三角恒等變換之輔助角公式

1、三角恒等變換之輔助角公式輔助角公式 在三角函數(shù)中，有一種常見(jiàn)而重要的題型，即化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，進(jìn)而求原函數(shù)的周期、值域、單調(diào)區(qū)間等.為了幫助學(xué)生記憶和掌握這種題型的解答方法,教師們總結(jié)出公式=或=,讓學(xué)生在大量的訓(xùn)練和考試中加以記憶和活用.但事與愿違,半個(gè)學(xué)期不到,大部分學(xué)生都忘了,教師不得不重推一遍.到了高三一輪復(fù)習(xí),再次忘記,教師還得重推!本文旨在通過(guò)輔助角公式的另一種自然的推導(dǎo),體現(xiàn)一種解決問(wèn)題的過(guò)程與方法,減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān);同時(shí)說(shuō)明“輔助角”的范圍和常見(jiàn)的取角方法,幫助學(xué)生澄清一些認(rèn)識(shí);另外通過(guò)例子說(shuō)明輔助角公式的靈活應(yīng)用,優(yōu)化解題過(guò)程與方法;最后通過(guò)例子說(shuō)明輔助公式在

2、實(shí)際中的應(yīng)用,讓學(xué)生把握輔助角與原生角的范圍關(guān)系,以更好地掌握和使用公式.一.教學(xué)中常見(jiàn)的的推導(dǎo)方法教學(xué)中常見(jiàn)的推導(dǎo)過(guò)程與方法如下1.引例例1 求證：sin+cos=2sin（+）=2cos（-）.其證法是從右往左展開(kāi)證明,也可以從左往右“湊”,使等式得到證明,并得出結(jié)論:可見(jiàn), sin+cos可以化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式. 一般地,asin+bcos 是否可以化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式呢? 2.輔助角公式的推導(dǎo)例2 化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式. 解: asin+bcos=(sin+cos), 令=cos,=sin,則asin+bcos=(sincos+cossin)=sin(+),(其中t

3、an=) 令=sin,=cos,則asin+bcos=(sinsin+coscos)=cos(-),(其中tan=)其中的大小可以由sin、cos的符號(hào)確定的象限,再由tan的值求出.或由tan=和(a,b)所在的象限來(lái)確定.推導(dǎo)之后,是配套的例題和大量的練習(xí).但是這種推導(dǎo)方法有兩個(gè)問(wèn)題:一是為什么要令=cos,=sin?讓學(xué)生費(fèi)解.二是這種 “規(guī)定”式的推導(dǎo),學(xué)生難記易忘、易錯(cuò)!二.讓輔助角公式=來(lái)得更自然能否讓讓輔助角公式來(lái)得更自然些?這是我多少年來(lái)一直思考的問(wèn)題.2009年春.我又一次代2008級(jí)學(xué)生時(shí),終于想出一種與三角函數(shù)的定義銜接又通俗易懂的教學(xué)推導(dǎo)方法.r圖1O的終邊P(a,b)

4、x首先要說(shuō)明，若a=0或b=0時(shí)，已經(jīng)是一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，無(wú)需化簡(jiǎn).故有ab0.1.在平面直角坐標(biāo)系中,以a為橫坐標(biāo),b為縱坐標(biāo)描一點(diǎn)P(a,b)如圖1所示,則總有一個(gè)角,它的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.設(shè)OP=r,r=,由三角函數(shù)的定義知sin=,cos=.所以asin+bcos=cos sin+sincos =.(其中tan=)圖2rOxy的終邊P(b,a)2.若在平面直角坐標(biāo)系中,以b為橫坐標(biāo),以a為縱坐標(biāo)可以描點(diǎn)P(b,a),如圖2所示,則總有一個(gè)角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(b,a),設(shè)OP=r,則r=.由三角函數(shù)的定義知 sin=,cos=. asin+bcos= =. (其中tan=) 例3 化

5、為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式. 解:在坐標(biāo)系中描點(diǎn)P(,1),設(shè)角的終邊過(guò)點(diǎn)P,則OP =r=2.sin=,cos=. =2cossin+2sincos=2sin().tan=.,=2sin().經(jīng)過(guò)多次的運(yùn)用,同學(xué)們可以在教師的指導(dǎo)下,總結(jié)出輔助角公式asin+bcos=(sin+cos)=,(其中tan=).或者asin+bcos=(sin+cos)=,(其中tan=)我想這樣的推導(dǎo),學(xué)生理解起來(lái)會(huì)容易得多,而且也更容易理解asin+bcos湊成(sin+cos)的道理,以及為什么只有兩種形式的結(jié)果.例4 化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式.解法一:點(diǎn)(1,-)在第四象限.OP=2.設(shè)角過(guò)P點(diǎn)

6、.則,.滿足條件的最小正角為,解法二:點(diǎn)P(-,1)在第二象限,OP=2,設(shè)角過(guò)P點(diǎn).則,.滿足條件的最小正角為,三.關(guān)于輔助角的范圍問(wèn)題由中,點(diǎn)P(a,b)的位置可知,終邊過(guò)點(diǎn)P(a,b)的角可能有四種情況(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).設(shè)滿足條件的最小正角為,則.由誘導(dǎo)公式(一)知其中，的具體位置由與決定，的大小由決定類似地，的終邊過(guò)點(diǎn)（，），設(shè)滿足條件的最小正角為，則由誘導(dǎo)公式有，其中，的位置由和確定，的大小由確定注意：一般地，；以后沒(méi)有特別說(shuō)明時(shí)，角（或）是所求的輔助角四關(guān)于輔助角公式的靈活應(yīng)用引入輔助角公式的主要目的是化簡(jiǎn)三角函數(shù)式在實(shí)際中結(jié)果是化為正弦還是化為余弦要具體

7、問(wèn)題具體分析，還有一個(gè)重要問(wèn)題是，并不是每次都要化為的形式或的形式可以利用兩角和與差的正、余弦公式靈活處理例化下列三角函數(shù)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式（）；（）解：（）（）在本例第（）小題中，我們并沒(méi)有取點(diǎn)（，），而取的是點(diǎn)（，）也就是說(shuō)，當(dāng)、中至少有一個(gè)是負(fù)值時(shí)我們可以?。?，），或者（，）這樣確定的角（或）是銳角，就更加方便例6 已知向量,求函數(shù)=的最大值及相應(yīng)的的值.解: = = = = 這時(shí).此處,若轉(zhuǎn)化為兩角和與差的正弦公式不僅麻繁,而且易錯(cuò),請(qǐng)讀者一試.五.與輔助角有關(guān)的應(yīng)用題與輔助角有關(guān)的應(yīng)用題在實(shí)際中也比較常見(jiàn),而且涉及輔角的范圍,在相應(yīng)范圍內(nèi)求三角函數(shù)的最值往往是個(gè)難點(diǎn).NBMAQPO圖3書(shū)資料例7 如圖3,記扇OAB的中心角為,