齊次和非齊次線性方程組的解法(整理定稿)

1、線性方程組解的結(jié)構(gòu)(解法)一、齊次線性方程組的解法【定義】r(a)= r n，若ax = 0 (a為m n矩陣)的一組解為 自,&,“a，且滿足：1 h，|，&r線性無關(guān)；(2) ax = 0的)任一解都可由這組解線性表示 .則稱&，&，|“，& r為ax = 0的基礎(chǔ)解系.稱xki a k2 & i kn r en r為ax = 0的通解。其中k,卜2,，加為任意常數(shù)).齊次線性方程組的關(guān)鍵問題就是求通解，而求通解的關(guān)鍵問題是求基礎(chǔ)解系.【定理】若齊次線性方程組 ax = 0有解，則(1)若齊次線性方程組 ax = 0 (a為m n矩陣)滿足r(a) n ,則只有零解；(2)齊次線性方程組有

2、非零解的 充要條件是r(a) n.(注：當(dāng)m n時(shí)，齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式a 0.)注：1、基礎(chǔ)解系不唯一，但是它們所含解向量的個(gè)數(shù)相同，且基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于n r(a).2 、非齊次線性方程組 ax b的同解方程組的導(dǎo)出方程組(簡稱“導(dǎo)出組”)為齊次線性方程組ax 。所對應(yīng)的同解方程組。由上述定理可知，若 m是系數(shù)矩陣的行數(shù)(也即方程的個(gè)數(shù))，n是未知量的個(gè)數(shù)，則有：(1) 當(dāng)m n時(shí)，r(a) m n ,此時(shí)齊次線性方程組一定有非零解，即齊次方程組中未知量的個(gè)數(shù) 大于方程的個(gè)數(shù)就一定有非零解；(2)當(dāng)m n時(shí)，齊次線性方程組有非零解的 充要條件是它的系數(shù)

3、行列式 a 0;(3)當(dāng)m n且r(a) n時(shí)，若系數(shù)矩陣的行列式|a 0,則齊次線性方程組只有零解；(4)當(dāng)m n時(shí)，若r(a) n ,則存在齊次線性方程組的同解方程組；若r(a) n ,則齊次線性方程組無解。1、求ax = 0 (a為m n矩陣)通解的三步驟(1) a 行 c (行最簡形)；寫出同解方程組 cx =0.(2)求出cx =0的基礎(chǔ)解系&, &,|“，& r ;寫出通解xk1 &k2 &illknr其中kl, k2,，kn-r為任意常數(shù).2x13x2x35x40,3x1x22x3x40,4x1x23x36x40,x12x24x37x40.【例題1】解線性方程組解法一：將系數(shù)矩陣

4、a化為階梯形矩陣1014iii431672643顯然有r（a）則方程組僅有零解，即x1x2x3x40.解法二:由于方程組的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)（即n ）（注意：方程組的個(gè)數(shù)不等于未知量的個(gè)數(shù)（即以用行列式的方法來判可計(jì)算系數(shù)矩行列式：3270 ,知方程組僅有零解,x1x2x3x40.注：此法僅對n較小時(shí)方便x1x2x3x4x50,3x12x2x3x43x50,x22x32x46x50,5x14x23x33x4x50.【例題2】解線性方程組解：將系數(shù)矩陣a化為簡化階梯形矩陣1a 30512141123112313611 ( 5)1 ( 3)4r210001111122212221666r2r2

5、2(1)r131) r42可得r(a) 2則方程組有無窮多解,同解方程組為令 x31 , x4x1x20,x32x3x42x45x5, 6x5.(其中x3 , x4人為自由未知量）x5 0 ，得x11,x22;令 x30 , x41 , x50 ,得為1,x22;1 ,得 xi 5,x26,12125611，20,30010001所以，原方程組的通解為 xk1基礎(chǔ)解系為于是得到原方程組的一個(gè)1k2二、非齊次線性方程組的解法k3 3 ( k1 , k2 , k3r ).求ax = b的解（am n, r(a)用初等行變換求解,不妨設(shè)前列線性無關(guān)c11c12c22ci rc2rciic2d1d2(

6、a：b)hi crndrdr 10其中 cii0(i1,2,|,r),所以知(1)dr 10時(shí)，原方程組無解.(2) dr 10,r n時(shí)，原方程組有唯一解.dr 10,r n時(shí)，原方程組有無窮多解.其通解為k1，k2, ,kn r為任意常數(shù)。其中:,a r為ax = b導(dǎo)出組ax = 0的基礎(chǔ)解系，0為ax = b的特解,【定理1】如果是非齊次線性方程組 ax=b的解,是其導(dǎo)出組 ax=0的一個(gè)解，則是非齊次線性方程組ax=b的知i?！径ɡ?如果o是非齊次線性方程組的一個(gè)特解,是其導(dǎo)出組的全部解，則 0是非齊次線性方程組的全部解。由此可知：如果非齊次線性方程組有無窮多解，則其導(dǎo)出組一定有非零

7、解，且非齊次線性方程組的全部解可表不為:0 c1 1 c2 2其中：0是非齊次線性方程組的一個(gè)特解,n r是導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系?！纠}3】判斷下列命題是否正確,a為m n矩陣.ax=0只有零解,則ax=bw唯一解.答：錯,因 r(a)= n, r (a)= n = r(a | b)(2)ax=0有非零解,則ax=b無窮多解.答：錯,因 r(a) n, r (a)= r (a | b)ax=bw唯一解,則ax=0只有零解.r(a)=r(a | b) = n.(4)ax=0有非零解，則atx=0也有非零解.答：錯,a為m n,r(a)=mn, r(at)=m 這日ax=0只有零解.例如a為 3

8、4, r(a)=3 4, r(a)=3=m 若r( a)= r =m則ax=b必有解.答:卡寸，r(a)=r=m= r( a b).(6)若r(a)=r =n,則ax=b必有唯一解.答：錯，a為n,當(dāng)n 時(shí)，可以 r (a | b) = n+1.唯一解：r(a) r(a)線性方程組有唯一解【例題4】解線性方程組x12x14x1x2x2x22x32x34x31,4,2.n li4 22 41 12 4ba一 aii:角2)4)2匚 -22)r 4-3 /v2 (r216 0 0010 3 01003)x1可見r(a)r(a)3,則方程組有唯一解，所以方程組的解為x2x31,2, 0.無解:r(a

9、)r(a)線性方程組無解(或若階梯形方程組出現(xiàn)dr0 ,則原方程組無解)【例題5】解線性方程組解：a (ab)2x1x1x22x2x3x32x31,2, 4.2111121212121212r1 r2r1 2 r20333r2 r303331124r1 ( 1)r303360003x1x22 ,所以原方程組無解可見 r(a) 3 r(a)無窮多解：r(a) r(a) n線性方程組有無窮多解【例題6】解線性方程組x12x(2x1x2x2解：a(a b)10x32x3r1rr2 2 r2 1 r2 (r3 r11)可見r(a)r(a)4,x2x32x35x4,7x4.令x30,x4又原方程組的2x

10、43x410x42) r22 r33,1,4.則方程組有無窮多解，其同解方程組(其中x3, x4為自由未知量)0,得原方程組的一個(gè)特解導(dǎo)出組的同解方程組為x1x21410x32x35x4,7x4.(其中x3, x4為自由未知量)令 x3 1 , x4 0 ,得 x11,x2x3x45區(qū)于是得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 為所以，原方程組的通解為k1【例題7】 求線性方程組:2x1x1x1k2 2(k1k2r).解：a (a b)x22x2x2x3x4x32x33x4x41,2,3.的全部解.r1r2r1 ( 2)r1 ( 1)2311213011211211210334r2222(3)(2)(1)3

11、1r3r3(13)2(3)(2)12可見r(a)r(a)323212所以方程組有無窮多解,同解方程組x1x2x33x4,232x4,1x4.2（其中x4為自由未知量）令x40,可得原方程組的一個(gè)特解x1又原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為x2x332x4,3-x4,(其中x4為自由未知量)21- x4.2 4令x42 （注：這里取-2為了消去分母取單位向量的倍數(shù)），得x1 3,x23,x3 1,于是得到導(dǎo)出組的一個(gè) 基礎(chǔ)解系所以，原方程組的通解為 xk ( k r).【例題8】求非齊次線性方程組x13x2 3x3 2x4 x52x1 6x2 x3 3x4 2x1 3x2 2x3 x4 x5 3x1

12、 9x2 4x3 5x4 x5的全部解。1因?yàn)閞(a)r(a)5,所以非齊次線性方程組有無窮多組解，取自由未知量為x2, x4, x5 ,原方程組與方程組x13x25x33x3 2x4 x5x4 2x543同解0取自由未知量x2,x4,x5為00得原方程組的一個(gè)特解：t3 c 4 cc 一，0, ,0,0再求其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，其導(dǎo)出組與方程組x13x25x33x3x42x42x5x00同解對自由未知量x2,x4,x5分別取代入上式得到其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為1則原方程組的全部解為:c11c2c3 3三、證明與判斷【例題9已知3是齊次線性方程組ax= 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系

13、，證明1 , 12 , 123也是齊次線性方程組ax= 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。證：由已知可得：齊次線性方程組 ax= 0的基礎(chǔ)解系含有 3個(gè)解向量，并且由齊次線性方程組解的性質(zhì)可3都是ax= 0的解；因此只要證明1, 12, 123線性無關(guān)即可。設(shè)存在數(shù)&*2*3使k1 1k2( 12 )k3 ( 123)0 成立。整理得：（k1 k2 k3）1*2 k3 ) 2卜3 30(1)已知1, 2, 3是齊次線性方程組ax= 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，即得1, 2, 3線性無關(guān)，則由（1）得k1 k2 k30k2 k3 0 ,解得：ki k2 k3 0 所以i, i2, i 23線性無關(guān)。k30即1, 12,

14、123也是齊次線性方程組 ax= 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系?！纠}10】已知&,&,&, &是齊次線性方程組ax= 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，若1& t&,2& t&,3t&,4& t&。討論t滿足什么條件時(shí)1，2，3，4是齊次線性方程組ax= 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系解：首先,1，2，3，4是齊次線性方程組 ax= 0的解，只須證1, 2, 3, 4線性無關(guān)由已知有：(1，2，3，4)(&,&,&, a)因?yàn)?1， 2， 3， 4線性無關(guān)1 0 0 tt 1 0 00 t 1 00 0 t 1100 t即 01001t00t 1所以當(dāng)t1時(shí),1，2，3，4是齊次線性方程組ax= 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系【例題11已知n階矩

15、陣a的各行元素之和均為零，且r(a)= n-1,求線性方程組 ax=0的通解.解：由r(a)= n-1知ax=0的基礎(chǔ)解系有一個(gè)非零解向量.又 anai2jain0，i 1,2,|“，n,即 a1ai21 ain 10xk(1,1,|,1)t, (k為任意常數(shù))為所求通解.【例題12】設(shè)x,x2，xt是非齊次線性方程組ax =b 0的解向量，證明：對于 %=k1x+k2 x2+ +kt x當(dāng) k1 +k2+kt=1 時(shí)，是 ax=b 的解；當(dāng) k1 +k2+kt=0 時(shí)，x)是 ax=0 的解.證：ax=a( k1 x+k2 %+-+ktx)= k1 ax+k2 ax+ktax=k1 b+k2

16、 b+ktb=(k1+k2+kt)b故：當(dāng) k+k2+kt=1 時(shí)，ax =b當(dāng) k1 +k2+kt=0 時(shí)，ax=0由此可見，非齊次方程組的解對于線性組合并不一定封閉，只有組合系數(shù)的和等于1的時(shí)候，解向量組的線性組合才是非齊次方程組的解！【例題13】已知1, 2為ax的兩個(gè)不同解，&, &是ax = 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.k1，k2為任意常數(shù)則ax的通解為（(a) ki 4 k2( 4(b)k& k2( &(c)ki &k2 ( 1(d)k & k2( 12) -22【例題 14】3是四元非齊次線性方程組ax= b的三個(gè)解向量，且矩陣a的秩為3,1, 2,3, 4t,230, 1, 2, 3 t

17、，求 ax= b 的通解。解：因?yàn)閍的秩為3,則ax= 0的基礎(chǔ)解系含有 43= 1個(gè)解向量。由線性方程組解的性質(zhì)得:1)是ax= 0的解,則解得ax=。的一個(gè)非零解為:2,3,4,由此可得ax= b的通解為:1,2, 3, 4t c2, 3,4,【例題15設(shè)a是4階方陣，(w0)是4x1矩陣,r(a)2,3,4 是 ax =的解,且滿足 124208,230 33 ,3321 01試求方程組ax = 的通解.解：先求ax二的一個(gè)特解12 04再求ax = 的一個(gè)基礎(chǔ)解系3(2 23)021，32(2)(3 327015因?yàn)? r(a)2,&, &線性無關(guān),所以&, &是ax = 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.故方程組ax =的通解是k1 a1204k10213k227 , k1,k2為任意常數(shù).15【例題16】設(shè)矩