對兩道國家集訓(xùn)隊試題的探究

1、對兩道國家集訓(xùn)隊試題的探究 1 題好解巧 易推難證下面兩道國家集訓(xùn)隊試題及其解答頗耐人尋味.題1 在首項系數(shù)為1的二次函數(shù)中，找出使取最小值的函數(shù)表達(dá)式.（1990，中國數(shù)學(xué)奧林匹克國家集訓(xùn)隊試題）題2 記.當(dāng)a、b、c取遍所有實數(shù)時，求F的最小值. （2001，中國數(shù)學(xué)奧林匹克國家集訓(xùn)隊選拔考試） 注意到，題2可等價轉(zhuǎn)化為題3。 題3 記.當(dāng)a、b、c取遍所有實數(shù)時，求F的最小值. 文1對題1的解答為（表述略有改動）： 令，則 . 當(dāng)且僅當(dāng),即時,上式等號成立. 故,此時,. 文2注意到了題2與題3的等價性,并給出了題3的解答(表述有改動,并略去題2的解答)： 令,則 . 當(dāng)且僅當(dāng)即時,上式

2、等號成立. 故,此時,. 由題1及題3,通過類比,有如下推廣. 題4 在首項系數(shù)為1的次實系數(shù)多項式中,找出使取得最小值的函數(shù)表達(dá)式,并求M的最小值. 題4在的情況下是否有解?在有解的情況下,如何找到滿足題4要求的和M的最小值?僅僅通過簡單模仿文1、2的解答難以奏效，它需要我們對文1、2的解法有實質(zhì)性理解，并實行細(xì)致探究。2 以退為進(jìn) 尋覓本質(zhì) 反思文1對題1、文2對題3的解答過程，容易發(fā)現(xiàn)兩文放縮成功的關(guān)鍵在于如下的兩個恒等式成立： 對于任意首項系數(shù)為1的二次實系數(shù)多項式，有 對于任意首項系數(shù)為1的三次實系數(shù)多項式，有 解決題4的困難在于：我們不知道對于一般的首項系數(shù)為1的n次實系數(shù)多項式，

3、是否存有類似式、的恒等式？如果存有，又是什么樣子？ 文1對題1、文2對題3的解答，使我們猜想恒等式、中所涉及的自變量的值1、0、-1及1、-、-1應(yīng)該隱藏著某種特殊規(guī)律。仔細(xì)推敲后發(fā)現(xiàn)，如果令（因為，則1、0、-1及1、-、-1可分別寫為及，而且滿足題1、題3的多項式可分別寫為此乃題1、題3之本質(zhì)。于是，得到如下兩個命題： 命題1 設(shè).則對于任意首項系數(shù)為1的次實系數(shù)多項式，有 命題2 是使題4中的M取得最小值的唯一n次實系數(shù)多項式. 先證明命題1. 證明：設(shè)（其中），則式左邊為 注意到的任意性，于是，只須證明 上式的證明見文3，故命題1成立.下面證明命題2. 證明：記由歐拉公式有 而,故 是首項系數(shù)為1的次實系數(shù)多項式. 對于任一首項系數(shù)為1的n次實系數(shù)多項式,據(jù)命題1有 當(dāng)且僅當(dāng)即時，上式等號成立. 而 故是使M取得最小值的多項式因為n次多項式的個系數(shù)由唯一確定，故是唯一的.綜上，命題2獲證.據(jù)命題1、2，題4的解答已無須贅言.參考文獻(xiàn)：1 郝保國.怎樣解復(fù)合最值問題.中等數(shù)學(xué)，1997（5）.2 楊日武.一道競賽題的