小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)方法講義40講(三)

1、第二十一講 守恒法姚老師數(shù)學(xué)樂(lè)園廣安岳池 姚文國(guó)應(yīng)用題中的數(shù)量有的是變化的，有的是始終不變的。解應(yīng)用題時(shí)，抓住始終不變的數(shù)量，分析不變的數(shù)量與其他數(shù)量的關(guān)系，從而找到解題的突破口，把應(yīng)用題解答出來(lái)的解題方法，叫做守恒法，也叫抓不變量法。（一）總數(shù)量守恒有些應(yīng)用題中不變的數(shù)量是總數(shù)量，用守恒法解題時(shí)要抓住這個(gè)不變的總數(shù)量。例1 晶晶要看一本書(shū)，計(jì)劃每天看15頁(yè)，24天看完。如果要12天看完，每天要看多少頁(yè)？如果改為每天看18頁(yè)，幾天可以看完？（適于三年級(jí)程度）解：無(wú)論每天看多少頁(yè)，總是看這一本書(shū)，只要抓住這本書(shū)的“總頁(yè)數(shù)不變”這個(gè)關(guān)鍵，問(wèn)題就好辦了。這本書(shū)的總頁(yè)數(shù)是：1524=360（頁(yè)）如果要

2、12天看完，每天要看的頁(yè)數(shù)是：36012=30（頁(yè)）如果改為每天看18頁(yè)，看完這本書(shū)的天數(shù)是：36018=20（天）答略。此題由于第一步是用乘法求出總數(shù)，因此也叫做“歸總”應(yīng)用題。*例2 用一根鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)26厘米，寬16厘米的長(zhǎng)方形。用同樣長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)正方形，正方形所圍成的面積是多少？（適于三年級(jí)程度）解：這根鐵絲的長(zhǎng)是不變的量，鐵絲圍成的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和正方形的周長(zhǎng)相同。即：262+162=52+32=84（厘米）正方形的邊長(zhǎng)是：844=21（厘米）正方形所圍成的面積是：2121=441（平方厘米）答略。解：書(shū)架上書(shū)總的本數(shù)是不變的數(shù)量，設(shè)它為單位1。從“上層書(shū)的本書(shū)總的本數(shù)分成5份，

3、上層的書(shū)占總本數(shù)的因此，書(shū)總的本數(shù)是：原來(lái)書(shū)架的上層有書(shū)：原來(lái)書(shū)架的下層有書(shū)：90-18=72（本）（二）部分?jǐn)?shù)量守恒當(dāng)應(yīng)用題中不變的數(shù)量是題中的一部分?jǐn)?shù)量時(shí)，要抓住這個(gè)不變的部分?jǐn)?shù)量解題。例1 一輛汽車(chē)，從甲站到乙站，要經(jīng)過(guò)20千米的平路，45千米的上坡路，15千米的下坡路。如果這輛汽車(chē)在平路上每小時(shí)行40千米，在上坡路上每小時(shí)行30千米，在下坡路上每小時(shí)行45千米。照這樣的速度行駛，這輛汽車(chē)在甲、乙兩站間往返一次需要多少時(shí)間？（適于五年級(jí)程度）解：無(wú)論汽車(chē)行駛在平路上、上坡路上，還是在下坡路上，每一段路上的速度是不變的。這輛汽車(chē)往返一次共行：在平路（20+20）千米在上坡路（45+15）千

4、米在下坡路（15+45）千米這輛汽車(chē)往返一次需要的時(shí)間是：答略。例2 有含鹽15的鹽水20千克，要使鹽水含鹽10，需要加水多少千克？（適于六年級(jí)程度）解：題中鹽的重量是不變的數(shù)量，鹽的重量是：2015=3（千克）在鹽水含鹽10時(shí)，鹽的對(duì)應(yīng)分率是10，因此鹽水的重量是：310=30（千克）加入的水的重量是：30-20=10（千克）答略。解：文藝書(shū)的本數(shù)是不變的數(shù)量。文藝書(shū)有：=720（本）從后來(lái)兩種書(shū)總的本數(shù)中減去原來(lái)兩種書(shū)總的本數(shù)，得到買(mǎi)進(jìn)科技書(shū)的本數(shù)：720-630=90（本）綜合算式：=720-630=90（本）答略。（三）差數(shù)守恒當(dāng)應(yīng)用題中兩個(gè)數(shù)量的差是不變的數(shù)量時(shí)，要抓住這個(gè)差，分析數(shù)

5、量關(guān)系解題。例1 父親今年35歲，兒子5歲。多少年后父親的年齡是兒子年齡的3倍？（適于四年級(jí)程度）解：父子年齡的差是個(gè)不變的數(shù)量，始終是35-5=30（歲）在父親年齡是兒子年齡的3倍時(shí)，父子年齡的差恰好是兒子年齡的2倍。因此，這時(shí)兒子的年齡是：302=15（歲）15-5=10（年）答：10年后父親的年齡是兒子年齡的3倍。*例2 小明有200個(gè)棗，大平有120個(gè)棗。兩人吃掉個(gè)數(shù)相同的棗后，小明剩下的棗是大平剩下棗的5倍。問(wèn)兩個(gè)人一共吃掉多少個(gè)棗。（適于四年級(jí)程度）解：兩個(gè)人相差的棗的個(gè)數(shù)是不變的數(shù)量：200-120=80（個(gè)）兩人吃掉個(gè)數(shù)相同的棗后，小明剩下的棗是大平剩下棗的5倍。這就是說(shuō)大平剩

6、下的棗是1份數(shù)，小明剩下的棗比大平剩下的棗多4份數(shù)。因?yàn)閮扇顺缘舻臈椀膫€(gè)數(shù)相同，所以相差數(shù)還是80個(gè)。這80個(gè)是4份數(shù)。因此，大平剩下的棗是其中的一份數(shù)：804=20（個(gè)）大平吃掉的棗是：120-20=100（個(gè)）因?yàn)閮蓚€(gè)人吃掉的棗一樣多，所以一共吃掉棗：1002=200（個(gè)）答略。*例3 有甲、乙兩個(gè)車(chē)間，如果從甲車(chē)間調(diào)出18人給乙車(chē)間，甲車(chē)間就比乙車(chē)間少3人；如果從兩個(gè)車(chē)間各調(diào)出18人，乙車(chē)間剩下人數(shù)就是甲車(chē)間解：由“從甲車(chē)間調(diào)出18人給乙車(chē)間，甲車(chē)間就比乙車(chē)間少3人”可看出，甲車(chē)間比乙車(chē)間多2個(gè)18人又少3人，即甲車(chē)間比乙車(chē)間多：182-3=33（人）由“從兩個(gè)車(chē)間各調(diào)出18人，乙車(chē)間剩

7、下的人數(shù)就是甲車(chē)間剩下人數(shù)的甲車(chē)間原有的人數(shù)是：88+18=106（人）乙車(chē)間原有的人數(shù)是：106-33=73（人）答略。*例4 甲種布的長(zhǎng)是乙種布長(zhǎng)的3倍。兩種布各用去8米時(shí)，甲種布剩下的長(zhǎng)是乙種布剩下長(zhǎng)度的4倍。兩種布原來(lái)各長(zhǎng)多少米？（適于六年級(jí)程度）解：甲、乙兩種布的長(zhǎng)度差是不變的數(shù)量，解題時(shí)要以這個(gè)不變的數(shù)量作為標(biāo)準(zhǔn)量。原來(lái)乙種布的長(zhǎng)是標(biāo)準(zhǔn)量的：乙種布先后兩個(gè)分率的差是：乙種布的長(zhǎng)是：甲種布的長(zhǎng)是：48+24=72（米）答略。第二十二講 兩差法解應(yīng)用題時(shí)，首先確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即1倍數(shù)），再根據(jù)已知的兩數(shù)差與倍數(shù)差，用除法求出1倍數(shù)，然后以此為基礎(chǔ)，用乘法求出另一個(gè)數(shù)的解題方法，叫做兩差

8、法。用兩差法一般是解答差倍問(wèn)題。 差倍問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是：兩數(shù)差倍數(shù)差=1倍數(shù)1倍數(shù)倍數(shù)=幾倍數(shù)較小數(shù)+兩數(shù)差=較大數(shù)例1 某廠(chǎng)女職工人數(shù)是男職工人數(shù)的6倍，男職工比女職工少65人。這個(gè)廠(chǎng)男女職工共有多少人？（適于四年級(jí)程度）解：根據(jù)“人數(shù)差倍數(shù)差=1倍數(shù)”，有：65（6-1）=13（人）那么，這個(gè)廠(chǎng)男女職工共有的人數(shù)是：13（6+1）=91（人）答略。例2 小李買(mǎi)3本日記本，小華買(mǎi)同樣的8本日記本，比小李多用2.75元。小李、小華兩人分別用去多少錢(qián)？（適于五年級(jí)程度）解：小華比小李多用2.75元（總價(jià)差），是因?yàn)樾∪A比小李多買(mǎi)（8-3）本（數(shù)量差）日記本，用這兩個(gè)差求出每本日記本的價(jià)錢(qián)。小李用

9、的錢(qián)數(shù)是：0.553=1.65（元）小華的錢(qián)數(shù)是：0.558=4.40（元）答略。例3 甲、乙兩數(shù)的差是28，甲數(shù)是乙數(shù)的3倍。問(wèn)甲乙兩數(shù)各是多少？（適于四年級(jí)程度）解：甲-乙=28，甲是乙的3倍，那么乙就是1倍數(shù)，28所對(duì)應(yīng)的倍數(shù)是3-1=2（倍），則乙數(shù)可以求出。解法是：28（3-1）=14乙數(shù)143=42甲數(shù)答：甲數(shù)是42，乙數(shù)是14。例4 一個(gè)植樹(shù)小組植樹(shù)。如果每人栽5棵，還剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。這個(gè)植樹(shù)小組有多少人？一共有多少棵樹(shù)苗？（適于五年級(jí)程度）解：把題中的條件簡(jiǎn)要摘錄如下： 每人5棵 剩14棵 每人7棵 缺4棵比較兩次分配的情況可看出，由于第二次比第一次每人多栽

10、（7-5）棵，一共要多栽（14+4）棵樹(shù)。根據(jù)兩次每人栽的棵數(shù)差和所栽總棵數(shù)的差，可求出植樹(shù)小組的人數(shù)，然后再求出原有樹(shù)苗的棵數(shù)。（14+4）（7-5）=9（人）人數(shù)59+14=59（棵）棵數(shù)答略。例5 用一個(gè)杯子向一個(gè)空瓶里倒水。如果倒進(jìn)3杯水，連瓶共重440克；如果倒進(jìn)5杯水，連瓶共重600克。一杯水和一個(gè)空瓶各重多少克？（適于五年級(jí)程度）解：解這類(lèi)題，要先找出“暗差”的等量關(guān)系，再找解題的最佳方法。這道題的“暗差”有兩個(gè)：一個(gè)是5-3=2（杯），另一個(gè)是600-440=160（克）。這里兩個(gè)暗差的等量關(guān)系是：2杯水的重量=160克。這樣就能很容易求出一杯水的重量：1602=80（克）一個(gè)

11、空瓶的重量：440-803=200（克）答略。*例6 甲從西村到東村，每小時(shí)步行4千米。3.5小時(shí)后，乙因有急事，從西村出發(fā)騎自行車(chē)去追甲，每小時(shí)行9千米。問(wèn)乙需要幾小時(shí)才能追上甲？（適于高年級(jí)程度）解：乙出發(fā)時(shí)，甲已經(jīng)行了（43.5）千米，乙每行1小時(shí)便可比甲每小時(shí)多行（9-4）千米，那么（43.5）千米中含有幾個(gè)（9-4）千米，乙追上甲就需要多少個(gè)小時(shí)。所以：答：乙需2.8小時(shí)才能追上甲。例6是典型的“追及問(wèn)題”。由此可知，追及問(wèn)題也可以利用兩差法來(lái)解答。*例7 某電風(fēng)扇廠(chǎng)生產(chǎn)一批電風(fēng)扇。原計(jì)劃每天生產(chǎn)120臺(tái)電風(fēng)扇，實(shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)30臺(tái)，結(jié)果提前12天完成任務(wù)。這批電風(fēng)扇的生產(chǎn)任

12、務(wù)是多少臺(tái)？（適于高年級(jí)程度）解：在同樣的時(shí)間（計(jì)劃天數(shù)）里，實(shí)際比原計(jì)劃多生產(chǎn)電風(fēng)扇的臺(tái)數(shù)是：（120+30）12。因?yàn)閷?shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)30臺(tái)，因此：計(jì)劃完成任務(wù)的天數(shù)是60天，那么這批電風(fēng)扇的生產(chǎn)任務(wù)就是：12060=7200（臺(tái)）答略。*例8 甲每小時(shí)走5千米，乙每小時(shí)走4千米，兩人同走一段路，甲比乙少用了3小時(shí)。問(wèn)這段路長(zhǎng)多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：解答這道題應(yīng)從“差異”入手。因?yàn)榉彩前l(fā)生差異必定有它的道理。題中的差異是“甲比乙少用了3小時(shí)”，抓住它作如下追問(wèn)，即可發(fā)現(xiàn)解題途徑。為什么會(huì)“甲比乙少用了3小時(shí)”？因?yàn)榧妆纫业乃俣瓤?。?）在3個(gè)小時(shí)里甲比乙多走多少千米的路呢？在

13、3小時(shí)里甲比乙正好多走：43=12（千米）（2）甲每小時(shí)可以追上乙多少千米呢？5-4=1（千米）（3）走完這12千米的差數(shù)甲要走幾小時(shí)呢？121=12（小時(shí)）（4）這段路長(zhǎng)多少千米？512=60（千米）綜合算式：543（5-4）=5121=512=60（千米）答略。解：此題是“差倍”問(wèn)題的變形。答略。兩堆煤原來(lái)各有多少?lài)崳浚ㄟm于六年級(jí)程度）解：這里已知兩堆煤的總數(shù)和運(yùn)走的總數(shù)，不知道兩堆煤在總數(shù)中占多大比率，也無(wú)法把運(yùn)走的煤分為甲堆運(yùn)走的和乙堆運(yùn)走的。雖然知道甲堆運(yùn)知道，無(wú)法發(fā)生聯(lián)系，因此這兩個(gè)分率無(wú)法參加運(yùn)算。本題的難點(diǎn)在于兩堆煤運(yùn)走的分率不同，若分率相同，分析就會(huì)有所進(jìn)展。然后再看假設(shè)引出

14、了什么差異。已知條件告訴我們共運(yùn)走180噸，與方才算得的162噸相差180-162=18（噸），為什么會(huì)產(chǎn)生這18噸的差異呢？270-120=150（噸）甲堆答略。*例11 祖父給兄弟二人同樣數(shù)目的零花錢(qián)，祖母給了哥哥1100日元，給了弟弟550日元，這樣兄弟二人所得到的零花錢(qián)數(shù)的比為75。求祖父給兄弟二人的錢(qián)數(shù)都是多少日元？（適于六年級(jí)程度）解：因?yàn)樽娓附o兄弟二人的錢(qián)數(shù)相同，所以祖母給兄弟二人的錢(qián)數(shù)之差，就是他們分別得到的所有零花錢(qián)錢(qián)數(shù)之差。1100-550=550（日元）由兄弟二人所得到的零花錢(qián)錢(qián)數(shù)的比為75可知，把哥哥的錢(qián)看成是7份的話(huà)，弟弟的錢(qián)數(shù)就是5份，它們相差：7-5=2（份）所以

15、，每一份的錢(qián)數(shù)是：5502=275（日元）哥哥有零花錢(qián)：2757=1925（日元）其中祖父給的是：1925-1100=825（日元）答：祖父給兄弟二人的錢(qián)都是825日元。*例12 一位牧羊人趕著一群羊走過(guò)來(lái)，小明問(wèn)他：“你的羊群里有山羊、綿羊各幾只？”牧羊人說(shuō)：“山羊的只數(shù)加上99只就是綿羊的只數(shù)，綿羊的只數(shù)加上99只就是山羊的3倍，你去算吧。”請(qǐng)你幫助小明算一算。（適于五年級(jí)程度）解：由“山羊的只數(shù)加上99只就是綿羊的只數(shù)”知道，綿羊比山羊多99只。由“綿羊的只數(shù)加上99只就是山羊的3倍”知道，綿羊的只數(shù)加上99只后，綿羊的只數(shù)比山羊多（99+99）只。此時(shí)，如果把山羊只數(shù)看作1倍，綿羊只數(shù)

16、就是3倍，比山羊多（3-1）倍，這（3-1）倍正好是（99+99）只（圖22-1）。用除法可以求出1倍數(shù)（山羊只數(shù)），再用加法就可以求出綿羊只數(shù)。（99+99）（3-1）=1982=99（只）山羊只數(shù)99+99=198（只）綿羊只數(shù)答略。*例13 某工廠(chǎng)有大、小兩個(gè)車(chē)間。如果從小車(chē)間調(diào)10人到大車(chē)間，則大車(chē)間的人數(shù)是小車(chē)間的3倍；如果從大車(chē)間調(diào)30人到小車(chē)間，則兩個(gè)車(chē)間的人數(shù)相等。求大、小兩個(gè)車(chē)間各有多少人？（適于高年級(jí)程度）解：根據(jù)“如果從大車(chē)間調(diào)30人到小車(chē)間，則兩個(gè)車(chē)間的人數(shù)相等”知道，大車(chē)間比小車(chē)間多302人；根據(jù)“如果從小車(chē)間調(diào)10人到大車(chē)間，則大車(chē)間的人數(shù)是小車(chē)間的3倍”知道，這樣

17、調(diào)動(dòng)后，大車(chē)間比小車(chē)間多（302+102）人。把調(diào)動(dòng)后小車(chē)間的人數(shù)看作1倍數(shù)，則大車(chē)間的人數(shù)就是3倍數(shù)，比小車(chē)間的人數(shù)多（3-1）倍數(shù)，這（3-1）倍數(shù)正好是（302+102）人。用除法可以求出1倍數(shù)（調(diào)動(dòng)后，小車(chē)間人數(shù)），加上10就得小車(chē)間原有人數(shù)。（302+102）（3-1）+10=8024+10=50（人）（小車(chē)間原有人數(shù)）50+302=110（人）（大車(chē)間原有人數(shù)）答略。在差倍問(wèn)題中，有一類(lèi)比較特殊，這就是年齡問(wèn)題。年齡問(wèn)題一般用差倍問(wèn)題的解題思路、計(jì)算公式來(lái)分析、解答。但要注意年齡問(wèn)題所單獨(dú)具有的“定差”特點(diǎn)，即大、小兩個(gè)年齡，相當(dāng)于大、小兩個(gè)數(shù)，無(wú)論現(xiàn)在、過(guò)去、將來(lái)，這兩個(gè)年齡的差

18、不變。抓住這個(gè)特點(diǎn)，再利用差倍問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和解題方法，便可解答年齡問(wèn)題。*例14 今年哥哥18歲，弟弟8歲。問(wèn)幾年前哥哥的年齡是弟弟的3倍？（適于高年級(jí)程度）解：作圖22-2。哥哥和弟弟年齡之差（18-8）歲始終不變。把幾年前弟弟的年齡看作1倍數(shù)，哥哥的年齡就是3倍數(shù)，比弟弟多（3-1）倍數(shù)，這（3-1）倍數(shù)正好對(duì)應(yīng)于（18-8）歲。用除法可以求出1倍數(shù)，就是幾年前弟弟的年齡，再用減法便可求出幾年前哥哥的年齡是弟弟的3倍。8-（18-8）（3-1）=3（年）答略。*例15 今年父親40歲，兒子4歲。問(wèn)幾年后父親的年齡是兒子的4倍？（適于高年級(jí)程度）解：作圖22-3。父子年齡之差（40-4）歲

19、始終不變。把幾年后兒子的年齡看作1倍數(shù)，父親的年齡就是4倍數(shù)，比兒子多（4-1）=3倍數(shù)，這（4-1）倍數(shù)正好對(duì)應(yīng)于（40-4）歲。用除法可求出1倍數(shù)，即幾年后兒子的年齡，再用減法便可求出幾年后父親的年齡是兒子的4倍。（40-4）（4-1）-4=363-4=8（年）答略。第二十三講 比例法比和比例是傳統(tǒng)算術(shù)的重要內(nèi)容，在較早的年代，許多實(shí)際問(wèn)題都是應(yīng)用比和比例的知識(shí)來(lái)解答的。近年來(lái)，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中比和比例的內(nèi)容雖然簡(jiǎn)化了，但它仍是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，是升入中學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)的必要基礎(chǔ)。 用比例法解應(yīng)用題，實(shí)際上就是用解比例的方法解應(yīng)用題。有許多應(yīng)用題，用比例法解簡(jiǎn)單、方便，容易理解。用比例法

20、解答應(yīng)用題的關(guān)鍵是：正確判斷題中兩種相關(guān)聯(lián)的量是成正比例還是成反比例，然后列成比例式或方程來(lái)解答。（一）正比例兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。如果用字母x、y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示比值（一定），正比例的數(shù)量關(guān)系可以用下面的式子表示：例1 一個(gè)化肥廠(chǎng)4天生產(chǎn)氮肥32噸。照這樣計(jì)算，這個(gè)化肥廠(chǎng)4月份生產(chǎn)氮肥多少?lài)?？（適于六年級(jí)程度）解：因?yàn)槿债a(chǎn)氮肥的噸數(shù)一定，所以生產(chǎn)氮肥的噸數(shù)與天數(shù)成正比例。設(shè)四月份30天生產(chǎn)氮肥x噸，則：答略。例2 某工廠(chǎng)要加工1320個(gè)零件，前8天加

21、工了320個(gè)。照這樣計(jì)算，其余的零件還要加工幾天？（適于六年級(jí)程度）解：因?yàn)槊恳惶旒庸さ臄?shù)量一定，所以加工的數(shù)量與天數(shù)成正比例。還需要加工的數(shù)量是：1320-320=1000（個(gè)）設(shè)還需要加工x天，則：例3 一列火車(chē)從上海開(kāi)往天津，行了全程的60，距離天津還有538千米。這列火車(chē)已行了多少千米？（適于六年級(jí)程度）解：火車(chē)已行的路程剩下的路程=60（1-60）=32。設(shè)火車(chē)已行的路程為x千米。答略。米。這時(shí)這段公路余下的長(zhǎng)度與已修好長(zhǎng)度的比是23。這段公路長(zhǎng)多少米？（適于六年級(jí)程度）解：余下的長(zhǎng)度與已修好長(zhǎng)度的比是23，就是說(shuō)，余下的長(zhǎng)度是已這段公路的長(zhǎng)度是：答略。（二）反比例兩種相關(guān)聯(lián)的量，一

22、種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。如果用字母x、y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示積（一定），反比例的數(shù)量關(guān)系可以用下面的式子表達(dá)：xy=k（一定）例1 某印刷廠(chǎng)裝訂一批作業(yè)本，每天裝訂2500本，14天可以完成。如果每天裝訂2800本，多少天可以完成？（適于六年級(jí)程度）解：由于要裝訂的本數(shù)一定，因此，每天裝訂的本數(shù)與可以裝訂的天數(shù)成反比例。設(shè)x天可以完成，則：答略。例2 一項(xiàng)工程，原來(lái)計(jì)劃30人做，18天完成。現(xiàn)在減少了3人，需要多少天完成？（適于六年級(jí)程度）解：工作總量一定，每人的工作效率也是一定的，所以所需

23、要的人數(shù)與天數(shù)成反比例。現(xiàn)在減少3人，現(xiàn)在的人數(shù)就是：30-3=27（人）設(shè)需要x天完成，則：答略。例3 有一項(xiàng)搬運(yùn)磚的任務(wù)，25個(gè)人去做，6小時(shí)可以完成任務(wù)；如果相同工效的人數(shù)增加到30人，搬運(yùn)完這批磚要減少幾小時(shí)？（適于六年級(jí)程度）解：題中的總?cè)蝿?wù)和每人的工作效率一定，所以搬運(yùn)磚的人數(shù)與所需要的時(shí)間成反比例。設(shè)增加到30人以后，需要x小時(shí)完成，則：6-5=1（小時(shí)）答：增加到30人后，搬運(yùn)完這批磚要減少1小時(shí)。例4 某地有駐軍3600人，儲(chǔ)備著吃一年的糧食。經(jīng)過(guò)4個(gè)月后，復(fù)員若干人。如果余下的糧食可以用10個(gè)月，求復(fù)員了多少人？（適于六年級(jí)程度）解：按原計(jì)劃，4個(gè)月后余下的糧食可以用：12

24、-4=8（個(gè)月）因?yàn)閺?fù)員一部分人后，人數(shù)少了，所以原來(lái)可以用8個(gè)月的糧食，現(xiàn)在就可以用10個(gè)月。糧食的數(shù)量一定，人數(shù)與用糧的時(shí)間成反比例。設(shè)余下的糧食供x人吃10個(gè)月，則：答：復(fù)員了720人。（三）按比例分配按比例分配的應(yīng)用題可用歸一法解，也可用解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的方法來(lái)解。用歸一法解按比例分配應(yīng)用題的核心是：先求出一份是多少，再求幾份是多少。這種方法比解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的方法容易一些。用解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的方法解按比例分配問(wèn)題的關(guān)鍵是：把兩個(gè)（或幾個(gè)）部分量之比轉(zhuǎn)化為部分量占總量的（幾個(gè)部分量之和）幾分之幾。這種轉(zhuǎn)化稍微難一些。然而學(xué)會(huì)這種轉(zhuǎn)化對(duì)解答某些較難的比例應(yīng)用題和分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是有益的。究竟用哪種方法解，

25、要根據(jù)題目的不同，靈活采用不同的方法。有些應(yīng)用題敘述的數(shù)量關(guān)系不是以比或比例的形式出現(xiàn)的，如果我們用按比例分配的方法解這樣的題，要先把有關(guān)數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為比或比例的關(guān)系。1.按正比例分配甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的連比是：4+5+8=17答略。例2 有甲、乙、丙三堆煤，甲堆比乙堆多12.5，乙堆比丙堆少解：因?yàn)榧锥驯纫叶讯?2.5，所以要把乙堆看作“1”，這樣甲堆就是（1+12.5）。甲乙=（1+12.5）1=98甲乙丙=9810已知甲堆比丙堆少6噸，這6噸所對(duì)應(yīng)的份數(shù)是1，所以，甲堆煤的噸數(shù)是：69=54（噸）乙堆煤的噸數(shù)是：68=48（噸）丙堆煤的噸數(shù)是：610=60（噸）答略。2.按反比例分配*例1

26、 某人騎自行車(chē)往返于甲、乙兩地用了10小時(shí)，去時(shí)每小時(shí)行12千米，返回時(shí)每小時(shí)行8千米。求甲、乙兩地相距多少千米？（適于六年級(jí)程度）解：此人往返的速度比是：128=32因?yàn)樵诰嚯x一定的情況下，時(shí)間與速度成反比例，所以，由此人往返的速度比是32，可推出此人往返所用的時(shí)間比是23。去時(shí)用的時(shí)間是：兩地之間的距離：124=48（千米）答略。*例2 一個(gè)文藝演出隊(duì)去少數(shù)民族地區(qū)慰問(wèn)演出，路上共用了110個(gè)小這也是騎馬、乘輪船、坐火車(chē)的時(shí)間比。將110小時(shí)按821的比例分配。騎馬的時(shí)間是：坐火車(chē)的時(shí)間是：答略。3.按混合比例分配把價(jià)格不同、數(shù)量不等的同類(lèi)物品相混合，已知各物品的單價(jià)及混合后的平均價(jià)（或總

27、價(jià)和總數(shù)量），求混合量的應(yīng)用題叫做混合比例應(yīng)用題?；旌媳壤龖?yīng)用題在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用。*例1 紅辣椒每500克3角錢(qián)，青辣椒每500克2角1分錢(qián)。現(xiàn)將紅辣椒與青辣椒混合，每500克2角5分錢(qián)。問(wèn)應(yīng)按怎樣的比例混合，菜店和顧客才都不會(huì)吃虧？（適于六年級(jí)程度）解：列出表23-1。表23-1表中，價(jià)格一欄是根據(jù)題意填的，其他欄目是在分析題的過(guò)程中填的。混合后的辣椒是每500克賣(mài)2角5分錢(qián)，而混合辣椒中紅、青兩種辣椒的比不能是11，因?yàn)樵诨旌虾蟮睦苯分忻坑?00克紅辣椒，紅辣椒就要少賣(mài)5分錢(qián)，所以應(yīng)算是每500克紅辣椒損失了5分錢(qián)，在“損”一欄中，橫對(duì)紅辣椒和3角，填上5分；又因?yàn)樵诨旌虾蟮睦苯分?/p>

28、每有500克青辣椒，青辣椒就要多賣(mài)4分錢(qián)，所以應(yīng)算是每500克青辣椒多賣(mài)了（益）4分錢(qián)，在“益”一欄中，橫對(duì)青辣椒和2角1分，填上4分。5與4的最小公倍數(shù)是20。2054，2045，只有在混合的辣椒中，有4份的紅辣椒，5份的青辣椒，500克混合后的辣椒正好賣(mài)2角5分錢(qián)。4份的紅辣椒是4個(gè)500克，它的價(jià)錢(qián)是，0.34=1.2（元）5份的青辣椒是5個(gè)500克，它的價(jià)錢(qián)是，0.215=1.05（元）4份紅辣椒與5份青辣椒的總價(jià)是，1.2+1.05=2.25（元）而9個(gè)500克的混合辣椒的總價(jià)是，0.259=2.25（元）9份（9個(gè)500克）紅辣椒和青辣椒的總價(jià)正好與9個(gè)500克混合辣椒的總價(jià)相等。

29、所以在混合的辣椒中，紅辣椒與青辣椒的比應(yīng)是45。這個(gè)比正好是益損兩數(shù)比的反比。答略。*例2 王老師買(mǎi)甲、乙兩種鉛筆共20支，共用4元5角錢(qián)。甲種鉛筆每支3角，乙種鉛筆每支2角。兩種鉛筆各買(mǎi)多少支？（適于六年級(jí)程度）解：20支鉛筆的平均價(jià)格是：4.520=0.225（元）=2.25（角）列出表23-2。表23-2因?yàn)榧追N鉛筆每支3角，而平均價(jià)格是每支2.25角，所以每支甲種鉛筆損失了0.75角錢(qián)。在表中“損”一欄橫對(duì)“甲”填上0.75角/支；因?yàn)橐曳N鉛筆每支2角，而平均價(jià)格是每支2.25角，所以每支乙種鉛筆是增加（益）了0.25角。在表中“益”一欄橫對(duì)“乙”填上0.25角/支。兩種鉛筆的混合比，

30、正好是損、益兩數(shù)比的反比，所以在混合比一欄中，橫對(duì)甲填0.25，而橫對(duì)乙填0.75。把0.25和0.75化簡(jiǎn)后得1和3?，F(xiàn)在可以認(rèn)為兩種鉛筆的總份數(shù)是：1+3=4（份）甲種鉛筆的支數(shù)是：乙種鉛筆的支數(shù)是：答略。（四）連比如果甲數(shù)量與乙數(shù)量的比是ab，乙數(shù)量與丙數(shù)量的比是bc，那么表示甲、乙、丙三個(gè)數(shù)量的比可以寫(xiě)作abc，abc就叫做甲、乙、丙三個(gè)數(shù)量的連比。注意：“比”中的比號(hào)相當(dāng)于除號(hào)，也相當(dāng)于分?jǐn)?shù)線(xiàn)，而“連比”中的比號(hào)卻不是相當(dāng)于除號(hào)、分?jǐn)?shù)線(xiàn)。*例1 已知甲數(shù)和乙數(shù)的比是56，丙數(shù)和乙數(shù)的比是78，求這三個(gè)數(shù)的連比。（適于六年級(jí)程度）解：已知甲、乙兩數(shù)的比是56，丙數(shù)與乙數(shù)之比為78，即乙

31、數(shù)與丙數(shù)之比為87。第一個(gè)比的后項(xiàng)是6，第二個(gè)比的前項(xiàng)為8，這說(shuō)明甲、丙兩個(gè)數(shù)不是以相同標(biāo)準(zhǔn)劃分的，甲、乙、丙三個(gè)數(shù)不能直接寫(xiě)成連比。用下面的方法可以統(tǒng)一甲、丙的標(biāo)準(zhǔn)，把甲、乙、丙三個(gè)數(shù)寫(xiě)成連比。把5擴(kuò)大8倍，得40；把6擴(kuò)大8倍，得48。把6擴(kuò)大8倍得48，也就是把8擴(kuò)大6倍，得48，所以也要把7擴(kuò)大6倍得42。甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的連比是：4O4842=202421。答略。*例2 甲、乙、丙三堆煤共重1480噸，已知甲堆煤重量的 又根據(jù)，甲乙=32，乙丙=56，可求出甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的連比是：甲乙丙=151012把1480噸煤按151012的比例分配。甲堆煤重：乙堆煤重：答略。答略。第二十四講

32、 轉(zhuǎn)換法解答應(yīng)用題時(shí)，通過(guò)轉(zhuǎn)換（即轉(zhuǎn)化）題中的情節(jié)，分析問(wèn)題的角度、數(shù)據(jù)從而較快找到解題思路，或簡(jiǎn)化解題過(guò)程的解題方法叫做轉(zhuǎn)換法。（一）轉(zhuǎn)換題中的情節(jié)轉(zhuǎn)換題中的情節(jié)是運(yùn)用聯(lián)想改變?cè)}的某個(gè)情節(jié)，使題目變得易于解答。14+6=20（噸）30噸所對(duì)應(yīng)的分率是：答略。例2 一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合做要用12天完成。如果甲隊(duì)先獨(dú)做16天，余下的再由乙隊(duì)獨(dú)做6天完成。如果全部工程由甲隊(duì)獨(dú)做，要用幾天完成？（適于六年級(jí)程度）解：求甲隊(duì)獨(dú)做要用幾天完成全部工程，得先求出甲隊(duì)的工作效率?？墒穷}中已知的是甲、乙合做要用的時(shí)間，和甲、乙一前一后獨(dú)做的時(shí)間，很難求出甲的工作效率。如果將“一前一后獨(dú)做”這一情節(jié)變換為“

33、先合做，后獨(dú)做”就便于解題了?？蛇@樣設(shè)想，從甲隊(duì)的工作量中劃出6天的工作量與乙隊(duì)6天的工作量合并起來(lái)，也就是假定兩隊(duì)曾經(jīng)合做了6天。情節(jié)這樣變動(dòng)后，原題就變換成：一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合做要用12天完成，這項(xiàng)工程先由甲乙兩隊(duì)合做6天后，余下的工程由甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成。如果全部工程由甲隊(duì)獨(dú)做要用幾天完成？這樣就很容易求出甲隊(duì)的工作效率是：甲隊(duì)獨(dú)做完成的時(shí)間是：答略。（二）轉(zhuǎn)換看問(wèn)題的角度解應(yīng)用題時(shí)，如果看問(wèn)題的角度不適當(dāng)就很難解出題。如果轉(zhuǎn)換看問(wèn)題的角度，把原來(lái)從正面看問(wèn)題轉(zhuǎn)換為從側(cè)面看或從反面看，把這一數(shù)量轉(zhuǎn)換為另一數(shù)量進(jìn)行分析，就可能找到解題思路。解：一般都沿著女工占總?cè)藬?shù)的分率去尋找與之相

34、對(duì)應(yīng)的具體人數(shù)，但這樣往往會(huì)誤入歧途，難以找到正確答案。不如根據(jù)女工所占分率，換一個(gè)角度，想一想男工的情況。男工人數(shù)便占總?cè)藬?shù)的：后來(lái)女工的總?cè)藬?shù)是：=560-480=80（人）答略。*例2 求圖24-1中陰影部分的面積。（單位：厘米）（適于六年級(jí)程度）解：如果直接計(jì)算圖中陰影部分的面積，幾乎是不可能的。如果把角度轉(zhuǎn)換為，從大扇形面積減去右面空白處的面積，就容易求出陰影部分的面積了。=200.96-81.5=119.46（平方厘米）答：陰影部分的面積是119.46平方厘米。（三）轉(zhuǎn)換題中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換題中的數(shù)據(jù)就是將題中已知的數(shù)據(jù)進(jìn)行等價(jià)變換，從而協(xié)調(diào)各個(gè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。例1 兩輛汽車(chē)同時(shí)從相距4

35、65千米的兩地相對(duì)開(kāi)出，4.5小時(shí)后兩車(chē)還相距120千米。一輛汽車(chē)每小時(shí)行37千米。另一輛汽車(chē)每小時(shí)行多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：如果兩地的距離減少120千米，兩車(chē)經(jīng)過(guò)4.5小時(shí)正好相遇，兩車(chē)4.5小時(shí)行的路程是：465-120=345（千米）兩車(chē)的速度之和是：綜合算式：（465-120）4.5-37=3454.5-37解：如果從分?jǐn)?shù)角度分析，不易找出數(shù)量間的關(guān)系。如果把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為比來(lái)分析，就會(huì)得出，第一天與第二天種的棵數(shù)的比是35，第二天與第三天種的棵數(shù)比是56。所以，第一、二、三天種的棵數(shù)的比是356。第一天種：第三天種：答略。（四）轉(zhuǎn)換為統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)題中兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)量的單位“1”不統(tǒng)一

36、，不便于解答時(shí)，如把某個(gè)數(shù)量作為標(biāo)準(zhǔn)單位“1”，把其他數(shù)量轉(zhuǎn)化為以它為標(biāo)準(zhǔn)的分率，就會(huì)突破障礙，順利解題。例1甲、乙、丙、丁四人合買(mǎi)一批化肥。甲付的錢(qián)是其他人所付錢(qián)數(shù)之 解：把甲、乙、丙、丁所付錢(qián)數(shù)統(tǒng)一為以總數(shù)量作為標(biāo)準(zhǔn)量的分率。由 答略。色電視機(jī)的臺(tái)數(shù)沒(méi)有發(fā)生變化，我們以彩色電視機(jī)的臺(tái)數(shù)作為單位 彩色電視機(jī)的臺(tái)數(shù)是：黑白電視機(jī)的臺(tái)數(shù)是：答略。（五）轉(zhuǎn)換隱蔽條件為明顯條件有些應(yīng)用題的解題條件十分隱蔽。認(rèn)真體會(huì)題中字、詞、句的含義，看清這些字、詞、句實(shí)質(zhì)上說(shuō)的是什么，必要時(shí)借助圖形分析，或適當(dāng)改變題中的條件，就可能把原來(lái)題中隱蔽的條件轉(zhuǎn)換為明顯條件，從而較快解題。*例1甲、乙二人分別從A、B兩地

37、同時(shí)出發(fā)，相向而行，在離B點(diǎn)18千米的地方相遇。相遇后二人繼續(xù)往前行，甲到B地和乙到A地立即返回，在離A地8千米的地方又相遇。求A、B兩地相距多少千米？（適于高年級(jí)程度）解：解答此題的條件十分隱蔽。借助圖24-2分析問(wèn)題，可將隱蔽條件轉(zhuǎn)換為明顯條件。（1）從開(kāi)始出發(fā)到二人第一次相遇，甲、乙共同走完一個(gè)全程的路程，其中乙走了18千米。這就是說(shuō)甲、乙二人共同走完一個(gè)全程的路程時(shí)乙走18千米，若共同走完三個(gè)全程，那么乙就走183千米的路程。（2）甲、乙第二次相遇時(shí)，二人走了三個(gè)全程的路程，而乙走了一個(gè)全程加8千米。（3）乙走的一個(gè)全程加8千米應(yīng)等于183千米，所以，A、B兩地的距離是：183-8=4

38、6（千米）答：甲乙兩地相距46千米。220-100=120（千克）甲袋米重答略。（六）轉(zhuǎn)換敘述方式對(duì)數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、不易理出頭緒、不易分析解答的應(yīng)用題，經(jīng)過(guò)逐字、逐句地分析，弄清每一句話(huà)的意思，然后轉(zhuǎn)換原題的敘述方式，就可化繁為簡(jiǎn)，化難為易，使原題變得易于解答。*例1李老師帶領(lǐng)學(xué)生植100棵樹(shù)。李老師先植一棵，然后對(duì)同學(xué)們說(shuō)：“男同學(xué)每人植兩棵，女同學(xué)每?jī)扇撕现惨豢谩！边@樣正好把余下的樹(shù)苗植完。問(wèn)李老師帶領(lǐng)的學(xué)生中有多少名男生，多少名女生？（適于高年級(jí)程度）解：逐層分析每一句話(huà)的意思。李老師植一棵，那么學(xué)生就是植了99棵；男同學(xué)每人植兩棵，女同學(xué)每?jī)扇撕现惨豢?，可以看作一名男生和兩名女生組成一組

39、，植樹(shù)3棵。993=33（組）這樣就可以認(rèn)為學(xué)生正好分成33組。根據(jù)上面的分析，上面的題就可以這樣敘述：有33組學(xué)生去植樹(shù)，每一組學(xué)生中有一名男生、兩名女生。求去植樹(shù)的學(xué)生中有多少名男生、女生？133=33（名）男生人數(shù)233=66（名）女生人數(shù)答：有男生33名，有女生66名。*例2 一位天文愛(ài)好者說(shuō)：“土星直徑比地球直徑的9倍還多4800千米，土星直徑除以24等于水星直徑，水星直徑加上2000千米等于火星直徑，火星直徑的一半減去500千米等于月亮直徑，月亮直徑是3000千米。求地球直徑是多少千米？（適于高年級(jí)程度）解：把原題倒過(guò)來(lái)敘述：月亮直徑是3000千米，月亮直徑加上500千米后的2倍等

40、于火星直徑，火星直徑減去2000千米等于水星直徑，水星直徑的24倍等于土星直徑，土星直徑減去4800千米是地球直徑的9倍。水星直徑：（3000+500）2-2000=5000（千米）土星直徑：500024=120000（千米）地球直徑：（120000-4800）9=12800（千米）答略。（七）轉(zhuǎn)換解題的方法當(dāng)題目用通常方法很難解答或不能解答時(shí)，應(yīng)轉(zhuǎn)換解題方法，使問(wèn)題得到解決。例1 汽車(chē)7小時(shí)行300千米，照這樣計(jì)算，行駛7500千米需要多少小時(shí)？（適于三年級(jí)程度）解：此題如果這樣考慮，求行7500千米需要多少小時(shí)，要先求出汽車(chē)每小時(shí)行多少千米，然后7500千米再除以汽車(chē)每小時(shí)的速度，即：75

41、00（3007）這樣列式計(jì)算時(shí)，小括號(hào)內(nèi)的3007是除不盡的，三年級(jí)的學(xué)生還沒(méi)學(xué)過(guò)計(jì)算小數(shù)的近似值。本題用上面的方法列式解答看來(lái)不行，應(yīng)換一種解題方法。如果求出7500千米中含有多少個(gè)300千米，就可求出這輛汽車(chē)行多少個(gè)7小時(shí)。這時(shí)可這樣列式解答：7（7500300）=725=175（小時(shí)）答：行駛7500千米需要175小時(shí)。*例2 一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積是66.16平方分米，底面積是19平方分米，底面周長(zhǎng)是17.6分米。這個(gè)長(zhǎng)方體的高是多少分米？（適于五年級(jí)程度）解：以一般方法解此題，求長(zhǎng)方形的高，需要用底面積去除體積。可是已知條件中沒(méi)有體積，而且不容易求出，這就需要轉(zhuǎn)換解題方法。題中已知長(zhǎng)方體

42、的表面積。因?yàn)殚L(zhǎng)方體共有6個(gè)面，每一對(duì)相對(duì)面的面積相等，所以可以把表面積轉(zhuǎn)化為三個(gè)不同面積之和：66.162=33.08（平方分米）又因?yàn)榈酌娣e已知，所以可求出另外兩個(gè)面的面積之和：33.08-19=14.08（平方分米）14.08平方分米這個(gè)面積是由“長(zhǎng)高+寬高=（長(zhǎng)+寬）高”得到的。14.08平方分米這個(gè)面積的長(zhǎng)（即長(zhǎng)與寬的和）是：17.62=8.8（分米）所以，這個(gè)長(zhǎng)方體的高是：14.088.8=1.6（分米）答略。例3 一輛快車(chē)和一輛慢車(chē)同時(shí)分別從A、B兩站相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)4小時(shí)后兩車(chē)相遇。相遇后快車(chē)?yán)^續(xù)行駛3小時(shí)到達(dá)乙地。已知慢車(chē)每小時(shí)比快車(chē)少行15千米。求A、B兩站相距多少千米？（適

43、于六年級(jí)程度）解：此題要是依靠具體的數(shù)量進(jìn)行分析，解題就會(huì)遇到困難。如果轉(zhuǎn)換解題思路，用解工程問(wèn)題的方法可化難為易。慢車(chē)每小時(shí)行全程的：A、B兩地的距離是：答略。第二十五講 假設(shè)法當(dāng)應(yīng)用題用一般方法很難解答時(shí)，可假設(shè)題中的情節(jié)發(fā)生了變化，假設(shè)題中兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)量相等，假設(shè)題中某個(gè)數(shù)量增加了或減少了，然后在假設(shè)的基礎(chǔ)上推理，調(diào)整由于假設(shè)而引起變化的數(shù)量的大小，題中隱蔽的數(shù)量關(guān)系就可能變得明顯，從而找到解題方法。這種解題方法就叫做假設(shè)法。 用假設(shè)法解應(yīng)用題，要通過(guò)豐富的想象，假設(shè)出既合乎題意又新奇巧妙，既簡(jiǎn)單又便于計(jì)算的條件。有些用一般方法能解答的應(yīng)用題，用假設(shè)法解答可能更簡(jiǎn)捷。（一）假設(shè)情節(jié)變化解

44、：假設(shè)籃球沒(méi)有借出，足球借出一個(gè)，那么，可以把現(xiàn)有籃球的個(gè)數(shù)看作是3份數(shù)，把現(xiàn)有足球的個(gè)數(shù)看作2份數(shù)，兩種球的總份數(shù)是：3+2=5（份）原來(lái)籃球的個(gè)數(shù)是：原來(lái)足球的個(gè)數(shù)是：21-12=9（個(gè)）答略。例2 甲乙兩個(gè)煤場(chǎng)共存煤92噸，從甲場(chǎng)運(yùn)出28噸后，乙場(chǎng)的存煤比甲場(chǎng)的4倍少6噸。兩場(chǎng)原來(lái)各存煤多少?lài)?？（適于六年級(jí)程度）解：假設(shè)從甲場(chǎng)運(yùn)出的不是28噸，而是比28噸少6噸的22噸，那么，乙場(chǎng)的存煤數(shù)就正好是甲場(chǎng)的4倍，甲場(chǎng)的存煤是1份數(shù)，乙場(chǎng)的存煤是4甲場(chǎng)原來(lái)存煤：92-50=42（噸）答略。（二）假設(shè)兩個(gè)（或幾個(gè)）數(shù)量相等例1有兩塊地，平均畝產(chǎn)糧食185千克。其中第一塊地5畝，平均畝產(chǎn)糧食203

45、千克。如果第二塊地平均畝產(chǎn)糧食170千克，第二塊地有多少畝？（適于五年級(jí)程度）解：假設(shè)兩塊地平均畝產(chǎn)糧食都是170千克，則第一塊地的平均畝產(chǎn)量比兩塊地的平均畝產(chǎn)多：203-170=33（千克）5畝地要多產(chǎn)：335=165（千克）兩塊地實(shí)際的平均畝產(chǎn)量比假設(shè)的平均畝產(chǎn)量多：185-170=15（千克）因?yàn)?65千克中含有多少個(gè)15千克，兩塊地就一共有多少畝，所以?xún)蓧K地的畝數(shù)一共是：16515=11（畝）第二塊地的畝數(shù)是：11-5=6（畝）答略。解：此題可以有三種答案。答：剩下的兩根繩子一樣長(zhǎng)。答：甲繩剩下的部分比乙繩剩下的部分長(zhǎng)。（3）假設(shè)兩根繩子都比1米長(zhǎng)。任意假定為1.5米，則甲繩剪去 答：

46、乙繩剩下的部分比甲繩剩下的部分長(zhǎng)。例3一項(xiàng)工作，甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)做各需要10天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做需要7.5天完成。在三隊(duì)合做的過(guò)程中，甲隊(duì)外出1天，丙隊(duì)外出半天。問(wèn)三隊(duì)合做完成這項(xiàng)工作實(shí)際用了幾天？（適于六年級(jí)程度）解：假設(shè)甲沒(méi)有外出，丙也未外出，也就是說(shuō)，甲、乙、丙三個(gè)隊(duì)的工作天數(shù)一樣多，則三隊(duì)合做的工作量可達(dá)到：三隊(duì)合做這項(xiàng)工作，實(shí)際用的天數(shù)是：答略。*例4 一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合做80天完成。如果先由甲隊(duì)單獨(dú)做72天，再由乙隊(duì)單獨(dú)做90天，可以完成全部工程。甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需要用多少天？（適于六年級(jí)程度）解：假設(shè)甲隊(duì)做72天后，乙隊(duì)也做72天，則剩下的工程是：乙隊(duì)還需要做的時(shí)間是

47、：90-72=18（天）乙隊(duì)單獨(dú)完成全部工程的時(shí)間是：甲隊(duì)單獨(dú)完成全部工程的時(shí)間是：答略。（三）假設(shè)兩個(gè)分率（或兩個(gè)倍數(shù)）相同*例1某商店上月購(gòu)進(jìn)的藍(lán)墨水瓶數(shù)是黑墨水瓶數(shù)的3倍，每天平均賣(mài)出黑墨水45瓶，藍(lán)墨水120瓶。過(guò)了一段時(shí)間，黑墨水賣(mài)完了，藍(lán)墨水還剩300瓶。這個(gè)商店上月購(gòu)進(jìn)藍(lán)墨水和黑墨水各多少瓶？（適于高年級(jí)程度）解：根據(jù)購(gòu)進(jìn)的藍(lán)墨水是黑墨水的3倍，假設(shè)每天賣(mài)出的藍(lán)墨水也是黑墨水的3倍，則每天賣(mài)出藍(lán)墨水：453=135（瓶）這樣，過(guò)些日子當(dāng)黑墨水賣(mài)完時(shí)藍(lán)墨水也會(huì)賣(mài)完。實(shí)際上，藍(lán)墨水剩下300瓶，這是因?yàn)閷?shí)際比假設(shè)每天賣(mài)出的瓶數(shù)少：135-120=15（瓶）賣(mài)的天數(shù)：30015=20（

48、天）購(gòu)進(jìn)黑墨水：4520=900（瓶）購(gòu)進(jìn)藍(lán)墨水：9003=2700（瓶）答略。*例2 甲、乙兩個(gè)機(jī)床廠(chǎng)今年一月份都超額完成了生產(chǎn)計(jì)劃，甲廠(chǎng)完成計(jì)劃的112，乙廠(chǎng)完成計(jì)劃的110。兩廠(chǎng)共生產(chǎn)機(jī)床400臺(tái)，比原計(jì)劃超產(chǎn)40臺(tái)。兩廠(chǎng)原計(jì)劃各生產(chǎn)多少臺(tái)機(jī)床？（適于六年級(jí)程度）解：假設(shè)兩個(gè)廠(chǎng)一月份都完成計(jì)劃的110，則兩個(gè)廠(chǎng)一月份共生產(chǎn)機(jī)床：（400-40）110=396（臺(tái)）甲廠(chǎng)計(jì)劃生產(chǎn)：（400-396）（112-110）=42=200（臺(tái)）乙廠(chǎng)計(jì)劃生產(chǎn)：400-40-200=160（臺(tái)）答略。（四）假設(shè)某個(gè)數(shù)量不比其他數(shù)量多或不比其他數(shù)量少例1 某校三、四年級(jí)學(xué)生去植樹(shù)。三年級(jí)去150人，四年級(jí)

49、去的人數(shù)比三年級(jí)人數(shù)的2倍少20人。兩個(gè)年級(jí)一共去了多少人？（適于三年級(jí)程度）解：假設(shè)四年級(jí)去的人數(shù)正好是三年級(jí)的2倍，而不是比三年級(jí)的2倍少20人，則兩個(gè)年級(jí)去的人數(shù)正好是三年級(jí)人數(shù)的3倍。兩個(gè)年級(jí)去的人數(shù)是：1503=450（人）因?yàn)閷?shí)際上，四年級(jí)去的人數(shù)比三年級(jí)2倍少20人，所以?xún)蓚€(gè)年級(jí)去的實(shí)際人數(shù)是：450-20=430（人）答略。*例2 甲、乙、丙三個(gè)鄉(xiāng)都拿出同樣多的錢(qián)買(mǎi)一批化肥。買(mǎi)好后，甲、丙兩個(gè)鄉(xiāng)都比乙鄉(xiāng)多18噸，因此甲鄉(xiāng)和丙鄉(xiāng)各給乙鄉(xiāng)1800元。問(wèn)每噸化肥的價(jià)格是多少元？（適于高年級(jí)程度）解：假設(shè)甲、丙兩個(gè)鄉(xiāng)買(mǎi)的化肥不比乙鄉(xiāng)多18噸，而是與乙鄉(xiāng)買(mǎi)的同樣多，則應(yīng)把多出來(lái)的2個(gè)18

50、噸平均分。平均分時(shí)每個(gè)鄉(xiāng)多得：1823=12（噸）因?yàn)榧住⒈麅蓚€(gè)鄉(xiāng)都比乙鄉(xiāng)多得18噸，而平均分時(shí)每個(gè)鄉(xiāng)得12噸，所以乙鄉(xiāng)實(shí)際比甲、丙兩個(gè)鄉(xiāng)都少：18-12=6（噸）每噸化肥的價(jià)格：18006=300（元）答略。（五）假設(shè)某個(gè)數(shù)量增加了或減少了6-4=2（人）全班人數(shù)是：女生人數(shù)是：答略。*例2 學(xué)校運(yùn)來(lái)紅磚和青磚共9750塊。紅磚用去20，青磚用去1650塊后，剩下的紅磚和青磚的塊數(shù)正好相等。學(xué)校運(yùn)來(lái)紅磚、青磚各多少塊？（適于六年級(jí)程度）解：假設(shè)少運(yùn)來(lái)1650塊青磚，則一共運(yùn)來(lái)磚：9750-1650=8100（塊）以運(yùn)來(lái)的紅磚的塊數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量1，則剩下的紅磚的分率是：1-20=80因?yàn)槭Ｏ碌募t磚

51、的塊數(shù)與青磚的塊數(shù)正好相等，所以青磚的分率也是80。因?yàn)?100塊中包括全部紅磚和紅磚的（1-20）（青磚），所以8100塊的對(duì)應(yīng)分率是（1+1-20）。運(yùn)來(lái)的紅磚是：（9750-1650）（1+1-20）=81001.8=4500（塊）運(yùn)來(lái)的青磚是：9750-4500=5250（塊）答：運(yùn)來(lái)紅磚4500塊，運(yùn)來(lái)青磚5250塊。（六）假設(shè)某個(gè)數(shù)量擴(kuò)大了或縮小了例1 把雞和兔放在一起共有48個(gè)頭、114只爪和腳。雞和兔各有多少只？（適于四年級(jí)程度）解：假設(shè)把雞爪和兔子腳的只數(shù)都縮小2倍，則雞爪數(shù)和雞的頭數(shù)一樣多，兔的腳數(shù)是兔頭數(shù)的2倍。這樣就可以認(rèn)為，1142所得商中含有全部雞的頭數(shù)，也含有兔子

52、頭數(shù)2倍的數(shù)，而48中包含全部雞的頭數(shù)和兔子頭數(shù)1倍的數(shù)。所以兔的只數(shù)是：1142-48=9（只）雞的只數(shù)是：48-9=39（只）答略。解：假設(shè)把從甲、乙兩堆煤里取出的煤的數(shù)量擴(kuò)大4倍，則從兩堆煤取出的總數(shù)量比原來(lái)的兩堆煤多：7084-2268=2832-2268=564（千克）甲堆煤的重量是：乙堆煤的重量是：2268-940=1328（千克）答略。第二十六講 設(shè)數(shù)法當(dāng)應(yīng)用題中沒(méi)有解題必需的具體的數(shù)量，并且已有數(shù)量間的關(guān)系很抽象時(shí)，如果假設(shè)題中有個(gè)具體的數(shù)量，或假設(shè)題中某個(gè)未知數(shù)的數(shù)量是單位1，題中數(shù)量之間的關(guān)系就會(huì)變得清晰明確，從而便于找到解答問(wèn)題的方法，我們把這種解答應(yīng)用題的方法叫做設(shè)數(shù)法

53、。 實(shí)際上設(shè)數(shù)法是假設(shè)法中的一種方法，因?yàn)樗膽?yīng)用比較多，所以我們把它單列為一種解題方法。在用設(shè)數(shù)法解答應(yīng)用題設(shè)具體數(shù)量時(shí)，要注意兩點(diǎn)：一是所設(shè)數(shù)量要盡量小一些；二是所設(shè)的數(shù)量要便于分析數(shù)量關(guān)系和計(jì)算。（一）設(shè)具體數(shù)量例1 一艘輪船從甲港開(kāi)往乙港，去時(shí)順?biāo)?，每小時(shí)行駛30千米；返回時(shí)逆水，每小時(shí)行駛20千米。求這艘輪船往返的平均速度。（適于五年級(jí)程度）解：甲、乙兩港之間的路程沒(méi)有給，要求往返的平均速度就比較困難。我們可以設(shè)甲、乙兩港之間的路程為60千米（60是輪船往返速度30和20的最小公倍數(shù)）。這樣去時(shí)用的時(shí)間是：6030=2（小時(shí)）返回時(shí)用的時(shí)間是：6020=3（小時(shí)）往返一共用的時(shí)間是：

54、3+2=5（小時(shí)）往返的平均速度是：6025=24（千米/小時(shí)）綜合算式：602（6030+6020）=120（2+3）=1205=24（千米/小時(shí)）答略。*例2光華小學(xué)中、高年級(jí)共有學(xué)生600名，如果中年級(jí)派出本年級(jí)人數(shù)位“1”。假設(shè)高年級(jí)增加20名學(xué)生，這樣中、高年級(jí)人數(shù)從原來(lái)的600名增加到：600+20=620（名）中年級(jí)人數(shù)是：高年級(jí)的人數(shù)是：600-320=280（人）答略。例3 某人騎一輛自行車(chē)從甲地去乙地，每小時(shí)行15千米；從乙地回到甲地，每小時(shí)行10千米。求此人騎自行車(chē)往返甲、乙兩地的平均速度。（適于六年級(jí)程度）解：題中缺少“甲、乙兩地的距離”的具體數(shù)量。我們可以任意設(shè)一個(gè)數(shù)為甲、乙兩地的路程。如設(shè)30千米為甲、乙兩地路程，這輛