2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.2第2課時(shí)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用課后訓(xùn)練鞏固提升【含解析】

1、第2課時(shí)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用課后訓(xùn)練鞏固提升A組1.當(dāng)x0時(shí),y=12x+4x的最大值為()A.-4B.-8C.-83D.-16解析:x0,y=-12x+(-4x)-2-12x(-4x)=-83.答案:C2.函數(shù)y=xx+1的最大值為()A.25B.12C.22D.1解析:當(dāng)x=0時(shí),y=0;當(dāng)x0時(shí),x+12x0,則yx2x=12,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號成立.故函數(shù)y=xx+1的最大值為12.答案:B3.當(dāng)a0時(shí),關(guān)于代數(shù)式2aa2+1,下列說法正確的是()A.有最大值無最小值B.有最小值無最大值C.有最小值也有最大值D.無最小值也無最大值解析:a0,2aa2+1=2a+1a22a1a=1,

2、當(dāng)且僅當(dāng)a=1a,即a=1時(shí),取等號,故a0,代數(shù)式2aa2+1有最大值1,沒有最小值.答案:A4.某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車并將其投入營運(yùn),據(jù)市場分析,每輛客車營運(yùn)的總利潤y(單位:萬元)與營運(yùn)年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為y=-(x-6)2+11(xN*),則營運(yùn)的年平均利潤最大時(shí),每輛客車的營運(yùn)年數(shù)為()A.3B.4C.5D.6解析:由題意可知,yx=-x+25x+12-2x25x+12,當(dāng)且僅當(dāng)x=25x時(shí),等號成立,即x=5時(shí),營運(yùn)的年平均利潤最大.答案:C5.若對x0,y0,有(x+2y)2x+1ym恒成立,則m的取值范圍是()A.m8B.m8C.m2)在x=a處取最小值,則a=.解析

3、:y=x+1x-2=x-2+1x-2+2.x2,x-20.y=x-2+1x-2+22(x-2)1x-2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-2=1x-2,即x=3時(shí),“=”成立.又y在x=a處取最小值,a=3.答案:37.已知a0,b0,1a+2b=2,則a+2b的最小值為.解析:a0,b0,1a+2b=2,a+2b=12(a+2b)1a+2b=125+2ba+2ab12(5+4)=92,當(dāng)且僅當(dāng)2ba=2ab,且1a+2b=2,即a=b=32時(shí),取等號,a+2b的最小值為92.答案:928.在4+9=60的兩個(gè)中,分別填入兩個(gè)自然數(shù),使它們的倒數(shù)和最小,應(yīng)分別填上和.解析:設(shè)兩數(shù)為x,y,即4x+9y=60

4、,1x+1y=1x+1y4x+9y60=16013+4xy+9yx160(13+12)=512,當(dāng)且僅當(dāng)4xy=9yx,且4x+9y=60,即x=6,且y=4時(shí),等號成立,故應(yīng)分別填上6,4.答案:649.(1)求函數(shù)y=14x-5+4xx54的最小值;(2)求函數(shù)y=x(a-2x)(x0,a為大于2x的常數(shù))的最大值;(3)已知x0,y0,且1x+9y=1,求x+y的最小值.解:(1)x54,4x-50,y=14x-5+4x=14x-5+(4x-5)+57,當(dāng)且僅當(dāng)4x-5=14x-5,即x=32時(shí),取等號.y的最小值為7.(2)x0,a2x,y=x(a-2x)=122x(a-2x)122x

5、+(a-2x)22=a28,當(dāng)且僅當(dāng)x=a4時(shí)取等號,y的最大值為a28.(3)方法一:1x+9y=1,x+y=(x+y)1x+9y=10+yx+9xy.x0,y0,yx+9xy2yx9xy=6.當(dāng)且僅當(dāng)yx=9xy,即y=3x時(shí),取等號.又1x+9y=1,x=4,y=12.當(dāng)x=4,y=12時(shí),x+y取最小值16.方法二:由1x+9y=1,得x=yy-9.x0,y0,y9.x+y=yy-9+y=y+y-9+9y-9=y+9y-9+1=(y-9)+9y-9+10.y9,y-90,y-9+9y-9+102(y-9)9y-9+10=16,當(dāng)且僅當(dāng)y-9=9y-9,即y=12時(shí),取等號.又1x+9y

6、=1,x=4.當(dāng)x=4,y=12時(shí),x+y取最小值16.10.某房地產(chǎn)開發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)長方形公園ABCD,公園由形狀為長方形A1B1C1D1的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成.已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4 000平方米,人行道的寬分別為4米和10米(如圖所示).(1)若設(shè)休閑區(qū)的長和寬的比|A1B1|B1C1|=x(x1),求公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)要使公園所占面積最小,休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬該如何設(shè)計(jì)?解:(1)設(shè)休閑區(qū)的寬為a米,則長為ax米,由a2x=4000,得a=2010x.則S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20

7、)a+160=4000+(8x+20)2010x+160=80102x+5x+4160(x1).(2)80102x+5x+4160801022x5x+4160=1600+4160=5760.當(dāng)且僅當(dāng)2x=5x,即x=2.5時(shí),等號成立,此時(shí)a=40,ax=100.所以要使公園所占面積最小,休閑區(qū)A1B1C1D1應(yīng)設(shè)計(jì)為長100米,寬40米.B組1.若a0,b0,且a+b=4,則下列不等式恒成立的是()A.1ab14B.1a+1b1C.ab2D.a2+b28解析:4=a+b2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立),即ab2,ab4,故1ab14,選項(xiàng)A,C不成立;1a+1b=a+bab=4ab1,選

8、項(xiàng)B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab8,選項(xiàng)D成立.答案:D2.已知x,y0,x+y=1,若4xy1B.t1C.t2解析:由基本不等式,得4xy4x+y22=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=12時(shí),等號成立,所以4xy的最大值為1,則t1.因此實(shí)數(shù)t的取值范圍是t1.答案:A3.若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是()A.245B.285C.5D.6解析:由x+3y=5xy可得15y+35x=1,所以3x+4y=(3x+4y)15y+35x=95+45+3x5y+12y5x135+23x5y12y5x=135+125=5,當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=12時(shí),取等號.故3x

9、+4y的最小值是5.答案:C4.已知正數(shù)x,y滿足x2+2xy-3=0,則2x+y的最小值是()A.1B.3C.6D.12解析:x2+2xy-3=0,y=3-x22x,2x+y=2x+3-x22x=3x2+32x=3x2+32x23x232x=3.當(dāng)且僅當(dāng)3x2=32x,即x=1時(shí),取等號.答案:B5.函數(shù)y=x2+2x+2x+1(x-1)的圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)是.解析:由題意得,y=(x+1)2+1x+1=(x+1)+1x+12,當(dāng)不等式取等號時(shí),x=0,y=2,即函數(shù)圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2).答案:(0,2)6.設(shè)a1,b0,若a+b=2,則2a-1+1b的最小值為.解析:由a1,b0,且

10、a+b=2,得a-1+b=1,a-10,b0,則2a-1+1b=2a-1+1b(a-1)+b=3+2ba-1+a-1b3+22ba-1a-1b=3+22,當(dāng)且僅當(dāng)2ba-1=a-1b,且a+b=2,即a=3-2,b=2-1時(shí)取得最小值3+22.答案:3+227.已知正常數(shù)a,b和正變數(shù)x,y滿足a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值是18,求a,b的值.解:x+y=(x+y)ax+by=a+b+bxy+ayxa+b+2ab=(a+b)2,(a+b)2=18.又a+b=10,a=2,b=8或a=8,b=2.8.某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對產(chǎn)品進(jìn)行促銷,在一年內(nèi)預(yù)計(jì)銷售量Q(單位:萬件)與廣

11、告費(fèi)x(單位:萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為Q=3x+1x+1(x0).已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元,每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入32萬元.若每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為“年平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件產(chǎn)品所占廣告費(fèi)的50%”之和.(1)試將年利潤W(單位:萬元)表示為年廣告費(fèi)x(單位:萬元)的函數(shù);(2)當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬元時(shí),企業(yè)年利潤最大?最大利潤為多少?解:(1)由題意可得,產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(32Q+3)萬元,每件銷售價(jià)為32Q+3Q150%+xQ50%,所以年銷售收入為32Q+3Q150%+xQ50%Q=32(32Q+3)+12x.所以年利潤W=32(32Q+3)+12x-(32Q+