圍，若不存在說明理由?？键c：本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系。解：（1）因為橢圓e: （a,b0）過m（2，） ，n(,1)兩點,所以解得所