量子力學(xué)講義第二章波函數(shù)和Schroinger方程

1、第二章 波函數(shù)和Schroinger方程 質(zhì)子在鈀中的波函數(shù) http:/www.imr.salford.ac.uk/groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html 薛定諤 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961) 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 波粒二象性的矛盾和解釋 1. 波和粒子的關(guān)系 波由粒子組成,波是大量粒子運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn) 與減少入射粒子流密度,讓粒子近似地一 個(gè)個(gè)從粒子源射出后仍有波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)不符 粒子由波組成,粒子=波包 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 反例:i)自由粒子平 面波,占據(jù)整個(gè)

2、空間 ii)色散 群速度: 相速度: 必有色散-粒子解體 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 粒子性 顆粒性(V) 軌道(X) 波動(dòng)性 物理量周期分布(V and X) 將”粒子分布”視為物理量 疊加性-干涉,衍射(V) 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 時(shí)間為t時(shí)刻,粒子出在 位置r的幾率 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 波函數(shù)的討論 的平方可積 除了個(gè)別孤立奇點(diǎn)外,波函數(shù)單值,有界,連續(xù) 不確定性: i) 表示同一個(gè)態(tài)-歸一化 ii)相角不確定性(常數(shù)相角) 經(jīng)典,態(tài)確定性 量子:幾率性=可用以計(jì)算平均值 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 波函數(shù)的討論 平面波 多粒子體系的推廣 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋

3、 動(dòng)量幾率分布函數(shù) =Fourier變換頻譜 展開(kāi) 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 可描寫(xiě)體系狀態(tài), 也可描寫(xiě)體系狀態(tài) 是同一個(gè)態(tài),不同自變量 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 代表在 態(tài)中, 出現(xiàn)單色平面波 的幾率 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 處在 的粒子,動(dòng)量無(wú)確定值 相當(dāng)于晶體衍射 如若 則 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象 2.2 態(tài)疊加原理 波疊加 經(jīng)典 合成的波中有各種成分 相干性 量子 相干性 新特點(diǎn) 2.2 態(tài)疊加原理 新特點(diǎn) 可能性和概率 干涉項(xiàng)的概率性 是粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)概率波自身的干涉,不是不 同粒子之間的干涉 2.2 態(tài)疊加原理 波疊加原理的表述 a)如果 是可能態(tài) 則 也是一

4、個(gè)可能態(tài) b)在 中,體系出現(xiàn) 的幾率是 2.2 態(tài)疊加原理 討論 a) b)光子偏整態(tài):Malus定律 2.2 態(tài)疊加原理 討論 但任何時(shí)候觀測(cè)到的都是一整個(gè)光子, 而不是 個(gè)光子 =概率相干 2.2 態(tài)疊加原理 討論 c)線性疊加 d)疊加次序并不重要 2.3 薛定諤方程 經(jīng)典力學(xué) 牛頓方程特點(diǎn): 線性方程 二階全微分方程,只有一個(gè)獨(dú)立變量t 唯一性 方程系數(shù)不含狀態(tài)參數(shù),有普適性 2.3 薛定諤方程 量子力學(xué) 要求: 線性方程(態(tài)疊加原理的直接要求) 系數(shù)也不含狀態(tài)參數(shù) t與x,y,z均為變量=只能是偏微分方程 解的唯一性=兩階正規(guī)方程 2.3 薛定諤方程 量子力學(xué) 進(jìn)入方程式,體現(xiàn)微觀

5、世界的特點(diǎn)(量子化) -0,過(guò)渡到牛頓方程 2.3 薛定諤方程 建立方程的啟示 自由粒子 已知解=方程式(不唯一) 2.3 薛定諤方程 已知解=方程式(不唯一) 2.3 薛定諤方程 一般情況: 2.3 薛定諤方程 說(shuō)明: a)波動(dòng)力學(xué)的基本假定,表征量子體系特征的量h 進(jìn)入了方程式,薛定諤方程在量子力學(xué)中的地位與 牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相當(dāng) b)算符形式 2.3 薛定諤方程 力學(xué)量用算符表示 兩個(gè)慣例 1)只在直角坐標(biāo)中適用,因?yàn)槲⑸滩粎f(xié)變 例:二維極坐標(biāo)下的薛定諤方程 2.3 薛定諤方程 兩個(gè)慣例 2)將H分成三部分: i)與坐標(biāo)無(wú)關(guān)的動(dòng)量二次式 ii)只依賴于坐標(biāo)的函數(shù) iii) 2.

6、3 薛定諤方程 因?yàn)橛胁ê瘮?shù)統(tǒng)計(jì)解釋,因此概率流守恒定律自動(dòng) 包含在薛定諤方程中 2.3 薛定諤方程 2.3 薛定諤方程 為什么 而與t無(wú)關(guān)? 2.3 薛定諤方程 定態(tài)U=U(r), 不顯含t 2.3 薛定諤方程 = 幾率流密度變不變? 2.3 薛定諤方程 本征值方程 2.3 薛定諤方程 邊界條件的討論: U連續(xù),波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù) U不連續(xù),波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù) U趨向無(wú)窮大 (一階)波函數(shù)連續(xù),一階導(dǎo)數(shù)不 連續(xù) U趨向無(wú)窮大(二階及以上)波函數(shù)不連續(xù),一 階導(dǎo)數(shù)亦不連續(xù) 2.4 一維方勢(shì)阱 一維無(wú)限深勢(shì)阱 2.4 一維方勢(shì)阱 一維無(wú)限深勢(shì)阱 2.4 一維方勢(shì)阱 一維無(wú)限深勢(shì)阱 2.4

7、 一維方勢(shì)阱 一維無(wú)限深勢(shì)阱 一維方勢(shì)阱波函數(shù)圖象 一維方勢(shì)阱波函數(shù)圖象 2.4 一維方勢(shì)阱 思考題: 將勢(shì)能為零的區(qū)間放大或者縮小一倍(分是 足夠緩慢的變還是突變兩種情況)時(shí),波函數(shù) 和能級(jí)怎么變? 將勢(shì)場(chǎng)曲線正題右移a,波函數(shù)和能級(jí)怎么變? 2.4 一維方勢(shì)阱 一維方勢(shì)阱 2.4 一維方勢(shì)阱 一維方勢(shì)阱 2.4 一維方勢(shì)阱 一維方勢(shì)阱 2.4 一維方勢(shì)阱 a)偶宇稱 波函數(shù)為 cos(kx) 關(guān)鍵:用 在 連續(xù)以代替波函數(shù) 以及導(dǎo)數(shù)的連續(xù).好處在于去掉波函數(shù)中常數(shù)的影響 2.4 一維方勢(shì)阱 結(jié)論:無(wú)論Ua2取何值,都有解(見(jiàn)下一頁(yè)圖) 一維方勢(shì)阱偶宇稱能譜圖 2.4 一維方勢(shì)阱 b)奇宇稱

8、 波函數(shù)為sin(kx) 結(jié)論:當(dāng) 時(shí)才有解(見(jiàn)下一頁(yè)圖) 一維方勢(shì)阱奇宇稱能譜圖 2.4 一維方勢(shì)阱 c)當(dāng)勢(shì)場(chǎng)趨于無(wú)窮時(shí),回到一維無(wú)限深勢(shì)阱的特例 具有不同的深度 但是寬度相同的方勢(shì)阱(1) 具有不同的深度 但是寬度相同的方勢(shì)阱(2) 具有相同的深度 但是寬度不同的方勢(shì)阱(1) 具有相同的深度 但是寬度不同的方勢(shì)阱(2) 2.4 一維方勢(shì)阱 思考題: 半壁無(wú)限勢(shì)阱時(shí)的解如何? 2.5 一維諧振子 Motivation: u 物理上: 勢(shì)場(chǎng)在平衡位置附近展開(kāi) U(x)k(x-x0)2 任何連續(xù)諧振子體系無(wú)窮多個(gè)諧振子集合 輻射場(chǎng)簡(jiǎn)諧波的疊加 原子核表面振動(dòng),理想固體(無(wú)窮個(gè)振子) 真正可以嚴(yán)

9、格求解的物理勢(shì)(不是間斷勢(shì)) 描述全同粒子體系產(chǎn)生,湮滅算符 2.5 一維諧振子 Motivation: u 數(shù)學(xué)上: 學(xué)會(huì)一套規(guī)范化的求解薛定諤方程的方案 通過(guò)數(shù)學(xué),看物理 2.5 一維諧振子 2.5 一維諧振子 求解1D Schrodinger Eq with harmonic oscillator u 無(wú)量綱化 優(yōu)點(diǎn) 單位在物理學(xué)上并不重要,重要的是一些無(wú) 量綱數(shù) 可使方程的系數(shù)變得最簡(jiǎn)單 2.5 一維諧振子 2.5 一維諧振子 u “抓兩頭,帶中間” 抓兩頭:看方程在兩邊邊界上的漸進(jìn)行為 (三維:0點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),一維:正負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)) 帶中間:使函數(shù)在兩頭有與漸近行為相同的 形式 2.5

10、 一維諧振子 使之變成關(guān)于H的方程式 2.5 一維諧振子 求級(jí)數(shù)解,找遞推關(guān)系 看解在無(wú)窮遠(yuǎn)處的漸近行為,”斬?cái)嗄ёΑ?無(wú) 限求和截?cái)酁橛邢薜亩囗?xiàng)式,從而得到能譜 及解 求出波函數(shù)=歸一化 aH 0121 2 aaa aa 21 12 2 2 2 v a a !1 2 ! 2 ! 2 1 24 2 2 e 12 n , 2 , 1 , 0n 2 2 2 42 2 ! 2 ! 1 2 ! 2 321 212 n n n nnn n n n nnnn nnH 為奇數(shù) 為偶數(shù) n n n n n)( 2/1 2/ 2 , 2 , 1 , 0 2 1 nnEn nn EE 1 2 1 0 E xHeN

11、x n x nn 22 2 1 2/1 2/1 !2 n N n n 2.5 一維諧振子 u 厄米多項(xiàng)式的討論 別名 母系(母函數(shù)) 仇家(正交性) 2.5 一維諧振子 u 厄米多項(xiàng)式的討論 兄弟姊妹(遞推關(guān)系) 對(duì)稱性 節(jié)點(diǎn) 2.5 一維諧振子 u 最低階的幾個(gè)厄米多項(xiàng)式及諧振子波函數(shù) 2.5 一維諧振子 p 產(chǎn)生湮滅算符 2.5 一維諧振子 思考題: 半壁振子(兩種情況)(圖)(暫缺) 2.5 一維諧振子 思考題: 對(duì)稱性 動(dòng)量表象 2.5 一維諧振子 思考題: n維諧振子體系等間距能級(jí) n個(gè)粒子 元激發(fā)(elementary exitation) 集合產(chǎn)生湮 滅算符 2.6 一維薛定諤方

12、程的普遍性質(zhì) 一維非奇性勢(shì)薛定諤方程的束縛態(tài)無(wú)簡(jiǎn)并 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 一維束縛態(tài)波函數(shù)可取為實(shí)數(shù) 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 一維束縛態(tài)本征函數(shù)的圖象(圖見(jiàn)后) 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 一維束縛態(tài)本征函數(shù)的圖象 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 一維束縛態(tài)本征函數(shù)的圖象 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 能量本征函數(shù)性質(zhì),以x趨近正無(wú)窮大為例 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 能量本征譜性質(zhì) 振蕩解,連續(xù)譜,二度簡(jiǎn)并,散射態(tài) 指數(shù)衰減解 振蕩解 本征譜連續(xù),無(wú)簡(jiǎn)并,非束縛態(tài)解 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 兩端均指數(shù)衰減,束

13、縛態(tài)解,分立譜,無(wú) 簡(jiǎn)并 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 節(jié)點(diǎn)數(shù): 基態(tài)無(wú)節(jié)點(diǎn),第n個(gè)激發(fā)態(tài)有n個(gè)節(jié)點(diǎn) 對(duì)稱性: 若U(x)=U(-x) 則波函數(shù)可具有確定的宇稱 正交歸一性 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 上述結(jié)論均可用 的性質(zhì)證明 一維薛定諤方程的所有性質(zhì)都與其相應(yīng)的 Wronskian行列式有關(guān) 2.7 勢(shì)壘貫穿 經(jīng)典圖象:眼前無(wú)路好回頭 量子圖象:眼前無(wú)路穿著走 勢(shì)阱有無(wú)穿透? 什么條件下全透射無(wú)反射? 勢(shì)壘高度和寬度的影響? 2.7 勢(shì)壘貫穿 2.7 勢(shì)壘貫穿 2.7 勢(shì)壘貫穿 2.7 勢(shì)壘貫穿 2.7 勢(shì)壘貫穿 2.7 勢(shì)壘貫穿 2.7 勢(shì)壘貫穿 在非相對(duì)論情況下,粒子不可能穿

14、透無(wú)限高位壘 2.7 勢(shì)壘貫穿 如果討論的是勢(shì)阱而不是勢(shì)壘,那么只需要作代換 2.7 勢(shì)壘貫穿 共振透射的條件和共振能量 2.8 三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) 輳力 普遍性質(zhì) 若U(r)處處有界=波函數(shù)處處有界 若U(r)有極小值,則體系平均能量必大于勢(shì)場(chǎng) 的極小值 能量算符的本征值比大于勢(shì)場(chǎng)的極小值 若無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)場(chǎng)為零,則能量本征值小于零 的能譜必定是分立譜,對(duì)應(yīng)束縛態(tài) 2.8 三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) 普遍性質(zhì) Landau fall 2.8 三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) Landau fall s2: r趨于零,吸引力為主;r趨于無(wú)窮,斥力為主 Landau fall s=2: 決定

15、于c和alpha的數(shù)值 alpha_critical=barh2/8m 2.8 三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) 角度部分的解 2.8 三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) 2.8 三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) 2.8 三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) 2.8 三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) 2.8 三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì) 別名 2.8 三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) 母系 兄弟姊妹 2.8 三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) 仇家 對(duì)稱性 2.8 三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) 幾個(gè)最低階的勒讓德多項(xiàng)式如下 2.8 三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) 2.8 三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) 2.8 三

16、維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) 綜上所述,球?qū)ΨQ場(chǎng)中薛定諤方程角度部分的解 2.8 三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) 最低的幾個(gè)球諧函數(shù)是 2.8 三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況) 最低的幾個(gè)球諧函數(shù)是 2.9 氫原子 二體問(wèn)題 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng) 相當(dāng)于自由粒子運(yùn)動(dòng) M=m1+m2 相當(dāng)于一個(gè)質(zhì)量為折合質(zhì)量 m的粒子的運(yùn)動(dòng) m=m1*m2/(m1+m2) Et=Ec+E 2.9 氫原子 庫(kù)侖場(chǎng)中的徑向方程 2.9 氫原子 2.9 氫原子 2.9 氫原子 2.9 氫原子 作代換 得到 令 2.9 氫原子 2.9 氫原子 為切斷無(wú)窮級(jí)數(shù),取 由 得到 2.9 氫原子 2.9 氫原子 由此,氫原子的鏡像波函數(shù)是 最低階的幾個(gè)徑向波函數(shù)最低階的幾個(gè)徑向波函數(shù) 2.9 氫原子 討論 簡(jiǎn)并度 2.9 氫原子 討論 能級(jí) 對(duì)一般有心力場(chǎng),能級(jí)與角動(dòng)量量子數(shù)l 與磁量子數(shù)m有關(guān) 徑向分布函數(shù)與半徑的關(guān)系徑向分布函數(shù)與半徑的關(guān)系(a) 徑向分布函數(shù)與半徑的關(guān)系徑向分布函數(shù)與半徑的關(guān)系(b) 徑向分布函數(shù)與半徑的關(guān)系徑向分布函數(shù)與半徑的關(guān)系(c) 2.9 氫原子 討論 徑向分布函數(shù): 節(jié)點(diǎn)數(shù) 2.9 氫原子 討論 角分布 特點(diǎn):對(duì)z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(因?yàn)槭荓z的本征態(tài)) 波函數(shù)角分布的圖象波函數(shù)角分布的圖象(a) 波函數(shù)角分布的圖象波函數(shù)角分布