概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)綜合復(fù)習(xí)資料一、填空題1、 一批產(chǎn)品共有10個(gè)正品2個(gè)次品，從中任取兩次，每次取一個(gè)(有放回)。則第一次取到次品，第二次取到正品的概率為 ;恰有一次取到次品的概率為 ;兩次都取到次品的概率為 。2、 由長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)資料得知， 某一地區(qū)在4月份下雨(記作事件 A)的概率為4/15,刮風(fēng)(記作事件B) 的概率為7/15，刮風(fēng)又下雨(記作事件 C )的概率為1/10。則：P(A|B) ； P(A B) 。3、一批產(chǎn)品共有8個(gè)正品2個(gè)次品，從中任取兩次，每次取一個(gè)(不放回) 。則：(1 )第一次取到正品，第二次取到次品的概率為 ；(2)恰有一次取到次品的概率為 。4、設(shè) A、B為事件，P(

2、A) 0.6，P(A B) 0.3，則 P(AB) 。5、 一批產(chǎn)品共有10個(gè)正品2個(gè)次品，從中任取兩次，每次取一個(gè)(不放回)。則：(1) 兩次都取到正品的概率為 ；(2) 至少取到一個(gè)正品的概率為 。6、 一個(gè)袋子中有5只黑球3只白球，從袋中任取兩只球，若以A表示：“取到的兩只球均為白球”；B表示：“取到的兩只球同色”。則P(A) ； P(B) 。7、設(shè)X的概率分布為f (X)Xe ， x 0，則 PX0, x 03； X的分布函數(shù)F(x)。二、選擇題1、設(shè)事件A、B滿(mǎn)足P(B|A)p(B|A)，且 0P(A)1，P(B) 0，則有。(A)P(A|B) P(A|B)(B)P(AB)P(A)P

3、(B)(C ) P(A|B) P(A|B)(D)P(AB)P(A)P(B)2、對(duì)于隨機(jī)變量 X、丫，若EXY EX EY，則。(A) X與Y獨(dú)立(B)D(XY)DXDY(C)D(X Y) DX DY (D)X 與Y不獨(dú)立3、設(shè) X N( 3,1)，丫N(2,1)，且相互獨(dú)立，則 X 2Y 7(A)N(0,5)(B)N(0, 3)(C)N(0,6)(D)N(0,4)4、 設(shè)A和B是任意概率不為零的互斥事件，則結(jié)論正確的是 。(C) P(AB) P(A)P(B)(D ) A與B互斥5、設(shè) DX 25，DY 9，xy0.4，貝U D (X Y)=(A) 22( B ) 8(C ) 14( D ) 2

4、8均服從正態(tài)分布XN(,22), Y N( ,32),記 p1P X2,P2PY 3，則 。(A)對(duì)任何實(shí)數(shù) 都有P1P2;(B)對(duì)任何實(shí)數(shù)都有P1P2 ；(C)僅對(duì) 的個(gè)別值有p1p2；(D)對(duì)任何實(shí)數(shù)都有p1p2。7、某人射擊中靶的概率為3/5,如果射擊直到中靶為止，則射擊次數(shù)為3的概率 (A) (-)33 2(B)(匚)25(D) (|)358、設(shè)X與Y獨(dú)立同分布，記UY,V X則U、V必然(A)不獨(dú)立(B)不相關(guān)(C)相關(guān)(D)獨(dú)立(C)(2)2 39、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)Cx3,0,0 x 1其它則常數(shù)C=(A) 3(B) 4(C) 1/4(D)1/310、設(shè)每次試驗(yàn)成功

5、的概率為1/3，則在3次重復(fù)試驗(yàn)中恰有1次成功的概率為(A)1/27(B)26/27(C)4/9(D)19/27三、解答題1、在某城市中發(fā)行三種報(bào)紙A、B、C，經(jīng)調(diào)查，訂閱A報(bào)的有50%,訂閱B報(bào)的有30%，訂閱C報(bào)的有20%，同時(shí)訂閱A及B報(bào)的有10%，同時(shí)訂閱 A及C報(bào)的有8%，同時(shí)訂閱B及C報(bào)的有5%，同時(shí)訂閱A、B、C報(bào)的有3%，試求下列事件的概率:(1) 只訂閱A及B報(bào)；(2) 恰好訂閱兩種報(bào)紙。0.8,乙擊中敵機(jī)的概率為 0.5,求下2、甲、乙兩人各自同時(shí)向敵機(jī)射擊，已知甲擊中敵機(jī)的概率為列事件的概率：(1) 敵機(jī)被擊中；(2) 甲擊中乙擊不中；(3) 乙擊中甲擊不中。3、在電源電

6、壓不超過(guò) 200，200240和超過(guò)240伏的三種情況下，某種電子元件損壞的概率分別為20.1, 0.001和0.2，假定電源電壓 X N (220,25 )，試求:(1) 該電子元件被損壞的概率；(2) 電子元件被損壞時(shí)，電源電壓在 200240伏內(nèi)的概率 。(提示：(0.8)0.788 )。4、 設(shè)X1， X2， Xn為總體X的一個(gè)樣本，且X的概率分布為PX k (1 p)k 1 p, k 1,2,3, o x1? x2，xn為來(lái)自總體X的一個(gè)樣本觀察值，求p的極大似然估計(jì)值。5、 有朋友遠(yuǎn)方來(lái)訪(fǎng)，他乘火車(chē)、輪船、汽車(chē)、飛機(jī)的概率分別為3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火車(chē)、 輪船、

7、汽車(chē)、飛機(jī)遲到的概率分別為 1/4、1/3、1/12、1/8。求：(1 )此人來(lái)遲的概率；(2 )若已知來(lái)遲了，此人乘火車(chē)來(lái)的概率。6、已知某種型號(hào)的雷管在一定刺激下發(fā)火率為4/5，今獨(dú)立重復(fù)地作刺激試驗(yàn)，直到發(fā)火為止，則消耗的雷管數(shù)X的概率分布。7、一袋中裝有3個(gè)球，分別標(biāo)有號(hào)碼 1、2、3,從這袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用 X、Y分別表示第一次、第二次取得的球上的號(hào)碼，試求：(1) 隨機(jī)向量(X, Y)的概率分布；(2) (X, Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率分布；(3) X和Y是否相互獨(dú)立？為什么？&設(shè)X1, X2, Xn為X的一個(gè)樣本，X f(x,)(1)x ,0 x 10,

8、 其它其中1為未知參數(shù)，求的極大似然法估計(jì)。9、設(shè)X的概率分布為X012P1/31/61/2求：(1) X的分布函數(shù)；(2) PX 丄、P1 X -、P1 X 衛(wèi)。2 2 210、設(shè)有一箱同類(lèi)產(chǎn)品是由三家工廠(chǎng)生產(chǎn)的，其中1/2是第一家工廠(chǎng)生產(chǎn)的，其余兩家各生產(chǎn)1/4 ,又知第一、二、三家工廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品分別有2%、4%、5%的次品，現(xiàn)從箱中任取一件產(chǎn)品，求：(1) 取到的是次品的概率；(2)若已知取到的是次品，它是第一家工廠(chǎng)生產(chǎn)的概率。11、設(shè)二維隨機(jī)變量(X , Y )的概率分布為f(x, y)e y,0 x y0, 其它求：(1)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)fx(X)；(2)概率 PX Y 1。x,

9、當(dāng) 0x112、設(shè)X的分布密度為f（x）2 x, 當(dāng)1 x 2，求：數(shù)學(xué)期望 EX和方差DX。0,其它25%、35%、40%，如果各13、某工廠(chǎng)三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一規(guī)格的產(chǎn)品，其產(chǎn)量依次占全廠(chǎng)總產(chǎn)量的車(chē)間生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率依次為 5%、4%、2%?，F(xiàn)從待出廠(chǎng)的產(chǎn)品中隨機(jī)地取一件，求:（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品，它是第一車(chē)間生產(chǎn)的概率。14、設(shè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量 X、丫的概率分布分別為(x)120,1 x 3其它(y)2e2y0,求：E(X Y)和 E(2X 3Y2)。15、設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為X-1012Pk0.30.20.40.1求：（1）EX、DX ；（2） Y 2X

10、1的概率分布;16、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F (x) a Arc tan x ( x )求：（1）系數(shù)a ；（2）X落在區(qū)間（一1, 1）中的概率；（3） 隨機(jī)變量 X的概率密度。（提示：Arc tanx為反正切函數(shù)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)綜合復(fù)習(xí)資料參考答案一、填空題1、答案:5/3610/361/362、答案:3/1419/303、答案：8/4516/454、答案:0.75、答案：15/2265/666、答案：3/2813/2831xe ， x07、答案：1 e ；F(x)0，x0、選擇題題目12345678910答案BCAAADCBBC三、解答題1、解：(1)P(ABC) P(AB C) P

11、(AB ABC)P(AB) P(ABC)0.1 0.03 0.07(2)P(ABC ABC ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC)0.07 0.02 0.050.142、解：設(shè)事件 A表示：“甲擊中敵機(jī)”；事件B表示：“乙擊中敵機(jī)”；事件C表示：“敵機(jī)被擊中”則(1)P(C)P(A B) 1P(A B) 1P(AB)10.1 0.9(2)P(AB)P(A)P(B)0.8 (10.5)0.4(3)P(AB)P(A)P(B)(10.8) 0.50.13、解：設(shè)A :“電源電壓不超過(guò)200 伏”；A2 : “電源電壓在 200240伏”；A :“電源電壓超過(guò) 240伏”； B : “電子

12、元件被塤壞”。由于XN(220，252)，所以200 220 P(A1) PX 200F(200)()25(08)1(08)10.7880.212P(A2)P200 X 240(24?0)C2空)2525(08)( 08)2 (08)10576P(A3)P X 240240 2201(-25-)1 (08)10.7880.212由題設(shè)P(B|A1)01,P(B|A2)0.001, P(B|A3)0.2,所以由全概率公式由條件概率公式4、5、P(B)P(A2|B)(Ai)P(B|Ai)0.0642i 1P(A2)P(B|A2)P(B)0.009L (P)nP(Xii 1n，p)i 1pn(1nX

13、i np)i1In Lnln pn(Xii 1d l n Ln inXin1dpp1 p解：構(gòu)造似然函數(shù)n)l n(1解得0，PP(1 P廣令 -dpp n/iP)nXi ,i 1因此p的極大似然估計(jì)值為Xj。解：設(shè)事件 A表示:“此人來(lái)遲了”A分別表示：“此人乘火車(chē)、輪船、飛機(jī)來(lái)”i 1,4Aji 1，且 P(A)0,Ap A2、A3、A兩兩互不相容(1)4P(A)P(Aj)i 1P(A|A)12 113 110 45 3 10 125 85P(AJP(A| A,)(2) p(A1A) = p 1P(A)P(A|Aj)j 13 110 41/56、解：X的可能取值為1, 2, 3,。記Ak表

14、示第k次試驗(yàn)雷管發(fā)火”則 Ak表示第k次試P1PX1P(A)51 4P2PX2PM) P(A)P(A)5 5P3PX3pAab) p(Ajp(A2)p(A3)驗(yàn)雷管不發(fā)火”從而得(1)2PkPXk依次類(lèi)推，得消耗的雷管數(shù)1 kP(“A2Ak 1Ak) H)k5X的概率分布為4 1 k 1PX k ( )k 15 5(k1,2,3,7、解：（1）（X，Y）的取值為（1,2)，(1, 3)，(2，1), (2 , 3),(3, 1),、111p12PX 1, Y2-326p13PX 1, Y3111326同理可得P21P23P31P321/6此外事件X 1, Y1,X3, Y 3 , XP11P3

15、3P220,尸是（X,丫）的概率分布表為123101/61/621/601/631/61/60（2）（X, Y）關(guān)于X的邊緣概率分布X123Pi1/31/31/3（X, Y）關(guān)于Y的邊緣概率分布Y123Pj1/31/31/3（3）X和Y不相互獨(dú)立，由于PPjpij。（3，2），由概率乘法公式可得2，Y2都是不可能事件，所以&解:xn 為 X 1， X2，,Xn觀測(cè)值，則構(gòu)造似然函數(shù)解得9、解:L()In Ld In Ld的極大似然估計(jì)為n ln(1)n(iXi)1)nIni 1Xi(1)F(x) PX xPX2F(;)-2P1X1PXP1XP1|In xi1nnIn xii 10,3121,P

16、X 1X j PX210、解：設(shè)事件 A表示：“取到的產(chǎn)品是次品”；事件A表示：取到的產(chǎn)品是第i家工廠(chǎng)生產(chǎn)的”(i 1，2，3 )。則A A2 A3，且P(Ai) 0，A1、A、A3兩兩互不相容,(1)由全概率公式得3P(A)P(A) P(A|Ai)i 11 21415132 10041004100400(2 )由貝葉斯公式得P(A1|A)=3P(A)P(A|A1)P(Aj)P(A| Aj)j 11 22 100 4131311、解：（1） x 0 時(shí)，fx（X）=0 ；x 0時(shí),fx(x)= f (x,y)dyydy故隨機(jī)變量X的密度函數(shù)fx(X) =PXY 1f (x, y) dxdy11

17、2dx0xe ydy12、解:EX =EX2DX13、解:設(shè)事件2exf (x)dxx2 f (x)dx10xxdxxdx16A表示：“取到的產(chǎn)品是次品”2 2EX (EX)(2x)dx2(2 x)dx事件 a表示：“取到的產(chǎn)品是第i車(chē)間生產(chǎn)的”(i 1, 2 , 3 )。則A A2 A3，且P(A) 0, A1、A2、A3兩兩互斥，由全概率公式得3P(A) P(A) P(A|Ai)i 125535440269預(yù)碩面面面而 2000p(A1|a)=3P(A)P(A|A)P(Aj)P(A|Aj)j 1255100 100256969200014、解：由于X服從U（1,3）,故知EX3 122 ;DX -3又Y服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，所以EY1、DY124因此得E(X Y) EX EY21/2212