微分方程第5章.2(V函數(shù))[章節(jié)優(yōu)講]

1、5.2 Liapunov 第二方法第二方法 （V函數(shù)法）函數(shù)法） 5.2.1 定理及概念定理及概念 5.2.2 二次型二次型V函數(shù)的構(gòu)造函數(shù)的構(gòu)造 11 (5.29) nn i i ii ii dVV dxV f dtx dtx 討論方程組討論方程組( ),(0)0, ( ),( ) dx f xf dt f xfx 連續(xù)連續(xù) （5.20） 5.2.1 李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理 定理定理4 對(duì)于系統(tǒng)對(duì)于系統(tǒng)（5.20），），如果可以找到如果可以找到 一個(gè)定正函數(shù)一個(gè)定正函數(shù) ，且此，且此 函數(shù)沿著系統(tǒng)的函數(shù)沿著系統(tǒng)的( )V xV 全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù) 為常負(fù)函數(shù)或恒等于零，則系統(tǒng)（為常負(fù)函數(shù)或恒

2、等于零，則系統(tǒng)（5.20） dV dt 的零解是穩(wěn)定的。的零解是穩(wěn)定的。 定理定理5 對(duì)于系統(tǒng)（對(duì)于系統(tǒng)（5.20），如果可以找到一），如果可以找到一 個(gè)定正的函數(shù)個(gè)定正的函數(shù) ，且沿著系統(tǒng)的全導(dǎo)數(shù)，且沿著系統(tǒng)的全導(dǎo)數(shù) 為為( )V x dV dt 定負(fù)函數(shù)，則系統(tǒng)的定負(fù)函數(shù)，則系統(tǒng)的零解是漸近穩(wěn)定的零解是漸近穩(wěn)定的。 定理定理6 對(duì)于系統(tǒng)（對(duì)于系統(tǒng)（5.20）如果能找到一個(gè)）如果能找到一個(gè)V 函數(shù)函數(shù) 它在它在 點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)至少有點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)至少有( )V x 0 x 一點(diǎn)一點(diǎn) ， * x * ()0(0)Vx 那么，如果存在那么，如果存在 的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域 ,使使 0 x D 得在

3、得在 中中 是定正（定負(fù)）的，則是定正（定負(fù)）的，則 (6.20) dV dt D 系統(tǒng)（系統(tǒng)（5.20）的）的零解是不穩(wěn)定零解是不穩(wěn)定的。的。 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 和和 同時(shí)成立，同時(shí)成立，0a 2 40acb 定理定理7 函數(shù)函數(shù) 2 Vbxycy 2 （x,y）=ax 是是定正的，定正的， 是是定負(fù)定負(fù)的，當(dāng)?shù)?，?dāng)且僅當(dāng) 和和0a 2 40acb 同時(shí)成立。同時(shí)成立。 定理定理8 對(duì)于系統(tǒng)（對(duì)于系統(tǒng)（5.20），）， 如果存在定正的如果存在定正的 ，且，且 常負(fù)，常負(fù)，( )V x (5.20) dV dt 但是使得但是使得 點(diǎn)點(diǎn) 的集合不含系統(tǒng)的集合不含系統(tǒng) x (5.20) 0 dV

4、dt (5.20)的除零解外的任何整條正半軌線，的除零解外的任何整條正半軌線， 則（則（5.20）的零解是漸近穩(wěn)定的。）的零解是漸近穩(wěn)定的。 定理定理9 對(duì)于系統(tǒng)（對(duì)于系統(tǒng)（5.20），）， 如果存在函數(shù)如果存在函數(shù) 和某一非負(fù)常數(shù)和某一非負(fù)常數(shù) ，使得，使得( )V x (5.20) ( ) dV VW x dt 且當(dāng)且當(dāng) 時(shí)時(shí), 為為定正函數(shù)定正函數(shù)，0( )W x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 為為常正函數(shù)或恒為零常正函數(shù)或恒為零，0( )W x 又在又在 的任意小的鄰域內(nèi)，的任意小的鄰域內(nèi)，0 x 至少存在某個(gè)至少存在某個(gè) 使得使得 ， x ( )0V x 則（則（5.20）的零解是不穩(wěn)定的。）的零

5、解是不穩(wěn)定的。 注：注： 例題及定理的證明例題及定理的證明 例例1 在二維空間在二維空間 上上 2 R 22 1212 (,)V x xxx 是是定正的定正的 函數(shù)函數(shù)。 V 22 121122 ( ,)2V x xxx xx 2 12 ()xx 是常正的。是常正的。 關(guān)于關(guān)于 函數(shù)有兩個(gè)結(jié)論：函數(shù)有兩個(gè)結(jié)論： V 結(jié)論結(jié)論1 如果函數(shù)如果函數(shù) 是定正（常正）的是定正（常正）的 ，( )V x 則則 定負(fù)（常負(fù)）的；定負(fù)（常負(fù)）的；( )V x 結(jié)論結(jié)論2 如果如果 是一個(gè)二維定正是一個(gè)二維定正 函函 ( , )V x y V 數(shù)，則對(duì)于適當(dāng)?shù)臄?shù)，則對(duì)于適當(dāng)?shù)?是一條包是一條包 0, ( ,

6、)hV x yh 圍原點(diǎn)的閉曲線。圍原點(diǎn)的閉曲線。 微分方程解的穩(wěn)定性問題。微分方程解的穩(wěn)定性問題。 現(xiàn)在討論如何應(yīng)用現(xiàn)在討論如何應(yīng)用 函數(shù)來確定非線性函數(shù)來確定非線性V 為了簡(jiǎn)單，考慮非線性自治系統(tǒng)為了簡(jiǎn)單，考慮非線性自治系統(tǒng) ( ) dx f x dt （5.20） 其中其中: 1 2 n x x x x 112 212 12 ( ,) ( ,) ( ) ( ,) n n nn f x xx fx xx f x fx xx 復(fù)合函數(shù)，對(duì)復(fù)合函數(shù)，對(duì) 函數(shù)關(guān)于函數(shù)關(guān)于 求導(dǎo)數(shù)得到：求導(dǎo)數(shù)得到：V t 12 12 n n dxdxdxdVVVV dtx dtxdtxdt 1 n i i i d

7、xV x dt 這樣求得的導(dǎo)數(shù)這樣求得的導(dǎo)數(shù) 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 沿著方程沿著方程 dV dt ( )V x 組組(5.20)的的全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù)，一般情況下它仍為，一般情況下它仍為 12 , n x xx的函數(shù)。的函數(shù)。 （5.21） 假設(shè)假設(shè) ，且，且 在原點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)在原點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)(0)0f( )f x 滿足解的存在唯一性條件。滿足解的存在唯一性條件。 把把(5.20)的解的解 代入函數(shù)代入函數(shù) 中得中得 的的( )xx tV t 例例2 求函數(shù)求函數(shù) 沿著平沿著平 22 1 ( , )() 2 V x yxy 面自治系統(tǒng)面自治系統(tǒng) 33 dx xyxy dt dy xy dt （5.2

8、2） 的全導(dǎo)數(shù)。的全導(dǎo)數(shù)。 解解 利用公式（利用公式（5.21）得此函數(shù)）得此函數(shù) 沿著系統(tǒng)沿著系統(tǒng)V (5.22)得全導(dǎo)數(shù)為得全導(dǎo)數(shù)為 (5.22) dVV dxV dy dtx dty dt 33 2234 ()()x x y xyy xy xxy x y x y y 例例3 利用利用李雅普諾夫穩(wěn)定型準(zhǔn)則李雅普諾夫穩(wěn)定型準(zhǔn)則判定下面判定下面 系統(tǒng)的零解的穩(wěn)定性態(tài)。系統(tǒng)的零解的穩(wěn)定性態(tài)。 32 23 (1) 2 dx xxy dt dy x yy dt 解解 對(duì)于系統(tǒng)（對(duì)于系統(tǒng)（1），），構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù) 22 1 ( , ) 2 V x yxy 則則 是正定的且是正定的

9、且( , )V x y 3223 (1) 2 ()( 2) dV xxxyyx yy dt 44 2xy 是是定負(fù)的定負(fù)的。所以由定理。所以由定理6知系統(tǒng)（知系統(tǒng)（1）的零解）的零解 是是漸近穩(wěn)定的漸近穩(wěn)定的。 33 223 (2) 242 dx xy dt dy xyx yy dt 對(duì)于系統(tǒng)（對(duì)于系統(tǒng)（2），構(gòu)造如（），構(gòu)造如（1）中的）中的 函數(shù)則函數(shù)則 V 4224222 (2) 2422() dV xx yyxy dt 顯然顯然 在原點(diǎn)鄰域是定正的，而在原點(diǎn)鄰域是定正的，而 (2) dV dt ( , )V x y 在原點(diǎn)任何鄰域有大于零的點(diǎn)（其實(shí)也是定在原點(diǎn)任何鄰域有大于零的點(diǎn)（其實(shí)

10、也是定 正正函數(shù)），所以由定理函數(shù)），所以由定理7知系統(tǒng)（知系統(tǒng)（3）的零解是）的零解是 不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定的。 例例4 構(gòu)造二次型構(gòu)造二次型 函數(shù)證明系統(tǒng)函數(shù)證明系統(tǒng) V 2 2 dx xxy dt dy yx y dt （5.23） 的零解是漸近穩(wěn)定的。的零解是漸近穩(wěn)定的。 證明證明 22 ( , )V x yaxbxycy 2 (6.23) (2)() dV axbyxxy dt 2 (2)()bxcyyyx 222 2 ()a xx y 222 2 ()c yx y 顯然若取顯然若取 ，則，則 ， 0,0,0bac 2 40acb 因而因而 定正，定正， 定負(fù)定負(fù) ， ( , )V x

11、y (5.23) /dVdt 故系統(tǒng)（故系統(tǒng)（5.23）的零解是）的零解是漸近穩(wěn)定的漸近穩(wěn)定的。 例題例題5 利用利用李雅普諾夫函數(shù)李雅普諾夫函數(shù)討論數(shù)學(xué)擺振動(dòng)討論數(shù)學(xué)擺振動(dòng) 方程等價(jià)系統(tǒng)方程等價(jià)系統(tǒng) sin dx y dt dyg xy dtlm （5.24） 零解的穩(wěn)定性。零解的穩(wěn)定性。 解解 構(gòu)造構(gòu)造李雅普諾夫李雅普諾夫 函數(shù)函數(shù)如下如下V 2 1 ( , )(1 cos ) 2 g V x yyx l 顯然顯然 在原點(diǎn)鄰域內(nèi)是在原點(diǎn)鄰域內(nèi)是定正的定正的，且，且( , )V x y 2 (5.24) dV y dtm 若若 ，則，則 ，由定理，由定理5知零解知零解0 (5.24) 0 d

12、V dt 是穩(wěn)定的。是穩(wěn)定的。 若若 ，則，則 是常負(fù)的，但是仔細(xì)是常負(fù)的，但是仔細(xì)0 (5.24) dV dt 分析一下，式分析一下，式 的集合是的集合是 ， (5.24) 0 dV dt 0y 而在原點(diǎn)鄰域而在原點(diǎn)鄰域 不是不是(5.24)的解。的解。0y 系統(tǒng)（系統(tǒng)（5.24）的零解是漸近穩(wěn)定的。）的零解是漸近穩(wěn)定的。 定理定理6的證明的證明 證明證明 由前一個(gè)定理知此時(shí)系統(tǒng)（由前一個(gè)定理知此時(shí)系統(tǒng)（5.20）的零解）的零解 穩(wěn)定的，所以只需證明在此定理?xiàng)l件下零解還是穩(wěn)定的，所以只需證明在此定理?xiàng)l件下零解還是 吸引的即可。即證明存在吸引的即可。即證明存在 使得使得 0 0 當(dāng)：當(dāng)： 滿足

13、滿足 時(shí)從時(shí)從 點(diǎn)出發(fā)的解：點(diǎn)出發(fā)的解： 0 x 00 x 0 x 00 ( )( , ,)x tx t tx滿足：滿足： lim( )0 x x t （5.25） 下面證明零解的吸引性，由穩(wěn)定性知下面證明零解的吸引性，由穩(wěn)定性知 0 0必存在必存在 使得當(dāng)使得當(dāng) 時(shí)對(duì)一切時(shí)對(duì)一切 00 x 0 tt 00 ( )( , ,)x tx t t xH有有 由于由于 定正，定正， 定負(fù)，定負(fù)， (5.20) dV dt ( )V x 所以所以 關(guān)于關(guān)于 單調(diào)遞減有界，因而有極限單調(diào)遞減有界，因而有極限( ( )V x tt lim( ( ) x V x tc 假設(shè)假設(shè) ，必，必 ，那么對(duì)于任何的，

14、那么對(duì)于任何的 ，0c 0c 0 tt 有有 ( )0 x t ( )dV x dt xH所以所以 在在 上連續(xù)，故上連續(xù)，故 ( )dV x dt 在在 有最大值，記為：有最大值，記為：xH ( ) max XH dV x M dt 且由且由 的定負(fù)性知的定負(fù)性知 ( )dV x dt 0M 由于由于 有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，( )V x 于是對(duì)于任何于是對(duì)于任何 有有 0 tt 0 00 ( ( ) ( ( )()() t t dV x t V x tV xdtM tt dt 即即 00 ( )()()Vx tVxMtt 由上式看出當(dāng)由上式看出當(dāng)t充分大時(shí)，充分大時(shí)， 這這( ( )0V x t 與與 定正矛盾定正矛盾，因此，因此 ,即即 ( ( )V x t0c lim( ( )0 x Vx t （5.26） 在此基礎(chǔ)上證在此基礎(chǔ)上證 （5.27）lim( )0 x x t 式成立。式成立。 假設(shè)（假設(shè)（5.27）式不成立，則由零解的穩(wěn)定）式不成立，則由零解的穩(wěn)定 性知解性知解 是有界的，因而由聚點(diǎn)原理是有界的，因而由聚點(diǎn)原理