傳熱學第四版課后題答案第四章

1、第四章復習題1、 試簡要說明對導熱問題進行有限差分數(shù)值計算的基本思想與步驟。2、 試說明用熱平衡法建立節(jié)點溫度離散方程的基本思想。3、 推導導熱微分方程的步驟和過程與用熱平衡法建立節(jié)點溫度離散方程的過程十分相似，為什么前者得到的是精確描述，而后者解出的確實近似解。4、 第三類邊界條件邊界節(jié)點的離散那方程，也可用將第三類邊界條件表達式中的一階導數(shù)用差分公式表示來建立。試比較這樣建立起來的離散方程與用熱平衡建立起來的離散方程的異同與優(yōu)劣。5對絕熱邊界條件的數(shù)值處理本章采用了哪些方法？試分析比較之6什么是非穩(wěn)態(tài)導熱問題的顯示格式？什么是顯示格式計算中的穩(wěn)定性問題？7用高斯塞德爾迭代法求解代數(shù)方程時是

2、否一定可以得到收斂德解？不能得出收斂的解時是否因為初場的假設不合適而造成？8有人對一階導數(shù)你能否判斷這一表達式是否正確，為什么？一般性數(shù)值計算4-1、采用計算機進行數(shù)值計算不僅是求解偏微分方程的有力工具，而且對一些復雜的經(jīng)驗公式及用無窮級數(shù)表示的分析解，也常用計算機來獲得數(shù)值結(jié)果。試用數(shù)值方法對Bi=0.1,1,10的三種情況計算下列特征方程的根并用計算機查明，當時用式（3-19）表示的級數(shù)的第一項代替整個級數(shù)（計算中用前六項之和來替代）可能引起的誤差。解：，不同Bi下前六個根如下表所示：Bi1234560.10.31113.17316.29919.435412.574315.71431.00

3、.86033.42566.43739.529312.645315.7713101.42894.30587.228110.200313.214216.2594Fo=0.2及0.24時計算結(jié)果的對比列于下表：Fo=0.2 Bi=0.1Bi=1Bi=10第一項的值0.948790.629450.11866前六和的值0.951420.643390.12248比值0.997240.978330.96881Fo=0.2 Bi=0.1Bi=1Bi=10第一項的值0.996620.965140.83889前六項和的值0.9940.950640.82925比值1.0021.015251.01163Fo=0.24

4、 Bi=0.1Bi=1Bi=10第一項的值0.945130.611080.10935前六項的值0.946880.61980.11117比值0.998140.986940.98364Fo=0.24 Bi=0.1Bi=1Bi=10第一項的值0.992770.936980.77311前六項和的值0.991010.927910.76851比值1.001771.009781.005984-2、試用數(shù)值計算證實，對方程組用高斯-賽德爾迭代法求解，其結(jié)果是發(fā)散的，并分析其原因。解：將上式寫成下列迭代形式假設初值為0，迭代結(jié)果如下：迭代次數(shù) 0 1 2 3 4 0 2.5 2.625 2.09375 2.63

5、28125 0 -0.75 0.4375 - 1.171875 1.26171825 0 1.25 -0.0625 2.078125 -0.89453125顯然，方程迭代過程發(fā)散因為迭代公式的選擇應使每一個迭代變量的系數(shù)總大于或等于式中其他變量的系數(shù)絕對值代數(shù)和。4-3、試對附圖所示的常物性，無內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)導熱問題用高斯-賽德爾迭代法計算之值。解：溫度關(guān)系式為：開始時假設取；得迭代值匯總于表迭代次數(shù) 0 20 20 15 151 26.25 22.8125 21.5625 14.843752 28.59375 23.359375 22.109375 15.11718753 28.86718

6、75 23.49609375 22.24607565 15.185542584 28.93554258 23.53027129 22.28027129 15.202635655 28.95263565 23.53881782 22.28881782 15.206908916 28.9569089 23.54095446 22.290955445 15.20797723其中第五次與第六次相對偏差已小于迭代終止。4-4、試對附圖所示的等截面直肋的穩(wěn)態(tài)導熱問題用數(shù)值方法求解節(jié)點2，3的溫度。圖中.肋高H=4cm,縱剖面面積導熱系數(shù)。解：對于2點可以列出：節(jié)點2：節(jié)點3：。 由此得：，于是有：，代入得

7、：，。離散方程的建立4-5、試將直角坐標中的常物性無內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)導熱微分方程化為顯式差分格式，并指出其穩(wěn)定性條件（。解：常物性無內(nèi)熱源二維非穩(wěn)態(tài)方程微分方程為 擴散項取中心差分，非穩(wěn)態(tài)項取向前差分：所以有 穩(wěn)定性條件 4-6、極坐標中常物性無內(nèi)熱源的非穩(wěn)態(tài)導熱微分方程為試利用本題附圖中的符號，列出節(jié)點（i,j）的差分方程式。解：將控制方程中的各階導數(shù)用相應的差分表示式代替，可得：也可采用熱平衡法。對于圖中打陰影線的控制容積寫出熱平衡式得：對等式兩邊同除以并簡化，可以得出與上式完全一樣相同的結(jié)果。4-7、一金屬短圓柱在爐內(nèi)受熱厚被豎直地移植到空氣中冷卻，底面可以認為是絕熱的。為用數(shù)值法確定冷

8、卻過程中柱體溫度的變化，取中心角為1rad的區(qū)域來研究（如本題附圖所示）。已知柱體表面發(fā)射率，自然對流表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)，環(huán)境溫度，金屬的熱擴散率，試列出圖中節(jié)點（1，1），（M,1）(M,n)及（M,N）的離散方程式。在r及z方向上網(wǎng)格是各自均分的。解：應用熱平衡法來建立四個節(jié)點點離散方程。節(jié)點（1，1）：節(jié)點（m，1）： 節(jié)點（m，n）：4-8、一個二維物體的豎直表面收液體自然對流冷卻，為考慮局部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的影響，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)采用來表示。試列出附圖所示的穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源物體邊界節(jié)點（M,n）的溫度方程，并對如何求解這一方程提出你的看法。設網(wǎng)格均分。解：利用熱平衡法：，將h寫為，其中為上一次迭代值，

9、則方程即可線性化。4-9、在附圖所示的有內(nèi)熱源的二維導熱區(qū)域中，一個界面絕熱，一個界面等溫（包括節(jié)點4），其余兩個界面與溫度為的流體對流換熱，h均勻，內(nèi)熱源強度為。試列出節(jié)點1，2，5，6，9，10的離散方程式。解：節(jié)點1：；節(jié)點2：；節(jié)點5：；節(jié)點6：；節(jié)點9：；節(jié)點10：。當以上諸式可簡化為：節(jié)點1：；節(jié)點2：；節(jié)點5：節(jié)點6：；節(jié)點9：；節(jié)點10：。一維穩(wěn)態(tài)導熱計算4-10、一等截面直肋，高H,厚，肋根溫度為，流體溫度為，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h,肋片導熱系數(shù)為。將它均分成4個節(jié)點（見附圖），并對肋端為絕熱及為對流邊界條件（h同側(cè)面）的兩種情況列出節(jié)點2，3，4的離散方程式。設H=45cm,=5

10、0W/(m.K),，計算節(jié)點2，3，4的溫度（對于肋端的兩種邊界條件）。解：采用熱平衡法可列出節(jié)點2、3、4的離散方程為：節(jié)點2：；節(jié)點3：；節(jié)點4：肋端絕熱，肋端對流。其中。將已知條件代入可得下列兩方程組：肋端絕熱 肋端對流 由此解得：肋端絕熱，； 肋端對流，。肋端對流換熱的條件使肋端溫度更接近于流體溫度。4-11、復合材料在航空航天及化工等工業(yè)中日益得到廣泛的應用。附圖所示為雙層圓筒壁，假設層間接觸緊密，無接觸熱阻存在。已知W/(m.K)，。試用數(shù)值方法確定穩(wěn)態(tài)時雙層圓筒壁截面上的溫度分布。解：采用計算機求解，答案從略。 采用熱平衡法對兩層管子的各離散區(qū)域?qū)懗瞿芰糠匠?，進行求解;如果采用T

11、aylor展開法列出方程，則需對兩層管子單獨進行，并引入界面上溫度連續(xù)及熱流密度連續(xù)的條件，數(shù)值計算也需分兩區(qū)進行，界面耦合。截面的溫度分布定性地示于上圖中。4-12、有一水平放置的等截面直桿，根部溫度，其表面上有自然對流散熱，其中，d為桿直徑，。桿高H=10cm，直徑d=1cm, 50W/(m.K)，。不計輻射換熱。試用數(shù)值方法確定長桿的散熱量（需得出與網(wǎng)格無關(guān)的解。桿的兩端可認為是絕熱的。解：數(shù)值求解過程略，Q=2.234W。4-13 在上題中考慮長桿與周圍環(huán)境的輻射換熱，其表面發(fā)射率為0.8，環(huán)境可作為溫度為的大空間，試重新計算其導熱量。解：數(shù)值求解過程略，Q=3.320W。4-14、有

12、如附圖所示的一拋物線肋片，表面形線方程為：肋根溫度及內(nèi)熱源恒定，流體表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h,流體溫度為常數(shù)。定義：。試：（1）建立無量綱溫度的控制方程；（2）在無量綱參數(shù)下對上述控制方程進行數(shù)量計算。確定無量綱溫度的分布。解：無量綱溫度方程為：。數(shù)值計算結(jié)果示于下圖中，無量綱溫度從肋根的1變化到肋端的0.852。一維非穩(wěn)態(tài)導熱計算4-15、一直徑為1cm,長4cm的鋼制圓柱形肋片，初始溫度為25，其后，肋基溫度突然升高到200，同時溫度為25的氣流橫向掠過該肋片，肋端及兩側(cè)的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)均為100。試將該肋片等分成兩段（見附圖），并用有限差分法顯式格式計算從開始加熱時刻起相鄰4個時刻上的溫度分布（以穩(wěn)

13、定性條件所允許的時間間隔計算依據(jù)）。已知43W/(m.K)，。（提示：節(jié)點4的離散方程可按端面的對流散熱與從節(jié)點3到節(jié)點4的導熱相平衡這一條件列出）。解：三個節(jié)點的離散方程為：節(jié)點2： 節(jié)點3：節(jié)點4：。以上三式可化簡為：穩(wěn)定性要求，即。，代入得：，如取此值為計算步長，則：，。于是以上三式化成為： 時間 點 12340200252525200128.8125252200128.8155.8055.093200137.9573.6472.544200143.0486.7085.30在上述計算中，由于之值正好使，因而對節(jié)點2出現(xiàn)了在及2時刻溫度相等這一情況。如取為上值之半，則，于是有：對于相鄰四個

14、時層的計算結(jié)果如下表所示：時間 點1234020025252520076.9125252200102.8632.7032.533200116.9842.6342.234200125.5152.5751.944-16、一厚為2.54cm的鋼板，初始溫度為650，后置于水中淬火，其表面溫度突然下降為93.5并保持不變。試用數(shù)值方法計算中心溫度下降到450所需的時間。已知。建議將平板8等分，取9個節(jié)點，并把數(shù)值計算的結(jié)果與按海斯勒計算的結(jié)果作比較。解：數(shù)值求解結(jié)果示于下圖中。隨著時間步長的縮小，計算結(jié)果逐漸趨向于一個恒定值，當=0.00001s時，得所需時間為3.92s。如圖所示，橫軸表示時間步長從

15、1秒，0.1秒，0.01秒，0.001秒，0.0001秒，0.00001秒的變化；縱軸表示所需的冷卻時間（用對數(shù)坐標表示）。4-17、一火箭燃燒器，殼體內(nèi)徑為400mm,厚10mm,殼體內(nèi)壁上涂了一層厚為2mm的包裹層。火箭發(fā)動時，推進劑燃燒生成的溫度為3000的煙氣，經(jīng)燃燒器端部的噴管噴住大氣。大氣溫度為30。設包裹層內(nèi)壁與燃氣間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為2500 W/(m.K)，外殼表面與大氣間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為350，外殼材料的最高允許溫度為1500。試用數(shù)值法確定：為使外殼免受損壞，燃燒過程應在多長時間內(nèi)完成。包裹材料的0.3 W/(m.K)，a=。解：采用數(shù)值方法解得。4-18、鍋爐汽包從冷態(tài)開

16、始啟動時，汽包壁溫隨時間變化。為控制熱應力，需要計算汽包內(nèi)壁的溫度場。試用數(shù)值方法計算：當汽包內(nèi)的飽和水溫度上升的速率為1/min,3/min時，啟動后10min,20min,及30min時汽包內(nèi)壁截面中的溫度分布及截面中的最大溫差。啟動前，汽包處于100的均勻溫度。汽包可視為一無限長的圓柱體，外表面絕熱，內(nèi)表面與水之間的對流換熱十分強烈。汽包的內(nèi)徑外半徑熱擴散率。解：數(shù)值方法解得部分結(jié)果如下表所示。汽包壁中的最大溫差，K啟動后時間，min溫升速率，K/min13107.13621.41209.46328.393010.1930.574-19、有一磚墻厚為，0.85W/(m.K)，室內(nèi)溫度為，

17、h=6。起初該墻處于穩(wěn)定狀態(tài)，且內(nèi)表面溫度為15。后寒潮入侵，室外溫度下降為，外墻表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。如果認為內(nèi)墻溫度下降0.1是可感到外界溫度起變化的一個定量判據(jù)，問寒潮入侵后多少時間內(nèi)墻才感知到？解：采用數(shù)值解法得t=7900s。4-20、一冷柜，起初處于均勻的溫度（20）。后開啟壓縮機，冷凍室及冷柜門的內(nèi)表面溫度以均勻速度18/h下降。柜門尺寸為。保溫材料厚8cm，0.02W/(m.K)。冰箱外表面包裹層很薄，熱阻可忽略而不計。柜門外受空氣自然對流及與環(huán)境之間輻射的加熱。自然對流可按下式計算： 其中H為門高。表面發(fā)射率。通過柜門的導熱可看作為一維問題處理。試計算壓縮機起動后2h內(nèi)的冷量損失。解

18、：取保溫材料的，用數(shù)值計算方法得冷量損失為。4-21、一磚砌墻壁，厚度為240mm，0.81W/(m.K), 。設冬天室外溫度為24h內(nèi)變化如下表所示。室內(nèi)空氣溫度且保持不變；外墻表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為10，內(nèi)墻為6。試用數(shù)值方法確定一天之內(nèi)外墻，內(nèi)墻及墻壁中心處溫度隨時間的變化。取。設上述溫度工況以24h為周期進行變化。時刻/h0：001：002：003：004：005：006：007：008：009：0010：0011：00溫度/-5.9-6.2-6.6-6.7-6.8-6.9-7.2-7.7-7.6-7.0-4.9-2.3時刻/h12：0013：0014：0015：0016：0017：0018：

19、0019：0020：0021：0022：0023：00溫度/-1.02.41.81.81.60.5-1.6-2.8-3.5-4.3-4.8-5.3解：采用數(shù)值解法得出的結(jié)果如下表所示。時刻/h012345678環(huán)境溫度/-5.9-6.2-6.6-6.7-6.8-6.9-7.2-7.7-7.6外墻溫度/-1.70-2.19-2.44-2.76-2.85-2.93-3.01-3.26-3.67墻壁中心溫度/3.653.323.152.922.872.812.752.592.31內(nèi)墻溫度/8.998.828.738.618.588.558.528.438.28時刻/h9101112131415161

20、7環(huán)境溫度/-7-4.9-2.3-12.41.81.81.60.5外墻溫度/-3.58-3.07-1.340.781.874.634.154.143.97墻壁中心溫度/2.362.703.875.326.057.957.627.627.51內(nèi)墻溫度/8.318.499.119.8710.2611.2611.1011.1011.10時刻/h181920212223環(huán)境溫度/-1.6-2.8-3.5-4.3-4.8-5.3外墻溫度/3.061.340.36-0.22-0.87-1.29墻壁中心溫度/6.095.735.054.664.213.93內(nèi)墻溫度/10.7110.109.739.539.3

21、09.14多維穩(wěn)態(tài)導熱問題4-22、如附圖所示，一矩形截面的空心電流母線的內(nèi)外表面分別與溫度為的流體發(fā)生對流換熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)分別為，且各自沿周界是均勻的，電流通過壁內(nèi)產(chǎn)生均勻熱源。今欲對母線中溫度分布進行數(shù)值計算，試：（1） 劃出計算區(qū)域（2） 對該區(qū)域內(nèi)的溫度分布列出微分方程式及邊界條件；（3） 對于圖中內(nèi)角頂外角頂及任一內(nèi)部節(jié)點列出離散方程式（），設母線的導熱系數(shù)為常數(shù)。4-23、一個長方形截面的冷空氣通道的尺寸如附圖所示。假設在垂直于紙面的方向上冷空氣及通道墻壁的溫度變化很小，可以忽略。試用數(shù)值方法計算下列兩種情況下通道壁面的溫度分布及每米長度上通過壁面的冷量損失：（1） 內(nèi)外壁分別維

22、持在10及30（2） 內(nèi)外壁與流體發(fā)生對流換熱，且有，。解：此題應采用計算機求解。如有墻角導熱的熱點模擬實驗設備，則計算參數(shù)（如h，及網(wǎng)格等）可以取得與實驗設備的參數(shù)相一致，以把計算結(jié)果與實測值作比較。根據(jù)對稱性，取1/4區(qū)域為計算區(qū)域。數(shù)值計算解出，對于給定壁溫的情形，每米長通道的冷損失為39.84W，對于第三類邊界條件為30.97W（取壁面導熱系數(shù)）。內(nèi)外表面為給定壁溫時等溫線分布如下圖所示。第三類邊界條件的結(jié)果定性上類似。4-24、為了提高現(xiàn)代燃氣透平的進口燃氣溫度以提高熱效率，在燃氣透平的葉片內(nèi)部開設有冷卻通道以使葉片金屬材料的溫度不超過允許值，為對葉片中的溫度分布情況作一估算，把附圖

23、a所示的截片形狀簡化成為附圖b所示的情形。已知， 。試計算：（1）截面中最高溫度及其位置；（2）單位長度通道上的熱量。解：根據(jù)對稱性選擇1/4區(qū)域為計算區(qū)域，采用網(wǎng)格，取壁面時得單位長度的傳熱量為987.8W，等溫線分布如圖所示。截面中最高溫度發(fā)生在左上角，該處溫度為1419.9。綜合分析與分析、論述題4-25、工業(yè)爐的爐墻以往常用紅磚和耐火磚組成。由于該兩種材料的導熱系數(shù)較大，散熱損失較嚴重，為了節(jié)省能量，近年來國內(nèi)廣泛采用在耐火磚上貼一層硅酸纖維氈，如附圖所示。今用以下的非穩(wěn)態(tài)導熱簡化模型來評價黏貼硅酸纖維氈的收益：設爐墻原來處于與環(huán)境平衡的狀態(tài)，s時內(nèi)壁表面突然上升到550并保持不變。這

24、一非穩(wěn)態(tài)導熱過程一直進行到爐墻外表面的對流，輻射熱損失與通過墻壁的導熱量相等為止。在爐墻升溫過程中外表面的總表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)由兩部分組成，即自然對流引起的部分 及輻射部分 其中：為外表面溫度，為內(nèi)表面溫度，。為簡化計算，設三種材料的導熱系數(shù)分別為W/(m.K)，W/(m.K)，W/(m.K)。試計算每平方爐墻每平方面積上由于粘貼了硅酸纖維氈而在爐子升溫過程中節(jié)省的能量。解：采用數(shù)值計算方法，詳細過程從略。4-26、空氣在附圖所示的一長方形截面的送風管道中作充分發(fā)展的層流流動，其z方向的動量方程簡化為而且。上式可看成是源項為的一常物性導熱方程。試用數(shù)值方法求解這一方程并計算f,Re之值。f為阻力系數(shù)

25、，Re為特征長度為當量直徑。計算時可任取一個值，并按a/b0.5及1兩種情形計算。解：假設壁溫為常數(shù)，則不同a/b下?lián)Q熱充分發(fā)展時的fRe及Nu數(shù)的分析解為：a/bNufRe12.98570.53.39624-27、一家用烤箱處于穩(wěn)定運行狀態(tài)，箱內(nèi)空氣平均溫度，氣體與內(nèi)壁間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。外壁面與20的周圍環(huán)境間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。烤箱保溫層厚30mm,W/(m.K),保溫層兩側(cè)的護板用金屬制成且很薄，分析中可不予考慮，然后，突然將烤箱調(diào)節(jié)器開大，風扇加速，內(nèi)壁溫度突然上升到185，設升溫過程中烤箱外壁面與環(huán)境間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)可用計算，環(huán)境溫度仍保持為20，為烤箱外壁面溫度，c之值與運行時一樣。試

26、確定烤箱內(nèi)壁溫度躍升后到達新的穩(wěn)定狀態(tài)所需時間。 解：需采用數(shù)值方法求解，過程從略。小論文題目4-28、一厚為2.54cm的鋼管，初始溫度為16。其后，溫度為572的液態(tài)金屬突然流過管內(nèi)，并經(jīng)歷了10s。液態(tài)金屬與內(nèi)壁面間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h=2.84。鋼管可以按平壁處理，其外表面的散熱由對流及輻射兩條路徑，并分別可按及計算，周圍環(huán)境溫度20。試用有限差分法確定在液態(tài)金屬開始流入后的18s時截面上的溫度分布。已知鋼管的41W/(m.K)，c=536J/(kg.K)。解：在鋼管壁厚方向上取27個點，以內(nèi)壁為坐標原點，沿著壁厚方向為x正方向，數(shù)值計算結(jié)果如下。位置/cm00.10.20.30.40.5

27、0.60.70.80.9溫度/216.0215.6214.6213.0210.7207.9204.6200.8196.6192.1位置/cm11.11.21.31.41.51.61.71.81.9溫度/187.3182.3177.2172.0166.9161.8157.0152.5148.2144.4位置/cm22.12.22.32.42.52.54溫度/141.0138.1135.7133.9132.6132.0131.9用圖形表示如下4-29、為對兩塊平板的對接焊過程（見附圖a）進行計算，對其物理過程作以下簡化處理：鋼板中的溫度場僅是x及時間的函數(shù)；焊槍的熱源作用在鋼板上時鋼板吸收的熱流密

28、度，為電弧有效加熱半徑，為最大熱流密度；平板上下表面的散熱可用計算，側(cè)面絕熱；平板的物性為常數(shù)，熔池液態(tài)金屬的物性與固體相同；固體熔化時吸收的潛熱折算成當量的溫升值，即如設熔化潛熱為L，固體比熱容為c,則當固體達到熔點后要繼續(xù)吸收相當于使溫度升高（L/c）的熱量，但在這一吸熱過程中該溫度不變。這樣，附圖a所示問題就簡化為附圖b所示的一維穩(wěn)態(tài)導熱問題。試：（1）列出該問題的數(shù)學描寫；（2）計算過程開始后3.4s內(nèi)鋼板中的溫度場，設在開始的0.1s內(nèi)有電弧的加熱作用。已知：，h=12.6,41.9W/(m.K),L=255kJ/kg,，H=12cm,。 解：取初始溫度與環(huán)境溫度均為。該問題的數(shù)學描寫為： 0x0 ; ,;, 0;, 0。