剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版

1、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版1 第四章第四章 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 本章將介紹一種特殊的本章將介紹一種特殊的 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系剛體剛體所遵從的力所遵從的力 學(xué)規(guī)律。它實(shí)際上就是質(zhì)點(diǎn)學(xué)規(guī)律。它實(shí)際上就是質(zhì)點(diǎn) 系的基本原理在剛體上的應(yīng)系的基本原理在剛體上的應(yīng) 用。用。 重點(diǎn)是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，重要的重點(diǎn)是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，重要的 概念是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。概念是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 4-1 4-1 剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn) 動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 1. 1. 剛體剛體特殊的質(zhì)點(diǎn)系，特殊的質(zhì)點(diǎn)系， 理想化模型理想化模型 形狀和體積不變化形狀和體積不變化 在力作用下，組成物體的所有質(zhì)在力作用下，組成物體的所有質(zhì) 點(diǎn)間的距離始終保持不變點(diǎn)間的距離始

2、終保持不變 質(zhì)點(diǎn)系 質(zhì)點(diǎn) 剛 體 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版2 1 1 剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng) 和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 1. 1. 剛體剛體特殊的質(zhì)點(diǎn)系，特殊的質(zhì)點(diǎn)系， 理想化模型理想化模型 形狀和體積不變化形狀和體積不變化 在力作用下，組成物體的所有質(zhì)在力作用下，組成物體的所有質(zhì) 點(diǎn)間的距離始終保持不變點(diǎn)間的距離始終保持不變 質(zhì)點(diǎn)系 質(zhì)點(diǎn) 剛 體 * * 自由度自由度 確定物體的位置所需要的獨(dú)立確定物體的位置所需要的獨(dú)立 坐標(biāo)數(shù)坐標(biāo)數(shù) 物體的自由度數(shù)物體的自由度數(shù) s O i = 1 x y z O ( x , y , z ) i = 3 i = 2 x y z O i = 3+2+1=

3、6 當(dāng)剛體受到某些限制當(dāng)剛體受到某些限制 自自 由度減少由度減少 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版3 * * 自由度自由度 確定物體的位置所需要的獨(dú)立確定物體的位置所需要的獨(dú)立 坐標(biāo)數(shù)坐標(biāo)數(shù) 物體的自由度數(shù)物體的自由度數(shù) s O i = 1 x y z O ( x , y , z ) i = 3 i = 2 x y z O i = 3+2+1= 6 當(dāng)剛體受到某些限制當(dāng)剛體受到某些限制 自自 由度減少由度減少 2.2.運(yùn)動(dòng)形式運(yùn)動(dòng)形式: :二種二種 (1) (1) 平動(dòng)平動(dòng) 剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若在剛體內(nèi)所剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若在剛體內(nèi)所 作的任一條直線都始終保持和自作的任一條直線都始終保持和自 身平行身平行 剛體平動(dòng)剛

4、體平動(dòng) A B A B A B 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版4 2.2.運(yùn)動(dòng)形式運(yùn)動(dòng)形式: :二種二種 (1) (1) 平動(dòng)平動(dòng) 剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若在剛體內(nèi)所剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若在剛體內(nèi)所 作的任一條直線都始終保持和自作的任一條直線都始終保持和自 身平行身平行 剛體平動(dòng)剛體平動(dòng) A B A B A B 平動(dòng)的特點(diǎn)平動(dòng)的特點(diǎn) 1) 1) 剛體中各質(zhì)點(diǎn)的剛體中各質(zhì)點(diǎn)的 運(yùn)動(dòng)情況相同運(yùn)動(dòng)情況相同 AB vv AB aa 2) 2) 剛體的平動(dòng)可歸結(jié)為剛體的平動(dòng)可歸結(jié)為 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版5 (2) 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體上的各點(diǎn)都繞同一直線做圓剛體上的各點(diǎn)都繞同一直線做圓 周運(yùn)動(dòng)周運(yùn)動(dòng) 稱作轉(zhuǎn)動(dòng)。稱作轉(zhuǎn)動(dòng)

5、。 這一直線稱為轉(zhuǎn)軸。這一直線稱為轉(zhuǎn)軸。 轉(zhuǎn)軸的位置不變，稱作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸的位置不變，稱作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 平動(dòng)平動(dòng) + 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 例如：車輪的滾動(dòng)例如：車輪的滾動(dòng) (3) 一般的剛體運(yùn)動(dòng)一般的剛體運(yùn)動(dòng) 剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng) . 平動(dòng)的特點(diǎn)平動(dòng)的特點(diǎn) 1) 1) 剛體中各質(zhì)點(diǎn)的剛體中各質(zhì)點(diǎn)的 運(yùn)動(dòng)情況相同運(yùn)動(dòng)情況相同 AB vv AB aa 2) 2) 剛體的平動(dòng)可歸結(jié)為剛體的平動(dòng)可歸結(jié)為 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版6 3.3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述 z P 過過P P點(diǎn)點(diǎn) 垂直于軸垂直于軸 取一平面取一平面N N 稱為稱為P P點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面 N O P x (1

6、) (1) 在過在過P P點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi) O O點(diǎn)：轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)動(dòng)面的交點(diǎn)點(diǎn)：轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)動(dòng)面的交點(diǎn) 過過O O點(diǎn)點(diǎn) 引入一坐標(biāo)軸引入一坐標(biāo)軸o ox (2) (2) 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng) P P點(diǎn)隨點(diǎn)隨 之轉(zhuǎn)動(dòng)之轉(zhuǎn)動(dòng) 從從O O點(diǎn)引向點(diǎn)引向P P點(diǎn)矢徑點(diǎn)矢徑r r 與與o ox軸的夾角為軸的夾角為 稱為角坐標(biāo)稱為角坐標(biāo) (2) 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體上的各點(diǎn)都繞同一直線做圓剛體上的各點(diǎn)都繞同一直線做圓 周運(yùn)動(dòng)周運(yùn)動(dòng) 稱作轉(zhuǎn)動(dòng)。稱作轉(zhuǎn)動(dòng)。 這一直線稱為轉(zhuǎn)軸。這一直線稱為轉(zhuǎn)軸。 轉(zhuǎn)軸的位置不變，稱作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸的位置不變，稱作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 平動(dòng)平動(dòng) + 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 例如：車輪的滾動(dòng)例如：車輪的滾動(dòng) (3)

7、一般的剛體運(yùn)動(dòng)一般的剛體運(yùn)動(dòng) 剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng) . 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版7 (3) t(3) t時(shí)刻時(shí)刻 剛體上剛體上P P點(diǎn)角坐標(biāo)點(diǎn)角坐標(biāo) 1= t+t+ t t時(shí)刻角坐標(biāo)時(shí)刻角坐標(biāo) 2= + t時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi) 轉(zhuǎn)過的角度轉(zhuǎn)過的角度 稱為角位移稱為角位移 規(guī)定：選一轉(zhuǎn)軸的正方向，規(guī)定：選一轉(zhuǎn)軸的正方向， 右手定則：拇指指向轉(zhuǎn)軸方向右手定則：拇指指向轉(zhuǎn)軸方向 為正為正 (4) (4) 剛體角速度剛體角速度 d dt 有正負(fù)，有正負(fù)， 右手定則右手定則: :所定方向與轉(zhuǎn)軸正向所定方向與轉(zhuǎn)軸正向 一致為正，反之為負(fù)一致為正，反之為負(fù) (5) (5) 剛體加角速度剛體加角速度 d dt 同

8、向時(shí)，加速轉(zhuǎn)動(dòng)同向時(shí)，加速轉(zhuǎn)動(dòng) 反向時(shí)，減速轉(zhuǎn)動(dòng)反向時(shí)，減速轉(zhuǎn)動(dòng) 3.3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述 z P 過過P P點(diǎn)點(diǎn) 垂直于軸垂直于軸 取一平面取一平面N N 稱為稱為P P點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面 N O P x (1) (1) 在過在過P P點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi) O O點(diǎn)：轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)動(dòng)面的交點(diǎn)點(diǎn)：轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)動(dòng)面的交點(diǎn) 過過O O點(diǎn)點(diǎn) 引入一坐標(biāo)軸引入一坐標(biāo)軸o ox (2) (2) 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng) P P點(diǎn)隨點(diǎn)隨 之轉(zhuǎn)動(dòng)之轉(zhuǎn)動(dòng) 從從O O點(diǎn)引向點(diǎn)引向P P點(diǎn)矢徑點(diǎn)矢徑r r 與與o ox軸的夾角為軸的夾角為 稱為角坐標(biāo)稱為角坐標(biāo) 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版8 (6) (6) 角量

9、與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系 角量角量 線量線量 at an = r at = r t+t+ t t時(shí)刻角坐標(biāo)時(shí)刻角坐標(biāo) 2= + t時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi) 轉(zhuǎn)過的角度轉(zhuǎn)過的角度 稱為角位移稱為角位移 規(guī)定：選一轉(zhuǎn)軸的正方向，規(guī)定：選一轉(zhuǎn)軸的正方向， 右手定則：拇指指向轉(zhuǎn)軸方向右手定則：拇指指向轉(zhuǎn)軸方向 為正為正 (4) (4) 剛體角速度剛體角速度 d dt 有正負(fù)，有正負(fù)， 右手定則右手定則: :所定方向與轉(zhuǎn)軸正向所定方向與轉(zhuǎn)軸正向 一致為正，反之為負(fù)一致為正，反之為負(fù) (5) (5) 剛體加角速度剛體加角速度 d dt 同向時(shí)，加速轉(zhuǎn)動(dòng)同向時(shí)，加速轉(zhuǎn)動(dòng) 反向時(shí)，減速轉(zhuǎn)動(dòng)反向時(shí)，減速轉(zhuǎn)動(dòng) (3) t

10、(3) t時(shí)刻時(shí)刻 剛體上剛體上P P點(diǎn)角坐標(biāo)點(diǎn)角坐標(biāo) 1= t er v r t e v 2 n t ra ra t a n a n 2 t erera a 注：注：剛體上任意一點(diǎn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過剛體上任意一點(diǎn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過 程中程中 角量角量 是相同的是相同的 an = 2 r 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版9 (6) (6) 角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系 角量角量 線量線量 at an = r at = r t er v r t e v 2 n t ra ra t a n a n 2 t erera a 注：注：剛體上任意一點(diǎn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過剛體上任意一點(diǎn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過 程中程中 角量角量 是相同的是相同的 an

11、 = 2 r z P 4.角速度是矢量角速度是矢量 方向沿軸用右手螺旋法則確定方向沿軸用右手螺旋法則確定 四指沿轉(zhuǎn)動(dòng)方向，拇指指向?yàn)榻撬闹秆剞D(zhuǎn)動(dòng)方向，拇指指向?yàn)榻?速度的方向。速度的方向。 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度的方向只剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度的方向只 有兩個(gè)，規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎?，有兩個(gè)，規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎?角速度方向可用正負(fù)號(hào)表示。角速度方向可用正負(fù)號(hào)表示。 vr 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版10 z P 4.角速度是矢量角速度是矢量 方向沿軸用右手螺旋法則確定方向沿軸用右手螺旋法則確定 四指沿轉(zhuǎn)動(dòng)方向，拇指指向?yàn)榻撬闹秆剞D(zhuǎn)動(dòng)方向，拇指指向?yàn)榻?速度的方向。速度的方向。 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度的方向只剛體

12、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度的方向只 有兩個(gè)，規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎?，有兩個(gè)，規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎?角速度方向可用正負(fù)號(hào)表示。角速度方向可用正負(fù)號(hào)表示。 vr 兩類基本問題兩類基本問題 (1) 已知運(yùn)動(dòng)方程求角速度和角已知運(yùn)動(dòng)方程求角速度和角 加速度加速度-求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù) (2) 已知已知求求和和 求積分求積分 0 2 00 22 00 1 2 2 t tt () 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版11 兩類基本問題兩類基本問題 (1) 已知運(yùn)動(dòng)方程求角速度和角已知運(yùn)動(dòng)方程求角速度和角 加速度加速度-求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù) (2) 已知已知求求和和 求積分求積分 0 2 00 22 00 1 2 2 t tt () 【例題例題1】一飛

13、輪半徑為一飛輪半徑為 0.2m、 轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為150rmin-1， 因受制動(dòng)而均因受制動(dòng)而均 勻減速，經(jīng)勻減速，經(jīng) 30 s 停止轉(zhuǎn)動(dòng)停止轉(zhuǎn)動(dòng) . 試求：試求： （1）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪 所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；所轉(zhuǎn)的圈數(shù)； （2）制動(dòng)開始后）制動(dòng)開始后 t = 6 s 時(shí)飛輪的時(shí)飛輪的 角速度；角速度； （3）t = 6 s 時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的 線速度、切向加速度法向加速度線速度、切向加速度法向加速度 解解（ （1）,srad5 1 0 . 0 t = 30 s 時(shí)，時(shí)， 飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng) 設(shè)設(shè) 0 0時(shí)，時(shí)， t = 0 s 21 0

14、srad 6 srad 30 50 t 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版12 飛輪飛輪 30 s 內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度 rad75 )6(2 )5( 2 22 0 2 【例題例題1】一飛輪半徑為一飛輪半徑為 0.2m、 轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為150rmin-1， 因受制動(dòng)而均因受制動(dòng)而均 勻減速，經(jīng)勻減速，經(jīng) 30 s 停止轉(zhuǎn)動(dòng)停止轉(zhuǎn)動(dòng) . 試求：試求： （1）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪 所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；所轉(zhuǎn)的圈數(shù)； （2）制動(dòng)開始后）制動(dòng)開始后 t = 6 s 時(shí)飛輪的時(shí)飛輪的 角速度；角速度； （3）t = 6 s 時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的 線速度、切向加速度法向加速度線速度

15、、切向加速度法向加速度 轉(zhuǎn)過的圈數(shù)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)r5 .37 2 75 2 N 解解（ （1）,srad5 1 0 . 0 t = 30 s 時(shí)，時(shí)， 飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng) 設(shè)設(shè) 0 0時(shí)，時(shí)， t = 0 s 21 0 srad 6 srad 30 50 t （2）s6t時(shí)，飛輪的角速度時(shí)，飛輪的角速度 1 0 (56)4rad s 6 t （3） s6t 時(shí)，飛輪邊緣上時(shí)，飛輪邊緣上 一點(diǎn)的線速度大小一點(diǎn)的線速度大小 2 0.2 42.5m sr v 該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度 2 t 0.2 ()0.105m s 6 ar 222 n 0.2 (4

16、)31.6 m sar 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版13 【例題例題2】一飛輪在時(shí)間一飛輪在時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)過內(nèi)轉(zhuǎn)過 的角度的角度 34 atbtct求求角加速度角加速度 解解 d dt 23 34abtct d dt 2 612btct 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版14 4-2 剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng) 能能 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m 位矢為位矢為r v vmp 速度為速度為 動(dòng)量則為動(dòng)量則為 角動(dòng)量為角動(dòng)量為 Lrprmv 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系 11 () nn iiii ii LLrmv 1. 剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量 設(shè)剛體的角速度設(shè)剛體的角速度 m1 m

17、2 m3 mn O r1 r2 r3 rn 剛體由剛體由n個(gè)質(zhì)元個(gè)質(zhì)元 組成組成 到轉(zhuǎn)軸到轉(zhuǎn)軸oz的距離為的距離為: r1 , r2 , ri , rn 質(zhì)元質(zhì)元: m1, m2, mi , mn 速度速度 r1 , r2 , ri , rn mi 對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 iii i Lmvr 整個(gè)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量整個(gè)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 ii i Lm v r 2 i i mr J 定義：定義： 2 i i Jmr 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 （與剛體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的（與剛體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的 位置有關(guān)）位置有關(guān)） 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版15 到轉(zhuǎn)軸到轉(zhuǎn)軸oz的距離為的距

18、離為: r1 , r2 , ri , rn 質(zhì)元質(zhì)元: m1, m2, mi , mn 速度速度 r1 , r2 , ri , rn mi 對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 iii i Lmvr 整個(gè)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量整個(gè)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 ii i Lm v r 2 i i mr J 定義：定義： 2 i i Jmr 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 （與剛體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的（與剛體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的 位置有關(guān)）位置有關(guān)） 2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì) 量量m相對(duì)應(yīng)，相對(duì)應(yīng)， 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度 n i iir

19、 mJ 1 2 質(zhì)量離散分布質(zhì)量離散分布 222 1 12 2i i i Jmrmrm r 質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布 22 d i i i Jm rrm ：質(zhì)量元質(zhì)量元md 2 質(zhì)量線分布質(zhì)量線分布lmdd 2 質(zhì)量面分布質(zhì)量面分布Smdd 2 質(zhì)量體分布質(zhì)量體分布Vmdd 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版16 2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì) 量量m相對(duì)應(yīng)，相對(duì)應(yīng)， 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度 n i iir mJ 1 2 質(zhì)量離散分布質(zhì)量離散分布 222 1 12 2i i i Jmrmrm r 質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布 22 d i i

20、 i Jm rrm ：質(zhì)量元質(zhì)量元md 2 質(zhì)量線分布質(zhì)量線分布lmdd 2 質(zhì)量面分布質(zhì)量面分布Smdd 2 質(zhì)量體分布質(zhì)量體分布Vmdd （1）質(zhì)點(diǎn)、圓環(huán)、圓筒繞中心）質(zhì)點(diǎn)、圓環(huán)、圓筒繞中心 軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng) R o z m z o m R m R 2 o JmR 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 勻質(zhì)圓環(huán)和薄圓筒，因各質(zhì)元到勻質(zhì)圓環(huán)和薄圓筒，因各質(zhì)元到 軸的垂直距離都相同，則有軸的垂直距離都相同，則有 2 o JmR （2）質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)）質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng) 1 m 2 m 3 m 1 r 2 r 3 r 3 1 2 i i iir mJ 2 33 2 22 2 11 rmrmrm 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版17 （1）質(zhì)點(diǎn)、圓

21、環(huán)、圓筒繞中心）質(zhì)點(diǎn)、圓環(huán)、圓筒繞中心 軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng) R o z m z o m R m R 2 o JmR 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 勻質(zhì)圓環(huán)和薄圓筒，因各質(zhì)元到勻質(zhì)圓環(huán)和薄圓筒，因各質(zhì)元到 軸的垂直距離都相同，則有軸的垂直距離都相同，則有 2 o JmR （2）質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)）質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng) 1 m 2 m 3 m 1 r 2 r 3 r 3 1 2 i i iir mJ 2 33 2 22 2 11 rmrmrm （3）質(zhì)量線分布）質(zhì)量線分布 例求長為例求長為l 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均勻細(xì)的均勻細(xì) 棒繞垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。棒繞垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解解 軸位于端點(diǎn)A： 2 2 2 2 1 12 l lC ml m

22、 Jxdx l 2 0 2 1 3 l A m Jxmldx l 取一小段 可視為質(zhì)點(diǎn) dx 軸位于中心C： A B dx l x A B C dx 2l2l x 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版18 （3）質(zhì)量線分布）質(zhì)量線分布 例求長為例求長為l 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均勻細(xì)的均勻細(xì) 棒繞垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。棒繞垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解解 軸位于端點(diǎn)A： 2 2 2 2 1 12 l lC ml m Jxdx l 2 0 2 1 3 l A m Jxmldx l 取一小段 可視為質(zhì)點(diǎn) dx 軸位于中心C： A B dx l x A B C dx 2l2l x 例題：例題： 質(zhì)量為質(zhì)量為m半徑為半徑為 R 的均

23、的均 勻圓盤勻圓盤, 對(duì)過點(diǎn)對(duì)過點(diǎn)o與盤面垂直軸的與盤面垂直軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解：取半徑為解：取半徑為 r 的圓環(huán)的圓環(huán) r O R O R r d r 厚為厚為dr 2 dJr dm 2 m r 面密度面密度 2dmr dr 3 2dJr dr 342 0 1 2 22 R Jr drRmR （4）質(zhì)量面分布）質(zhì)量面分布 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版19 例題：例題： 質(zhì)量為質(zhì)量為m半徑為半徑為 R 的均的均 勻圓盤勻圓盤, 對(duì)過點(diǎn)對(duì)過點(diǎn)o與盤面垂直軸的與盤面垂直軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解：取半徑為解：取半徑為 r 的圓環(huán)的圓環(huán) r O R O R r d r 厚為厚為dr 2 dJr

24、 dm 2 m r 面密度面密度 2dmr dr 3 2dJr dr 342 0 1 2 22 R Jr drRmR （4）質(zhì)量面分布）質(zhì)量面分布 （5）質(zhì)量體分布）質(zhì)量體分布 2dmrdr l 23 2dJr dmlr dr 34 0 1 2 2 R JdJlr drR l 例：質(zhì)量為m 、半徑為R、厚為 l 的均勻圓盤取半徑為r 寬為dr 的薄圓環(huán)，則有 2 1 2 Jm R則有 2 m R l 由于 O Z r dr R l 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版20 可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與厚度可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與厚度l 無關(guān)。無關(guān)。 所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量與圓盤的相同。量與圓

25、盤的相同。 （5）質(zhì)量體分布）質(zhì)量體分布 2dmrdr l 23 2dJr dmlr dr 34 0 1 2 2 R JdJlr drR l 例：質(zhì)量為m 、半徑為R、厚為 l 的均勻圓盤取半徑為r 寬為dr 的薄圓環(huán)，則有 2 1 2 Jm R則有 2 m R l 由于 O Z r dr R l 例題：例題： 球體繞其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)球體繞其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng) 將均質(zhì)球體分割成一系列彼此平行將均質(zhì)球體分割成一系列彼此平行 且都與對(duì)稱軸垂直得圓盤，則有且都與對(duì)稱軸垂直得圓盤，則有 2 22 222 22 1 2 1 2 1 2 82 155 O R R Jdm r r dz r ( Rz) dz RmR 即

26、 2 2 5 O JmR R z o r dz z m 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版21 2 mhJJ CO 平行軸定理平行軸定理 P 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的剛體的剛體，如果對(duì)其質(zhì)如果對(duì)其質(zhì) 心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ， ，則對(duì)任 則對(duì)任 一與該軸平行一與該軸平行，相距為相距為 的轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn) 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 C J h h C O m 22 2 1 mRmRJ P 對(duì)對(duì)P 軸的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量動(dòng)慣量 Rm O 可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與厚度可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與厚度l 無關(guān)。無關(guān)。 所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量與圓盤的相同。量與圓盤的相同。 例題：例題： 球體繞其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)球

27、體繞其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng) 將均質(zhì)球體分割成一系列彼此平行將均質(zhì)球體分割成一系列彼此平行 且都與對(duì)稱軸垂直得圓盤，則有且都與對(duì)稱軸垂直得圓盤，則有 2 22 222 22 1 2 1 2 1 2 82 155 O R R Jdm r r dz r ( Rz) dz RmR 即 2 2 5 O JmR R z o r dz z m 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版22 垂直軸定理垂直軸定理 o z y x zxy JJJ 對(duì)于薄板剛體，繞垂直于板對(duì)于薄板剛體，繞垂直于板 面的軸面的軸Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于位于的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于位于 板面內(nèi)與板面內(nèi)與Oz軸交于一點(diǎn)的兩相互軸交于一點(diǎn)的兩相互 正交軸正交軸Ox和和Oy的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

28、量之和。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。 例如：薄盤繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例如：薄盤繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2 1 2 zxy JJJmR 2 1 4 xy JJmR 2 mhJJ CO 平行軸定理平行軸定理 P 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的剛體的剛體，如果對(duì)其質(zhì)如果對(duì)其質(zhì) 心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ， ，則對(duì)任 則對(duì)任 一與該軸平行一與該軸平行，相距為相距為 的轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn) 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 C J h h C O m 22 2 1 mRmRJ P 對(duì)對(duì)P 軸的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量動(dòng)慣量 Rm O 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版23 若力學(xué)體系有幾個(gè)部分組 成，整體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量,等與各部分對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量之和。即 組合定

29、理組合定理 i JJ 1 ml 2 mR z z JJJ 桿球 2 22 122 12 35 m lm RmlR 例如：例如：有質(zhì)量為 ,長為 的均 質(zhì)細(xì)桿和質(zhì)量為 ，半徑為 的勻質(zhì)球體組成的剛體，對(duì)Z軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 2 m 1 m l R 垂直軸定理垂直軸定理 o z y x zxy JJJ 對(duì)于薄板剛體，繞垂直于板對(duì)于薄板剛體，繞垂直于板 面的軸面的軸Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于位于的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于位于 板面內(nèi)與板面內(nèi)與Oz軸交于一點(diǎn)的兩相互軸交于一點(diǎn)的兩相互 正交軸正交軸Ox和和Oy的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。 例如：薄盤繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例如：薄盤繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2 1 2 zxy JJ

30、JmR 2 1 4 xy JJmR 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版24 3.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 設(shè)剛體繞固定軸設(shè)剛體繞固定軸oz轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 角速度角速度 剛體由剛體由n個(gè)質(zhì)元組成個(gè)質(zhì)元組成 質(zhì)元質(zhì)元 m1, m2, mi , mn m1 m2 m3 mn O r1 r2 r3 rn 速度速度 r1 , r2 , ri , rn 整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能： 222 11 22 kiii i i Emmr 2 1 2 k EJ 若力學(xué)體系有幾個(gè)部分組 成，整體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量,等與各部分對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量之和。即 組合定理組合定理 i JJ 1 ml 2 mR z z JJJ 桿

31、球 2 22 122 12 35 m lm RmlR 例如：例如：有質(zhì)量為 ,長為 的均 質(zhì)細(xì)桿和質(zhì)量為 ，半徑為 的勻質(zhì)球體組成的剛體，對(duì)Z軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 2 m 1 m l R 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版25 4-3 力矩力矩 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 P z * OFdFrMsin M F r d : 力臂力臂 d 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) , 力力 作用在剛體上點(diǎn)作用在剛體上點(diǎn) P , 且在轉(zhuǎn)動(dòng)且在轉(zhuǎn)動(dòng) 平面內(nèi)平面內(nèi), 為由點(diǎn)為由點(diǎn)O 到力的到力的 作用點(diǎn)作用點(diǎn) P 的徑矢的徑矢 . F r FrM 對(duì)轉(zhuǎn)軸對(duì)轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩的力矩 F 0,0 ii MF 0,0 ii M

32、F F F F F 1. 力矩力矩 M 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版26 z O k F r 討論討論 FFF z z F F 1）若力）若力 不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，可分不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，可分 解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的分量解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的分量 F 故故 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩 F z F 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零 FrkM z sin rFM z 2）合力矩等于各分力矩的矢量和）合力矩等于各分力矩的矢量和 321 MMMM 3）剛體內(nèi)作用力和反作用力的剛體內(nèi)作用力和反作用力的 力矩互相抵消力矩互相抵消 jiij MM j r i r i j ij F ji F d O ij M ji M

33、 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版27 O r m z 2. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 F t F n F sinrFM mrmaF tt 2 iii i MMmr 2）剛體）剛體 質(zhì)量元質(zhì)量元 mi 受外力受外力 ，內(nèi)力，內(nèi)力 i F i f M 1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)m 與轉(zhuǎn)軸剛性連接與轉(zhuǎn)軸剛性連接 外力矩外力矩內(nèi)力矩內(nèi)力矩 2 t mrrFM O z i m i r i F i f 2 iii i iii MMm r 0 ijjiij i MMM 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版28 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與 它所受的合外力矩成正比它所受的合外力矩成正比 ，與，與 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比剛

34、體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比 . 2 ( ii i ii Mm r) 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 z MJ 2 i i i Jm r 其中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量其中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2 iii i MMmr 2）剛體）剛體 質(zhì)量元質(zhì)量元 mi 受外力受外力 ，內(nèi)力，內(nèi)力 i F i f 外力矩外力矩內(nèi)力矩內(nèi)力矩 O z i m i r i F i f 2 iii i iii MMm r 0 ijjiij i MMM 與牛二定律比較與牛二定律比較 Fm a MJ () z dd J MJJ dtdt 剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 z LJ z z dL M dt 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版29 例例1 1 已知已知: :定滑輪定滑

35、輪 輕繩輕繩 不伸不伸 長長 無相對(duì)滑動(dòng)無相對(duì)滑動(dòng) 解解: :受力圖受力圖 R M 求：求：1）物體加速度）物體加速度a 2）繩子的張力）繩子的張力T 3 ) 滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度 1 T gm 1 2 T a 21 (2)T RT RJ 222 (3)m gTm a 1 m 2 m 12 mm設(shè)設(shè) 2 T gm 2 a 111 (1)Tm gm a 1 T Ra 得解得解 2 2 1 MRJ 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版30 mg o m,l c 例例2 自由擺下的桿自由擺下的桿 有勻質(zhì)細(xì)有勻質(zhì)細(xì) 桿長為桿長為 l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，可以繞過，可以繞過 端點(diǎn)的水平軸在豎直平面內(nèi)自端點(diǎn)

36、的水平軸在豎直平面內(nèi)自 由擺動(dòng)。今使桿自水平位置由由擺動(dòng)。今使桿自水平位置由 靜止釋放，求：靜止釋放，求： 2）桿擺到豎直位置時(shí)，軸與桿 的相互作用力。 1）桿擺到 位置時(shí)的角速度 和角加速度； 解：解： （1）方法一，利用轉(zhuǎn)動(dòng)定）方法一，利用轉(zhuǎn)動(dòng)定 理求理求 ，積分，積分 由由 得：得：MJ 2 11 23 mglcosml 3 2 g cos l 因?yàn)橐驗(yàn)?dddd dtddtd 分離變量并積分得：分離變量并積分得： 00 3 3 2 g dcos d l g sin l 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版31 （2）當(dāng)桿擺到豎直位置，）當(dāng)桿擺到豎直位置， 2 mg o m,l c x N y N 由質(zhì)

37、心運(yùn)動(dòng)定理得由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得 3 0 g l 2 2 2 xcx ycy l Nmam l Nmgmam 由上兩式解得由上兩式解得 5 0 2 xy NNmg 解：解： （1）方法一，利用轉(zhuǎn)動(dòng)定）方法一，利用轉(zhuǎn)動(dòng)定 理求理求 ，積分，積分 由由 得：得：MJ 2 11 23 mglcosml 3 2 g cos l 因?yàn)橐驗(yàn)?dddd dtddtd 分離變量并積分得：分離變量并積分得： 00 3 3 2 g dcos d l g sin l 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版32 例例3 粗糙桌面上繞定抽轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤粗糙桌面上繞定抽轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤 o R m 1）從開始到停止所經(jīng)歷的時(shí)間； 一半徑為R 的勻質(zhì)圓盤

38、，以 初角速度0在摩擦系數(shù)為 的水 平桌面上,繞光滑質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。若 轉(zhuǎn)動(dòng)過程中盤面與桌面始終緊密 接觸，求： dr r 解：解： （1 1）以圓盤為研究對(duì)象，）以圓盤為研究對(duì)象， 將圓盤分割成無限多個(gè)圓環(huán)。每 個(gè)圓環(huán)的質(zhì)量為： 22 2 2 mm dmdSrdrrdr RR 每個(gè)圓環(huán)產(chǎn)生的摩擦力矩為，每個(gè)圓環(huán)產(chǎn)生的摩擦力矩為， 2 2 2 mg dMdmg rr dr R 阻 整個(gè)圓盤產(chǎn)生的摩擦力矩為整個(gè)圓盤產(chǎn)生的摩擦力矩為 2 2 0 2 R MdM mg r dr R 阻阻 2 3 mgR 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版33 o R m dr r 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律： d MJJ dt 其中M為常量，將上

39、式分離變 量并積分，則 0 0 0 t MdtJd 2 0 00 12 2 3 3 4 mR J M m R R t g g 解：解： （1 1）以圓盤為研究對(duì)象，）以圓盤為研究對(duì)象， 將圓盤分割成無限多個(gè)圓環(huán)。每 個(gè)圓環(huán)的質(zhì)量為： 22 2 2 mm dmdSrdrrdr RR 每個(gè)圓環(huán)產(chǎn)生的摩擦力矩為，每個(gè)圓環(huán)產(chǎn)生的摩擦力矩為， 2 2 2 mg dMdmg rr dr R 阻 整個(gè)圓盤產(chǎn)生的摩擦力矩為整個(gè)圓盤產(chǎn)生的摩擦力矩為 2 2 0 2 R MdM mg r dr R 阻阻 2 3 mgR 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版34 作業(yè)作業(yè) ：2,3,4 作業(yè)作業(yè) ： 2; 3;4 為學(xué)應(yīng)須畢生力，

40、為學(xué)應(yīng)須畢生力， 攀高貴在少年時(shí)。攀高貴在少年時(shí)。 蘇步青蘇步青 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版35 4-44-4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 1.1.力矩的功力矩的功 在力矩作用下，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)在力矩作用下，剛體轉(zhuǎn)動(dòng) v F o x r d r d t F 角位移角位移d cosdAF drFdr cos sin Fr d Fr dMd 0 AMd 設(shè)設(shè)t=0初時(shí)刻：角位置初時(shí)刻：角位置 0 t時(shí)刻：角位置時(shí)刻：角位置 2. 2. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 由由 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 dt d JJM 在在dt時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng) 時(shí)，時(shí)， 外力矩所作元功為：外力矩所作元功為： 角位移角位

41、移d dJ dt d JdMddA 外力對(duì)剛體做的功外力對(duì)剛體做的功 2 1 AM d 2 1 22 21 11 22 MdJJ 轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版36 合外力矩對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功合外力矩對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功 等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量 轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 0 AMd 設(shè)設(shè)t=0初時(shí)刻：角位置初時(shí)刻：角位置 0 t時(shí)刻：角位置時(shí)刻：角位置 2. 2. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 由由 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 dt d JJM 在在dt時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng) 時(shí)，時(shí)， 外力矩所作元功為：外力矩所作元功為： 角位移角位移d dJ dt d

42、 JdMddA 外力對(duì)剛體做的功外力對(duì)剛體做的功 2 1 AM d 2 1 22 21 11 22 MdJJ 轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 例例1 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m 、半徑為、半徑為 R 的的 圓盤，可繞一垂直通過盤心的水圓盤，可繞一垂直通過盤心的水 平軸無摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng)平軸無摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng) . 圓盤上繞有圓盤上繞有 輕繩，一端掛質(zhì)量為輕繩，一端掛質(zhì)量為m 的物體的物體 . 問物體在靜止問物體在靜止 下落高度下落高度 h 時(shí)，時(shí)， 其速度的大小其速度的大小 為多少為多少? （設(shè)繩的質(zhì)量（設(shè)繩的質(zhì)量 忽略不計(jì)忽略不計(jì) ） o R h m m m 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版37 2 0 2 2 1 2 1 J

43、J 和和 、 分分 別為圓盤終了和起別為圓盤終了和起 始時(shí)的角坐標(biāo)和角始時(shí)的角坐標(biāo)和角 速度速度 0 , 0 dd 00 TT FRRF 解解 拉力拉力 對(duì)圓盤做功，由剛體對(duì)圓盤做功，由剛體 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理可得，拉繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理可得，拉 力力 的力矩所作的功為的力矩所作的功為 T F T F o T F N F P T F P m 合外力矩對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功合外力矩對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功 等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量 轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 例例1 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m 、半徑為、半徑為 R 的的 圓盤，可繞一垂直通過盤心的水圓盤，可繞一垂直通過盤心的水 平軸無摩擦

44、的轉(zhuǎn)動(dòng)平軸無摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng) . 圓盤上繞有圓盤上繞有 輕繩，一端掛質(zhì)量為輕繩，一端掛質(zhì)量為m 的物體的物體 . 問物體在靜止問物體在靜止 下落高度下落高度 h 時(shí)，時(shí)， 其速度的大小其速度的大小 為多少為多少? （設(shè)繩的質(zhì)量（設(shè)繩的質(zhì)量 忽略不計(jì)忽略不計(jì) ） o R h m m m 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版38 2 0 2 TT 2 1 2 1 dd 00 JJFRRF 物體由靜止開始下落物體由靜止開始下落0, 0 00 v 解得解得 gh m 2 )2(m m 2mm mgh 2v 并考慮到圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并考慮到圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2 2 1 RmJ 2 0 2 T 2 1 2 1 d 0 vvmmFR

45、mgh 由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理 TT FF Rv 2 0 2 2 1 2 1 JJ 和和 、 分分 別為圓盤終了和起別為圓盤終了和起 始時(shí)的角坐標(biāo)和角始時(shí)的角坐標(biāo)和角 速度速度 0 , 0 dd 00 TT FRRF 解解 拉力拉力 對(duì)圓盤做功，由剛體對(duì)圓盤做功，由剛體 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理可得，拉繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理可得，拉 力力 的力矩所作的功為的力矩所作的功為 T F T F o T F N F P T F P m 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版39 3 3、剛體的重力勢能、剛體的重力勢能 剛體受到保守力的作用，也剛體受到保守力的作用，也 可以引入勢能可以引入勢能 i ii i iip hm

46、gghmE 根據(jù)質(zhì)心的定義，剛體的質(zhì)心根據(jù)質(zhì)心的定義，剛體的質(zhì)心 的高度的高度 m hm h i ii c cp mghE 所以所以 注意：包括有剛體的系統(tǒng)，如注意：包括有剛體的系統(tǒng)，如 果在運(yùn)動(dòng)過程中，只有保守內(nèi)果在運(yùn)動(dòng)過程中，只有保守內(nèi) 力做功，則該系統(tǒng)的機(jī)械能也力做功，則該系統(tǒng)的機(jī)械能也 應(yīng)該守恒。應(yīng)該守恒。 定義：剛體的重力勢能是組成剛定義：剛體的重力勢能是組成剛 體的各個(gè)質(zhì)元的重力勢能之和體的各個(gè)質(zhì)元的重力勢能之和 mg o m,l c 【例例4-8】 自由擺下的桿自由擺下的桿 有勻有勻 質(zhì)細(xì)桿長為質(zhì)細(xì)桿長為 l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，可以繞，可以繞 過端點(diǎn)的水平軸在豎直平面內(nèi)自過端點(diǎn)的

47、水平軸在豎直平面內(nèi)自 由擺動(dòng)。今使桿自水平位置由靜由擺動(dòng)。今使桿自水平位置由靜 止釋放，求：止釋放，求： 2）桿擺到豎直位置時(shí)，軸與桿）桿擺到豎直位置時(shí)，軸與桿 的相互作用力。的相互作用力。 1）桿擺到）桿擺到 位置時(shí)的角速度和位置時(shí)的角速度和 角加速度；角加速度； 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版40 方法二，利用動(dòng)能定理求方法二，利用動(dòng)能定理求 ， 求導(dǎo)數(shù)得求導(dǎo)數(shù)得 重力矩作功：重力矩作功： 0 AMd 0 2 l mgcos d 1 2 mgl sin 由動(dòng)能定理：由動(dòng)能定理： 2 22 11 0 22 11 23 mgl sinJ ml 3g sin l mg o m,l c 【例例4-8】 自由

48、擺下的桿自由擺下的桿 有勻有勻 質(zhì)細(xì)桿長為質(zhì)細(xì)桿長為 l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，可以繞，可以繞 過端點(diǎn)的水平軸在豎直平面內(nèi)自過端點(diǎn)的水平軸在豎直平面內(nèi)自 由擺動(dòng)。今使桿自水平位置由靜由擺動(dòng)。今使桿自水平位置由靜 止釋放，求：止釋放，求： 2）桿擺到豎直位置時(shí)，軸與桿）桿擺到豎直位置時(shí)，軸與桿 的相互作用力。的相互作用力。 1）桿擺到）桿擺到 位置時(shí)的角速度和位置時(shí)的角速度和 角加速度；角加速度； 本題也可用機(jī)械能守恒定律計(jì)算本題也可用機(jī)械能守恒定律計(jì)算 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版41 22 111 223 mgl sinml 將方程將方程 兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得 2 3 dd g cosl

49、 dtdt 3 2 dg cos dtl （2）當(dāng)桿擺到豎直位置時(shí)）當(dāng)桿擺到豎直位置時(shí) 2 3 0 g l mg o m,l c x N y N 方法二，利用動(dòng)能定理求方法二，利用動(dòng)能定理求 ， 求導(dǎo)數(shù)得求導(dǎo)數(shù)得 重力矩作功：重力矩作功： 0 AMd 0 2 l mgcos d 1 2 mgl sin 由動(dòng)能定理：由動(dòng)能定理： 2 22 11 0 22 11 23 mgl sinJ ml 3g sin l 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版42 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得 2 2 2 xcx ycy l Nmam l Nmgmam 由上兩式解得由上兩式解得 5 0 2 xy NNmg 22 111 2

50、23 mgl sinml 將方程將方程 兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得 2 3 dd g cosl dtdt 3 2 dg cos dtl （2）當(dāng)桿擺到豎直位置時(shí)）當(dāng)桿擺到豎直位置時(shí) 2 3 0 g l mg o m,l c x N y N 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版43 例例2 粗糙桌面上定抽轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤粗糙桌面上定抽轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤 o R m 2 2）圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)幾圈后停止。）圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)幾圈后停止。 1 1）從開始到停止所經(jīng)歷的時(shí)間）從開始到停止所經(jīng)歷的時(shí)間 一半徑為一半徑為R R 的勻質(zhì)圓盤，以的勻質(zhì)圓盤，以 初角速度初角速度 0 0在摩擦系數(shù)為在摩擦系數(shù)為 的水的水 平桌面上平桌面上, ,繞光滑質(zhì)心

51、軸轉(zhuǎn)動(dòng)。若繞光滑質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。若 轉(zhuǎn)動(dòng)過程中盤面與桌面始終緊密轉(zhuǎn)動(dòng)過程中盤面與桌面始終緊密 接觸，求：接觸，求： 2 0 0 1 0 2 M dJ 阻 22 0 21 1 32 2 mgRmR （2 2）根據(jù)動(dòng)能定理：）根據(jù)動(dòng)能定理： 2 0 3 8 R g 則轉(zhuǎn)過的角度：則轉(zhuǎn)過的角度： 則轉(zhuǎn)過的圈數(shù)：則轉(zhuǎn)過的圈數(shù)： 2 n 2 0 3 16 R g 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版44 x N F C O x y N A bd 如圖所示，已如圖所示，已 知?jiǎng)傮w的質(zhì)量知?jiǎng)傮w的質(zhì)量 為為 m 、對(duì)軸轉(zhuǎn)、對(duì)軸轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量為動(dòng)慣量為 J0 ，b 表示質(zhì)心到表示質(zhì)心到O點(diǎn)點(diǎn) 的距離。求打的距離。求打 擊中心到轉(zhuǎn)軸擊中

52、心到轉(zhuǎn)軸 的距離的距離d。 例例3 打擊中心打擊中心 一剛體豎直懸掛一剛體豎直懸掛 于支點(diǎn)于支點(diǎn)O且可以繞點(diǎn)且可以繞點(diǎn)O在豎直平面在豎直平面 內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。以水平力打擊剛體內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。以水平力打擊剛體 的的A點(diǎn)，若打擊點(diǎn)選擇合適，則打點(diǎn)，若打擊點(diǎn)選擇合適，則打 擊過程中軸對(duì)剛體的水平力為零，擊過程中軸對(duì)剛體的水平力為零， 該點(diǎn)該點(diǎn)A稱為打擊中心。稱為打擊中心。 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 xcx FNma 根據(jù)對(duì)支點(diǎn)根據(jù)對(duì)支點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 o FdJ 又因又因 cx ab A點(diǎn)為打擊中心點(diǎn)為打擊中心0 x N 則解得則解得 0 J d mb 對(duì)于勻質(zhì)細(xì)棒：對(duì)于勻質(zhì)細(xì)棒： 2 12

53、 323 o l Jmlb,dl . 解：解： 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版45 作業(yè)作業(yè)1,5,6 1, 51, 5，6 6 學(xué)而不思學(xué)而不思 則罔，思則罔，思 而不學(xué)則而不學(xué)則 殆。殆。 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版46 4-54-5剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)剛體的平面平行運(yùn)動(dòng) 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)剛體的平面平行運(yùn)動(dòng): : 剛體運(yùn)剛體運(yùn) 動(dòng)時(shí)，動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)剛體內(nèi)每個(gè)點(diǎn)的軌跡都是每個(gè)點(diǎn)的軌跡都是 一條平面曲線，各曲線所在平面一條平面曲線，各曲線所在平面 都某一固定平面平行都某一固定平面平行。 運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)： 1 1）剛體的質(zhì)心始終位于同一個(gè)）剛體的質(zhì)心始終位于同一個(gè) 平面上。平面上。 2 2）剛體內(nèi)垂直于固

54、定平面的直）剛體內(nèi)垂直于固定平面的直 線上各點(diǎn)具有完全相同運(yùn)動(dòng)狀線上各點(diǎn)具有完全相同運(yùn)動(dòng)狀 態(tài)。態(tài)。 3 3）剛體內(nèi)平行于固定平面的各）剛體內(nèi)平行于固定平面的各 平面有相同的運(yùn)動(dòng)特征。平面有相同的運(yùn)動(dòng)特征。 只須研究質(zhì)心所在平面的運(yùn)動(dòng)只須研究質(zhì)心所在平面的運(yùn)動(dòng): : 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)+ +繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng) 三個(gè)自由度三個(gè)自由度 兩個(gè)兩個(gè)平動(dòng)平動(dòng)自由度自由度 一個(gè)一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度自由度 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版47 1、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 如圖所示，取質(zhì)心所在的平 面為研究對(duì)象，任取一點(diǎn)A為基 點(diǎn)（一般取質(zhì)心）。則P點(diǎn)的運(yùn) 動(dòng)方程為 A r P y x A y x O r P r AA x

55、x t ,yy.t ,t 2、 運(yùn)動(dòng)疊加原理運(yùn)動(dòng)疊加原理 P P點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng) 隨基點(diǎn)隨基點(diǎn)A 平動(dòng)平動(dòng) 繞基點(diǎn)的繞基點(diǎn)的 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 基點(diǎn)基點(diǎn)A可以任意取可以任意取 基點(diǎn)基點(diǎn)A的平動(dòng)量的平動(dòng)量 因基點(diǎn)而異；繞基點(diǎn)因基點(diǎn)而異；繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)的的轉(zhuǎn)動(dòng)的 角量角量 都相同。都相同。 AAA r ,v ,a , , 3、剛體上任一點(diǎn)、剛體上任一點(diǎn)P的速度加速度的速度加速度 根據(jù)伽利略變換式：根據(jù)伽利略變換式： PA rr r （ 為定長旋轉(zhuǎn)矢量）為定長旋轉(zhuǎn)矢量） r 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版48 2、 運(yùn)動(dòng)疊加原理運(yùn)動(dòng)疊加原理 P P點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng) 隨基點(diǎn)隨基點(diǎn)A 平動(dòng)平動(dòng) 繞基點(diǎn)的繞基點(diǎn)的 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 基

56、點(diǎn)基點(diǎn)A可以任意取可以任意取 基點(diǎn)基點(diǎn)A的平動(dòng)量的平動(dòng)量 因基點(diǎn)而異；繞基點(diǎn)因基點(diǎn)而異；繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)的的轉(zhuǎn)動(dòng)的 角量角量 都相同。都相同。 AAA r ,v ,a , , 3、剛體上任一點(diǎn)、剛體上任一點(diǎn)P的速度加速度的速度加速度 根據(jù)伽利略變換式：根據(jù)伽利略變換式： PA rr r （ 為定長旋轉(zhuǎn)矢量）為定長旋轉(zhuǎn)矢量） r A r P y x A y x O r P r 剛體上任一點(diǎn)剛體上任一點(diǎn)P的速度的速度 PAA vvvvr 剛體上任一點(diǎn)剛體上任一點(diǎn)P的加速度的加速度 AP ddr ar dtd a t dr vr dt 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版49 A r P y x A y x O r

57、P r 2 PA An aarr aaa 剛體上任一點(diǎn)剛體上任一點(diǎn)P的速度的速度 PAA vvvvr 剛體上任一點(diǎn)剛體上任一點(diǎn)P的加速度的加速度 AP ddr ar dtd a t dr vr dt 4、運(yùn)動(dòng)學(xué)特例、運(yùn)動(dòng)學(xué)特例圓柱體的純滾動(dòng)圓柱體的純滾動(dòng) 滑滾運(yùn)動(dòng)：摩擦力不夠大，剛滑滾運(yùn)動(dòng)：摩擦力不夠大，剛 體既滾動(dòng)又滑動(dòng)體既滾動(dòng)又滑動(dòng) 純滾動(dòng)：摩擦力足夠大，接觸純滾動(dòng)：摩擦力足夠大，接觸 點(diǎn)間無相對(duì)滑動(dòng)點(diǎn)間無相對(duì)滑動(dòng) 1）純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)：）純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)： A A cc 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版50 質(zhì)心質(zhì)心C的位移為：的位移為： 質(zhì)心質(zhì)心C的速度為：的速度為： c vR 質(zhì)心質(zhì)心C的加

58、速度為：的加速度為： c aR Rxc 2 PA An aarr aaa 4、運(yùn)動(dòng)學(xué)特例、運(yùn)動(dòng)學(xué)特例圓柱體的純滾動(dòng)圓柱體的純滾動(dòng) 滑滾運(yùn)動(dòng)：摩擦力不夠大，剛滑滾運(yùn)動(dòng)：摩擦力不夠大，剛 體既滾動(dòng)又滑動(dòng)體既滾動(dòng)又滑動(dòng) 純滾動(dòng)：摩擦力足夠大，接觸純滾動(dòng)：摩擦力足夠大，接觸 點(diǎn)間無相對(duì)滑動(dòng)點(diǎn)間無相對(duì)滑動(dòng) 1）純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)：）純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)： A A cc 2）純滾運(yùn)動(dòng)的速度分布：）純滾運(yùn)動(dòng)的速度分布： FE D C A D v E v 0 A v F v cA r c v c v 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版51 以質(zhì)心以質(zhì)心C為基點(diǎn)：為基點(diǎn)： 最高點(diǎn)最高點(diǎn)D的速度為的速度為 2 CDDCC vrv

59、v 質(zhì)心質(zhì)心C的位移為：的位移為： 質(zhì)心質(zhì)心C的速度為：的速度為： c vR 質(zhì)心質(zhì)心C的加速度為：的加速度為： c aR Rxc 2）純滾運(yùn)動(dòng)的速度分布：）純滾運(yùn)動(dòng)的速度分布： FE D C A D v E v 0 A v F v cA r c v c v 接觸點(diǎn)接觸點(diǎn)A的速度為的速度為 0 CACACC vrvvv 任一點(diǎn)任一點(diǎn)E的速度為的速度為 ECCE vvr 可見，可見， 代表剛體整體的速度，代表剛體整體的速度， 剛體上的每一點(diǎn)都具有這個(gè)平剛體上的每一點(diǎn)都具有這個(gè)平 動(dòng)速度動(dòng)速度 C v 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)程守洙第五版52 FE D C A D v E v 0 A v F v c v 以接觸點(diǎn)

60、以接觸點(diǎn)A為基點(diǎn)：為基點(diǎn)： DAD vr 任一點(diǎn)任一點(diǎn) P 的速度為的速度為 AAP A P P vvr r CAC vr 因此有因此有 0 A v 可見，對(duì)于純滾動(dòng)，若取接觸點(diǎn)可見，對(duì)于純滾動(dòng)，若取接觸點(diǎn)A A 為基點(diǎn)，在某瞬時(shí)剛體的平為基點(diǎn)，在某瞬時(shí)剛體的平 面平行運(yùn)動(dòng)，可視為面平行運(yùn)動(dòng)，可視為A A點(diǎn)的單純轉(zhuǎn)動(dòng)。點(diǎn)的單純轉(zhuǎn)動(dòng)。 以質(zhì)心以質(zhì)心C為基點(diǎn)：為基點(diǎn)： 最高點(diǎn)最高點(diǎn)D的速度為的速度為 2 CDDCC vrvv 接觸點(diǎn)接觸點(diǎn)A的速度為的速度為 0 CACACC vrvvv 任一點(diǎn)任一點(diǎn)E的速度為的速度為 ECCE vvr 可見，可見， 代表剛體整體的速度，代表剛體整體的速度， 剛體上