平面幾何精彩試題精選

1、01 凸四邊形 ABCD的對角線交于點 M，點P、Q分別是 AMD和CMB重心，R、S分 別是 DMC和AMAB的垂心.求證 PQ丄RS.證：過A、C分別作BD的平行線，過 B、D分別作AC的平行線這四條直線分別相交于 X、W、Y、Z.則四邊形XWYZ為平行四邊形，且 XW /AC /XZ.則四邊形XAMD、MBYC皆為平行由其對角線互相平分知MX在AMD中線所在直線上，MY在ABMC中線所在直線上，且MP 1 MQMX = 3 = MY . XY/PQ.故欲證原命題，只需證 XY丄RS,這等價于SY2-SX2 = RY2 RX2 .下證上式：由 S為AMB垂心知SB丄AMSB丄WY .同理S

2、A丄WX .則勾股定理知SY2 = SB2 + BY2 = BY2 + SW 2 WB 2 = BY2 WB 2 + SA 2 + WA 2 SX2 = SA2 + XA 2 得 SY2 SX2 = BY2 WB 2 + WA 2 XA 2 同理得 RY2 = YC2 ZC 2 + RD2 + DA 2, RX 2 = DX 2 + RD 2.故 RY2 RX2 = YC2 ZC 2 + DZ 2 DX 2 由 XW /DB /YZ, WY /AC /XZ 有 BY = DZ, WB = XD, AW = YC, AX = ZC.比較兩式右邊即有SY2 SX2 = RY2 - RX2.由此即有

3、 XY丄RS,從而得出PQ丄RS,證畢.02 已知E、F是ABC兩邊AB、AC的中點，CM、BN是AB、AC邊上的高，連線 EF、MN相交于P點又設(shè) O、H分別是 ABC的外心和垂心，連接 AP、OH 求證AP丄OH 同蘇煒杰03回到原題：為了看得清，我們畫兩張圖表示，過A 作 AQ 丄 OH = Q 證：引理：如圖，設(shè)/ BAP =,/BAP =,sin /BAPsin /BAPAP與貝Usin/CAP =sin/CAP AP重合.引理的證明：事實上，式即BV(0).P(P)sinsinsin A sinA AVsin A sin A sinsinCsin A cot sin A =sin

4、A cot cos A=即AP與AP重合.引理得證sin Z1sin Z3我們證明AP與AQ重合：由引理只需證=sin 亠sin Z4先看右圖， E、P、F三點共線，以A為視點運用張角定理得sin ZBACsin /1sin /AP= +AFAE綜合上二一式有1111sin/1AF ANEMsin/1 =sinZ2APANAMAEsinAM AENF又易有M、B、C、N四點共圓.sin Z1sin Z2EMNF AM AB = AN AC,即卩 2AM AE = 2 AN AF.再看右圖， ZAQH = ZANH = ZAMH = 90 A、M、Q、H ; A、Q、H、N分別四點共圓. ZMH

5、Q = Z3, ZBHQ = Z4.EM .過 O 作 OG丄 BN = G,由ZOGN =ZGNF = ZNFO = 90知OGNF為矩形.在AMOH與ABOH中分別運用正弦定理有MOOHBOOHsin Z3sinZOMHsin Z4sinZOBH .兩式相除有sinZ3OM sin ZOMH,其中 MO sin ZOMH = OM cos ZOMEsinZ4 =OB sin ZOBN OG = NF, OB sin ZOBN = OG = NF.sin Z3sin Z4EMNF綜合知式成立，故 AP丄OH，證畢.03 設(shè)H為AABC的垂心，D、E、F為AABC的外接圓上三點使得 AD /B

6、E/CF, S、T、U分別為D、E、F關(guān)于邊BC、CA、AB的對稱點求證S、T、U、H四點共圓.同何長偉02，但解法不同證：我們先證明一些關(guān)于四邊形HUST的性質(zhì):延長AH、BH、CH與AABC外接圓交于 A、B、C .A D B熟知H與A關(guān)于BC對稱，H與B關(guān)于AC對稱，H與C關(guān)于AB對稱.又D與S關(guān)于BC對稱，故四邊形 DHA S關(guān)于BC對稱.故DHA S必為等腰梯形四邊形 HFUC與HTEB同理亦然. HS = A D, HU = CF, HT = BE, ZSHA = ZHA D 記CE所對圓周角為，由AD /BE, DE = AB知DE所對角為Z C, AC所對角為Z B, CE所對

7、角為 AD所對角為B-C- ZSHA =ZHAD = B C 1AA1 AAZUHC=ZHCF = ZCCF=BC BF =-BCCE =22ZAHC=180 ZCHA =B. ZUHA =:180 -ZC HU +ZAHC = C +-同理可得Z THA =B+得ZUHS=/B;得ZSHT= ZC又AD =A B +AAAB + AD=290 B + C +B C =2 90 A D = 2 Rs in 90 HS = 2 R sin 90 同理可計算出C F = 2 R sin90B+, BE=2 R sin90C從而HU = 2R sin 90 B +,HT = 2 R sin90 C由

8、此有HS :HU : HT = sin90:sin 90B +:sin90 C綜上我們得出了一些關(guān)于四邊形HUST的性質(zhì):HUsin 90 -B +HTsin90/UHS = ZB, /SHT = ZC,花=sin 90 HS =蔦kF面我們利用這些性質(zhì)判定 H、U、S、T四點共圓:作0YZsABC，即/X = ZA, ZY = /B, ZZ = ZC.在ZY與X異側(cè)作Z ZYWi = 90 B +ZYZW2 = 90 C . YWi 與 ZW2 交于 W,連接XW. ZZWY = 180ZZYW + ZYZW = 180180 B C =ZB + ZC = 180ZZXY. X、Z、W、Y四

9、點共圓.Y ZXZW + ZXYW = 180ZXYW = ZXYZ + ZZYW = ZB + 90 B += 90+,ZWXY = ZWZY = 90 C.WY sin ZWXYsin 90 CHT由正弦定理知WX sin ZXYWsin 90 +HS又ZYWX = ZYZX = ZC = ZTHS,a WZX ZHTS .從而ZWYX = /HTS.同理可得Z WZX = /HUS.ZHTS + ZHUS = 180 .從而H、T、S、U四點共圓.證畢.評注：這一作法的出發(fā)點是想通過對線段長度以及角度的計算揭示H、T、S、U四點的一些并不明顯的性質(zhì)， 利用熟知結(jié)論“垂心關(guān)于邊的對稱點在外

10、接圓周上”將類似線段轉(zhuǎn)化為可求的，刻畫了 “對稱”條件角度的推算多次利用弧長，刻畫了 “平行”條件，后半 部論證精神為同一法. 事實上，一個四邊形中若已知一個頂點引出的三條線段及兩個角，則這個四邊形便已確定.04 在AABC中，D是BC邊上一點，設(shè) 01、02分別是 ABD AACD外心，0是經(jīng)過A、01、O2三點的圓的圓心，記 ABC的九點圓圓心為 Ni，作O E丄BC = E.求證NiE/AD.證：以 ABC外接圓圓心為原點建立復(fù)平面，設(shè)其半徑為設(shè) A cos , sin、B cos , sin、C cos,sin，/ADB =AB由正弦定理知心=* 2 * sinAC且ZBAO1= ZC

11、AO 2.AO2ZOiAO 2 =ZBAC，從而 AO1O2s公BC且相似比為2 sin由 ZBAOi = 90知ABC變換為 AO1O2為一個繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90 及以A為中心位似比為1的位似變換之積.2 sinAOcos , sin對應(yīng)復(fù)數(shù)為 cosi sin則AO對應(yīng)復(fù)數(shù)為cosi sin 2 sincos 90sin 90 O1sin2 sin+ i cossin的橫坐標即為2 sin+ cos=A記為.sin +又由九點圓性質(zhì)，設(shè) O為外心，G為重心，則NiOOG 2且Ni與O在G異側(cè).設(shè)G為G點對應(yīng)復(fù)數(shù)，N i為Ni點對應(yīng)復(fù)數(shù)，則cos是Ni坐標為sin + 2 sin.設(shè)NiE斜率

12、為k，則sin + 2 sin2sincos sin +sin sincos sin sin +tan22 sin又 ZADC = , AD斜率亦為tan ，故AD與BiE平行，證畢.05 設(shè)ABC的邊AB中點為N，/A ZB, D是射線AC上一點，滿足 CD = BC, P是射線DN上一點，且與點A在邊BC同側(cè)，滿足Z PBC = ZA, PC與AB交于點E, BCBC與Dp交于點求表達式tcEA的值.EB解：我們先證明 CP平分Z ACB, 且 CP/BD .用同一法.1作/ACB 平分線 CP 交 DN 于 P，則/BCP = /ACP = BD = DB =2 C PC/BD.我們證明

13、Z PBC = ZA.事實上，這只須證 BCP s公DB .1 又由于我們已知Z BCP = ZADB =ZC.2故只須證CPBDBCAD注意到PC/BD，故CPBDCTBT又CD = BC，故CTBTCDAD對直線NTD截ABC運用梅涅勞斯定理有BT CD AN=1CT DA NB/ N為AB中點,AH = NBCTBTCDAD,得證.從而BCP s/ADB/PBC = ZA./ /PBC = /PBC, P、P、A 皆在 BC 同側(cè)，P與 P 皆在 ND 上， P = P.2NT CDTD AC = 1 .對BTC截AND運用梅氏定理有DC AB NT2NT CD=1 , 即 卩BC=1

14、.故CA BN TDTD ACTCEAEB即 CP 平分/ACB 且 CP/BD .BCEABCTDNA下證一=2，對 ACD 截ABTN 有=1TCEBEBDNABBC2DN2NTN為AB中點，=2 +TCTDTDEAAC2NTACCP 平分/ACB,EB我們證明=即可.CB TDCB/ CD = BC,.只須證BC EA綜上所述，所求yc EB = 2.評注：從題目的問題得到提示，使用梅氏定理，比例的轉(zhuǎn)換方向明確.06 ABC中，BD和CE為高，CG和BF為角平分線，I是內(nèi)心，O為外心.求證 D、I、E三點共線G、0、F三點共線.證：記/ BAC = A,/ABC = B, ZACB =

15、C, BC = a, AB = c, AC = b , ABC 外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為易得 AO = R, AI =sinrA , AD = c cos A = 2 R sin C 1 2cos A, AE = 2 R sincos A, ZEAI = ZIAD =,/GAO = 90C, ZOAC = 90-B.由 AF+ FC=AFb, FCc解得AF =abc.同理可得a + cAG =由張角定理知,G、O、F三點共線bcsin Asin /GAOsin ZOACAOAFAGsin Acos Bbc +cos Ca+ ba+ cbc sin A =R a+ bcosB +a + c

16、cosC 2 sin A sinB sinC =sinA +sin BcosB +2 sin A sinB sinC =sinA cos B +cosC +bcR利用正弦定理sin A + sin C cos Csin B cosB + sin C cos利用 sin B cosB + sin Ccos1C = - sin 2B + sin 2C = sin2B + C cos B C =sin A cos B C 消去 sin A 得2 sin B sin C = cos B + cosC + cos B C .再對左邊積化和差有cos B C cos B + C = cos B + cos

17、 C + cos B Ccos A = cos B + cossin Asin /EAIsin /DAIcoscos另一方面，D、I、E三點共線AIADAEsin AAsin 2rA sin -2 R cos A sin B2 R cos A sin CA消去 sin -、去分母有r sin B + sin1又 S = 2 R2 sin A sin B sin C = r22R sin A sin B sin C2R=2 R sin A sinB sin C cos A.=sinsin B +sin C正弦定理.故 sin B + sin C = sin A+ sin B + sin Ccos

18、右邊和差化積，右邊利用熟知的三角形內(nèi)恒等式sin A +sin B +sin C = 4coscosB- C2 cos消去coscoscoscoscoscosA.cos再對coscosC一積化和差有2B- CB-Ccoscoscos AcoscoscosB Csincos2 cosB CcoscosB Csincos AI、E三點共線cos B +cos C = cos Acos A = sin積化和差.cos A = cos B + cos CG、0、F三點共線.07 ABC中，4 ZB為銳角，CD為高，Oi、O2分別為AACD和ABCD內(nèi)心.問，KBC滿足怎樣的充要條件，使得 A、B、Oi

19、、O2四點共圓.解：所求充要條件為Z C = 90 或ZA = ZB其中Z C = ZACB, ZA = /CAB, ZB = ZCBA .記AC = b, BC = a, AB = c,外接圓半徑為 R.過 O1 作 O1H 丄 AB = H，過 O2 作 O2l 丄 AB = I, O2E丄 O1H = E1ZB.21ZO1AB = - ZA, ZO2BA =2故A、B、Oi、O2四點共圓ZBAO1 = ZFO2O1 1/ O2E/AB , ZFO2E =-ZB. ZFO2O1 =1/EO2FZOiO2E,. ZFO2O1 =ZBZO1O2E.2AD記 OiH =+ DC-ACB ZO1O

20、2EZO1O2E =2a, O2 i = r b , ZADC = 90BD + CD BCB-AB-A同理 rBtantan ZEO2O1 =由直角三角形內(nèi)心性質(zhì)知Z EO2O1tanrADHOiErA rBHIrA + rBAD BD + BC AC2CD + AB AC BC易有 AD = b cosA = 2 R sin B cos A, BD = 2 R sin A cos B, BC = 2 R sin A, AC = 2R sin B, AB = 2 R sin C.代入有tanZEO2O1=sin B cosA sin A cos B + sin A sinB2 sin B s

21、inA + sin A +B sinA sinB2 sinB AB AB + Acos22cos22 sin B sin A + sin C sin A sin BB AB AB + A2 sin ( cos cos )2 2 2 2 sin A sin B + sin C sin A sin BB AsinB ACOS F面分情況討論:1 ZA = ZB時，左右兩邊皆為 0,式成立;B A2 小主 /B 時血可約去，得 2 sin As B + sin C sin A s B = 2 COsB A2 2cos利用 2 sin A sin B =cos B A cosA + B =:cosB

22、A + cos C, 2 cos 2B AB A + 1,2B AB+ AA +cos B.=coscoscos=cos222三式代入化簡得cos A + cos B + cos C = 1 +sin A + sin B sin C.而由三角形內(nèi)熟知恒等式cos A +1 sin A + sin B sin C = 1 + 2C+ 2 cos cos2A BA + B2cos2sinC結(jié)合兩方面知2=cos綜合1、2知ABCcosB + cosC=1 + 4sinsin sin_得222A + BA BA + BCsincos2sinsin=12222ABC=1+ 4 sinsin cos22

23、2CZC =902ZC = 90 或ZA = ZB.故A、B、01、O2四點共圓ZC = 90 或ZA = ZB.得證.08KBC的外心是O,三條高線 AH、BK、CL垂足分別為H、K、L.Ao、Bo、Co分別是AH、BK、CL中點，I為內(nèi)切圓圓心， 內(nèi)切圓切厶ABC三邊BC、CA、AB于D、E、F.證 明AoD、BoE、CoF、OI四線共點.證：首先以引理的形式給出本圖的一些內(nèi)在特征.引理1 : AB /CD, CD中點為Q, AB中點為R, AC與BD交于P,貝U P、Q、R三點 共線也即QR、AC、BD三線共點.引理1的證明:CD與APAB為以P為位似中心的位似關(guān)系，PQ為CD中點，PR

24、為AB中點.故Q、R為一對對應(yīng)點，從而 P、Q、R三點共線.弓I理2 : AoI與BC交于D，貝U D為AABC在/A內(nèi)旁切圓與 BC的切點，并由此有 O 在DD中垂線上.A引理2的證明：延長 DI交O I于J,延長 AJ交BC于D . 過J作O I切線交AB、AC于B、C，貝U BC丄DI, 01丄BC. BC /BC,AABC與AABC構(gòu)成以A為位似中的位似關(guān)系. 顯然O I為AABC在/A內(nèi)旁切圓，故J為旁切圓切點.由J與D為對應(yīng)點知D亦為旁切圓切點.而Ao為AH中點，I為JD中點，由引理1知D在IAo 上. 故IAo與BC交于旁切圓切點.更進一步作 OP丄BC于P P為BC中點.又由內(nèi)

25、切圓及旁切圓性質(zhì)知 BD = CD .故P又為DD中點 O在DD中垂線上，引理2得證.F面回到原題：延長 OI交AD于X,我們通過計算證明IX為關(guān)于/ A, /B, ZC對稱的值，從而證明原題.利用A、X、D三點共線，由張角定理知sin ZAIDIXsin ZA0IOsin /DIO+ IDIA01IXsin ZAo IO+ID sin ZD IDsin /DIOIAo sin ZD IDDH 由 ID /AoH 知 IAo =-DDIDID，而 DD1 sin ZAIOsin /DIO= +IX ID sin ZD IDDHsin ZAIOcos ZDIXcos ZD ID sin ZDIX

26、cos ZDIXsin /DIO=+ =+ID sinZD IDIDID sin ZD IDIDD D1cos ZDIX1 1cos ZDIX+ sin Z+ sinZ DIO +二IXIDDHDDID又 sin /AID = sin ZD IX = sin ZD ID + ZDIX .D HDIO DH DDD H 由=DDAoH=ID代入有1cos ZDIXAoH1cos ZDIX + IDIX =: +IDsin /DIO =DH IDAoHsin /DIO . DH/ OP /ID cos ZDIX = cos /POX, sin/DIO = sin /POX.11OQ +AoH，其中

27、1QO = OP-ID, IQ = PD = 一 DD 引理 2 知 2IX =ID OIDHIQ11OP +1DDAoH -1IX=ID OI2DHoi .括號中乘一個 OI，括號外除一個 OI得注意到01、ID = r皆為對稱的值.故我們僅須證1 OP + -2DDDHAoH為對稱的值記為Ma.記/BAC = A, /ABC =:B, ZACB = C,AC =c, AC=b,BC =a,外接圓半徑為R,則OP =R cos A, CD =a + b ca +b c,CH=b1cos C, AoH =2AH =2 , BD21b sin C = R sin B sin C.2DH =CD

28、CH =a + b ca + b ca2 + b 2 c2b cos C =222ac b c + b a2aDD = BCBD + CD=a a + b c = c b .1 DDB Ccos cos2aR sin B sin C. b + c asin A sin B sin C故 MA = RcOs A + sin B + sin C sin A，其中AB CB + CAsin B + sin C sin A = 2 coscos2 coscos2222AB=2 cos sin sin22ABCABCsin A sin B sin C = 8 sin 一 sinsincoscoscos2

29、22222代入有Ma= Mb= Me等價于CBAABcos A cos B=2 cos (sin -cos _sin cos)22222cos A cos B =A +BB A此式顯然成立.2 sinsin22 ，GepEAQO B過F作O O切線FP、PQ切O O于P、Q .ABCBACcos A + 2 sincoscos 二=cos B + 2 sincoscos =:cos C + 2 sin2 22222CABcos_ cos222ABCBAC其中cos A + 2 sincoscos:cos B + 2 sincoscos222 =222故 Ma = Mb.同理 Mb = Me,

30、Ma = Me. Ma = Mb = Me IX 為關(guān)于 A、B、C對稱之值，即AoD、BoE、CoF都交于OI上同一點.即AoD、BoE、CoF、OI四線共點，證畢.評注：此解法計算復(fù)雜，但思路清晰.09 已知AABC,過點B、C的O O與AC、AB分別交于點 D、E, BD與CE交于F,直線OF與ABC外接圓交于 P.證明， PBD的內(nèi)心就是 PCE的內(nèi)心.證:引理1 :四邊形ABCD內(nèi)接于O O,對角線AC、BD交于E,直線BA、CD交于F,直線AD、BC交于G,貝U DE丄FQ.引理1的證明：首先， OE -OF = r2 r為半徑AP FA FA仲A+BP，.Pb= FP= FbAP

31、FAPQFD2 同理2PBFBQCFCBCFB FC由 AFAD s/FCB 知2 =ADFD FAAPPQBC上面三式相乘得=1 .PBQCAD BD、AC、PQ三線共點.又由E在PQ上知DE DF = OR + RE -OF = OR OF + RE -OF = r 2OE FG = OE - OG OFOE -OG OE OF = 0 .引理2 :四邊形 ABCD內(nèi)接于O O,直線BA、CD交于F,AFAD外接圓和厶FBC外接 圓交于P異于F，貝U OP丄PF.引理2的證明：/ ZAPC = ZFPCZFPA = 180 2 ZB = 180 ZAOC . A、P、C、D四點共圓. /F

32、PO = ZFPCZOPC = 180 ZBZOAC = 180 ZB 90 ZB = 90 OP丄PF,得證.引理3 :設(shè)P是半徑為r的O O上一動點，AB是過圓心O的一射線上的兩定點，且PAOAOB ，則Pr是定值.引理3的證明:/ OP 2 = OB OA, OBPsqPA.OBOPBPOP =OA=PAPBOBPAOA2 =2PAOA，PBOB下證原題：設(shè)CD、DE交于Q , QA交ABC外接圓于一點/ QP QA = QRQC = QEQD , P、E、D、A四點共圓.由引理3知OP丄QA .由引理2知OF丄QA . O、F、P三點共線. P與P重合.P異于點A .設(shè)OF與O O交于

33、I，由引理4知PBBFPIIF BI平分/ PBF.同理PI平分/ PDF. I是APBD的內(nèi)心.同理I也是 PCE的內(nèi)心.故命題得證.評注：此解法稍繁，可思考令OFFP = CF FE的同一法.10 設(shè)A、B為圓 上兩點，X為 在A和B處切線的交點，在圓上選取兩點C、D使得C、D、X依次位于同一直線上，且 CA丄BD，再設(shè)F、G分別為CA和BD、CD和 AB的交點，H為GX的中垂線與BD的交點證明：X、F、G、H四點共圓.證：設(shè)O為圓心，AB CXD = M . COAs0AM , OX M = XA 2 = XCXD . 0、M、C、D四點共圓. ZXMP = ZOCD = ZODC =

34、ZOMC . /CMG = /GMD .在CM上選取一點 Z使MX /DZ，貝U MD = MZ .CG CMGP = MDCM CXMZ = XD在GX上取點X，使/ GKD = ZDFX，在XF上取 W使CF /GW .XD X F 由 DG = FGX E XCFW= CG得 CGXD =xcgd.XDXD由上面兩式得=XC：XC，故 X =X . ZGFD = /XFD.DG CG又齊=XC 1和/XPB = /CDF 1 . H和B在CX的同一側(cè).設(shè)H為直線BF與AGFX外接圓的交點，則ZH XG = ZH FG = ZH FX = ZH GX. H G = HX,a H = H.

35、X、F、G、H四點共圓，得證.評注：此題有相當難度，但可能有不是那么多同一法的解法.11 凸四邊形 ABCD的一組對邊 BA和CD的延長線交于 M，且AP不平行于BC,過M作1 1截線交另一組對邊所在直線于 H、L,交對角線所在直線于 H、L.求證 + Ml1 1= +MHML 證：設(shè)AP與BC延長線相交于 O,ABML和ACML均被直線 A0所截.BACPLC：AMPMHL OB LC + OL BLMHOL由梅氏定理得BAHLOB-AMNHLOCPHLOL-PMMHLO由LC +BL得注意到OB LC + OL BL = BC LO,則式變?yōu)锽ACPHLLC AM+ BL PMMH對由BD

36、截LCM和AC截ALBM用梅氏定理知LLDC LHBALMMD，BC H MAM把它們代入式整理即得證.12 P為ABC內(nèi)任意一點，AP、BP、CP的延長線交對邊 BC、CA、AB于點D、E、F,EF交 AD 于 Q.試證 PQ AB BC CA，并且等號當且僅當 D為ABC垂心時才成立. 證明如下：作 ED / BC, FA / ED,貝U BCDE和ADEF均為平行四邊形. 連BF、AE,顯然BCAF也是平行四邊形.于是 AF = ED = BC, EF = AD, EB = CD, BF = AC.對四邊形ABEF和AEBD應(yīng)用托勒密不等式得AB EF + AF BE AE BF, BD

37、 AE + AD BE AB AC . AB AD + BC CD AE AC, BD AE + AD CD AB BC 對式中前一式，兩邊同乘 DB后，再加上DC DA C，然后注意式中后一式有DB PA AB + DB DC BC + DC PA AC DB AE AC.即 DB AB AD + BC CD + DC DA CA + DC DA AC AC DB AE + DC AD AC AB BC. DA DB AB + DB DC BC + DC OA CA AB AC BC.其中等號成立當且僅當式中等號同時成立，即A、B、E、F及A、E、B、D四點共圓，亦即A、F、E、B、D五點共

38、圓時./ AFED為平行四邊形，故它等價于 AFED為矩形 即AD丄BC .而AD丄BC且CD丄AB，故加強命題成立，從而原命題得證.14 CABCD對角線相交于點 O,圓以0為圓心，與線段 AD、CD分別交于E、F, AB 的延長線與 交于H , CB的延長線與 交于G.設(shè)K是EG與FH的交點.S是AG與 CH的交點.求證 D、K、S三點共線.證：對 AGE與CHF，由笛沙格定理可知只需證明 AC、EF、GH三線共點.這只須證明FE在AC上截點與HG在AC上截點是同一點.延長AD交O 0于M , CD交O 0于N ,設(shè)FE交AC于P, NM交AC于Q ,只證OP = 0Q即可.過F作AC的平

39、行線交O 0于L,延長AL交O 0于T,則由對稱性AT = CN且ZTAC = ZNCA .又ZFPA = ZPFL = /ETL,. P、A、E、T 共圓. ZPTA = ZQNC , ACzQCN AP = CQ.得證.評注：本題運用了對稱的想法，是一道好題.15 已知四邊形 ABCD內(nèi)接于O 0, AB與CD相交于點P, AD與BC交于點Q,對角線AC、BD的交點為 R,且OR與PQ交于點K.求證/ AKD = /BKC.證：不妨設(shè)/ BAD ZABC，則 ZACD = ZADC . 延長 OR 至 Ko，使 ORRKo = DR RB = AR RC.則 O、B、D、Ko共圓， ZDK

40、o R = ZOBR.同理 A、O、C、K 共圓， ZAKoR = ZACD . ZAKoD = ZACO -ZDBO = ZBAD-ZABC = /APD . A、D、Ko、P四點共圓，且/OK0P = /DK0P + /DK。= BA。+ ZOBD =2同理/DKoQ =2，故P、K。、Q共線，從而Ko =K. A、P、D、K 共圓，C、D、K、Q 共圓.又ZAKP = ZADP = ZCDQ = /CKQ,. OK 平分ZAKC .同理OK平分Z BKD，故ZAKD = ZBKC成立.評注：本題亦可用阿波羅尼斯定理作.16 圓外切四邊形 ABCD對邊AB與CD交于點F, AD與BC交于點

41、E,設(shè)CCi丄BF = Ci, EE丄BF = Ei, AAi丄BC, FFi丄BC.證明：1 壬CiFi與ABAiEi有相同的內(nèi)心I; 2 設(shè) BBi 丄 CF = Bi, BB2 丄 AE = B2, ABiFiC 的內(nèi)心為 Ii, AB2AiC 的內(nèi)心為 12，則 I、 O、li、I2四點共圓.證：引理： XYZ中，XXi丄YZ, YYi丄XZ,且AXYZ的內(nèi)切圓與 ZY切于X2，與XZ切于丫2,則厶ZXiYi的圓心即為 ZX2Y2的垂心.1引理的證明：由厶ZXiYis/zxY,相似比為 一 cos Z ZWi = ZW cos 這里 W、Wi分別是 XYZ與XiYiZi的內(nèi)心作 WiR

42、丄 YZ 于 R,貝U ZR = ZY2 cos R是Y2在YZ上的射影即Wi.在ZX2Y2的ZX2上的高上，同理它又 ZY2上的高上.故Wi是ZX2Y2的垂心，從而引理得證.ZR丫2i3回到原題：設(shè)四邊形 ABCD切于O O,切點在 AB、BC、CD、DA上依次為P、Q、R、S,則i 由引理可知 BPQ的垂心既是 BAiEi的內(nèi)心，又是 BFiCi的內(nèi)心.2 設(shè)O O半徑為r,由第5題結(jié)論可得 QI = QO = QIi = QI2 = r.故I、0、li、I2都在以Q為圓心、r為半徑的圓上.評注：本題只需熟悉基本圖形后便迎刃而解.i7 定直線li, 12交于點O, A為12上定點，射線 0

43、P上一動點 M，設(shè)圓 過0M，且圓心K在MA上，過A作MA的垂線交圓 于E、F,交射線 0P于Mi，在0P 的反向延長線上取 N使ON = OMi,當M運動時，證明 NEF的外接圓過 定點.證：在F0的延長線上取 0G = 0E，在E0的延長線上取 OH = OF. 過O作直線m與li垂直，則由 M是EF中點可知 OM平分/EOF. G、E關(guān)于 m對稱，HF關(guān)于 m對稱，NM i也關(guān)于 m對稱.設(shè)A關(guān)于M的對稱點為A，貝U A也是定點，且 A是GH的中點.下證 NEF的外接圓恒過點A :1 當 EF/GH 時，由于 GEFH 中有 GE/HF，且 GH = EF.故此時EFHG為矩形，N與A重

44、合顯然成立.2當EF/GH時，EFHG是等腰梯形，設(shè) HG與FE交于點R.顯然 REGzEFH,設(shè)相似比為 k，設(shè)RE = RG = a,則2kk + 12 kRF = RH = RG, RE RF = ka 2, RN = ka =a,k k + 1_k 1k + 1RA = a +a =a.2 2 RN RA = ka 2 = RE- RF.故E、F、N、A四點共圓， NEF的外接圓過點 A .評注：此題較有難度，要深入分析.18 ABC 中，AA 丄 BC = A , BB 丄 AC = B , CC 丄 AB = C .證明ABC、BCA、CA B 的歐拉線交于 ABC的九點圓上同一點 P.證：設(shè) ABC垂心為H，外心為 0,九點圓圓心為 K,貝U K為0H中點.設(shè) AH、