概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題及答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題及答案考試科目： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試時間：120分鐘 試卷總分100分題號一二三四總分得分123456一、選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中，本大題共5小題，每小題3分，總計15分）1擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，則在出現(xiàn)奇數(shù)點的條件下出現(xiàn)1點的概率為（ A ）。(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/62設(shè)隨機變量的概率密度，則K=（ B ）。(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/23對于任意隨機變量，若，則（ B ）。(A) （B）(C) 一定獨立 （D）不獨立5設(shè)，且，則P-24=（ A ）。(A)0.8543 (B)0.

2、1457 (C)0.3541 (D)0.2543 二、填空題（在每個小題填入一個正確答案，填在題末的括號中，本大題共5小題，每小題3分，總計15分）1設(shè)A、B為互不相容的隨機事件則（ 0.9 ）。2設(shè)有10件產(chǎn)品，其中有1件次品，今從中任取出1件為次品的概率為（ 1/10 ）。3設(shè)隨機變量X的概率密度 則（ 8/10 ）。4設(shè)D()=9, D()=16, ，則D()=（ 13 ）。*5設(shè)，則（ N(0,1) ）。三、計算題（本大題共6小題，每小題10分，總計60分）1某廠有三條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，每條流水線的產(chǎn)品分別占總量的25，35，40，又這三條流水線的次品率分別為0.05，0.04，0.

3、02?，F(xiàn)從出廠的產(chǎn)品中任取一件，問恰好取到次品的概率是多少？（1）全概率公式2設(shè)連續(xù)型隨機變量的密度為 (1)確定常數(shù)A (2)求 (3)求分布函數(shù)F(x).（2）故A=5 。 （3分）當(dāng)x0時,F(x)=0; （1分）當(dāng)時， （2分） 故 . （1分）3設(shè)二維隨機變量（）的分布密度求關(guān)于和關(guān)于的邊緣密度函數(shù)。（3）4設(shè)連續(xù)型隨即變量的概率密度，求E(x),D(x) （4） （4分）（3分） （3分）四證明題（本大題共2小題，總計10分）2設(shè)是獨立隨機變量序列，且，試證服從大數(shù)定理。(2)由切比雪夫大數(shù)定理可知服從大數(shù)定理。（1分）考試科目：概率論與數(shù)理統(tǒng)計 考試時間：120分鐘 試卷總分10

4、0分一、選擇題（在各小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中，本大題共5個小題，每小題3分，總計15分） 1設(shè)為兩隨機事件，且，則下列式子正確的是AA B. 2. 設(shè)那么當(dāng)增大時， CA增大 B減少 C不變 D增減不定 3設(shè)A1 B. 2 C3 D0二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，總計15分 1 .設(shè)A、B、C、是三個隨機事件。用A、B、C表示事件“A、B、C至少有一個發(fā)生” ; 2設(shè)有10件產(chǎn)品，其中有1件次品，今從中任取出1件為次品的概率是 0.1 3設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，則隨機變量的概率密度函數(shù) ; 4已知則 1.16 三、計算題（本大題共6小題，每小題10分，共

5、計60分）設(shè)考生的報名表來自三個地區(qū)，各有10份，15份，25份，其中女生的分別為3份，7份，5份。隨機的從一地區(qū)先后任取兩份報名表。求先取到一份報名表是女生的概率。解.設(shè)為“取得的報名表為女生的”,為“考生的報名表是第i個地區(qū)的”,i=1,2,3由全概率公式 2分 3分 3分 1分即先取到一份報名表為女生的概率為. 1分設(shè)隨機變量X的概率密度為 ，求 A值； X的分布函數(shù)；(1) ， 2分 (2) 1分 3分 1分(3) 3分設(shè)二維隨機變量有密度函數(shù)：求：（1）常數(shù)；（2）落在區(qū)域D的概率，其中3. ， 5分 5分4 . 設(shè)足球隊A與B比賽，若有一隊勝4場，則比賽結(jié)束，假設(shè)A，B在每場比賽中

6、獲勝的概率均為，試求平均需比賽幾場才能分出勝負？4. 設(shè)為需要比賽的場數(shù)， 1分則， 4分所以 4分答：平均需比賽6場才能分出勝負 1分設(shè)為相互獨立的隨機變量序列, 證明服從大數(shù)定律。2 1分 1分令則 2分，由切比雪夫不等式知 1分故有，即服從大數(shù)定律。 1分1對于事件，下列命題正確的是DA若互不相容，則 B若相容，則若互不相容，則 若 那么2. 假設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為，密度函數(shù)為若與有相同的分布函數(shù)，則下列各式中正確的是CA； B； C； D；. 若，那么的聯(lián)合分布為C.二維正態(tài)，且；. 二維正態(tài)，且不定； . 未必是二維正態(tài)； . 以上都不對 . 設(shè)隨機變量和的方差存在且不等于，則是和

7、的C A . 不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件；B .獨立的必要條件，但不是充分條件； C . 不相關(guān)的充分必要條件； D . 獨立充分必要條件二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，總計15分1. 設(shè)A、B、C、是三個隨機事件。用A、B、C表示事件“A、B、C恰有一個發(fā)生” ; 2. 設(shè)離散型隨機變量X分布律為則A= 1/5 3. 用的聯(lián)合分布函數(shù)表示= ; 4已知且則 7.4 三、計算題（本大題共6小題，每小題10分，共計60分）轟炸機轟炸目標(biāo)，它能飛到距離目標(biāo)400，200，100（米）的概率分別為0.5，0.3，0.2，又設(shè)他在距離目標(biāo)400，200，100（米）的命中率分別為0.01

8、，0.02，0.1。求目標(biāo)被命中的概率。1.由全概率公式 2分 7分目標(biāo)被命中的概率為. 1分設(shè)隨機變量的概率密度為 ，求值； 的分布函數(shù)；求落在區(qū)間內(nèi)的概率。2.(1) ， 2分 (2) 1分 4分 (3) 3分設(shè)二維隨機變量的密度函數(shù)：求：求關(guān)于與關(guān)于的邊緣分布密度；3. 當(dāng)時，3分于是 2分 同理 5分4 .設(shè)隨機變量具有密度函數(shù)，求及。4. 5分 5分四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）設(shè)，是獨立隨機變量序列，證明服從大數(shù)定律。2由切比雪夫大數(shù)定理可知服從大數(shù)定理。（1分）一、填空題（本大題共5小題，每小題4分，總計20分）1. 設(shè)為隨機事件,則 2/3 2設(shè)10把鑰匙中

9、有2把能打開門, 現(xiàn)任意取兩把, 能打開門的概率是 17/45 3設(shè), 且與相互獨立, 則 35 4設(shè)隨機變量上服從均勻分布,則關(guān)于未知量的方程有實根的概率為_5/6_5. 設(shè)隨機變量的數(shù)學(xué)期望,方差,用切比雪夫不等式估計得 4/5 .二、選擇題（在各小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中，本大題共5個小題，每小題4分，總計20分） 1設(shè)事件相互獨立,且,，則有 B (A) ; (B) ; (C) ; (D) 2. 設(shè),那么概率 D (A) 隨增加而變大; (B) 隨增加而減??； (C) 隨增加而不變; (D) 隨增加而減小 3. 設(shè),則 C (A) ; (B) ; (C) ;

10、(D) 4設(shè)相互獨立，服從上的均勻分布，的概率密度函數(shù)為，則D(A) ; (B) ; (C) ; (D) 三、計算題（本大題共5小題，每小題10分，共計50分）1某產(chǎn)品整箱出售，每一箱中20件產(chǎn)品，若各箱中次品數(shù)為0件，1件，2件的概率分別為80，10，10，現(xiàn)在從中任取一箱，顧客隨意抽查4件，如果無次品，則買下該箱產(chǎn)品，如果有次品，則退貨，求: (1) 顧客買下該箱產(chǎn)品的概率；(2) 在顧客買下的一箱產(chǎn)品中，確實無次品的概率.解:設(shè)表示“顧客買下該箱產(chǎn)品” ，分別表示“箱中次品數(shù)為0件，1件，2件” 則80，1010，1，(3分)由全概率公式得：448/475，(7分)由貝葉斯公式得：95/

11、112 (10分)2已知隨機變量的密度為,且,求: (1) 常數(shù)的值; (2) 隨機變量的分布函數(shù)解: (1) 由, 解得 (4分) (2) ,當(dāng)時, ，當(dāng)時, , 當(dāng)時, ， 所以 (10分)3設(shè)二維隨機變量有密度函數(shù)： （1）求邊緣概率密度；（2）求條件密度；（3）求概率.解: （1） (4分)(2) 當(dāng)時, =當(dāng)時, (8分)(3) (10分)4 . 設(shè)隨機變量獨立同分布，都服從參數(shù)為的泊松分布，設(shè), 求隨機變量與的相關(guān)系數(shù)4 .解: , (8分)=3/5 (10分)四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）1. 設(shè)事件相互獨立,證明事件與事件也相互獨立1. 證明：由于事件相互獨

12、立，所以，(2分)所以即,所以事件與也相互獨立 (5分)一、填空題（本大題共5小題，每小題4分，總計20分）1 .設(shè)是兩個隨機事件,則事件“同時發(fā)生” 的對立事件的概率為 0.6 2設(shè)有40件產(chǎn)品，其中有4件次品，從中不放回的任取10次，每次取一件，則最后一件取的為次品的概率是 0.1 3設(shè)隨機變量與相互獨立,則隨機變量的方差為 24 4設(shè)隨機變量的數(shù)學(xué)期望,方差,用切比雪夫不等式估計得,則 10 二、選擇題（在各小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中，本大題共5個小題，每小題4分，總計20分） 1設(shè)總體,是取自總體的一個樣本, 則為參數(shù)的無偏估計量的是( A )(A) ; (B

13、) ; (C) ; (D) 2. 設(shè),則滿足的參數(shù)( C )(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3 3設(shè), , 則( C )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 三、計算題（本大題共5小題，每小題10分，共計50分）1兩個箱子中都有10個球，其中第一箱中4個白球，6個紅球，第二箱中6個白球，4個紅球，現(xiàn)從第一箱中任取2個球放入第二箱中，再從第二箱中任取1個球，(1) 求 從第二箱中取的球為白球的概率；(2) 若從第二箱中取的球為白球，求從第一箱中取的2個球都為白球的概率1解: 設(shè)表示“從第二箱中取的球為白球” ，分別表示“從第一箱中取的2個球都為白球,1白1紅，2個球都為紅

14、球” ， 則=2/15，=8/15，=1/3，2/3，7/12，1/2，(4分) 由全概率公式得：17/30， 由貝葉斯公式得：8/51 (10分)2設(shè)隨機變量與同分布，的概率密度為 ，事件與事件相互獨立，且，求常數(shù)的值。2解: 由于事件相互獨立，所以，所以，解得或（舍去），(5分)所以，得 (10分)3設(shè)二維隨機變量有密度函數(shù)： （1）求常數(shù)；（2）求邊緣概率密度；（3）是否相互獨立。3解：（1）， (4分) （2）(8分)（3），所以相互獨立。(10分)4 . 設(shè)隨機變量，相關(guān)系數(shù)，設(shè)求： (1) 隨機變量的期望與方差 ；(2) 隨機變量與的相關(guān)系數(shù)4 . 解： (1) ，所以， ，所以，

15、(5分)(2) 由于，所以 (10分)四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）1. 設(shè)事件相互獨立,證明事件與事件也相互獨立.1. 證明：由于事件相互獨立，所以，所以即,所以事件與也相互獨立。(5分)一、填空題（本大題共6小題，每小題3分，總計18分）1. 設(shè)為隨機事件,則 2/3 210個球隊平均分成兩組進行比賽,則最強的兩個隊分到同一組的概率為 2/9 3設(shè)隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布,則的數(shù)學(xué)期望為 4設(shè)為二項分布,且,則_8_ 0.2 5. 設(shè)隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布,用切比雪夫不等式估計得 1/12 .二、選擇題（在各小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中

16、，本大題共6個小題，每小題3分，總計18分） 1設(shè)為事件,且,則下列式子一定正確的是( B )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 2. 設(shè)隨機變量的分布率為, ,則 ( D )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 3. 設(shè),概率密度為,分布函數(shù)為,則有( A )(A) ; (B) ; (C) , ; (D) , 4. 設(shè),則( A )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 5. 設(shè)隨機變量滿足方差,則必有( B )(A) 與獨立; (B) 與不相關(guān);(C) 與不獨立; (D) 或三、計算題（本大題共6小題，每小題10分，共計60分）1有三個盒子,第一個盒子中有2個黑球,4個白

17、球,第二個盒子中有4個黑球,2個白球,第三個盒子中有3個黑球,3個白球,今從3個盒子中任取一個盒子,再從中任取1球.(1) 求此球是白球的概率；(2) 若已知取得的為白球,求此球是從第一個盒子中取出的概率. 解:設(shè)表示“取得的為白球” ，分別表示“取得的為第一，二，三盒的球” 則，(2分)由全概率公式得：1/2，(6分)由貝葉斯公式得：4/9 (10分)2已知連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為,其中為常數(shù)。求: (1) 常數(shù)的值; (2) 隨機變量的密度函數(shù);(3) 解: (1) 由右連續(xù)性, ， 得， 解得 (6分) (2) , (8分)(3) =1/3 (10分)3設(shè)隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布,

18、 求概率密度。3解: 的概率密度為，反函數(shù)導(dǎo)數(shù)，所以的概率密度為(10分)4設(shè)二維隨機變量的密度函數(shù)： （1）求常數(shù)的值；（2）求邊緣概率密度；（3）和是否獨立?4解: （1）由，得 (3分)(2)(6分) (9分)(3) ，不獨立(10分)5 . 設(shè)二維隨機變量的概率密度函數(shù)： 求（1）數(shù)學(xué)期望與；（2）與的協(xié)方差5 .解: ,(2分),(4分) (6分)，所以=9/40 (10分)四、證明題（本大題共1小題，每小題4分，共4分）1. 設(shè)三個事件滿足,試證明:1. 證明：由于，所以，所以 (4分)一、填空題（本大題共6小題，每小題3分，總計18分）1. 設(shè)為隨機事件,則 0.1 210件產(chǎn)品

19、中有4件次品,從中任意取2件,則第2件為次品的概率為 0.4 3設(shè)隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布,則的概率密度函數(shù)為 4設(shè)隨機變量的期望,方差,則期望 54 5. 設(shè)隨機變量服從參數(shù)為2的泊松分布,則應(yīng)用切比雪夫不等式估計得 1/2 .二、選擇題（在各小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中，本大題共6個小題，每小題3分，總計18分） 1設(shè)為對立事件, , 則下列概率值為1的是( C )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 2. 設(shè)隨機變量,概率密度為,分布函數(shù),則下列正確的是( B )(A) ; (B) ; (C) , ; (D) , 3. 設(shè)是隨機變量的概率密度,則一定成立的是( B )(A) 定義域為; (B) 非負; (C) 的值域為; (D) 連續(xù) 4. 設(shè),則( A )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 5. 設(shè)隨機變量的方差,相關(guān)系數(shù),則方差 ( D )(A