角平分線的性質(zhì)和判定

1、 什么叫角平分線？什么叫角平分線？ 2 .畫畫AOB平分線平分線OC，在，在OC上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P，過，過P向向 角的兩邊作垂線段角的兩邊作垂線段PD、PE，你能得出什么結(jié)論？，你能得出什么結(jié)論？ 思考題思考題 A O B P E D 開啟智慧 w定理定理 角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊 w 距離相等距離相等. . w如圖如圖, ,已知已知:OC:OC是是AOBAOB的的 平分線平分線,P,P是是OCOC上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn) ,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別垂足分別 是是D,E.D,E. w求證求證:PD=PE(:PD=PE(平分線上的平分線上的

2、 點(diǎn)到這個角的兩角邊距離點(diǎn)到這個角的兩角邊距離 相等相等).). C O B 1 A 2 P D E 證明證明: :因?yàn)橐驗(yàn)镻DPDOAOA，PEPEOBOB（已知），（已知）， 所以所以PDOPDOPEOPEO9090（垂直的定義）（垂直的定義） O C B 1 A 2 P D E 在在PDO和和PEO中，因?yàn)橹?，因?yàn)?DOPEOP（已知），（已知）， PDOPEO（已證），（已證）， POPO（公共邊），（公共邊）， PDO PEO (A.A.S) PD=PE 于是就有定理： 角平分線上的點(diǎn)到這個角的 兩邊的距離相等 A B C 反過來，到一個角的兩邊的距離相等的反過來，到一個角的兩邊的距

3、離相等的 點(diǎn)是否一定在這個角的平分線上呢？點(diǎn)是否一定在這個角的平分線上呢？ 已知：如圖已知：如圖, ,PDPDOAOA，PEPEOBOB， 點(diǎn)點(diǎn)D D、E E為垂足，為垂足，PDPDPEPE 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P P在在AOBAOB的平分線上的平分線上 O C B 1 A 2 P D E 證明：證明： PDOA，PEOB，點(diǎn)，點(diǎn)D、E 為垂足，為垂足， 在在Rt PDO 與與Rt PEO中中 PDO= PEO=Rt PD=PE（已知）（已知） OP=OP（公共邊）（公共邊） RtPDO PDO 1=2 即點(diǎn)即點(diǎn)P在在AOB的平分線上的平分線上 于是就有定理：于是就有定理： 到一個角的兩邊到一個角

4、的兩邊 距離相等的點(diǎn)，距離相等的點(diǎn)， 在這個角的平分在這個角的平分 線上線上 思考分析 命題:三角形三個角的平分線相交于一點(diǎn). 如圖如圖, ,設(shè)設(shè)ABCABC的角平分線的角平分線BM,CNBM,CN相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)P,P, 過點(diǎn)過點(diǎn)P P分別作分別作BC,AC,ABBC,AC,AB的垂線的垂線, ,垂足分別是垂足分別是 E,F,D.E,F,D. BMBM是是ABCABC的角平分線的角平分線, ,點(diǎn)點(diǎn)P P在在BMBM上上, , ABCABC的三條角平分線相交于一點(diǎn)的三條角平分線相交于一點(diǎn)P.P. w基本想法是這樣的:我們知道,兩條直線 相交只有一個交點(diǎn).要想證明三條直線相交 于一點(diǎn),只要能證明

5、兩條直線的交點(diǎn)在第三 條直線上即可.這時可以考慮前面剛剛學(xué)習(xí) 的內(nèi)容. A B C P MND E F PD=PE(角平分線角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等). 同理同理,PE=PF.,PE=PF. PD=PF.PD=PF. 點(diǎn)點(diǎn)P P在在BACBAC的平分線上的平分線上( (在一個角的內(nèi)部在一個角的內(nèi)部, ,且到且到 角的兩邊距離相等的點(diǎn)角的兩邊距離相等的點(diǎn), ,在這個角的平分線上在這個角的平分線上).). 1、 1= 2,DCAC, DEAB _ (_) A C D E B 1 2 DC=DE 角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 2、判斷題、判斷題（

6、） 如圖，如圖，AD平分平分BAC（已知）（已知） BD = DC ， ( ) AD C B 角的平分線上的點(diǎn)到角的角的平分線上的點(diǎn)到角的 兩邊的距離相等。兩邊的距離相等。 課時訓(xùn)練課時訓(xùn)練 練習(xí) 1 如圖，在直線l上找出一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到 AOB的兩邊OA、OB的距離相等 提示：作提示：作 AOB的平分的平分 線，交直線線，交直線l于于P 就是所求的點(diǎn)就是所求的點(diǎn) 2、如圖，在ABC中，D是 BC的中點(diǎn)，DEAB， DFAC，垂足分別是E，F(xiàn)， 且BECF。 求證：AD是ABC的角平分 線。 A BC E F D 變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練： 若已知若已知AD是是ABC的角平分線。的角平分線。 求證：求證：BECF。 3、已知:BDAM于點(diǎn)D,CEAN于點(diǎn)E,BD,CE 交點(diǎn)F,CF=BF,求證:點(diǎn)F在A的平分線上. A A A A A A A D NE B F M C A 4 4如圖，已知如圖，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平的平 分線相交于點(diǎn)分線相交于點(diǎn)F F， 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)F F在在DAEDAE的平分的平分線上線上 G H P 證明：作證明：作FGAE于于G.FHAD于于H FPCB于于P,作射線作射線OF CF平分平分ECB FG=FP(角平分線上的點(diǎn)