高考數(shù)學(xué)(理)江蘇專用二輪培優(yōu)課件：專題七第3講(必)計(jì)數(shù)原理及二項(xiàng)式定理、數(shù)學(xué)歸納法

1、第3講計(jì)數(shù)原理及二項(xiàng)式定理.數(shù)學(xué)歸納法卜真題感悟考點(diǎn)整合 J熱點(diǎn)聚焦分類突破歸納總結(jié)思維升華高考定位高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有:(1)分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原 理,B級(jí)要求；排列與組合，B級(jí)要求；(3)二項(xiàng)式定理,B級(jí)要求；數(shù)學(xué)歸納 法的簡(jiǎn)單應(yīng)用,E級(jí)要求.真題感悟考克整合營(yíng)扣要點(diǎn)邕目隈送兇土 U月考冋 真題感悟1.（2018江蘇卷）設(shè)7? WN* 對(duì)1 , 2 ,的一個(gè)排歹I爪2幾/如果當(dāng)sV時(shí),有isJ ,則 稱笆,0是排列ixi2-in的一個(gè)逆序,排列爪2幾的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序數(shù)例 如：對(duì)1 , 2 , 3的一個(gè)排列231 ,只有兩個(gè)逆序（2 , 1） , （3 , 1）,

2、則排列23啲逆序數(shù) 為2記張）為1 , 2 ,的所有排列中逆序數(shù)為的全部排列的個(gè)數(shù).求/的值；求/認(rèn)2）（心5）的表達(dá)式（用表示）.真題感悟考點(diǎn)整合熱點(diǎn)聚焦分類突破卜歸納總結(jié)思維升華 2解 記T(dbc)為排列a比的逆序數(shù),對(duì)1 , 2 , 3的所有排列,#1(123) = 0 , r(132) = 1 ,t(213)= 1 , t(231) = 2 , t(312) = 2 , r(321) = 3 , 所販(0)=1 tf3(l)=f3(2) = 2.對(duì)1 , 2 , 3 , 4的排列，利用已有的1 , 2 , 3的排列,將數(shù)字4添加進(jìn)去，4在新排列中的 位置只能是最后三個(gè)位置.因此,辦=

3、f3(2) +/3(1) + 蟲(0) = 5.熱點(diǎn)聚焦分類突破卜真題感悟考點(diǎn)整合 J（2）對(duì)一般的咻4）的情形,逆序數(shù)為0的排列只有一個(gè):12-h ,所以抵0）二1逆序數(shù)為啲排列只能是將排列12“中的任意相鄰兩個(gè)數(shù)字調(diào)換位置得到的排列,所以加）二_ 1 為計(jì)算爪K2）當(dāng)1 , 2,-, 的排列及其逆序數(shù)確定后,將+ 1添加進(jìn)原排列,農(nóng)+ 1在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置.因此，辦+山2)=2) +辦(1)+辦(0)=+仏當(dāng)斤25 時(shí)，加2)=成fn-1 (2) + fn-x(2)-A-2(2) + + /5一辦(2)+辦二(n-1)n n 2+ (斤一2)4+辦(2)=2斤2 2因止匕，

4、當(dāng)n5時(shí)，fn(2) =2.(2016江蘇卷)求7C：4C扌的值；(2)設(shè)加，“WN*, “2加，求證：(m+1 )C:; + (m+2)C 律 + j + (m+3)C+2 + + nC- + (+ )C；： (m+ 1(1) 解 7C：4C# = 7X 204X35 = 0.(2) 證明 對(duì)任意的加，“WN*, nm, 當(dāng)n=m時(shí)，左邊=O+l)C；=/n+l,右邊= (wt+l)C篇;：=加+1,原等式成立. 假設(shè) n=k(k三加)時(shí)命題成立.艮卩(加 +1 )C； + (m + 2)C；+1 + (加+3)C；：+2 + + kC；_j + (k + 1)CQ (加+1)C 陽當(dāng) n=

5、k 1 時(shí)，左邊= (/n+1)C律+ (/n+2)C常+i + (加+3)C：；+2+kC化i + (R+l)Cf + (k + 2)C?； i =(加 +1 )Ck+2 + (k+2)C+1,(/n + 1) X(k+2) !(m+2) ! (k771+1) !伙+ 3) 伙一加+1) =伙+ 2)和(+1) ! (km+1) !右邊=(m+l)C2.而(加+ 1)(2畀2?(加+ l)CS=(m+1)(k+3) !(k+2) !(加+2) ! (Zcm+1) !(/71 + 2) ! (km) !=伙+2)C 算 1(加+ l)Cf胃+ (+2)CXh =(加 +1 )C+32，*.左邊

6、=右邊.即m=k+時(shí)命題也成立.綜合可得原命題對(duì)任意加，neN nm均成立.考點(diǎn)整合1.兩種計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2排列與組合(1)排列的定義:(mWn, m,).!排列數(shù)公式：A=n(n 1)(H 2)一加+1)=?5_m)組合的定義:真題感悟考點(diǎn)整合熱點(diǎn)聚焦分類突破歸納總結(jié)思維升華組合數(shù)公式：c：n (m1) (n 2) (n /n+1);(mWn, m,nm) !朋N）；組合數(shù)性質(zhì)：C：=c：m； cr+c;=cr+i3.(1)二項(xiàng)式定理：(64 + by = Ca + ca xb+ c；稱為二項(xiàng)式系數(shù)； C+C/17 + -+C： = 2rt；通項(xiàng)：Tr = Cn

7、arb Wn, n,膽N-+c；r1-i+o 其中 ch c 熱點(diǎn)聚焦分類突破歸納總結(jié)思維升華真題感悟考點(diǎn)整合熱點(diǎn)聚焦分類突破歸納總結(jié)思維升華4數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基（或遞推基礎(chǔ)），證明當(dāng)斤取第一 個(gè)值”o（“oWN）時(shí)命題成立，第二步是歸納遞推（或歸納假設(shè)），假設(shè)n = k（kn（）, RWN”） 時(shí)命題成立，證明當(dāng)n = k+時(shí)命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對(duì)從 勿開始的所有的正整數(shù)都成立，兩步缺一不可.真題感悟考點(diǎn)整合熱點(diǎn)聚焦分類突破 歸納總結(jié)思維升華2熱點(diǎn)聚焦分類突破: * 析考比 : :研熱點(diǎn)熱點(diǎn)一與計(jì)數(shù)原理有關(guān)的問題【例1】(2011

8、-江蘇卷)設(shè)整數(shù)”刁4 , P(a , b)是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn),其中a ,1 r 2 f 3 , n , a b 記A”為滿足ab = 3的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)，求人；(2)記民為滿足b)是整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，求B“.解（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足條件1 Wb = a3Wn3 ,所以血f3.（2）設(shè)k為正整數(shù)，記龍伙）為滿足條件以及ab = 3k的點(diǎn)F的個(gè)數(shù)，只要討論伙）21 的情形.由 lWb=ci 3kWn 3k 知 fn(k)=n 3k,且 kW 設(shè)卅1=3加+廠，其中加WN*,廠丘0，1, 2,則kW加，所以氏=鬲伙）= （n 3k） =mn 3m (771+ 1)m (2n 3m 3)2所以B

9、n=將心匚|二代入上式，化簡(jiǎn)得斫（廠1）6心） S佇3）,扌是整數(shù)，ST）2）,扌不是整數(shù)探究提高此計(jì)數(shù)原理問題中要計(jì)算點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因此要根據(jù)條件對(duì)正整數(shù)的取值進(jìn)行 分類,弄清可能的取值類別,再根據(jù)加法原理進(jìn)行計(jì)算.【訓(xùn)練1】（2018-南京、鹽城、連云港二模）已知朋N* ,且鼻4 ,數(shù)列卩：勺，勺中的每一項(xiàng)均在集合M二1 , 2 , ,砒中,且任意兩項(xiàng)不相等.若=7 ,且。2 a3a4a5a6 ,求數(shù)歹lT0勺個(gè)數(shù)；若數(shù)列廠中存在唯一的ak（keK , S.k/+】,求所有符合條件的數(shù)列T 的個(gè)數(shù).解 當(dāng)川=7時(shí)，M=1, 2,，7,數(shù)列廠的個(gè)數(shù)為C|XA1=42（2）當(dāng) k= 1 時(shí)，則 如

10、么2, a2a39an9此時(shí)2為1,1共有（H-1）種選法，余下的一2）個(gè)數(shù)，按從小到大依次排列，共有1種, 因此k=l時(shí)，符合條件的數(shù)列廠共有Ml=（c：1）（個(gè)）.當(dāng)2WkWn - 2時(shí),則a】 a2 ak+x , ak+, ak + 2 - an , 從集合M中任取個(gè)數(shù),按從小到大的順序排列, 再將余下的-Q個(gè)數(shù),按從小到大的順序排列,即得滿足條件Vd2以，以+i V以+2VV給的數(shù)列的個(gè)數(shù)為C紀(jì)仁仃這里包含了以V以+i即aia2VV以以+1 V以+2V給的情形，此時(shí)符合條件的數(shù)列卩共有Uc；H1=U1（個(gè)）.當(dāng) k=n1 時(shí)，則 a】匕2any此時(shí)給一1為n,冷共有（-1）種選法，余下

11、的一2）個(gè)數(shù),按從小到大依次排列，共有1種, 因此“一1時(shí)，符合條件的數(shù)列T共有nl=（C；T 1）（個(gè)）.于是所有符合條件的數(shù)列t的個(gè)數(shù)為：Ui+U1+c；Ti=U+U+C； 1 n + 1 =2C 叮nl=2n n1.熱點(diǎn)二與二項(xiàng)式定理有關(guān)的問題【例2】= (a + b)neN：i：,心2),若心)的展開式中,存在某連續(xù)三項(xiàng),其二項(xiàng) 式系數(shù)依次成等差數(shù)列,則稱伽具有性質(zhì)只求證,7)具有性質(zhì)P；若存在“W2 017 ,使/具有性質(zhì)P ,求的最大值.(1)證明幾7)的展開式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為Cj = 7, C=21, C=35. 因?yàn)镃*+C=2d，即C*, G，G成等差數(shù)列，

12、所以幾7)具有性質(zhì)P.卜 真題感悟考點(diǎn)整合 1熱點(diǎn)聚焦分類突破(2)解 設(shè)和)具有性質(zhì)F,則存在rN Kr1,使C：T, C；, cT成等差數(shù)列,所以CT+CT=2C；.整理得4/4r+(2n 2) = 0,即(2廠一w)2 + 2,所以斤+2為完全平方數(shù).又2017,由于4422 017 + 2452,所以比的最大值為4牢一2=1 934,此時(shí)廠=989或945.探究提高涉及二項(xiàng)式定理的試題要注意以下幾個(gè)方面:(1) 某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與這一項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念,必須嚴(yán)格加以區(qū)別.(2) 根據(jù)所給式子的結(jié)構(gòu)特征,對(duì)二項(xiàng)式定理逆用或變用,注意活用二項(xiàng)式定理是解決 二項(xiàng)式問題應(yīng)具備的基本素質(zhì)

13、.關(guān)于x的二項(xiàng)式+ bxY(a , b為常數(shù))的展開式可以看成是關(guān)于r的函數(shù)，且當(dāng)兀給予某 一個(gè)值時(shí)，可以得到一個(gè)與系數(shù)有關(guān)的等式，所以，當(dāng)展開式涉及到與系數(shù)有關(guān)的問 題時(shí),可以利用函數(shù)思想來解決.真題感悟考點(diǎn)整合熱點(diǎn)聚焦分類突破真題感悟考點(diǎn)整合熱點(diǎn)聚焦分類突破歸納總結(jié)思維升華【訓(xùn)練2 （2018-南通、揚(yáng)州、淮安等六市調(diào)研）已知（1+對(duì)2宀=血+。戸+血/+么2卄1兀+舄斤記 耳=工（2+1）給-k=0求心的值；化簡(jiǎn)幾的表達(dá)式，并證明：對(duì)任意的eN*,幾都能被4/1+2整除熱點(diǎn)聚焦分類突破卜 真題感悟考點(diǎn)整合 1解 由二項(xiàng)式定理，得6/-CU10-0, 1, 2,，2斤+1)(2zz +1)

14、 !(h+ 1 k) !(k) !(1)卩2=a2 + 3di+5do = C： + 3C! + 5C? = 3O (2m +1)(2) ！( + k) ! (nk) !所以Tn=空(2卄1)Q,_h = Q= (2+l)C 滬，= t(.2k + 1)C；h=Q= t(.2k+1)C；貯Jt=Of 2(+l+k) (2 扭+ 1)C；二：AJk = O2丈 6+1+GC 髓T (2+l)fc黑十Jt = OA = 0= 2(2n+l)S Ch (2卄 1) t C；對(duì)Jb = Oi = O(2)因?yàn)? + 1 + k)C 紅f =(兀 + 1 + Q真題感悟考點(diǎn)整合熱點(diǎn)聚焦分類突破歸納總結(jié)思

15、維升華=2(2n + l)|(22n+CL) (2n +l)-|-22n+1= (2n +1 )C 丸.Tn = (2n+l )(X=(2 +1 )(C 那 i 十 C莒一 J = 2(2n + l)C?n-1 = (4 卄 2)C 莽.因?yàn)?WN*,所以7；能被4n+2整除.解（1加（兀）=方（無）=ex-Yetbe ad=S + b) 2；加)FG) =bead(or+b) 22a (bead)(ax+b) 3（2）猜想仆尸（T）宀八乞沁，卡m(ax+b) ，/+1證明 當(dāng)斤=1時(shí)，由（1）知結(jié)論正確,假設(shè)當(dāng)n=k,圧2時(shí)，結(jié)論正確,即 fk(X)=(1)(bead -kla(ax+b )

16、“十n = k-1 時(shí)，后1(兀)=幾(兀)=(1) k 1- (becul) k(ox+b) I=(-im(bc-初! +b嚴(yán)仁(T)S (bi) a+l) !(ax+b ) k 2所以當(dāng)斤二 + 1時(shí).結(jié)論也成立.綜上所述,對(duì)一切fn(x) =(1) n x-al (bead)!(ax+b) ,/+1探究提高 在數(shù)學(xué)歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可在較復(fù)雜的式子中，注意 由n = kn = k+ 1時(shí)，式子中項(xiàng)數(shù)的變化應(yīng)仔細(xì)分析，觀察通項(xiàng)同時(shí)還應(yīng)注意,不用 假設(shè)的證法不是數(shù)學(xué)歸納法.熱點(diǎn)聚焦分類突破【訓(xùn)練3】(2015江蘇卷)已知集合X二1 ,2,3, Yn=l , 2 z 3 , -

17、 z n(nEN*) z 設(shè) Sn=(a , b)la整除b或b整除a , aX ,bYn,令/表示集合S“所含元素的個(gè)數(shù).寫出/的值；(2)當(dāng)“26時(shí),寫出/)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解(l)r6=b 2, 3, 4, 5, 6, S6 中的元素3 b)滿足:若 a=l9 則 b=l9 2, 3, 4,5, 6；若 a = 2,則 b=l, 2, 4, 6；若 a = 3,則 b=, 3, 6所以幾6)=13卜 真題感悟考點(diǎn)整合熱點(diǎn)聚焦分類突破 歸納總結(jié)思維升華川+ 2 +n = 6tj(n nr=6/+l,(2)當(dāng) n6 時(shí)，fn)=+2+身+專丿n 1 . n丁1 3J(n . 1

18、12丁jn + 2+n + 2+ -+zi + 2 +G 1nrn = 6t+2y斤=6汁3,H = 6r+4,真題感悟考點(diǎn)整合熱點(diǎn)聚焦分類突破歸納總結(jié)思維升華下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)n = 6時(shí)，介6) = 6 + 2+號(hào)+=13,結(jié)論成立； 假設(shè)n=k(k時(shí)結(jié)論成立，那么n=k+l時(shí)，Sr+i在：的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1,E+1), (2, +1), (3,比+1)中產(chǎn)生，分以下情形討論：k k21)若比+1=6九貝I=6(一1)+5,此時(shí)有/(k+l)=/(Q + 3=k+2+j-+ 3 = (k,k 1,k-1/ 人亠一+1) + 2+ 2 +，纟占論成乂；k k2)若 +l=6f+l，貝Ik = 6t,此時(shí)有 /(/:+1)=九比)+1 =+2+空+1 =伙 +1) + 2 +(k+1) 1(上+1) 12+3結(jié)論成立;k k3) 若 k 1 =6?+2,則 k=6t 1,此時(shí)有夬+l)=/(Q + 2=k+2+2 =伙+R+l(k+1)2八.、人上亠1) + 2+ 2 +，纟占論成立；k k24) 若 +l=6r+3,貝0 k=6r+2,此時(shí)有/(k+l)=/(Q + 2=+2+2 =伙+1)(+1)1k 1/.、人上亠+2 +，纟占論成乂 ；熱點(diǎn)聚焦分類突破 歸納總結(jié)思維升華