工力第10章-彎曲內(nèi)力

1、胡耀增:工程力學(xué)1 第 10 章 彎曲內(nèi)力 梁的剪力、彎矩方程 梁的剪力、彎矩圖 載荷與彎曲內(nèi)力間的微分關(guān)系 本章主要研究: : 胡耀增:工程力學(xué)2 1 引言 2 梁的計算簡圖 3 剪力與彎矩 4 剪力、彎矩方程與圖 5 FS , M 與 q 間的微分關(guān)系 6 非均布載荷梁的剪力與彎矩 胡耀增:工程力學(xué)3 1 引 言 彎曲實例彎曲實例 彎曲及其特征彎曲及其特征 胡耀增:工程力學(xué)4 彎曲實例彎曲實例 胡耀增:工程力學(xué)5 彎曲及其特征彎曲及其特征 外力或外力偶的矢量垂直于桿軸外力或外力偶的矢量垂直于桿軸 變形特征：桿軸由直線變?yōu)榍€桿軸由直線變?yōu)榍€ 彎曲與梁：以軸線變彎為主要特征的變形形式以軸線

2、變彎為主要特征的變形形式彎曲彎曲 以彎曲為主要變形的桿件以彎曲為主要變形的桿件梁梁 外力特征： 畫計算簡圖時，通常以軸線代表梁畫計算簡圖時，通常以軸線代表梁計算簡圖： 胡耀增:工程力學(xué)6 2 梁的計算簡圖 約束形式與反力約束形式與反力 梁的類型梁的類型 胡耀增:工程力學(xué)7 約束形式與反力約束形式與反力 主要約束形式與反力 固定固定鉸支座鉸支座，支反力支反力 FRx 與與 FRy 可動可動鉸支座鉸支座，垂直于支承平面的支反力垂直于支承平面的支反力 FR 固定固定端端，支反力支反力 FRx , FRy與矩為與矩為 M 的支反力偶的支反力偶 胡耀增:工程力學(xué)8 梁的類型梁的類型 簡支梁簡支梁：一端固

3、定鉸支、另一端可動鉸支的梁一端固定鉸支、另一端可動鉸支的梁 外伸梁外伸梁：具有一個或兩個外伸部分的簡支梁具有一個或兩個外伸部分的簡支梁 懸臂梁懸臂梁：一端固定、另一端自由的梁一端固定、另一端自由的梁 常見靜定梁 靜不定梁 約束反力數(shù)超過有效平衡方程數(shù)的梁約束反力數(shù)超過有效平衡方程數(shù)的梁 胡耀增:工程力學(xué)9 3 剪力與彎矩 剪力與彎矩剪力與彎矩 正負符號規(guī)定正負符號規(guī)定 剪力與彎矩計算剪力與彎矩計算 例題例題 胡耀增:工程力學(xué)10 剪力與彎矩剪力與彎矩 FS剪力剪力 M彎矩彎矩 剪力剪力作用線位于所切橫截面的內(nèi)力作用線位于所切橫截面的內(nèi)力 彎矩彎矩矢量位于所切橫截面的內(nèi)力偶矩矢量位于所切橫截面的

4、內(nèi)力偶矩 胡耀增:工程力學(xué)11 正負正負符號規(guī)定符號規(guī)定 使微段沿順時針方使微段沿順時針方 向轉(zhuǎn)動的剪力為正向轉(zhuǎn)動的剪力為正 使微段彎曲呈凹使微段彎曲呈凹 形的彎矩為正形的彎矩為正 使橫截面頂部受使橫截面頂部受 壓的彎矩為正壓的彎矩為正 胡耀增:工程力學(xué)12 一側(cè)一側(cè) )( 1 S n i i FF 剪力與彎矩計算剪力與彎矩計算 FS剪力剪力 M彎矩彎矩 0 0 S1 FFF,F Ayy1S FFF Ay 故故 0)( , 0 1 bFabFMM AyC )( 1 abFbFM Ay 故故 一側(cè)一側(cè) )( 1 n i Ci mM 在保留梁段上，方向在保留梁段上，方向與切開截面正與切開截面正 F

5、S 相反相反 的外力為正，與正的外力為正，與正 M 相反的外力偶矩為正相反的外力偶矩為正 胡耀增:工程力學(xué)13 假想地將梁切開，并任選一段為研究對象假想地將梁切開，并任選一段為研究對象 畫所選梁段的受力圖，畫所選梁段的受力圖，F(xiàn)S 與與 M 宜均設(shè)為正宜均設(shè)為正 由由 S SFy = 0 計算計算 FS 由由 S SMC = 0 計算計算 M，C 為截面形心為截面形心 計算方法與步驟 胡耀增:工程力學(xué)14 例例 題題 例 3-1 計算橫截面計算橫截面E、橫截面橫截面A+與與 D-的剪力與彎矩。的剪力與彎矩。 解：0 , 0 S AyEy FFF FFAy2 FFBy3 FFF AyA 2 S

6、FMM AyA e Fl FF D S 00 FMD FFF AyE 2 S 2 e l FMM AyE 0 0 2 , 0 eAyEC M l FMM 胡耀增:工程力學(xué)15 4 剪力、彎矩方程與圖 剪力與彎矩方程剪力與彎矩方程 剪力與彎矩圖剪力與彎矩圖 例題例題 胡耀增:工程力學(xué)16 剪力與彎矩方程剪力與彎矩方程 )( SS xFF )(xMM FS , M 沿桿軸（沿桿軸（x軸）變化的解析表達式軸）變化的解析表達式 剪力方程剪力方程 彎矩方程彎矩方程 2 ql FF ByAy qxFF Ay S )(0lx 2 x qxxFM Ay )(0lx qx ql F 2 S 2 22 x q x

7、 ql M 胡耀增:工程力學(xué)17 剪力與彎矩圖剪力與彎矩圖 表示表示 FS 與與 M 沿桿軸（沿桿軸（x軸）變化情況軸）變化情況 的圖線，分別稱為的圖線，分別稱為剪力圖剪力圖與與彎矩圖彎矩圖 2 )( , 2 (0) SS ql lF ql F 二次拋物線二次拋物線 直線直線qx ql F 2 S 2 22 x q x ql M 畫剪力圖 畫彎矩圖 土建等類技術(shù)部門畫法土建等類技術(shù)部門畫法 胡耀增:工程力學(xué)18 例例 題題 例 4-1 建立剪力與彎矩方程，畫剪力與彎矩圖建立剪力與彎矩方程，畫剪力與彎矩圖 解：1. 支反力計算支反力計算 2. 建立剪力與彎矩方程建立剪力與彎矩方程 )(0 , 1

8、S1 ax l bF FF Ay )(0 , 2S2 bx l aF FF By )(0 , 1111 axx l bF xFM Ay )(0 , 2222 bxx l aF xFM By AC 段段CB 段段 l bF FAy l aF FBy 胡耀增:工程力學(xué)19 3. 畫剪力與彎矩圖畫剪力與彎矩圖 11 x l bF M 22 x l aF M l bF F S1 l aF F S2 剪力圖剪力圖: 彎矩圖彎矩圖: 最大值最大值: l Fab M max 時時）（ maxS, ab l bF F 4. 討論討論 在在 F 作用處作用處, 左右橫截面上左右橫截面上 的彎矩相同的彎矩相同,

9、剪力值突變剪力值突變 FFF 左左右右SS 胡耀增:工程力學(xué)20 解：1. 支反力計算支反力計算 2 2 qa M,qaF CCy 2. 建立剪力與彎矩方程建立剪力與彎矩方程 AB 段段BC 段段 )(0 11S1 axqxF )(0 2S2 axqaF )(0 2 1 2 1 1 ax qx M )(0 2 2 2 22 ax qa qaxM 例 4-2 建立剪力與彎矩方程，畫剪力與彎矩圖建立剪力與彎矩方程，畫剪力與彎矩圖 胡耀增:工程力學(xué)21 解：1. 支反力計算支反力計算 2 2 qa M,qaF CCy 2. 建立剪力與彎矩方程建立剪力與彎矩方程 AB 段段BC 段段 )(0 11S1

10、 axqxF )(0 2S2 axqaF )(0 2 1 2 1 1 ax qx M )(0 2 2 2 22 ax qa qaxM 例 4-2 建立剪力與彎矩方程，畫剪力與彎矩圖建立剪力與彎矩方程，畫剪力與彎矩圖 胡耀增:工程力學(xué)22 3. 畫剪力與彎矩圖畫剪力與彎矩圖 4. 討論討論 在在 Me 作用處，左右橫截面上作用處，左右橫截面上 的剪力相同，彎矩值突變的剪力相同，彎矩值突變 e MMM 左左右右 1S1 qxF qaF S2 2 2 1 1 qx M 2 2 22 qa qaxM 剪力圖：剪力圖： 彎矩圖：彎矩圖： 剪力彎矩最大值剪力彎矩最大值: 2 2 max qa M max

11、S qaF 胡耀增:工程力學(xué)23 例 4-3 載荷可沿梁移動，求梁的最大剪力與最大彎矩載荷可沿梁移動，求梁的最大剪力與最大彎矩 解：1. FS 與與 M 圖圖 l Fl FAy )( l Fl FF Ay )( )( S l FFM Ay 1)( 2. FS 與與 M 的最大值的最大值 FFF)0( SmaxS, 42 max Fll MM l F M 2 1 d )(d 0 2 l 胡耀增:工程力學(xué)24 5 載荷集度、剪力與彎矩間 的微分關(guān)系 FS , M 與與 q 間的間的微分關(guān)系微分關(guān)系 利用利用微分關(guān)系畫微分關(guān)系畫 FS 與與 M 圖圖 例題例題 微分關(guān)系法要點微分關(guān)系法要點 胡耀增:

12、工程力學(xué)25 FS, M 與與 q 間的間的微分關(guān)系微分關(guān)系 (a) 0)d(d 0 SSS FFxqF,Fy (b) 0d 2 d dd 0 S MxF x xqMM,MC q x F d d S S d d F x M q x M 2 2 d d q 向上為正向上為正x 向右為正向右為正注意：注意： 梁微段平衡方程 胡耀增:工程力學(xué)26 均布載荷下 FS 與 M 圖特點 直直線線 2次凹曲線 2次凹曲線 2次凸曲線 2次凸曲線 q x F d d S S d d F x M q x M 2 2 d d 利用利用微分關(guān)系畫微分關(guān)系畫 FS 與與M 圖圖 胡耀增:工程力學(xué)27 2. 計算支反力

13、、剪力與彎矩計算支反力、剪力與彎矩 l M FF ByAy e q=0，F(xiàn)S 圖水平直線，圖水平直線，M 圖直線圖直線 求求 FSA+ 畫畫 FS 圖圖 求求 MA+ 與與 MB- 畫畫 M 圖圖 應(yīng)用利用微分關(guān)系畫梁的剪力與彎矩圖利用微分關(guān)系畫梁的剪力與彎矩圖 1. 問題分析問題分析 l M FF AyA e S e MM A 0 B M 胡耀增:工程力學(xué)28 l M F A e S e MM A 0 B M 3. 畫剪力圖畫剪力圖4. 畫彎矩圖畫彎矩圖 FS 圖圖水平直線水平直線M 圖圖斜直線斜直線 胡耀增:工程力學(xué)29 例例 題題 例 5-1 畫剪力與彎矩圖畫剪力與彎矩圖 斜線斜線 ql

14、/8 0 ql2/16 ql/8 -3ql/8 ql2/16 0 解：1. 形狀判斷形狀判斷 2. FS 與與 M 計算計算 胡耀增:工程力學(xué)30 1 3 2 D D x l x 8 3l xD 2 8 3 28 3 8 3 lqlql MD 9ql2/128 3. 畫畫FS與與M圖圖 128 9 2 ql MD 胡耀增:工程力學(xué)31 利用微分關(guān)系，確定各梁段利用微分關(guān)系，確定各梁段剪力、彎矩剪力、彎矩圖的圖的形狀形狀 計算各梁段計算各梁段起點起點、終點終點與與極值點極值點等截面的等截面的剪力剪力 與彎矩與彎矩 將上述二者結(jié)合，繪制梁的將上述二者結(jié)合，繪制梁的剪力與彎矩剪力與彎矩圖圖 在集中載

15、荷作用下，梁的剪力與彎矩圖一定由直在集中載荷作用下，梁的剪力與彎矩圖一定由直 線所構(gòu)成線所構(gòu)成 均布載荷作用梁段，剪力圖為斜線，彎矩圖為二均布載荷作用梁段，剪力圖為斜線，彎矩圖為二 次拋物線，其凹凸性由載荷集度的正負而定次拋物線，其凹凸性由載荷集度的正負而定 微分關(guān)系法要點微分關(guān)系法要點 胡耀增:工程力學(xué)32 6 非均布載荷梁的剪力與彎矩 非均布載荷的合力非均布載荷的合力 線性分布載荷梁的內(nèi)力線性分布載荷梁的內(nèi)力 例題例題 胡耀增:工程力學(xué)33 合力大?。汉狭Υ笮。?非均布載荷的合力非均布載荷的合力 B A x x xxqFd)( R R R d)( F xxxq x B A x x 合力作用

16、線位置合力作用線位置: 載荷集度載荷集度 圖的面積圖的面積 載荷集度圖載荷集度圖 形心橫坐標形心橫坐標 胡耀增:工程力學(xué)34 線性分布載荷集度的一般表達式為線性分布載荷集度的一般表達式為 線性分布載荷梁的內(nèi)力線性分布載荷梁的內(nèi)力 baxxq )( q x F d d S S d d F x M q x M 2 2 d d ( a、b 為常數(shù)）為常數(shù)） FS 為為 x 的二次函數(shù)，的二次函數(shù)，F(xiàn)S 圖為拋物線圖為拋物線 M 為為 x 的三次函數(shù)，的三次函數(shù)，M 圖為三次曲線圖為三次曲線 M 圖的凹凸，由圖的凹凸，由 q 的正負確定的正負確定 線性分布載荷 線性分布載荷梁內(nèi)力 胡耀增:工程力學(xué)35

17、 解: 1. 外力分析外力分析 2 0 R lq F 6 0l q FAy 3 0l q FBy 例 6-1 建立剪力彎矩方程建立剪力彎矩方程, 畫剪力彎矩圖畫剪力彎矩圖, 用微分關(guān)系校核用微分關(guān)系校核 2. 建立剪力與彎矩方程建立剪力與彎矩方程 l xqxlq F 00 S 26 326 00 x l xqx x lq M 2 00 S 26 x l qlq F 3 00 66 x l q x lq M 例例 題題 l xq xq 0 )( 胡耀增:工程力學(xué)36 2 00 S 26 x l qlq F 3 00 66 x l q x lq M 3. 畫剪力與彎矩圖畫剪力與彎矩圖 2 次拋物線次拋物線 3 次曲線次曲線 q0l2/(9 3) 0 26 2