第3章 機(jī)械能和功

1、2021-7-21 第第3章章 機(jī)械能和功機(jī)械能和功 3.1 動(dòng)能和動(dòng)能定理動(dòng)能和動(dòng)能定理 3.2 保守力做功與勢能保守力做功與勢能 3.3 功能原理功能原理 能量守恒定律能量守恒定律 力和物體運(yùn)動(dòng)的力和物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)關(guān)系瞬時(shí)關(guān)系 力和物體運(yùn)動(dòng)力和物體運(yùn)動(dòng)過程間的關(guān)系過程間的關(guān)系 注注： ：3.2.3 由勢能函數(shù)確定保守力場（由勢能函數(shù)確定保守力場（不要求不要求） 2021-7-22 第第3章章 機(jī)械能和功機(jī)械能和功 3.1 動(dòng)能和動(dòng)能定理動(dòng)能和動(dòng)能定理 3.1.1 保守力做功與勢能保守力做功與勢能 3.1.2 功能原理功能原理 能量守恒定律能量守恒定律 3.1 動(dòng)能和動(dòng)能定理動(dòng)能和動(dòng)能定理

2、F m 3.1.1 力的功力的功 力在位移方向上的分量與該位移大小的乘積。力在位移方向上的分量與該位移大小的乘積。 rFA cos F m r 1. 恒力的功恒力的功 AFr 即：即：功等于質(zhì)點(diǎn)受的力和它的位移的標(biāo)積功等于質(zhì)點(diǎn)受的力和它的位移的標(biāo)積。 （力對(duì)空間的累積效應(yīng)）（力對(duì)空間的累積效應(yīng)） 2021-7-2 2. 變力的功變力的功 2021-7-23 微積分是處理連續(xù)變化問題的工具，它的一個(gè)基本思想：微積分是處理連續(xù)變化問題的工具，它的一個(gè)基本思想： 變化當(dāng)中蘊(yùn)含著變化當(dāng)中蘊(yùn)含著“不變不變”。所謂微元分割法，就是把變。所謂微元分割法，就是把變 量所處的區(qū)間進(jìn)行無窮分割，這樣，每一個(gè)小區(qū)間

3、的變量所處的區(qū)間進(jìn)行無窮分割，這樣，每一個(gè)小區(qū)間的變 量即可視為量即可視為“恒量恒量”。再把這無窮多個(gè)小區(qū)間的。再把這無窮多個(gè)小區(qū)間的“恒量恒量” 的效果加在一起，就是積分。積分從本質(zhì)上講就是連續(xù)的效果加在一起，就是積分。積分從本質(zhì)上講就是連續(xù) 求和。求和。 3.1 動(dòng)能和動(dòng)能定理動(dòng)能和動(dòng)能定理 F m 3.1.1 力的功力的功 力在位移方向上的分量與該位移大小的乘積。力在位移方向上的分量與該位移大小的乘積。 rFA cos F m r 1. 恒力的功恒力的功 AFr 即：即：功等于質(zhì)點(diǎn)受的力和它的位移的標(biāo)積功等于質(zhì)點(diǎn)受的力和它的位移的標(biāo)積。 （力對(duì)空間的累積效應(yīng)）（力對(duì)空間的累積效應(yīng)） 20

4、21-7-2 2. 變力的功變力的功 在小在小元位移元位移上的上的元功元功（微功微功）：）： rFA dd rFrFAd)cos(cosdd rF t d F dr a b 從從ab ，力的總功為，力的總功為所有無限小段所有無限小段 元位移元位移上的上的元功之和元功之和。 b a ab rFA ddA b a t rF d Fn Ft 2021-7-24 2021-7-25 注：注：力和位移均為矢量，但功是標(biāo)量。力和位移均為矢量，但功是標(biāo)量。 功是過程量，與路徑有關(guān)。功是過程量，與路徑有關(guān)。 功有正負(fù)。功有正負(fù)。 直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中 b a ab rFA d b a b a b a z

5、z z y y y x x x zFyFxFddd )ddd()(kzj yi xkFjFiF b a zyx b a zyx zFyFxF)ddd( 3.合力的功合力的功合力的功合力的功=分力的功的代數(shù)和分力的功的代數(shù)和 4. SI制單位制單位: : 焦（焦（J ）；）；1 1J = 1 Nm 2021-7-26 5. 功率功率 （力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功） t A P （1）平均功率）平均功率 （2）（瞬時(shí)）功率（瞬時(shí)）功率 t A t A P td d lim 0 rFA dd SI制中，功率的單位制中，功率的單位:瓦（瓦（ W ）；）；1 W = 1 J/S 。 v

6、F t r FP d d 2021-7-27 3.1.2 動(dòng)能定理動(dòng)能定理（kinetic energy theorem） b a t b a ab rFrFAdd t v mmaF tt d d 由牛二律，在切線方向，由牛二律，在切線方向， 22 2 1 2 1 ab mvmv “合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量” kkakbab EEEA 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 b a ab r t v mAd d d =v 2. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 1. 動(dòng)能定義動(dòng)能定義 2 2 1 mvE k b v a v vmvd a. 動(dòng)能定理推導(dǎo)動(dòng)能

7、定理推導(dǎo) 2021-7-28 b. 分析說明：分析說明： 動(dòng)能定理本質(zhì)上是牛頓第二定律的推論，它從一動(dòng)能定理本質(zhì)上是牛頓第二定律的推論，它從一 個(gè)側(cè)面反映了質(zhì)點(diǎn)在力學(xué)過程（空間積累過程）中所服個(gè)側(cè)面反映了質(zhì)點(diǎn)在力學(xué)過程（空間積累過程）中所服 從的規(guī)律。從的規(guī)律。 動(dòng)能和物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相聯(lián)系，是狀態(tài)量；而功是動(dòng)能和物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相聯(lián)系，是狀態(tài)量；而功是 與物體在力作用下的具體運(yùn)動(dòng)過程相聯(lián)系，它一般是路與物體在力作用下的具體運(yùn)動(dòng)過程相聯(lián)系，它一般是路 徑的函數(shù)，是過程量。徑的函數(shù)，是過程量。 做功是使質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能改變的手段，動(dòng)能的變化又是用做功是使質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能改變的手段，動(dòng)能的變化又是用 功來量度的，故二

8、者具有相同的單位。功來量度的，故二者具有相同的單位。 2021-7-29 c. 動(dòng)能定理的微分形式動(dòng)能定理的微分形式 vF t r F t A P d d d d 由功率的定義式由功率的定義式 k EAdd 和動(dòng)能定理和動(dòng)能定理 得得 t E vF k d d 動(dòng)能定理的微分形式動(dòng)能定理的微分形式 （見課本（見課本P56推導(dǎo)）推導(dǎo)） 2021-7-210 第第3章章 機(jī)械能和功機(jī)械能和功 3.2 保守力做功與勢能保守力做功與勢能 3.2.1 保守力與耗散力保守力與耗散力 3.2.2 勢能勢能 3.2.2 由勢能函數(shù)確定保守力場由勢能函數(shù)確定保守力場 2021-7-211 3.2 保守力做功與勢

9、能保守力做功與勢能 3.2.1 保守力保守力（conservative force）與耗散力與耗散力 r+dr dr rB rA A B m1 m2 1. 萬有引力做功的特點(diǎn)萬有引力做功的特點(diǎn) 取取m1為原點(diǎn)，則為原點(diǎn)，則m2受受m1的萬有引力為：的萬有引力為： r r r mGm f 2 21 引力的功為引力的功為: B A B A rr r mGm rfA dd 3 21 引引 r r r r mGm B A d 2 21 )( 2121 ）（ AB r mGm r mGm 只與只與m的始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)的始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。 )( r r r dr ) ) (ddcosd

10、 )rrrrr r r f 2021-7-212 2.重力做功的特點(diǎn)重力做功的特點(diǎn)(參考例參考例3-5) rgmA dd smgdcos 從從12，重力的功為，重力的功為 )(d 12 2 1 mghmghAA 重重 smgd)cos( hmg d 顯然，顯然，m 經(jīng)經(jīng)L1和和L2 ,重力作功相等。重力作功相等。 重力作功，只與始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。重力作功，只與始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。 rmg dcos 2021-7-213 3. 彈性力做功的特點(diǎn)彈性力做功的特點(diǎn)(參考例參考例3-6) 水平面光滑。取平衡位置（彈簧為原長時(shí)物體水平面光滑。取平衡位置（彈簧為原長時(shí)物體m 位置）為坐標(biāo)

11、原點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)從位置）為坐標(biāo)原點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)從 x1x2，彈力彈力 f = kx 所作的功為所作的功為 2 1 d x x xfA 彈彈 亦只與始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。亦只與始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。 ixkf 一維運(yùn)動(dòng)時(shí)一維運(yùn)動(dòng)時(shí) x : 對(duì)自然長度的增加量，對(duì)自然長度的增加量， k : 彈簧的彈簧的勁度勁度（stiffness）。）。 o x m x o xx1x2 km km 2 1 d x x xxk ) 2 1 2 1 ( 2 1 2 2 kxkx xkf f 2021-7-214 4. 保守力與非保守力：保守力與非保守力： 作功與路徑有關(guān)的力作功與路徑有關(guān)的力稱為稱為非保守力非保守

12、力?；蚧蚝纳⒘纳⒘?。 做功與路徑無關(guān)，做功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)只與始末位置有關(guān)的力稱為的力稱為保守力保守力。 如：如：重力、萬有引力、彈性力、靜電場力重力、萬有引力、彈性力、靜電場力等等。 如：如： 摩擦力、爆炸力摩擦力、爆炸力等等。 0d L rf 保保 B A L2 L1 r f m2 d r L=L1+L2 m1 B A B A rfrf dd 保保保保 (L1)(L2) (L1)(L2) B A A B rfrf dd 保保保保 保守力沿任意閉合路徑做的功是零保守力沿任意閉合路徑做的功是零。 2021-7-215 3.2.2 勢能勢能(Potential Energy)（仍以

13、引力為例）（仍以引力為例） 1.定義：定義： AB B A BA r GmM r GmM rFA d 按照動(dòng)能定理：按照動(dòng)能定理： 若質(zhì)點(diǎn)在引力場中運(yùn)動(dòng)（只受引力作用）若質(zhì)點(diǎn)在引力場中運(yùn)動(dòng)（只受引力作用） kAkB B A BA EErFA d kAkB AB EE r GmM r GmM 或或 kA A kB B E r GmM E r GmM )()( 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能Ek與其在引力場中的空間位置有關(guān)，同與其在引力場中的空間位置有關(guān)，同 時(shí)，有一個(gè)與該空間位置相關(guān)的物理量時(shí)，有一個(gè)與該空間位置相關(guān)的物理量 與動(dòng)能與動(dòng)能 Ek相對(duì)應(yīng)，相對(duì)應(yīng)， 與動(dòng)能與動(dòng)能Ek的和保持不變。的和保持不變。

14、 )( r GmM )( r GmM m在在M的引力場中從的引力場中從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，引力做點(diǎn)時(shí)，引力做 功為功為 2021-7-216 定義為（引力）定義為（引力）勢能勢能 ，通常用，通常用 Ep 表示。表示。 )( r GmM pBkBpAkA EEEE 由此可以設(shè)想：質(zhì)點(diǎn)處于保守力場中時(shí)，相應(yīng)地由此可以設(shè)想：質(zhì)點(diǎn)處于保守力場中時(shí)，相應(yīng)地 具有一具有一 定的勢能定的勢能與質(zhì)點(diǎn)所處位置有關(guān)。與質(zhì)點(diǎn)所處位置有關(guān)。 當(dāng)保守力場作正功時(shí)當(dāng)保守力場作正功時(shí),動(dòng)能增大，動(dòng)能增大， 可以認(rèn)為這是質(zhì)點(diǎn)勢能減小并轉(zhuǎn)化為可以認(rèn)為這是質(zhì)點(diǎn)勢能減小并轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)能量運(yùn)動(dòng)能量的緣故！的緣故！ 勢能就是質(zhì)點(diǎn)在

15、保守力場中所具有的勢能就是質(zhì)點(diǎn)在保守力場中所具有的潛在的能量潛在的能量 (Potential Energy) （Kinetic Energy） Conservative 有有“保存保存”的意思。的意思。 Conservative force保守力保守力 意味著：在保守力場中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能可以意味著：在保守力場中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能可以“勢能勢能” 的形式保存起來；也可以通過作功的方式再釋放出來的形式保存起來；也可以通過作功的方式再釋放出來 成為可對(duì)外作功的成為可對(duì)外作功的“動(dòng)能動(dòng)能”。 , 0 AEk 2021-7-217 說明：說明： （1）物體系統(tǒng)具有勢能的條件是存在著相互作用的）物體系統(tǒng)具有勢能的

16、條件是存在著相互作用的 保守力（有時(shí)稱為保守內(nèi)力）；保守力（有時(shí)稱為保守內(nèi)力）； （2）勢能）勢能屬于屬于相互作用的質(zhì)點(diǎn)相互作用的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)系統(tǒng)； （3）勢能不依賴于參考系的選擇，）勢能不依賴于參考系的選擇，不要將勢能零點(diǎn)不要將勢能零點(diǎn) 的選擇與參考系的選擇相混淆的選擇與參考系的選擇相混淆； （4）EP的相對(duì)性：需先選定一個(gè)參考位置作為勢能的相對(duì)性：需先選定一個(gè)參考位置作為勢能 零點(diǎn)位置。而任一位置的勢能，在數(shù)值上等于從該位置零點(diǎn)位置。而任一位置的勢能，在數(shù)值上等于從該位置 移到參考位置保守力所作的功；移到參考位置保守力所作的功； （5）EP是狀態(tài)的單值函數(shù)。是狀態(tài)的單值函數(shù)。 2. 勢能零點(diǎn)勢

17、能零點(diǎn) 若規(guī)定系統(tǒng)在位形（若規(guī)定系統(tǒng)在位形（B）的勢能為零，）的勢能為零， 則：則： B A PA rfE d 保保 AB p B A BA ErFA d 保保 勢能增量的負(fù)值！勢能增量的負(fù)值！ )( pApB EE 2021-7-218 )( 12 mghmghA 重重 ) 2 1 2 1 ( 2 1 2 2 kxkxA 彈彈 )( 1 21 2 21 ）（ 引引 r mGm r mGm A 3. 幾種勢能幾種勢能 （1）萬有引力勢能萬有引力勢能 C r mGm rE p )( 21 令令 ， 0)( P E )( 21 r mGm rE P 有有 則則 C = 0 ， 2021-7-219

18、 （2）彈性勢能）彈性勢能 2 1 )( 2 CxkxE P 2 1 )( 2 xkxE P 令令 0)0(， P E有有 （3） 重力勢能重力勢能 CmghhE P )( 令令， 0)0( P EmghhE P )( 有有 3.2.3 由勢能函數(shù)確定保守力場（由勢能函數(shù)確定保守力場（不要求不要求） 2021-7-220 第第3章章 機(jī)械能和功機(jī)械能和功 3.3 功能原理功能原理 能量守恒定律能量守恒定律 3.3.1 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 3.3.2 功能原理功能原理 3.3.4 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 3.3.3 能量轉(zhuǎn)換和守恒定律能量轉(zhuǎn)換和守恒定律 2021-7-221

19、3.3 功能原理功能原理 能量守恒定律能量守恒定律 3.3.1 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 )2( 2 1 2 1 d)( 2 22 2 22 2 2 222 ab b a vmvmrfF )1( 2 1 2 1 d)( 2 11 2 11 1 1 111 ab b a vmvmrfF m1 F1 f1 f2 m2 F2 b2 a1 a2 b1 v1a v2a v2b v1b 質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)：m1 、 m2 初速度：初速度： aa vv 21 、 21 FF 、 外力：外力：內(nèi)力：內(nèi)力： 21 ff 、 末速度：末速度： bb vv 21 、 m1: m2: k EAAAA )()( 212

20、1內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)外外外外 即：即：外力的功之和內(nèi)力的功之和系統(tǒng)末動(dòng)能系統(tǒng)初動(dòng)能外力的功之和內(nèi)力的功之和系統(tǒng)末動(dòng)能系統(tǒng)初動(dòng)能 （1）+（2）得）得: dr1 dr2 2021-7-222 推廣得推廣得 kkakb EEEAA - 內(nèi)內(nèi)外外 所有所有外力外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系做的功和對(duì)質(zhì)點(diǎn)系做的功和內(nèi)力內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系做的功之做的功之 和和等于質(zhì)點(diǎn)系等于質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能的增量總動(dòng)能的增量。 例：繩一端固定于墻壁，手握繩滑動(dòng)。例：繩一端固定于墻壁，手握繩滑動(dòng)。 手對(duì)繩的摩擦力沒作功，手對(duì)繩的摩擦力沒作功， 繩對(duì)手的摩擦力作負(fù)功。繩對(duì)手的摩擦力作負(fù)功。 f 注注：作用力與反作用力的功不一定等值異號(hào)。作用力與反作用力的

21、功不一定等值異號(hào)。 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，但能改變系統(tǒng)的總動(dòng)能！內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，但能改變系統(tǒng)的總動(dòng)能！ p66例例3.8自學(xué)自學(xué)，結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)一對(duì)作用力與反作用力作，結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)一對(duì)作用力與反作用力作 功之和只與兩相互作用質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位移有關(guān)，與參考系功之和只與兩相互作用質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位移有關(guān)，與參考系 的選擇無關(guān)。的選擇無關(guān)。 2021-7-223 3.3.2 功能原理功能原理(work-energy theorem) 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理： 將內(nèi)力分為將內(nèi)力分為保守內(nèi)力保守內(nèi)力與與非保守內(nèi)力非保守內(nèi)力，有：，有： k EAAA 非

22、非保保內(nèi)內(nèi)保保內(nèi)內(nèi)外外 )( 12PPP EEEA 保保內(nèi)內(nèi) pk EEAA 非非保保內(nèi)內(nèi)外外 引入系統(tǒng)的引入系統(tǒng)的機(jī)械能機(jī)械能: Pk EEE EEEAA 12非非保保內(nèi)內(nèi)外外 功能功能 原理原理 （積分形式）（積分形式） EAAddd 非非保保內(nèi)內(nèi) 外外 （微分形式）（微分形式） 12kk EE ）（）（ 1122PkPk EEEE k EAA 外外內(nèi)內(nèi) 2021-7-224 3.3.3 能量轉(zhuǎn)換和守恒定律能量轉(zhuǎn)換和守恒定律 一個(gè)一個(gè)孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng)不管經(jīng)歷何種變化，不管經(jīng)歷何種變化， 系統(tǒng)系統(tǒng)所有能量的總和保持不變所有能量的總和保持不變。 普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律 2021-

23、7-225 3.3.4 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 即：即：在只有保守內(nèi)力作功時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能不變。在只有保守內(nèi)力作功時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能不變。 顯然，顯然，孤立的保守系統(tǒng)機(jī)械能守恒。孤立的保守系統(tǒng)機(jī)械能守恒。 保保內(nèi)內(nèi) 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)AEEE pk 0 A保內(nèi) 保內(nèi) 0 0 0 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 0 非非保保內(nèi)內(nèi)外外 AA常常量量 E若若 則則 機(jī)械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在機(jī)械運(yùn)機(jī)械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在機(jī)械運(yùn) 動(dòng)范圍內(nèi)的體現(xiàn)。動(dòng)范圍內(nèi)的體現(xiàn)。 注：注： 本章所討論的動(dòng)能定理、功能原理、機(jī)械能守恒定律等本章所討論的動(dòng)能定理、功能原理、機(jī)械能守恒定律等 都是針對(duì)慣性系的

24、結(jié)論，對(duì)于非慣性系一般并不成立。都是針對(duì)慣性系的結(jié)論，對(duì)于非慣性系一般并不成立。 2021-7-226 本次課小結(jié)本次課小結(jié) 1. 深入理解深入理解功、動(dòng)能、勢能、動(dòng)能定理、機(jī)功、動(dòng)能、勢能、動(dòng)能定理、機(jī) 械能守恒定律械能守恒定律概念。概念。 搞清它們是屬于質(zhì)點(diǎn)、搞清它們是屬于質(zhì)點(diǎn)、 2. 搞清規(guī)律的內(nèi)容、搞清規(guī)律的內(nèi)容、 來源、來源、 對(duì)象、對(duì)象、適用條件、適用條件、 與參考系的關(guān)系等。與參考系的關(guān)系等。 還是屬于系統(tǒng)？與參考系的選擇有無關(guān)系？還是屬于系統(tǒng)？與參考系的選擇有無關(guān)系？ 注：自學(xué)課本例題注：自學(xué)課本例題3.1-3.11。 2021-7-227 作業(yè)作業(yè): : 習(xí)題習(xí)題3（ P72

25、）：3-2, 3-5 練習(xí)練習(xí)：學(xué)習(xí)指導(dǎo)（力學(xué)）學(xué)習(xí)指導(dǎo)（力學(xué)） 一、一、12、13、14 二、二、37、38、39、40、41 預(yù)習(xí)預(yù)習(xí) 第第4章章 2021-7-228 b. 分析說明：分析說明： 動(dòng)能定理本質(zhì)上是牛頓第二定律的推論，它從一動(dòng)能定理本質(zhì)上是牛頓第二定律的推論，它從一 個(gè)側(cè)面反映了質(zhì)點(diǎn)在力學(xué)過程（空間積累過程）中所服個(gè)側(cè)面反映了質(zhì)點(diǎn)在力學(xué)過程（空間積累過程）中所服 從的規(guī)律。從的規(guī)律。 由動(dòng)能定理知，力對(duì)物體做功，能改變物體的動(dòng)由動(dòng)能定理知，力對(duì)物體做功，能改變物體的動(dòng) 能，也只有力對(duì)物體做功，物體的動(dòng)能才能改變，能，也只有力對(duì)物體做功，物體的動(dòng)能才能改變， 功是功是 機(jī)械運(yùn)

26、動(dòng)能量變化的量度。機(jī)械運(yùn)動(dòng)能量變化的量度。 功和動(dòng)能的概念不可混淆功和動(dòng)能的概念不可混淆 本質(zhì)區(qū)別本質(zhì)區(qū)別：動(dòng)能和物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相聯(lián)系，任一運(yùn)：動(dòng)能和物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相聯(lián)系，任一運(yùn) 動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)一定的動(dòng)能，是狀態(tài)量；而功是與物體在力動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)一定的動(dòng)能，是狀態(tài)量；而功是與物體在力 作用下的具體運(yùn)動(dòng)過程相聯(lián)系，它一般是路徑的函數(shù)，作用下的具體運(yùn)動(dòng)過程相聯(lián)系，它一般是路徑的函數(shù)， 因而功是過程量。因而功是過程量。 密切關(guān)系密切關(guān)系：過程便意味著狀態(tài)變化。合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)：過程便意味著狀態(tài)變化。合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn) 做功，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能便發(fā)生變化。做功是使質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能改變做功，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能便發(fā)生變化。做功是使質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能改變 的

27、手段，動(dòng)能的變化又是用功來量度的，故二者具有相的手段，動(dòng)能的變化又是用功來量度的，故二者具有相 同的單位。同的單位。 動(dòng)能是質(zhì)點(diǎn)因運(yùn)動(dòng)而具有的做功本領(lǐng)。動(dòng)能是質(zhì)點(diǎn)因運(yùn)動(dòng)而具有的做功本領(lǐng)。 2021-7-229 例例1：有一水平放置的彈有一水平放置的彈 簧，其一端固定，另一端簧，其一端固定，另一端 系一小球，求小球的位置系一小球，求小球的位置 由由 a 移到移到 b 的過程中，彈的過程中，彈 力對(duì)它做的功。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為力對(duì)它做的功。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為 k 。 m ox f 解解：路徑為直線，而力隨位置改變。：路徑為直線，而力隨位置改變。 取取x軸與小球運(yùn)動(dòng)軸與小球運(yùn)動(dòng) 的直線平行，而原點(diǎn)對(duì)

28、應(yīng)于小球的平衡位置。這樣，小的直線平行，而原點(diǎn)對(duì)應(yīng)于小球的平衡位置。這樣，小 球在任一位置球在任一位置x 時(shí)，彈力就可以表現(xiàn)為時(shí)，彈力就可以表現(xiàn)為xkf xa ab xb b a b a x x x x ab xxkxfAd d 小球由小球由 a 移到移到 b ，彈力做的功為：，彈力做的功為： 22 2 1 2 1 ba xkxk 如果如果xaxb ，即彈簧縮短時(shí)，彈力對(duì)小球做正功。，即彈簧縮短時(shí)，彈力對(duì)小球做正功。 如果如果xaxb ，即彈簧伸長時(shí)，彈力對(duì)小球做負(fù)功。，即彈簧伸長時(shí)，彈力對(duì)小球做負(fù)功。 值得注意的是，這一彈力的功只和彈簧的始未伸值得注意的是，這一彈力的功只和彈簧的始未伸 長量

29、有關(guān)，而和伸長的中間過程長量有關(guān)，而和伸長的中間過程 無關(guān)。無關(guān)。 2021-7-230 例例2：一隕石從距地面高為：一隕石從距地面高為h處由靜止開始落向地面，忽處由靜止開始落向地面，忽 略空氣阻力，求隕石下落過程中，萬有引力略空氣阻力，求隕石下落過程中，萬有引力所做所做的功？的功？ 解解：取地心為原點(diǎn)，引力與矢徑方向相反：取地心為原點(diǎn)，引力與矢徑方向相反 d R hR rfA )(hRR GMmh R hR r r Mm Gd 2 d 2 R hR r r mMG a b h R o f ) 11 ( hRR GMm 2021-7-231 1 r 2 r 1.一對(duì)力一對(duì)力 分別作用在兩個(gè)物體

30、上的大小相分別作用在兩個(gè)物體上的大小相 等、方向相反的力，等、方向相反的力，稱之為稱之為 “一一 對(duì)力對(duì)力”。一對(duì)力通常是一對(duì)力通常是作用力與反作用力與反 作用力，作用力，但也可不是。但也可不是。 2211 dddrfrfA 212 ddrfA b2 a2 a1 b1 dr1dr2 m1 m2 f1 f2 r21 o x y z 所做元功之和所做元功之和： 21 ff 、 21 ff 因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?)(d 122 rrf )dd(d 122 rrfA 所以：所以： 2112 rrr 因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?2.一對(duì)力的功一對(duì)力的功 P74 思考題思考題 3-1 求證：求證：一對(duì)內(nèi)力做功與參考系的選擇無關(guān)一對(duì)內(nèi)力做功與參考系的選擇無關(guān)。 2021-7-232 兩質(zhì)點(diǎn)間的兩質(zhì)點(diǎn)間的“一對(duì)力一對(duì)力”所做功之