2.1導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義北師大選修-ppt課件

1、1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義 先來復(fù)習導(dǎo)數(shù)的概念先來復(fù)習導(dǎo)數(shù)的概念 定義：設(shè)函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點在點x0處及其附近有定義處及其附近有定義,當當 自變量自變量x在點在點x0處有改變量處有改變量x時函數(shù)有相應(yīng)的改變量時函數(shù)有相應(yīng)的改變量 y=f(x0+ x)- f(x0).如果當如果當x0 時時,y/x的極限存的極限存 在在,這個極限就叫做函數(shù)這個極限就叫做函數(shù)f(x)在點在點x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)(或變化率或變化率) 記作記作 即即: ,|)( 0 0 xx yxf 或 00 0 00 ()() ()limlim. xx f xxf xy fx xx )2( ),1( ),( ,)(1 2

2、 ffxfxxf求：設(shè)例 的值代入求得導(dǎo)數(shù)值。 再將自變量義求思路：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定),( xf x x xxx x xxx x xfxxf xf x xx 2 )2( lim )( lim )()( lim)( 0 22 00 解：由導(dǎo)數(shù)的定義有 422)( )2( 2) 1(2)( ) 1( 2 1 x x xff xff 處的導(dǎo)數(shù)。在：求函數(shù)例12xxy x x x y xy 11 11解： 2 1 11 1 lim 0 x x 2 1 1 x y 11 1 x 下面來看導(dǎo)數(shù)的幾何意義: y=f(x) P Q M xx yy O x y P y=f(x) Q M xx yy O x y 如

3、圖如圖,曲線曲線C是函數(shù)是函數(shù)y=f(x) 的圖象的圖象,P(x0,y0)是曲線是曲線C上上 的的 任意一點任意一點,Q(x0+x,y0+y) 為為P鄰近一點鄰近一點,PQ為為C的割線的割線, PM/x軸軸,QM/y軸軸,為為PQ的的 傾斜角傾斜角. .tan ,: x y yMQxMP則則 y x 請問：是割線PQ的什么? 斜 率! P Q ox y y=f(x) 割割 線線 切線切線 T 請看當點請看當點Q沿著曲線逐漸向點沿著曲線逐漸向點P接近時接近時,割線割線PQ繞著繞著 點點P逐漸轉(zhuǎn)動的情況逐漸轉(zhuǎn)動的情況. 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當點當點Q沿著曲線無限接近點沿著曲線無限接近點P即即x0時時

4、,割線割線PQ 有一個極限位置有一個極限位置PT.則我們把直線則我們把直線PT稱為曲線在點稱為曲線在點P處的切線處的切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那么當那么當x0時時,割線割線PQ的斜率的斜率,稱為稱為 曲線在點曲線在點P處的切線的斜率處的切線的斜率. 即即: 00 0 00 ()( ) ( )limlim xx f xxf xy kf x xx 切線 這個概念這個概念:提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù). 初中平面幾何中圓的切線的定義：直線和圓有唯一公共點時，初中平面幾何

5、中圓的切線的定義：直線和圓有唯一公共點時， 叫做直線和圓相切。這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做直線和圓相切。這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點 叫做切點。叫做切點。 割線趨近于確定的位置的直線定義為切線割線趨近于確定的位置的直線定義為切線. 曲線與直線相切，并不一定只有一個公共點。曲線與直線相切，并不一定只有一個公共點。 例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點在點P(1,2)處的切線方程處的切線方程. Q P y=x 2 +1 x y -1 1 1 O j M y x . 2 )(2 lim ) 11 (1)1 ( lim )()( lim: 2 0 2 0 00 0 x xx

6、x x x xfxxf k x x x 解解 因而因而,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1), 即即y=2x. 求曲線在某點處的切線方程求曲線在某點處的切線方程 的基本步驟的基本步驟:先利用切線斜率先利用切線斜率 的定義求出切線的斜率的定義求出切線的斜率,然后然后 利用點斜式求切線方程利用點斜式求切線方程. 練習練習:如圖已知曲線如圖已知曲線 ,求求: (1)點點P處的切線的斜率處的切線的斜率; (2)點點P處的切線方程處的切線方程. ) 3 8 , 2( 3 1 3 Pxy上一點上一點 y x -2 -1 12 -2 -1 1 2 3 4 O P 3 1 3 yx .)(33lim 3

7、1 )()(33 lim 3 1 3 1 )( 3 1 limlim, 3 1 )1( 222 0 322 0 33 00 3 xxxxx x xxxxx x xxx x y yxy x x xx 解解： . 42| 2 2 x y 即點即點P處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)在點在點P處的切線方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0. （1求出函數(shù)在點求出函數(shù)在點x0處的變化率處的變化率 ，得到曲，得到曲 線線 在點在點(x0,f(x0)的切線的斜率。的切線的斜率。 )( 0 x f （2根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，即根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，即 ).)()( 000 xxxfxfy 歸納歸納:求切線方程的步驟求切線方程的步驟 無限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)無限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù) 概念