計淑靜開題報告

1、鞍山師范學院數(shù)學系 12屆學生畢業(yè)設(shè)計（論文）開題報告課題名稱： 勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系學生姓名：計淑靜專 業(yè)：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學班 級：08級4班學 號：080429指導教師：趙艷英2012年 1 月 10 日論文開題報告論文題目：勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系一、選題意義1、現(xiàn)實意義：把實變函數(shù)論的主體內(nèi)容與經(jīng)典微積分學結(jié)合起來進行比較分析,主要從積分的定義、性質(zhì)及重要定理等方面對勒貝格積分與黎曼積分進行比較分析,闡明二者之間內(nèi)在的聯(lián)系與區(qū)別,旨在為實變函數(shù)理論學習提供一些參考與幫助。勒貝格積分和黎曼積分極大地推動了數(shù)學的發(fā)展，繼而能夠比較容易的解決有關(guān)幾何、物理甚至經(jīng)濟等自然學科的相關(guān)問題。

2、 2、理論意義：勒貝格(lebesgue)測度與積分理論的發(fā)展奠定了近代分析數(shù)學的基礎(chǔ)，而這一變革和發(fā)展的根基就是經(jīng)典的黎曼(riemann)積分。因而riemann積分的概念和理論是十分重要的在數(shù)學分析的教學中，riemann積分占據(jù)了主導內(nèi)容，同時也是學習數(shù)學分析的后續(xù)課程-常微分方程、復(fù)變函數(shù)論、實變函數(shù)論、概率論以及力學課程的重要基礎(chǔ)。勒貝格積分黎曼積分有著密切的聯(lián)系,它是黎曼積分的拓廣,比黎曼積分優(yōu)越,對黎曼積分起指導保證作用,利用它來研究黎曼積分的許多概念可得到較為深刻的結(jié)果,提供黎曼積分本身無法解決的一些問題的理論根據(jù);反過來,黎曼積分是勒貝格積分的模型。二、論文綜述1、理論淵源

3、及演進過程勒貝格積分理論作為分析學中的一個有效工具的出現(xiàn)，尤其是他在三角級數(shù)中應(yīng)用的高度成功，吸引了許多數(shù)學家，例如p法國（fatou），f里斯(riesz)和e菲舍爾(fischer)等，來探討有關(guān)的問題，使得這一領(lǐng)域開始迅速發(fā)展其中特別是里斯關(guān)于lp空間的工作(注：勒貝格可積的函數(shù)全體構(gòu)成的距離空間是完備的)，使得勒貝格積分在積分方程和函數(shù)空間的理論中持久地占有重要的位置勒貝格積分是以昂利.勒貝格命名的，他于1904年引入了這個積分定義。今天勒貝格積分有狹義和廣義兩種意義。廣義地說是相對于一個測度而定義的函數(shù)積分。狹義則是指相對于勒貝格測度在實直線?；蛘吒呔S數(shù)的歐式空間的一個子集中定義的

4、函數(shù)的積分。在閉區(qū)間a和b之間對函數(shù)f的積分可以被看作是求f的函數(shù)圖像下的面積。對于多項式這樣比較常見的函數(shù)來說這個定樣比較常見的函數(shù)來說這個定義簡而易懂。但是對于更加稀奇古怪的函數(shù)來說它是什么意思呢？廣義地來說，對于什么樣的呢？廣義地來說，對于什么樣的函數(shù)“函數(shù)圖像下的面積”這個函數(shù)“函數(shù)圖像下的面積”這個呢？廣義地來說，對于什么樣的函數(shù)“函數(shù)圖像下的面積”這個概念有意義？這個問題的答案具有很大的理論性和實際性意義。19世紀里在數(shù)學中有把整個數(shù)學理論放到一個更加堅固的基礎(chǔ)上的趨勢。在這個過程中數(shù)學家也試圖給積分計算提供一個穩(wěn)固的定義。波恩哈德.黎曼提出的黎曼積分成功地為積分運算提供了一個這樣

5、的基礎(chǔ)。黎曼積分的出發(fā)點是構(gòu)造一系列容易計算的面積，這些面積最后收斂于給定的函數(shù)的積分。這個定義很成功，為許多其它問題提供了有用的答案。但是在求函數(shù)序列的極限的時候黎曼積分的效果不良，這使得候黎曼積分的效果不良，這使得這些極限過程難以分析。而這個分析比如在研究傅里葉級數(shù)、傅里葉變換和其它問題時卻是極其重要的。勒貝格積分能夠更好地描述在什么情況下積分有極限。勒貝格積分所使用的容易計算的面積與黎曼積分所使用的不同，這是勒貝格積分更加成功的主要原因。勒貝格的定義也使得數(shù)學家能夠計算更多種類的函數(shù)的積分。比如輸入值為無理數(shù)時輸出值為1，其它情況下輸出值為0的狄利克雷函數(shù)沒有黎曼積分，但是有勒貝格積分。

6、黎曼積分的重要推廣，分析數(shù)學中普遍使用的重要工具。 2、國外有關(guān)研究的綜述19世紀的微積分學中已經(jīng)有了許多直觀而有用的積分，例如黎曼積分（簡稱r積分）、黎曼-斯蒂爾杰斯積分(簡稱r-s積分)等。只要相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)良好,用這些積分來計算曲邊形面積、物體 、重心、物理學上的功、能等，是很方便的。然而，隨著認識的深入，人們愈來愈經(jīng)常地需要處理復(fù)雜的函數(shù)，例如，由一列性質(zhì)良好的函數(shù)組成級數(shù)所定義出來的函數(shù)，兩個變元的函數(shù)對一個變元積分后所得到的一元函數(shù)等。在討論它們的可積性、連續(xù)性、可微性時，經(jīng)常遇到積分與極限能否交換順序的問題。通常只有在很強的假設(shè)下才能對這問題作出肯定的回答。因此，在理論和應(yīng)用上都

7、迫切要求建立一種新的積分,它既能保持r積分的幾何直觀和計算上的有效，又能在積分與極限交換順序的條件上有較大的改善。1902年法國數(shù)學家h.l.勒貝格出色地完成了這一工作，建立了以后人們稱之為勒貝格積分的理論，接著又綜合r-s積分思想產(chǎn)生了勒貝格-斯蒂爾杰斯積分（簡稱ls積分）。20世紀初又發(fā)展成建立在一般集合上的測度和積分的理論，簡稱測度論。 3、國內(nèi)有關(guān)研究的綜述：從積分理論的幾個主要方面（可積范圍、收斂條件等）對黎曼積分進行了評析，認真地分析了黎曼積分相對于牛頓積分和柯西積分所表現(xiàn)出來的優(yōu)勢，以及相對于勒貝格積分所暴露出來的局限性顏毅華和櫻井 2 0 00年在太陽物理雜志上發(fā)表一文 ,他們

8、采取引入滿足一定條件的局部參數(shù)來替代無力因子的方法 ,針對太陽光球外圍開放空間的非常無力場模型 ,提出了一個邊界積分方程表示 .李柱恒等人在 2 00 4年發(fā)表于英國皇家天文學月刊的文章中 ,研究該邊界積分方程的性質(zhì) ,遇到了一類重要奇異曲面積分 .為了計算這類積分 ,本文在黎曼積分理論中引入同分布概念 ,建立同分布原理 ,并給出它的某些重要應(yīng)用 .4、本人對以上的綜述勒貝格積分與黎曼積分的產(chǎn)生和發(fā)展與力學、物理學和幾何學的發(fā)展緊密相聯(lián)，勒貝格積分和黎曼積分的產(chǎn)生具有深遠的歷史意義，一方面，極大的推動了數(shù)學學科的發(fā)展，豐富了數(shù)學學科的思想；另一方面，勒貝格積分與黎曼積分在力學以及物理和其他學科

9、中應(yīng)用，極大地推動了其他科學的發(fā)展。三、論文提綱 前言：勒貝格(lebesgue)測度與積分理論的發(fā)展奠定了近代分析數(shù)學的基礎(chǔ)，而這一變革和發(fā)展的根基就是經(jīng)典的黎曼(riemann)積分。因而riemann積分的概念和理論是十分重要的在數(shù)學分析的教學中，riemann積分占據(jù)了主導內(nèi)容，同時也是學習數(shù)學分析的后續(xù)課程-常微分方程、復(fù)變函數(shù)論、實變函數(shù)論、概率論以及力學課程的重要基礎(chǔ)。本文介紹了勒貝格積分的定義及性質(zhì)、黎曼積分的定義、性質(zhì)和定理。進而了解勒貝格積分和黎曼積分的聯(lián)系和區(qū)別、勒貝格積分相對于黎曼積分的優(yōu)越性。（一） 勒貝格積分的概念和性質(zhì)：1、 勒貝格積分的定義2、 勒貝格積分的性質(zhì)

10、定理（二）黎曼積分的概念和性質(zhì)：3、 黎曼積分的定義4、 黎曼積分的性質(zhì)定理（三） 勒貝格積分與黎曼積分的其他定理：1、 可積函數(shù)的連續(xù)性2、 積分的可加性3、 積分極限定理4、 牛頓-萊布尼茲公式（四） 勒貝格積分相對于黎曼積分的優(yōu)越性 ：1、 勒貝格可積函數(shù)的范圍比黎曼積分廣泛2、 在勒貝格積分意義下,積分與極限交換順序的條件比較弱結(jié)論：勒貝格積分和黎曼積分在數(shù)學中占重要地位。同時，它和物理學、 幾何學也有很大的聯(lián)系，以上幾個方面的應(yīng)用也只是勒貝格積分和黎曼積分在幾何問題、物理學中應(yīng)用的一部分, 勒貝格積分和黎曼積分還有很多其它應(yīng)用之處。只要勤于學習, 善于思考, 勇于探索,就一定能從中感

11、受到定積分的無窮魅力, 同時也能提高應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題的能力。使自己對定積分有更深刻的認識。四、預(yù)期結(jié)果勒貝格積分和黎曼積分在數(shù)學中占重要地位。只要勤于學習, 善于思考, 勇于探索,就一定能從中感受到勒貝格積分和黎曼積分的無窮魅力, 使自己對勒貝格積分和黎曼積分有更深刻的認識，同時也能提高應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題的能力。五、參考文獻1劉培德，實變函數(shù)教程，科學出版社，20062李大華，應(yīng)用泛函簡明教程，華中理工大學出版社，19993于宗義，實變函數(shù)論，山東大學出版社，19994夏道行、嚴紹宗實變函數(shù)與應(yīng)用泛函分析基礎(chǔ)，上?？茖W技術(shù)出版社，19875周民強，實變函數(shù)，北京大學出版社，19996沈鳳英 淺談勒貝格積分與黎曼積分 蘇州教育學院學報7 潘學鋒 淺談黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別 甘肅聯(lián)合大學學報8 汪秀榮 從黎曼積分、勒貝格積分看積分理論的發(fā)展廣西師范學報9洪憲濤 關(guān)于勒貝格積分的引入 廣西教育學院學報 10葉臣、周暉杰 黎曼相關(guān)積分的研究高等教學研究六、論文寫作進度安排11月初11月中旬 論文選題，確定論文題目11月下旬12月末 根據(jù)所選論文題目搜集資