史上最全相似三角形難題精選

1、百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我如圖，在 ABC中，ABO90，AB=6m, BC=8m 動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng).同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以1m/s的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向 點(diǎn)B移動(dòng).當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng).設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)上=時(shí)，求 CPQ的面積；相似二角形難題精選模塊一：相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 如圖，在 RtAABC中，/ ACB=90 , AC=3 BC=4 過(guò)點(diǎn) B作射線(xiàn) BB1 AC.動(dòng) 點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線(xiàn)AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) E從點(diǎn)C 沿射線(xiàn)AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)D作DH丄AB于H,過(guò)點(diǎn)E作E

2、F丄AC交射線(xiàn)BB1于F, G是EF中點(diǎn)，連接DG設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t 秒.(1) 當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度;(2) 當(dāng)厶DEG與厶ACB相似時(shí)，求t的值.11百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我如圖1,在RtAABC中，AC吐90, AO 6, BO8,點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，DE 平分CDB交邊BC于點(diǎn)E，EM丄BD,垂足為 M , EN丄CD,垂足為N.(1) 當(dāng) AD= CD時(shí)，求證：DE/ AC;(2) 探究：AD為何值時(shí)， BME與厶CNE相似？#如圖所示，在 ABC中，BA= BC= 20cm, AC= 30cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB 以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

3、；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速 度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 x.(1) 當(dāng)x為何值時(shí)，PQ/ BC?(2) APQ與厶CQB能否相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm點(diǎn)P沿AB邊從A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/s 的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)如果P、Q 同時(shí)出發(fā)，用t (s)表示移動(dòng)的時(shí)間(0vtv6)。(1) 當(dāng)t為何值時(shí)， QAP為等腰直角三角形？(2) 當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似？模塊二：構(gòu)

4、造輔助線(xiàn)一一雙垂直模型 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, 1)，正比例函數(shù)y=kx的圖象與線(xiàn)段 OA的夾角是45，求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式33百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我在厶ABC中，AB=2 1 , AC=4, BC=2以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作 ABD,使厶ABD為等腰直角三角形，求線(xiàn)段 CD的長(zhǎng).在厶ABC中，AC=BC / ACB=90，點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是BC上的一點(diǎn),沿著直線(xiàn)MN折疊，使得點(diǎn)C恰好落在邊AB上的P點(diǎn).求證：MC: NC=AP PB.#百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形 ABCO的邊OA在x軸上，邊0C在y軸上，點(diǎn)B 的坐標(biāo)

5、為（1, 3），將矩形沿對(duì)角線(xiàn)AC翻折B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸 于點(diǎn)E.那么D點(diǎn)的坐標(biāo)為（）4 122 131133 12 A. （ - f ）6.（ 5 j 5 ? C, C 2 7 - ） D.（匚蘭）0已知，如圖，直線(xiàn)y二-2x+ 2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)以AB為短邊在第一象 限做一個(gè)矩形ABCD使得矩形的兩邊之比為1 : 2。求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。模塊三：構(gòu)造輔助線(xiàn)一一A型與X型55百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我如圖： ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC BC邊上的中線(xiàn)AE交CD于F。求證:AR CF=1BEC#BEBC 丄四邊形ABCD中, AC為AB、AD的比例中項(xiàng)，且A

6、C平分/ DAB.求證:況 =CD2在梯形 ABCD中, AB/ CD, AB= b, CD= a, E為 AD邊上的任意一點(diǎn)，EF/ AB,百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我且EF交BC于點(diǎn)F,某同學(xué)在研究這一問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：DEp + b當(dāng)| =1時(shí)，EF=：;DEa + 2b/當(dāng)T =2時(shí)，EF=:；DEb + 3b Z當(dāng)I =3時(shí)，EF=.|DE 刊X當(dāng)代嚴(yán) 時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用 a、b和k表示EF的一般結(jié)論，并 給出證明77已知：如圖，在厶ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E、F是BC上兩點(diǎn)，且BE= EF= FC.求BN: NQ: QM.2證明：（1）重心定理：三角形頂點(diǎn)到

7、重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線(xiàn)長(zhǎng)的 石（注：重心是三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)）（2）角平分線(xiàn)定理：三角形一個(gè)角的平分線(xiàn)分對(duì)邊所成的兩條線(xiàn)段與這個(gè)角的 兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例.百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我模塊四：相似中的定值問(wèn)題如圖，在等邊厶ABC中，M、N分別是邊AB, AC的中點(diǎn)，D為MN上任意一點(diǎn),1 I 2BD CD的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交AC、AB于點(diǎn)E、F.求證廣卜、+麗二麗1已知：如圖，梯形 ABCD中，AB-#百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我如圖，在 ABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在厶ABC 上。求證：AR + CP =卜下99百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我模塊五

8、：相似中的共線(xiàn)線(xiàn)段成比例問(wèn)題 如圖1,點(diǎn)P在平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上，一直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P分別交BA,BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) Q, S,交AD, CD于R, T.求證：PQ PR=PS PT.(2)如圖2,圖3,當(dāng)點(diǎn)P在平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD或DB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)， PQ - PR=PS PT是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說(shuō)明理由(要 求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說(shuō)明)；已知：如圖， ABC中，AB= AC, AD是中線(xiàn)，P是AD上一點(diǎn)，過(guò)C作CF/ AB, 延長(zhǎng)BP交AC于E,交CF于F.求證：BP2= PE- PF.#百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我如圖，已知 ABC中，AD,

9、BF分別為BC, AC邊上的高，過(guò)D作AB的垂線(xiàn)交AB 于E，交BF于G，交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于H。求證：DE2=EG?EH已知如圖，P為平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，過(guò)P的直線(xiàn)與AD、BCPE PHCD的延長(zhǎng)線(xiàn)、AB的延長(zhǎng)線(xiàn)分別相交于點(diǎn)E、F、G、H.求證：十 二育H1111百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我H為垂心（三角形三條高線(xiàn)的交點(diǎn)）；PD2= AD DH已知，如圖，銳角 ABC中，AD丄BC于D, 在AD上有一點(diǎn)P,且/ BPC為直角.求證:模塊六：相似中的積式問(wèn)題綜合已知如圖，CD是RtA ABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線(xiàn)交CA 于 F。求證：AC - CF=BC

10、DF.#百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我如圖，在RtAABC中，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn) M在CD上，DH丄BM且與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn) E.求證：(AED CBM; (2) AE CM=AC- CD如圖， ABC是直角三角形，/ ACB=90，CD丄AB于DE是AC的中點(diǎn)，ED的 延長(zhǎng)線(xiàn)與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F.(1) 求證：FD2=FB- FC(2) 若G是BC的中點(diǎn)，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說(shuō)明理由1313百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我如圖，四邊形ABCD DEFG都是正方形，連接 AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M , CG 與AD相交于點(diǎn)N.求證：AN DN=CN MN如圖，BD、

11、CE分別是 ABC的兩邊上的高，過(guò) D作DG丄BC于G,分別交CE及 BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于F、H。求證：(1) DG2= BG- CG;(2) BG - CG= GF - GH#百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我模塊七：相似基本模型運(yùn)用 ABC和厶DEF是兩個(gè)等腰直角三角形，/ A=Z D=90,A DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上.(1) 如圖1,設(shè)DE與AB交于點(diǎn)M , EF與AC交于點(diǎn)N,求證： BEMsCNE(2) 如圖2,將ADEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn) M , EF與AC 交于點(diǎn)N,于是，除(1)中的一對(duì)相似三角形外，能否再找出一對(duì)相似三角形 并證明你的結(jié)論.如圖，四邊形

12、ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分 別交AC、CD于點(diǎn)P、Q.(1) 請(qǐng)寫(xiě)出圖中各對(duì)相似三角形(相似比為 1除外)；(2) 求 BP: PQ: QR1515百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我#如圖，在 ABC中，AD丄BC于D,AE ACDE丄AB于E, DF丄AC于F。求證:AF 模塊八：相似里的垂直模型2ABX BE 在厶 ABC中,/ A=90,AD丄 BC,DEL AB求證：AC2 忑百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我1717A已知:Rt ABC中, / ACB=90,CD丄 AB 于 D,DE1 AC于 E,DH BC于 F. 求證:CD3=ABAEBF1正

13、方形 ABCD中 ,AE=-AD,AO=BO,Ot CE于 F.求證:OF2=CFEF4百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我1919已知： ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),DE丄AC于E,H是DE中點(diǎn)，連結(jié)AH,BE. 求證:AH丄BEA ABC中 ,AB=AC,BDLAC于 D.求證:BC2=2CDAC ABC中，/ACB=90,CD丄AB于D,E是BC的中點(diǎn)，DE和AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于F.求證: FCFCFA;AC FA2)BC FDF已知,RtABC中,/ ABC=90,D 是 BC上一點(diǎn),BE AC于 E,BFL AD 于 F.百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我已知:RtAABC中,/ A

14、CB=90AD 平分/ CAB交 BC于 D,CEL AB 于 E,DFL AB于 F 點(diǎn). 求證:AF2=ABAE已知： ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),DE丄AC于E,H是DE中點(diǎn)，連結(jié)AH,BE.2020百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我求證:AH丄BE模塊九：相似綜合（一） 在厶ABC中,D,E分別是AB,BC邊上的點(diǎn)，連結(jié)DE并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F若BD:DE=AB:AC.求證:AEFC是等腰三角形一直線(xiàn)分別交 ABC的BC延長(zhǎng)線(xiàn)于D交AC,AB于E,F且/ AEF= / AFE.2121百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我求證:BD:CD=BF:CE2222（需要寫(xiě)出多種解法）梅

15、涅勞斯定理:直線(xiàn)分別交 ABC的BC延長(zhǎng)線(xiàn)于D交ACAB于E、F,求證:BD CE AF1DC EA FB百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我已知:E是梯形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，AD求證:EFAD=EGBC2323設(shè)GABC的重心，過(guò)G作直線(xiàn)與AB BC分別交于點(diǎn)E和F求證:AEEBFCBF百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我模塊十：相似綜合(二)AR AD在厶ABC中，D是BC上一點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且 就二 麗，/ BAD=/ACE(1) 求證：AC2= BC- CD;AC(2) 若 E ABC的重心，求、二已知 ABC中，AB= AC= 5，BO 8,點(diǎn)D在BC邊上移動(dòng)，連接 AD，將厶ADC

16、沿直線(xiàn)AD翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ci.(1) 當(dāng)ACi丄BC時(shí)，CD的長(zhǎng)是多少？(2) 設(shè)CD=、 ACD與AABC重疊部分的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系 式，(3) 在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，是否存在 BCiD為直角三角形的情形？若存在，直 接寫(xiě)出CD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. ABC中，AB= AC= 6，F(xiàn)C:EC=1 3，點(diǎn)D在AB邊上(點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合)， 過(guò)點(diǎn)D作DE/ AC,交BC邊于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF丄AC,垂足為F,連接DF.(1) 設(shè)AD=x, CF= y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，(2) 若厶DEFft CEF相似，求 AD長(zhǎng)(3) 是否存在點(diǎn)。，使厶ADF為等腰三角形？若

17、存在，直接寫(xiě)出 AD的長(zhǎng)；若不 存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.如圖，等邊 ABC中，D、F分別是邊BC AB上的點(diǎn)，且CD= BF,以AD為邊向 BD左作等邊厶ADE,連接CF、EF,設(shè)社=k2525百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我(1) 求證；四邊形CDEF是平行四邊形；(2) 當(dāng)/DE& 30時(shí)，求k的值；(3) 是否存在實(shí)數(shù)k,使8CDEF= SABC?若存在，求出k的值；若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由.已知 ABC中，/ C= 90, AC-BC= 2,點(diǎn)P在射線(xiàn)AC上，點(diǎn)Q在CB的延長(zhǎng) 線(xiàn)上，且AP- BQ,連接PQ交直線(xiàn)AB于D,過(guò)P作PEAB于E.(1) 求證：DP- DQ；(2) 設(shè)AP-x, BD- y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3) 當(dāng)厶DEP QCP時(shí)，求AP的長(zhǎng).備用圖如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中， ABC和ADEF都是等邊三角形，頂點(diǎn)B、D與 原點(diǎn)O重合，邊BC在x軸的正半軸上，邊AB與DE在一條直線(xiàn)上.已知AB- 6, DE- 2.(1)將ADEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90(如圖2),連接CE CF試判斷四邊形DECF勺形狀，并說(shuō)明理由；(2)將厶DEF繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，連接AF.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng) ABF是直角三角形時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(3)將ADEF沿直線(xiàn)AB上