《線性代數(shù)與空間解析幾何》

1、 2.2 矩陣的運算矩陣的運算 、定義、定義 mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa BA 2211 2222222121 1112121111 設(shè)有兩個設(shè)有兩個 矩陣矩陣 那末矩陣那末矩陣 與與 的和記作的和記作 ，規(guī)定為，規(guī)定為 nm , bB,aA ijij ABBA 說明說明 只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn) 行加法運算行加法運算. 例如例如 123 456 981 863 091 5312 182633 405961 9583112 . 986 447 41113 2 2、 矩陣加法的運算規(guī)律矩陣加法的運算規(guī)律 ;1

2、ABBA .2CBACBA 30, () ijij AA ABABab 記記-A=(-aij),成為矩陣成為矩陣A的負(fù)矩陣的負(fù)矩陣 1 1、定義、定義 . 11 22221 11211 mnmm n n aaa aaa aaa AA 規(guī)規(guī)定定為為或或的的乘乘積積記記作作與與矩矩陣陣數(shù)數(shù), AAA ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律、數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律 矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來, ,統(tǒng)稱為矩陣的線統(tǒng)稱為矩陣的線 性運算性運算. . （設(shè)（設(shè) 為為 矩陣，矩陣， 為數(shù)）為數(shù)） ,nm BA、 1、引例、引例 111213 212223 aaa A

3、 aaa 產(chǎn)品產(chǎn)品 一廠一廠 二廠二廠 1112 2122 3132 bb Bbb bb 單位單位 單位單位 價格價格 利潤利潤 總收入總收入 總利潤總利潤 1112 2122 cc C cc 一廠一廠 二廠二廠 可見可見 c11=a11b11+a12b21+a13b31 cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j 2、定義、定義 s k kjiksjisjijiij babababac 1 2211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘積記作并把此乘積記作C=AB 設(shè)設(shè) 是一個是一個 矩陣，矩陣， 是一個是一個 矩陣，那末規(guī)定矩陣矩陣，那末規(guī)定矩陣 與矩陣與矩陣 的乘積的乘

4、積 是一個是一個 矩陣矩陣 ，其中，其中 ij aA sm ij bB ns nm ij cC AB 例例 2222 63 42 21 42 C 22 16 32 816 設(shè)設(shè) 4150 0311 2101 A 121 113 121 430 B 例例2 2 ? 故故 121 113 121 430 4150 0311 2101 ABC . 解解 , 43 ij aA ,34 ij bB . 33 ij cC 5 67 1026 2 17 10 注意注意1只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩 陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘. 106 8

5、61 985 123 321 例如例如 不存在不存在. 注意注意2：AB的行數(shù)的行數(shù)=A的行數(shù)；的行數(shù)；AB的列數(shù)的列數(shù)=B的列數(shù)的列數(shù) 1 2 3 321 132231 .10 練習(xí)：練習(xí)： 3 2123 1 369 246 123 1、 2、 12 22 1 11 2 13 23 3 3 2 3 1 3 3、 332222112 bababa 3 2 1 b b b .222 322331132112 2 333 2 222 2 111 bbabbabbabababa 3 2 1 333231 232221 131211 321 b b b aaa aaa aaa bbb 33122111

6、1 bababa = 333223113 bababa 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 4、線性方程組、線性方程組 1112111 2122222 12 A=, n n mmmnnm aaaxb aaaxb Xb aaaxb 記 則有則有AX=b 注意注意3矩陣不滿足交換律，矩陣不滿足交換律， 例例3 設(shè)設(shè) 11 11 A 11 11 B 則則 , 00 00 AB, 22 22 BA .BAAB 故故 如前練習(xí)題如前練習(xí)題1、2 即一般地即一般地ABBA 但也有例外，比如設(shè)但也有例

7、外，比如設(shè) , 20 02 A , 11 11 B 則有則有 , AB 22 2 2 BA 22 2 2 .BAAB 此時稱矩陣此時稱矩陣A、B可交換?？山粨Q。 注意注意4矩陣不滿足消去律，即：矩陣不滿足消去律，即： （1）若）若AB=AC，A0不能推出不能推出B=C （2）若）若AB=0不能推出不能推出A=0或或B=0 例例4 設(shè)設(shè) 0 01 121 , 2 11 11 1 ABC 00 33 ABAC 則 、矩陣乘法的運算規(guī)律、矩陣乘法的運算規(guī)律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 為數(shù)）為數(shù)）; ;4AEAAE 若若A是是 階矩陣，則階矩

8、陣，則 為為A的的 次冪，即次冪，即 并且并且 5n k Ak 個個k k AAAA ,AAA kmkm . mk k m AA 為為正正整整數(shù)數(shù)k,m 注意注意:一般地一般地 (AB)kAkBk 定義定義 把矩陣把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的 新矩陣，叫做新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 . A A A 例例, 854 221 A ; 82 52 41 T A ,618 B. 6 18 T B 、轉(zhuǎn)置矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣 轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì) ;1AA T T ;2 TT T BABA ;3 T T AA .4 TT T ABAB 證證(4)

9、：首先據(jù)矩陣乘法定義可見左右兩邊是同型陣；首先據(jù)矩陣乘法定義可見左右兩邊是同型陣； 其次證明兩邊矩陣的對應(yīng)元素相等。其次證明兩邊矩陣的對應(yīng)元素相等。 因為因為(AB)T位于第位于第i行第行第j列的元素列的元素 =AB位于第位于第j行第行第 i列的元素列的元素 =A位于第位于第j 行的元素與行的元素與B位于第位于第i列對應(yīng)元素的乘積之和列對應(yīng)元素的乘積之和 = BT位于第位于第i行的元素與行的元素與AT位于第位于第j列對應(yīng)元素的乘積之和列對應(yīng)元素的乘積之和 =BTAT位于第位于第i行第行第j列的元素列的元素 例例5 5 已知已知 , 102 324 171 , 231 102 BA . T AB

10、求求 解法解法1 102 324 171 231 102 AB , 101317 3140 . 103 1314 170 T AB 解法解法2 TT T ABAB 21 30 12 131 027 241 . 103 1314 170 2、方陣的行列式、方陣的行列式 定義定義 由由 階方陣階方陣 的元素所構(gòu)成的行列式，的元素所構(gòu)成的行列式， 叫做方陣叫做方陣 的行列式，記作的行列式，記作 或或 nA AA.det A 86 32 A例例 86 32 A則則. 2 運算性質(zhì)運算性質(zhì) ;1AAT ;2AA n ;3BAAB .BAAB 111 1 111 1 00 00 | 1 1 n nnn n

11、 nnn aa aa AB bb bb 11111 11111 11 121 2 00 00 10 10 nnn n cbcbc nn nn n nn n aac aac bb bb 記記C=AB，構(gòu)造一個，構(gòu)造一個 2n階行列式階行列式 111111 11 100 100 nn nnnnnn aacc aacc =(-1)n|C|(-1)n=|AB| 3、對稱陣與伴隨矩陣、對稱陣與伴隨矩陣 定義定義設(shè)設(shè) 為為 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 ，即，即 那末那末 稱為對稱陣稱為對稱陣. An T AA n,j , iaa jiij 21 A .A為對稱陣為對稱陣?yán)缋?601 086 16

12、12 .稱稱為為反反對對稱稱的的則則矩矩陣陣如如果果AAAT 對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相 等等. 說明說明 例例6 6 設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣 滿足滿足 T n xxxX, 21 , 1 XX T ., ,2, EHH HXXEHnE T T 且且陣陣 是是對對稱稱矩矩證證明明階階單單位位矩矩陣陣為為 證明證明 T TT XXEH2 T TT XXE2 ,2HXXE T .是對稱矩陣是對稱矩陣H 2 HHH T 2 2 T XXE TTT XXXXXXE44 TTT XXXXXXE44 TT XXXXE44 .E 例例7 7 證明任一證明任一 階矩陣階矩

13、陣 都可表示成對稱陣都可表示成對稱陣 與反對稱陣之和與反對稱陣之和. nA 證明證明 T AAC 設(shè)設(shè) T TT AAC 則則AAT ,C 所以所以C為對稱矩陣為對稱矩陣. , T AAB 設(shè)設(shè) T TT AAB 則則AAT ,B 所以所以B為反對稱矩陣為反對稱矩陣. 22 TT AAAA A , 22 BC 命題得證命題得證. 定義定義 行列式行列式 的各個元素的代數(shù)余子式的各個元素的代數(shù)余子式 所所 構(gòu)成的如下矩陣構(gòu)成的如下矩陣 A ij A nnnn n n AAA AAA AAA A 21 22212 12111 性質(zhì)性質(zhì).EAAAAA 稱為矩陣稱為矩陣 的伴隨矩陣的伴隨矩陣. A nnnn n n nnnn n n AAA AAA AAA aaa aaa aaa AA 21 22212 12111 21 22221 11211 AAaAaAa nn 1112121111 AAaAaAa nnnnnnnn